競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)一

1、-競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)一 復(fù)習(xí)容：高中數(shù)學(xué)第三章-數(shù)列 編寫時(shí)間：2005-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 2005-5一、數(shù)列專題 一數(shù)列常見題型形式.一、以極限為載體，考察等比數(shù)列中當(dāng)1時(shí)，等比數(shù)列極限不存在. 當(dāng)1時(shí)，等比數(shù)列極限存在. 假設(shè)等比數(shù)列和的極限存在，則一定有1. 當(dāng)數(shù)列的極限存在是，則.1. 設(shè)為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且a1a2，又，試求的首項(xiàng)與公差.2. 數(shù)列由以下條件確定：. 假設(shè)數(shù)列的極限存在，且大于零，求的值.二、以對(duì)數(shù)為載體，充分考慮比例分?jǐn)?shù)的合比與分比定理.例： 等比數(shù)列的公比是.三、求參數(shù)最值通?？紤]判別式法.1. 各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其

2、首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有 項(xiàng).四、 假設(shè)以集合形式出現(xiàn)，常常題目要隱藏其集合的包含與被包含關(guān)系.1. 假設(shè) 和 分別表示數(shù)列和前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，.設(shè)集合.假設(shè)等差數(shù)列的任一項(xiàng)為哪一項(xiàng)中的最大數(shù)，且，求的通項(xiàng)公式.二求常見數(shù)列的方法.一、求數(shù)列的通項(xiàng).I. 形如的一階遞歸式，其通項(xiàng)求法為.II. 形如的遞歸式，其通項(xiàng)求法為.注意：形如當(dāng)數(shù)字特殊時(shí)可考慮轉(zhuǎn)化為的形式，再疊乘可求出通項(xiàng).形如常需要轉(zhuǎn)化為或.例如：有有有.1. 數(shù)列確定，求通項(xiàng).2. 在數(shù)列中，且，求.III. 形如的遞歸式，有方法一，兩式相減得，故是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列，先求出，再求出.有方法

3、二轉(zhuǎn)化等比：.有方法三：迭代法=有公式，由確定. 有方法四：特征根方法.IV. 形如的遞推式，有方法一兩邊同除以，得，令，則，仿2求得，再求. 有方法二遞推法. 例如：當(dāng)為一次函數(shù)時(shí)與相減有仿III. 可求出.1. 數(shù)列，中，且1求； 2求.V. 形如或的遞推式，方法一兩邊取對(duì)數(shù)有，令，則，仿4求得，再求. 方法二有1. 在數(shù)列中，且，求2. 數(shù)列滿足，求通項(xiàng).VI. 高階等差數(shù)列：形如任意兩項(xiàng)之差成等差數(shù)列不如比等差數(shù)列為，則我們可用構(gòu)造新數(shù)列使，最后.高階等差數(shù)列：給定一個(gè)數(shù)列，令，則稱數(shù)列為的一階差數(shù)列，而的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，遞推地，可以定義的階差數(shù)列.如果數(shù)列的階差數(shù)列是一非

4、零常數(shù)列，則稱數(shù)列是階等差數(shù)列.=1時(shí)，數(shù)列就是我們通常所說的等差數(shù)列，時(shí)，數(shù)列稱為高階等差數(shù)列. 數(shù)列是階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的次多項(xiàng)式. 例如：數(shù)列2、4、7、11、16經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)成等差，故令.進(jìn)而有. 1. 求數(shù)列：1，3，8，20，43，81，的一個(gè)通項(xiàng)表達(dá)式.VII. 不動(dòng)點(diǎn)法：設(shè)數(shù)列滿足.假設(shè)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是等比數(shù)列，可用來求. 假設(shè)有兩個(gè)相等的不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差d可用，來求. 注：形如亦可用不動(dòng)點(diǎn)法.證明：令，即，令此方程的兩個(gè)根為*1，*2，假設(shè)*1=*2，則有其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：如果有能力

