復(fù)合函數(shù)知識總結(jié)及例題

1、復(fù)合函數(shù)問題一、 復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域為 A, u=g(x)的值域為B,假設(shè)AB,那么y關(guān)于x函數(shù)的y=f g(x)叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：(1)、f (x)的定義域，求f g(x)的定義域思路：設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為D,即x D，所以f的作用范圍為 D,又f對g(x)作用，作用范圍 不變，所以g(x) D，解得x E，E為f g(x)的定義域。例1.設(shè)函數(shù)f (u)的定義域為0, 1那么函數(shù)f (In x)的定義域為 。解析：函數(shù)f (u)的定義域為0, 1丨即u (0，1)，所以f的作用范圍為0, 1 又f對Inx作用，作用范圍不變，

2、所以 0 In x 1解得x (1，e)，故函數(shù)f (In x)的定義域為1，e例2假設(shè)函數(shù)f (x) ，那么函數(shù)f f (x)的定義域為 x 11解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x 1x 1即f的作用范圍為x R|x1，又f對f(x)作用所以f (x)R且f (x)1，即f f (x)中x應(yīng)滿足x 1f(x)x 1即 1，解得x1 1x 1故函數(shù)f f(x)的定義域為 x R|x2、f g(x)的定義域，求f (x)的定義域思路：設(shè)f g(x)的定義域為D，即x D，由此得g(x) E，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以 x E，E為f (x)的定義域。例3.f(3

3、2x)的定義域為x 1，2，那么函數(shù)f (x)的定義域為 解析：f (32x)的定義域為 1， 2，即x1，2，由此得 3 2x 1，5所以f的作用范圍為 1，5，又f對x作用，作用范圍不變，所以 x 1，52即函數(shù)f(x)的定義域為1, 5例4.f(x2 4) lg-J，那么函數(shù)f(x)的定義域為x 8解析：先求f的作用范圍，由f (x2 4)x22解得x 44，f的作用范圍為(4，)，又f對X作用，作用范圍不變，所以 x (4，)，即f (x)的定義域為(4，)3、f g(x)的定義域，求f h(x)的定義域思路：設(shè)f g(x)的定義域為D,即x D，由此得g(x) E，f的作用范圍為E,

4、又f對h(x)作 用，作用范圍不變，所以 h(x) E ,解得x F，F(xiàn)為f h(x)的定義域。例5假設(shè)函數(shù)f(2x)的定義域為1，1 ,那么f (log2x)的定義域為 。解析：f (2x)的定義域為1，1 ,即x1，1 ,由此得2x 丄，22f的作用范圍為1-，2，又f對log2 x作用，所以log2X212，2，解得 x <2，4即f (log 2 x)的定義域為2，4評注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍用集合或區(qū)間表示f對誰作用，那么誰的范圍是 f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費(fèi)功夫的感覺，值得大家探討。三、復(fù)合函

5、數(shù)單調(diào)性問題1引理證明函數(shù)y f (g(x).假設(shè)u g(x)在區(qū)間(a,b上是減函數(shù)，其值域為(c , d)，又函數(shù)y f(u) 在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y f(g(x)在區(qū)間(a,b丨上是增函數(shù).證明：在區(qū)間(a,b內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使a x1 x2 b因為u g (x)在區(qū)間(a, b丨上是減函數(shù)，所以 g(x1) g(x2),記u1g (x1) , u2 g (x2)即U1u2,且u1,u2 (c, d)因為函數(shù)y f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(ujf(u2),即f(g(xj)f(g(x2),故函數(shù)y f(g(x)在區(qū)間(a, b丨上是增函數(shù).2

6、.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個圖表:y f (u)增/減u g(x)增/減增/減y f(g(x)增/減減增/以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減或“同增異減3、復(fù)合函數(shù)y f(g(x)的單調(diào)性判斷步驟：i 確定函數(shù)的定義域；ii將復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：y f (u)與u g(x)。iii分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；iv 假設(shè)兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)，那么復(fù)合后的函數(shù)y f (g(x)為增函數(shù)；假設(shè)兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)，那么復(fù)合后的函數(shù)

7、y f (g(x)為減函數(shù)。4例題演練例1、求函數(shù)ylog1 (x22解：定義域 x22x3 0單調(diào)減區(qū)間是(3,)設(shè):yilogi (Xi222為3)(Xi22xi 3)(X222x2T X2xi3二 x2Xi2xXi,X2y23)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明(3,)且 XiX2 那么log i (X2222x2 3)3) = (X2 xJ(X2Xi 2)0 x2x122 2 1(X!2x! 3)>(X22X2 3) 又底數(shù) 0 12 y2 yi 0即 y2 yi y在(3,)上是減函數(shù).同理可證：y在(，1)上是增函數(shù)+例2、討論函數(shù)f(x) loga(3x2 2x 1)的單調(diào)性

