考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題分類—多元函數(shù)微分學(xué)

1、 點(diǎn)這里，看更多數(shù)學(xué)資料一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會(huì)讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)知識點(diǎn)講解和習(xí)題】，同時(shí)中公考研網(wǎng)首發(fā)2017考研信息，2017考研時(shí)間及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為2017考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。第六章多元函數(shù)微分學(xué)綜述：本章是對一元函數(shù)中極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分等知識的推廣，主要考點(diǎn)是圍繞偏導(dǎo)數(shù)的一系列計(jì)算，由于多元函數(shù)微分學(xué)計(jì)算的復(fù)雜性要大于一元函數(shù)，考試在微分學(xué)中的大題一般都出在本章.在考試中，每年直接涉及到本章知識所占的分值平均在12分左右.本章的主要知識點(diǎn)有：二重極限的定義及其簡單的性質(zhì)，二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可

2、微，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，方向?qū)?shù)與梯度，多元函數(shù)的極值，曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線.其中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是二重極限、二元函數(shù)連續(xù)、有偏導(dǎo)數(shù)和可微這些概念.這一部分考查的頻率不高，且以小題為主，考生在學(xué)習(xí)時(shí)要注重把握相關(guān)概念嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，并與一元函數(shù)的相關(guān)概念進(jìn)行比較.本章考查的重點(diǎn)在偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及其應(yīng)用上：首先，偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與一元函數(shù)的求導(dǎo)并無本質(zhì)區(qū)別，考生只需將一元函數(shù)求導(dǎo)的相關(guān)知識進(jìn)行推廣，就可以得到偏導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的計(jì)算公式；在全面掌握了偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法之后，考生還需要掌握偏導(dǎo)數(shù)的各種應(yīng)用，包括多元函數(shù)的極值（無條件極值與條件極值）、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線，對于它們，

3、考生只要能計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，再記住相關(guān)的公式定理即可.本章?？嫉念}型有：1.關(guān)于連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義的考查；2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；3.方向?qū)?shù)與梯度；4.極值，5.空間曲線的切線與法平面，6.空間曲面的切平面與法線.常考題型一：連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分1【1994-1 3分】二元函數(shù)在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)連續(xù)的（）充分條件而非必要條件必要條件而非充分條件充分必要條件既非充分條件又非必要條件2【1997-1 3分】二元函數(shù)，在點(diǎn)處（）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在3【2002-1 3分】考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)，正確的是（）在點(diǎn)處連續(xù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

4、在點(diǎn)處可微在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在4【2003-3 4分】設(shè)可微函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是在處的導(dǎo)數(shù)等于零. 在處的導(dǎo)數(shù)大于零.在處的導(dǎo)數(shù)小于零. 在處的導(dǎo)數(shù)不存在.5【2007-1 4分】二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個(gè)充分條件是（）.6【2008-3 4分】已知，則，都存在不存在，存在不存在，不存在，都不存在7【2012-1 4分】如果在處連續(xù)，那么下列命題正確的是（）（A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在8【2012-2 4分】設(shè)函數(shù)可微，且對任意都有，則使得成立的一個(gè)充分條件是(A) (B)(C)(D)9.【2

5、012-3 4分】連續(xù)函數(shù)滿足，則_。【小結(jié)】：1、二元函數(shù)在處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)值等于極限值，這里的極限指二重極限，也即.2、二元函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)就是一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，它存在當(dāng)且僅當(dāng)極限存在.注意，與連續(xù)性不同的是：這里的極限過程是一元函數(shù)的極限.3、判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否可微的方法：首先計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).如果二者至少有一個(gè)不存在，則不可微.如果兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則計(jì)算極限，如果該極限不存在或不等于0則不可微，如果該極限等于則可微.4、多元函數(shù)各種概念之間的關(guān)系與一元函數(shù)有所區(qū)別，具體來說：在多元函數(shù)中，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)存在也不一定連續(xù)，但可微則一定是連續(xù)并且存在偏導(dǎo)數(shù).