5、，可以將p的表達(dá)式記住，p=.假設(shè)*1*2則有其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：如果有能力，可以將q的表達(dá)式記住，q=.1. 設(shè)滿足求通項(xiàng).2. 數(shù)列滿足求.VIII. 裂項(xiàng)法：常見的有等.1. 數(shù)列滿足 ，且，求. I*. 取倒法：常用于對(duì)復(fù)雜分式轉(zhuǎn)化為或等等常見數(shù)列形式.1. 在數(shù)列中，求.*. 換元法：數(shù)列中的通常把將數(shù)列通過換元構(gòu)造位熟悉的等差、等比、或線性遞推數(shù)列. 最重要的是三角換元法的應(yīng)用.1. 數(shù)列的前項(xiàng)和與之間滿足，且，求.2. 數(shù)列中，求通項(xiàng). 3. 數(shù)列滿足 且求通項(xiàng).4. 設(shè)正數(shù)列滿足，且，求.5. 數(shù)列 滿足，求.二、求數(shù)列的和.I. 求

6、導(dǎo)法：導(dǎo)數(shù)方法用于數(shù)列常是以求和形式出現(xiàn)，經(jīng)常要與二項(xiàng)式定理聯(lián)系能夠用錯(cuò)位相消法求和的數(shù)列問題，都可以用求導(dǎo)方法去做.1. ，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2. ，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3. 求和.II. 形如時(shí)，則求和變?yōu)楫?dāng)為偶，-與+恰好抵消完；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，剩一個(gè)-，故或.1. 是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足求；證明求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.三、周期數(shù)列.1. 設(shè)數(shù)列定義求.2. 設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意自然數(shù)都有又，則的值是 .【2005高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)測(cè)】1. 各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有 項(xiàng).2. 設(shè)數(shù)列滿足.1當(dāng)時(shí)，求，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；2當(dāng)

7、時(shí)，證明對(duì)所有的，有；3. 數(shù)列滿足：，求的整數(shù)局部.4. 3個(gè)數(shù)列存在以下關(guān)系：，這里為正常數(shù).1求；2證明：假設(shè)，必有0；3假設(shè)數(shù)列的最小項(xiàng)為求的取值圍.5. 兩個(gè)數(shù)列，滿足試求通項(xiàng)和6. 數(shù)列，滿足 ，證明以下命題：1；2對(duì)任何正整數(shù)，有；3對(duì)任意整數(shù)，有.7. 不等式夾擊法找數(shù)列圍設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不小于3，且各項(xiàng)和為，則這樣的數(shù)列共有 A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) ?雷氏筆錄?數(shù)學(xué)組 編寫 2005年5月18日競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)二 復(fù)習(xí)容：高中數(shù)學(xué)第七、八章-解析幾何編寫時(shí)間：2005-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 2005-5二

8、、解析幾何專題 一、 關(guān)于定值的證明. 平面解析幾何有方法一：先取特殊位置，求出這個(gè)定值，再證明一般情況下也等于這個(gè)定值. 有方法二：直接證明法.1. 圓，直線.假設(shè)連線的中點(diǎn)為M，與的交點(diǎn)為N， 求證為定值.2. 如圖，M是圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，N是射線OM上的點(diǎn)，求N點(diǎn)的軌跡方程.二、共線問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為斜率相等這一重要條件，當(dāng)然也可以用構(gòu)造法大膽設(shè)參構(gòu)造.1. 拋物線及定點(diǎn).M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM、BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M1、M2.求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)只要M1、M2 存在且直線M1、M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).三、看到有長(zhǎng)度大小關(guān)系的直線方程時(shí)，又有動(dòng)

9、點(diǎn)與定點(diǎn)要考慮直線的參數(shù)方程.1. 過不在橢圓上任意一點(diǎn)P作兩條直線和，分別交橢圓于A、B、C、D四點(diǎn)，假設(shè)、的傾斜角為且.求證：A、B、C、D 四點(diǎn)共圓.四、曲線系方程.1. MN是圓O的一條弦，R是弦MN的中點(diǎn)，過R任作兩條相交弦AB和CD.過A，B，C，D四點(diǎn)的二次曲線T交MN于P，Q兩點(diǎn). 求證：R是PQ的中點(diǎn).五、涉及整數(shù)點(diǎn)問題的最值問題用余數(shù)法.1. 直角坐標(biāo)平面橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則平面格點(diǎn)到直線的距離的最小值為. 六、移坐標(biāo)法，我們可把坐標(biāo)軸平移，可使*個(gè)點(diǎn)成為新原點(diǎn)，這樣可以減少運(yùn)算.1. 橢圓C：上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求m的取值圍.【2005高中數(shù)學(xué)聯(lián)