8、解由3X2 2x 10得函數(shù)的定義域為亠1x|x 1,或 x3那么當(dāng)a 1時，假設(shè)x 1，: u 3x2 2x 1為增函數(shù)， f(x) loga(3x2 2x 1)為增函數(shù)1假設(shè)x , u 3x2 2x 1為減函數(shù).3- f (x) loga(3x2 2x 1)為減函數(shù)。1當(dāng)0 a 1時，假設(shè)x 1 ,貝y f(x) log a(3x2 2x 1)為減函數(shù)，假設(shè)x -，那么 3f (x) loga(3x2 2x 1)為增函數(shù).例3、.y= log a (2- ax)在0, 1 上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：a> 0 且 1當(dāng)a> 1時，函數(shù)t=2- ax>0是減函數(shù)x由

9、y= log a (2- a )在0, 1上x的減函數(shù)，知y=logat是增函數(shù)， a > 1由 x :0, 1時，2- ax 2-a >0,得 av2, 1 v a v 2當(dāng)0<a<1時，函數(shù)t=2- ax>0是增函數(shù)由y= log a (2- ax)在0, 1上x的減函數(shù)，知y=logat是減函數(shù)， 0<a<1.由 x : 0, 1時，2- ax 2-1 > 0, 0<a<1綜上述，0<a<1或1 v a v 2.例4、函數(shù)f (x 2) ax2 (a 3)x a 2 a為負(fù)整數(shù)的圖象經(jīng)過點(m 2,0), m R，設(shè)

10、g(x) ff(x),F(x) pg(x) f (x).問是否存在實數(shù)p(p 0)使得F(x)在區(qū)間(，f(2)上是減函數(shù)，且在區(qū)間(f(2),0)上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。解析由 f(m 2)0,得 am2 (a 3)m a 2 0 ,其中 m R,a 0. 0 即 3a2 2a 9 0,解得12打a12,733 a為負(fù)整數(shù)，a 1.- f (x2)x4x 3(X 2)21 ,即 f (x)x21.g(x)ff(x)(x21)21x4 2x2 ,- F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.假設(shè)存在實數(shù)p(p 0)，使得F(X)滿足條件，設(shè)X1 X2 , F(X1)F(X2)(Xi

11、2 x2) p(xf x2)2P 1.T f(2)3，當(dāng) Xi ,X2(, 3)時，F(xiàn)(x)為減函數(shù)， F(x1) F (x2) 0， Xi2 x2 0, p(xi2 x2) 2 p 1 0.t x13,x23 , x-i2 x2 18,p(xi2 xi) 2p 116p1,16p10.當(dāng)Xi,X2( 3,0)時,F(x)增函數(shù)5 * *F(X1)F(X2) 0.T Xi2X20 ,p(x12 x2)2p116p1,16p10.由、可知p1，故存在16p116.-.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)同底的指數(shù)函數(shù) yaX與對數(shù)函數(shù)ylogaX互為反函數(shù);二主要方法：1 解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義

12、域；2 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1,要注意對底數(shù)的討論；3比擬幾個數(shù)的大小的常用方法有：以0和1為橋梁；利用函數(shù)的單調(diào)性；作差.三例題分析：2b例仁卩 假設(shè)a b a 1，那么logb ， log b a , log a b從小到大依次為 ；a2假設(shè)2X 3y 5z，且x , y , z都是正數(shù)，那么2x , 3y , 5z從小到大依次為 XX3設(shè)X 0，且a b 1 a 0, b 0，那么a與b的大小關(guān)系是Ab a 1 Ba b 1 C1 b a D1 a b解：1由 a2 b a 1 得 一 a，故 logb - logb a 1 logab aa2令 2X 3y

13、5z t ,那么t1, x lgt，ylgt,zlgtlg2lg3lg5 2x 3y2lg t :3lgtlg t (lg9 lg8)0 , 2x3y ；lg2lg3lg2 lg3同理可得：2x 5z0 ,- 2x 5z ,3y2x5z 3取x 1，知選B例2函數(shù)f(x) axxx-(a 1),1求證:1函數(shù)f (x)在(1,)上為增函數(shù)；2方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.證明：1設(shè)1那么 f (X,)f (X2)aXiXiXi2aX21X2X2ax,axXi2X2x,1X21X,X2 , X10 , X210 ,3( X1X2)0 ；(Xi 1)(X21) iXiX2，且a1, axaX2, f