6、?？碱}型二：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1鏈?zhǔn)椒▌t的運(yùn)用10【2000-3 3分】設(shè)，其中均可微，則11【2004-3 4分】設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，其中函數(shù)可微，且，則.12【2005-3 4分】設(shè)二元函數(shù)，則.13【2014-2 4分】設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則14【2006-3 4分】設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(diǎn)處的全微分.15【2009-3 4分】設(shè)，則16【1998-3 5分】設(shè)，求與.17【1994-1 3分】設(shè)，則在點(diǎn)處的值為18【1998-1 3分】設(shè)具有二階導(dǎo)數(shù)，則19【2007-1 4分】設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _.20【2009-1 4分】設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則.21【2011-1 4分】設(shè)函數(shù)

7、，則_.22【2007-3 4分】設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _23【2008-2 4分】設(shè)，則24【2012-2 4分】設(shè),其中函數(shù)可微，則_。25【1992-1 5分】設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求26【2000-1 5分】設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求.27.【2001-1 6分】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微，且，求28【2004-2 10分】設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.29【2009-2 10分】設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與30【1997-3 5分】設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，和分別由方程和所確定，求.31【2013-2 4分】設(shè)，其中函數(shù)可微，則（）（A）（B）（C）（D）32【2005

8、-1 4分】設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有（）.33【2007-3 4分】設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _ .34.【2011-3 4分】設(shè)函數(shù)，則.35【1996-3 6分】設(shè)函數(shù)，方程，其中是的函數(shù)，可微，連續(xù)，且.求.36【2001-3 5分】設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分別由下列兩式確定：和，求37【2003-3 8分】設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又,求38【2005-3 8分】設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求【小結(jié)】：多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則比一元函數(shù)復(fù)雜，根據(jù)復(fù)合函數(shù)中間變量的不同形式我們有如下求導(dǎo)公式：如果，則；如果，則，如果，則，.2隱函數(shù)求導(dǎo)39【2005-1

9、4分】設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程（）只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)可以確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)可以確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)可以確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)40【2002-3 8分】設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且由方程所確定，求41【2004-2 3分】設(shè)函數(shù)由方程確定, 則_.42【1995-1 5分】設(shè)，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求.43【1999-1 5分】設(shè)是由方程和所確定的函數(shù)，其中和分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.44【2008-3 10分】設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，其中具有2階導(dǎo)數(shù)且時(shí).（1）求（2）記，求.45【20

10、10-1,24分】設(shè)函數(shù)由方程確定, 其中為可微函數(shù), 且，則（）識_ . _46【2013-3 4分】設(shè)函數(shù)由方程確定，則_。47.【2015-2,3 4分】若函數(shù)由方程確定，則48.【2015-1 4分】若函數(shù)由方程確定，則【小結(jié)】：1.隱函數(shù)求導(dǎo)實(shí)際上是鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用，處理方式和一元函數(shù)中的方法一致，都是對等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，再解方程.2、隱函數(shù)存在定理是隱函數(shù)求導(dǎo)的理論基礎(chǔ)，考試對隱函數(shù)求導(dǎo)的考查很多，但對該定理的要求不高，只需記住內(nèi)容即可.該定理內(nèi)容如下：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有，則方程在點(diǎn)附近能唯一確定一個(gè)函數(shù)，滿足及，.3綜合運(yùn)用49【2006-1 12分】設(shè)函數(shù)內(nèi)具有二

11、階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式（I）驗(yàn)證（II）若求函數(shù)50【1996-1 6分】設(shè)變換可把方程化簡為，求常數(shù).51.【1997-1 7分】設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),而滿足方程,求.52【2007-2 10分】已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求.53【2010-2 11分】設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式，確定的值，使等式在變換下化簡為.54.【2011-1 9分】設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求55.【2014-2 10分】已知函數(shù)滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積?？碱}型三：方向?qū)?shù)與梯度*（數(shù)一）56【2008-1 4分】函數(shù)在點(diǎn)處

12、的梯度等于（）57【1992-1 3分】函數(shù)在點(diǎn)處的梯度58【2012-1 4分】_。59【1996-1 3分】函數(shù)在點(diǎn)處沿點(diǎn)指向的方向?qū)?shù)為_.60【2005-1 4分】設(shè)函數(shù)，單位向量，則=_61.【2001-1 3分】設(shè)則?？碱}型四：極值1無條件極值62【2003-1 4分】已知函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則（）點(diǎn)不是的極值點(diǎn). 點(diǎn)是的極大值點(diǎn). 點(diǎn)是的極小值點(diǎn). 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)是否為的極值點(diǎn). 63.【2014-2 4分】設(shè)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（）（A）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上；（B）的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都

