上海高考數(shù)學(xué)精品講義等差數(shù)列與等比數(shù)列

1、 課題名稱等差數(shù)列與等比數(shù)列一、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1、等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用表示，其符號(hào)語言為：（，為常數(shù)）2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差是，則其通項(xiàng)公式為注：已知等差數(shù)列的第項(xiàng)為，公差為，則其第項(xiàng)可以表示為：3、等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項(xiàng)，且有4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：（一）等差數(shù)列的基本運(yùn)算1等差數(shù)列運(yùn)算問題的通法等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程（組）求解2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用

2、方法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩個(gè)，如果已知項(xiàng)數(shù)、首項(xiàng)和第項(xiàng)，則利用，該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用如果已知項(xiàng)數(shù)、首項(xiàng)和公差，則利用，在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問題時(shí)，有時(shí)會(huì)和通項(xiàng)公式結(jié)合使用例1、已知數(shù)列的首項(xiàng)，通項(xiàng)（，且、為常數(shù)），且，成等差數(shù)列求：（1）、的值；（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式（二）等差數(shù)列的判定相關(guān)鏈接1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，（為常數(shù)，），第二種是利用等差中項(xiàng)，即2、解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷（1）通項(xiàng)法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即，則是等差數(shù)列；（2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和是的形式（A，B是常數(shù)），則是等差數(shù)列例

3、2、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達(dá)式（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列公差為，若，則數(shù)列遞增；若，則數(shù)列遞減；若，則數(shù)列為常數(shù)列2、等差數(shù)列的簡單性質(zhì)：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和（1）若，則，特別：若，則（2）仍是等差數(shù)列，公差為kd；（3）數(shù)列也是等差數(shù)列；（4）；（5）若n為偶數(shù)，則；若n為奇數(shù)，則；（6）數(shù)列，也是等差數(shù)列，其中均為常數(shù)，是等差數(shù)列3、等差數(shù)列的最值：若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)，（1）若，且滿足，前n項(xiàng)和最大；（2）若，且滿足，前n項(xiàng)和最??；（3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問題看作關(guān)于n的二次函數(shù)

4、最值問題，利用二次函數(shù)的圖像或配方法求解，注意例3、已知在等差數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，（1）求；（2）這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)最大值例4、已知數(shù)列是等差數(shù)列（1）若，求（2）若，求（四）等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例5、已知是正數(shù)組成的數(shù)列，且點(diǎn)（）在函數(shù)的圖像上（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足， ，求證：方法提示：1解決等差數(shù)列問題，熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，尋找項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵2在等差數(shù)列中，有關(guān)的最值問題：（1），時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值為；（2）當(dāng)，時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值為（3）關(guān)于最值問題，除上面介紹的方法外，還可利用等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系來解決，

5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，可看成關(guān)于的二次函數(shù)式且常數(shù)項(xiàng)為0，利用二次函數(shù)的圖像或配方法解決最值問題二、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和等比數(shù)列的相關(guān)概念相關(guān)名詞等比數(shù)列的有關(guān)概念及公式定義（是常數(shù)且，）或（是常數(shù)且，）通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式等比中項(xiàng)設(shè)、為任意兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)，則、的等比中項(xiàng)為：注：是a，b，c成等比的必要不充分條件，當(dāng)，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，則必有方法提示：1、數(shù)列的項(xiàng)與集合中元素的區(qū)別：把數(shù)列中的項(xiàng)與集合中的元素相比較，數(shù)列中的項(xiàng)具有確定性、有序性、可重復(fù)性，不具有互異性；集合中的元素具有確定性、無序性、互異性2、求通項(xiàng)公式的技藝：根據(jù)數(shù)列

6、的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，常用到“觀察、歸納、猜想、驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想方法，即先找出各項(xiàng)相同的部分（不變量），再找出不同的部分（可變量）與序號(hào)之間的關(guān)系，并用n表示出來，不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上可以不唯一（一）等比數(shù)列的的運(yùn)算1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）所求問題可迎刃而解2解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算的過程3在使用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視的取值而盲目用求和公式例6、設(shè)數(shù)列的

7、前n項(xiàng)和為，且=2-2；數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：二、等比數(shù)列的判定等比數(shù)列的判定方法有：（1）定義法：若，則是等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)公式法：若數(shù)列中，則數(shù)列是等比數(shù)列；（3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成，則數(shù)列是等比數(shù)列；（4）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列是等比數(shù)列；例7、在數(shù)列中，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）證明不等式對(duì)任意皆成立（三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：（1）通項(xiàng)公式的變形，（2）等比中項(xiàng)的變形，（3）前n項(xiàng)和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口2等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列（，是常數(shù)）也是等比數(shù)列；（2）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即，為等比數(shù)列，公比為（3）（4）若，則；（5）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則、是等比數(shù)列3 由于數(shù)列和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，所以在解決許多數(shù)列問題時(shí)，可