14、(Xi)f (X2)0 ,即f(Xi)f (X2),2假設(shè)Xo是方程f(x)0的負(fù)數(shù)根，,且即a"2 xo 3 (xo1)31,Xo1Xo1Xo1當(dāng)1 Xo 0時，0Xo1 1 , 3Xo式不成立；3當(dāng)Xo1 時,Xo10,0 ,XiX2 ,XoXo0沒有負(fù)數(shù)根.Xi1aX式不成立. 綜上所述，方程2121aX1aX2f(x)aX23(X1 X2)(x,1)(X21)'0 ,函數(shù)f (x)在(1，那么 aX)3 , XoXo1,XoXo)上為增函數(shù);2o,112，而由a 1知aX)1,而 aXo0 ,例 3函數(shù) f (X) loga(aX 1) a o且a 1求證：1函數(shù)f

15、(x)的圖象在y軸的一側(cè)；2函數(shù)f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0 證明：1由 ax 10 得：ax 1,當(dāng)a 1時，x 0,即函數(shù)f (x)的定義域為(0,)，此時函數(shù)f (x)的圖象在y軸的右側(cè)；當(dāng)0 a 1時，x 0,即函數(shù)f(x)的定義域為(，0)，此時函數(shù)f(x)的圖象在y軸的左側(cè). 函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)；2設(shè)A&yJ、B(x2, y2)是函數(shù)f (x)圖象上任意兩點，且 x, x2，那么直線AB的斜率k 出一社X x2xyi y log a (a1) loga(ax21)X1log a 飛 aaX1 111 0aX111 , % y20 ,又X|x20 ,k

16、 0 ；aX21當(dāng)0a1時，由"知 X1X20 ,X1X2-a axi沁1，a 1 a 1當(dāng)a 1時，由1知 0x-ix2，二 1 a" ax 0axX21 a 1,0,1，y1y 0,又 X1x0.函數(shù)f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于同步練習(xí)二同步練習(xí):21、函數(shù)f(x)的定義域為0, 1，求函數(shù)f(X )的定義域。答案：1,12、 函數(shù)f(3 2x)的定義域為3，3，求f(x)的定義域。答案：3, 93、函數(shù)f (x 2)的定義域為(1,°)，求f (| 2x 1 |)的定義域。答案：(°)-I)4、設(shè)fA.4,0°,4C.2,1,2

17、，那么fD.2 x 0 得，f (x)的定義域為 x|B.的定義域為4, 11,44,2,42。故2,，解得x 4, 12.U 1,4。故2的定義域為4, 1x1,45、函數(shù)f (x)的定義域為x1 32,2)，求 g(x)xf(ax) f()(a0)的定義域。a解析1由，有 212ax1當(dāng)a 1時，定義域為x|3232丄22當(dāng)32a即0 a 1時,12a旦2I 丄 2a定義域為x |33當(dāng)2aa23a2x |a；，即a 1時，有12a32a ,3a.2定義域為x | x .2a 2a1 3故當(dāng)a 1時，定義域為x| 一 x 一；2a2aa3當(dāng)0 a 1時，定義域為x| x -a.2 2點評對

18、于含有參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，必須對字母進(jìn)行討論，要注意思考討論字母的方法。 練習(xí)二5同步練習(xí):1 .函數(shù)y= log 1 x2 3x+ 2的單調(diào)遞減區(qū)間是2A.一a,1B.2,+d-C.一33D. - ,+22解析：先求函數(shù)定義域為 O, 1U 2,+，令tX= x2 + 3x+ 2，函數(shù)t乂在 a, 1 上單調(diào)遞減，在2,+a上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原那么，函數(shù)y= log!x2 -x+ 2在22 ,+a上單調(diào)遞減.答案：B2找出以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1y a x2 -x 2(a 1);2yx2 2x -答案：在(,-上是增函數(shù)，在弓，)上是減函數(shù)。2單調(diào)增區(qū)間是1,1，減區(qū)間是1

19、,3。-、討論y loga(ax 1),(a0,且a 0)的單調(diào)性。答案：a 1,時(0,)為增函數(shù)，1 a 0時，(，0)為增函數(shù)。4 .求函數(shù)y= log1x2 5x+ 4的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.3解：由X= x2 5x+ 4> 0,解得 X>4 或 XV 1，所以 x a, 1U 4,+a，當(dāng) xa, 1U 4 ,+a， I= x2 5x+ 4= R+，所以函數(shù)的值域是 R+.因為函數(shù) y= log 1 x2 5x3+ 4是由y= log 1x與x= x2 5x+ 4復(fù)合而成，函數(shù) y= log 1x在其定義域上是單調(diào)-355遞減的，函數(shù)X= x2 5x+ 4在 a, 一丨