13、在區(qū)域D的內(nèi)部；（C）的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上；（D）的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上64【2009-1 4分】設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（）不是的連續(xù)點(diǎn)不是的極值點(diǎn). 是的極大值點(diǎn)是的極小值點(diǎn)65【2011-1 4分】設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是( )(A) ， (B)，(C)， (D)，66.【2011-2 4分】設(shè)函數(shù)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足且，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是( ) (A) (B) (C) (D) 67【2009-1,3 9分】求二元函數(shù)的極值.68【2004-1 12分】設(shè)是由確定的函數(shù)

14、，求的極值點(diǎn)和極值.69.【2011-3 10分】已知函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，是的極值，求.70【2012-1,2 10分】求的極值。71【2013-1 10分】求函數(shù)的極值.72.【2015-2 10分】已知函數(shù)滿足，求的極值【小結(jié)】：計(jì)算函數(shù)無條件極值的工具主要是如下兩個(gè)定理：1）必要條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)有極值，則有.2）充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又設(shè).令（回憶定理）若，則函數(shù)在點(diǎn)具有極值.當(dāng)時(shí)取得極小值；當(dāng)時(shí)取得極大值.若，則函數(shù)在點(diǎn)沒有極值.若，則函數(shù)在點(diǎn)可能有極值，也可能沒有極值.2條件極值73【2006-1 4分】設(shè)與均為可微函數(shù)，

15、且. 已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（）若，則若，則若，則若，則74【2008-1 11分】已知曲線，求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)75【2007-1 11分】求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.76【2005-2 10分】已知函數(shù)的全微分，并且，求在橢圓域上的最大值和最小值.77【2008-2 11分】求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值.78.【2008-1,2 11分】已知函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).79【19993 6分】設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品必須投入兩種要素，和分別為兩要素的投入量，為產(chǎn)出量，若生產(chǎn)函數(shù)為，其中、為正常數(shù)，且.假設(shè)兩種要素的價(jià)格分別為和，試問：當(dāng)

16、產(chǎn)出量為時(shí)，兩要素各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最?。?0.【2000-3 6分】假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場的需求函數(shù)分別是其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的價(jià)格(單位：萬元/噸)，和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的銷售量(即需求量，單位：噸)，并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，其中表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的銷售總量，即(1)如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略，試確定兩個(gè)市場上該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格，使該企業(yè)獲得最大利潤；(2)如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無差別策略，試確定兩個(gè)市場上該產(chǎn)品的銷售量及其統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)的總利潤最大化；并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤大小.81【2010-3 10

17、分】求函數(shù)在約束條件下的最大值和最小值 . 82【2002-1 7分】設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)椋∩降母叨群瘮?shù)為（1）設(shè)為區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)，問在該點(diǎn)沿平面上沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此方向?qū)?shù)的最大值為，試寫出的表達(dá)式（2）現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)，也就是說，要在的邊界曲線上找出使（1）中的達(dá)到最大值的點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置83【2012-3 10分】某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品，投入的固定成本為10000（萬元），設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為（件）和（件），且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別

18、為（萬元/件）與（萬元/件）。1）求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)(萬元)2）當(dāng)總產(chǎn)量為50件時(shí)，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時(shí)可以使總成本最?。壳笞钚〉某杀?。3）求總產(chǎn)量為50件時(shí)且總成本最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。84.【2013-2 11分】求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長距離與最短距離?！拘〗Y(jié)】：拉格朗日乘數(shù)法是我們處理?xiàng)l件極值問題的主要方法，現(xiàn)對其應(yīng)用過程總結(jié)如下：要求函數(shù)在約束條件下的極值點(diǎn).方法：1）作拉格朗日函數(shù)2）解方程（這三個(gè)方程其實(shí)是找三元函數(shù)的駐點(diǎn)）3）根據(jù)實(shí)際條件判斷所求出的點(diǎn)是極大值還是極小值.?？碱}型五：空間曲線的切線與法平面*（數(shù)一）85【1992-1 3分】在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（）只有1條只有2條至少有3條不存在86【2001-1 3分】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且則（）曲面在點(diǎn)的法向量為曲線在點(diǎn)的切向量為曲線在點(diǎn)的切向量為【小結(jié)】：考試對曲線的切線與法平面的考查僅限于計(jì)算，考生只需記住相應(yīng)的計(jì)算公式即可.相關(guān)公式可以這樣總結(jié)：曲線在曲線上