10、賽預(yù)測(cè)】1. 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是. 2. 設(shè)雙曲線的兩支為如圖，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上.1求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；2設(shè)P-1，- 1在上，Q、R在，求頂點(diǎn)Q、R 的坐標(biāo).3. 橢圓：1(ab0)， 動(dòng)圓：*2y2R2，其中bRa.假設(shè)A是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，B是動(dòng)圓上的動(dòng)點(diǎn)，且使直線AB與橢圓和動(dòng)圓均相切，求A、B兩點(diǎn)的距離|AB|的最大值. 2004年初賽試題解：設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，直線AB的方程為:yk*m因?yàn)锳既在橢圓上，又在直線AB上，從而有將(1)代入(2)得：(a2k2b2)*22kma2*a2(m2b2)

11、0由于直線與橢圓相切，故(2kma2)24(a2k2b2)a2(m2b2)0從而可得：m2b2a2k2，*1 (3)同理，由B既在圓上又在直線AB上，可得：m2R(1k2)，*2 (4)由(3)(4)得：k2，*2*1|AB|2(*2*1)2(y2y1)2(1k2)(*2*1)2 a2b2R2(ab)2(R)2(ab)2.即|AB|ab，當(dāng)且僅當(dāng)R時(shí)取等號(hào).所以，A、B兩點(diǎn)的距離|AB|的最大值為ab.?雷氏筆錄?數(shù)學(xué)組 編寫 2005年5月18日競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)三 復(fù)習(xí)容：高中數(shù)學(xué)第三、七、八章編寫時(shí)間：2005-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 2005-5三、數(shù)列、解析幾何熱

12、點(diǎn)專題 數(shù)列一、奇偶數(shù)列.假設(shè)為奇數(shù)項(xiàng)的數(shù)列，假設(shè)為偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)列，則有.二、特征方程.形如p、q為二階常數(shù)方法一用特征根方法求解.具體步驟：寫出特征方程對(duì)應(yīng)，*對(duì)應(yīng)，并設(shè)二根假設(shè)可設(shè)，假設(shè)可設(shè)；由初始值確定.有方法二，. 有方法三迭代法，迭代法是解決一切數(shù)列問題的通法.三、求和.主要方法：倒序相加、錯(cuò)位相減、數(shù)學(xué)歸納法.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在0時(shí)，有最大值. 如何確定使取最大值時(shí)的值，有兩種方法：一是求使0，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和. 例如：1+2+3 +n

13、=四、等差、等比數(shù)列. 假設(shè)，均是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列. 兩個(gè)等差數(shù)列的一樣項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)一樣項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù).解析幾何一、幾種常見的圓錐曲線問題.題型例如一假設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別是過且傾斜角為的直線交橢圓為兩點(diǎn)，假設(shè)則橢圓的離心率為e =.解：.注：此題變?yōu)榍笾本€AB的方程，解法如上，將轉(zhuǎn)為求,則可確定，又過，故直線AB方程可確定.如果采用定比分點(diǎn)，則運(yùn)算量大，但是假設(shè)A、B不在橢圓上或者有一個(gè)點(diǎn)不在橢圓上，則只有用定比分點(diǎn)了.題型例如二拋物線，當(dāng)一條過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),求的值.解一：當(dāng)k存在時(shí)，代入則，

14、當(dāng)k不存在時(shí)，成立. 故成立.解二：題型例如三 如圖，一條過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B. A,M,O三點(diǎn)共線，MN是拋物線的準(zhǔn)線.求證：MB*軸. 證：為過O點(diǎn)直線，kAO= kOM，所以.綜上：，. 故MB為平行*軸直線.變題：假設(shè)證AOM共線呢.提示：要證AOM共線，即證kAO= kOM，下面就如上法炮制了.題型例如四如以下列圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，CD為準(zhǔn)線，P為AB的中點(diǎn). 求證：AMB共圓，CFD為直角.證1：因?yàn)?，故AF = AC ,DF = DB. 又因?yàn)镻M為梯形CABD的中位線，故PM =,故MP=AP=BP,所以AMB共圓， 且P為三角形AMB外心.證2：.注：題型例如四