20、上為減函數(shù)，在,+a上為增函數(shù).考慮到函數(shù)22的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y= log 1X2 5x+ 4的增區(qū)間是定義域內(nèi)使 y= log1X為減函數(shù)、33x= x2 5x+ 4也為減函數(shù)的區(qū)間，即一g, i；y= logjx2 5x+4的減區(qū)間是定義域內(nèi)使 y=logj33X為減函數(shù)、X= x2 5X+ 4為增函數(shù)的區(qū)間，即4,+.變式練習(xí)一、選擇題1函數(shù)fx= log1(x1)的定義域是耳 2A. 1 ,+dB. 2 ,+dC.汽 2D. (1,2解析：要保證真數(shù)大于0,還要保證偶次根式下的式子大于等于0,X1> 0 所以log1(x1)0解得1< 乂三2.2答案：D2 函數(shù)y

21、= log1 x2 3x+ 2的單調(diào)遞減區(qū)間是2A.一g, 1B.2,+dC. g, 2D. 3 ,+g2 2解析：先求函數(shù)定義域為 O, 1u 2,+g，令tX= X2 + 3x+ 2，函數(shù)t乂在g, 1上單調(diào)遞減，在2,+g上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原那么，函數(shù)y= log1x2 3x+2在22 ,+g上單調(diào)遞減.答案：B3 .假設(shè) 2lg x 2y= lg x+ lgy，那么 $ 的值為x亠1A. 4B. 1 或41C. 1 或 4D.-錯解：由 2 lgx 2y= lg x+ lg 丫，得x 2y2= xy,解得 x= 4y 或 x= y,那么有=-或-=1 .x 4 y答案：

22、選B正解：上述解法忽略了真數(shù)大于 0這個條件，即x2y> 0，所以x>2y.所以x= y舍掉.只有x= 4y.答案：D4 .假設(shè)定義在區(qū)間一1, 0內(nèi)的函數(shù)fx= log 2aX+1滿足fx> 0,那么a的取值范圍為 1A.0,B. 0, 121C. 一 ,D. 0,2解析：因為X一 1, 0，所以X+ 1 0, 1.當(dāng)fX> 0時，根據(jù)圖象只有 0v 2av l，解得01V av 1根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì).2答案：A25.函數(shù)y= lg 1的圖象關(guān)于1- xA. y軸對稱B. x軸對稱C.原點對稱D.直線y= x對稱2、1 + x1+ x1+x解析：y=

23、lg1= lg，所以為奇函數(shù).形如 y= lg 或y= lg的函數(shù)都為奇1 x1 x1 x1x函數(shù).答案：C二、填空題y= log a 2 ax在0, 1 上是x的減函數(shù)，貝U a的取值范圍是 .解析：a>0且a* 1x= 2 ax是減函數(shù)，要使 y= loga2 ax是減函數(shù)，那么 a> 1，又22ax>0av0vxv 1av2，所以 a 1, 2.x答案：a 1, 217.函數(shù)fx的圖象與gx=扌x的圖象關(guān)于直線 y= x對稱，那么f2x x2的單調(diào)遞減區(qū)間為.解析：因為fx與gx互為反函數(shù)，所以 fx= log1 x那么 f 2x x2= log2x x2，令X= 2x

24、 x2> 0，解得 Ov xv 2.3X= 2x x2在0, 1上單調(diào)遞增，貝y f : X在0, 1上單調(diào)遞減；X= 2x x2在1, 2上單調(diào)遞減，那么f X在1, 2上單調(diào)遞增.所以f2X X2的單調(diào)遞減區(qū)間為0, 1.答案：0, 118定義域為 R的偶函數(shù)fX在0,+上是增函數(shù)，且 f = 0,2那么不等式f Iog4x> 0的解集是.11解析：因為fx是偶函數(shù)，所以f一丄=f = 0.又fx在】0,+上是增函數(shù)，所2211以 fx在a, 0上是減函數(shù).所以 fiog4X> 0 iog4X> 或 Iog4xv .221解得X> 2或0v xv21答案：x> 2或0v xv 一2三、解答題9 求函數(shù)y= Iog1x2 5x+ 4的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.3解：由X= X2 5X+ 4>