15、 拓展1：根據(jù)上述證明，可以推導(dǎo)以雙曲線焦點(diǎn)弦，為直徑為圓與準(zhǔn)線是相交關(guān)系；以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線是相離關(guān)系.拓展2：ABM中最大角為90°，這時(shí)是的臨界條件，這條準(zhǔn)線上其它的點(diǎn)與A、B構(gòu)成的三角形是銳角，故假設(shè)要使ABM為鈍角，只需或?yàn)殇J角.過A作垂直于AB的直線交L于E，則在E上方不包括E的點(diǎn)與A、B構(gòu)成三角形為鈍角，但是由于AB這條直線與準(zhǔn)線要相交這里要檢驗(yàn)，是否在所求圍，同理過B作垂直于AB的直線交L于F，則在F下方不包括F與A、B構(gòu)成的三角形都是鈍角.題型例如五如以下列圖，拋物線，一直線交拋物線于A，B，且AOBO. 求證：直線AB過一定點(diǎn).證：設(shè),令lOA：y=k*

16、令lOB：y=，故，故lAB可求得恒過(2P,0).題型例如六 拋物線，焦點(diǎn)為F，一直線交拋物線于A，B，求證：.證：，.二、區(qū)域問題：當(dāng)求整點(diǎn)個(gè)數(shù)常用數(shù)列逼近法.1. 直角坐標(biāo)平面上，求滿足不等式組的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).2. 一紙上畫有半徑為R的圓O及圓O一定點(diǎn)A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上，*一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕. 當(dāng)取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合.2003全國(guó)高中聯(lián)賽三、圓的冪與根軸. 過定點(diǎn)A 任作直線交定圓于B、C兩點(diǎn)，則為定值，該定值稱為定點(diǎn)A對(duì)定圓的冪1. 向以原是為圓心，半徑為1的圓A和另一圓B所引切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)在直線上，求圓心

17、B的軌跡方程.四、與數(shù)論結(jié)合.假設(shè)g是質(zhì)數(shù)，P是正整數(shù)，假設(shè)構(gòu)造出了10g+13p巧妙的解出p=11，g=143或p=23時(shí)g=23.1. 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)10，13，它與*軸的交點(diǎn)為p，0，與y軸的交點(diǎn)為0，q，其中P是質(zhì)數(shù)，q是正整數(shù)，則滿足條件的所有一次函數(shù)為.【2005高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)測(cè)】1. (數(shù)形結(jié)合)兩點(diǎn)A(- 2, 0),B(0 ,2),點(diǎn)C是圓上的任意一點(diǎn)，則的面積最小值是 A. B. C. D. 2. (立體幾何與余弦定理綜合)設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)點(diǎn)，滿足ABAC，ABAD，ACAD，則BCD是 A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 銳角三角形 D. 不確定?雷

18、氏筆錄?數(shù)學(xué)組 編寫 2005年5月24日競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)四 復(fù)習(xí)容：高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù) 編寫時(shí)間：2005-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 2005-5四、函數(shù)專題 一、函數(shù)與方程.I. 發(fā)現(xiàn)和利用函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性常常與函數(shù)方程結(jié)合.1. 求的圖象與*軸的交點(diǎn)坐標(biāo).II. 三元二個(gè)方程一定不能求出解，假設(shè)要求出解一定是無穿插項(xiàng)時(shí)或有穿插項(xiàng)時(shí)或者是以*為主元，其判別式只有k=0故可求出其一變量的值.2. 且則 .3. 求三個(gè)實(shí)數(shù)*，y，z，使得它們同時(shí)滿足以下方程：III. 求選對(duì)偶式解方程題或者利用不等式來湊，即湊出原方程小于*一常數(shù)，但此方程又等于這一常數(shù).則等號(hào)成立條件即為方程的解. 例如：，則必有.1.求所有的實(shí)數(shù)*，使得. 二、函數(shù)的最值，對(duì)二次函數(shù)的值域?qū)儆赗的充要條件是.1. 假設(shè)k是實(shí)數(shù)，對(duì)任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，存在一個(gè)以為三邊長(zhǎng)的三角形，求k的取值圍.三、函數(shù)與不等式.1. 設(shè)時(shí)，恒有，求證：當(dāng)時(shí)，有.?雷氏筆錄?數(shù)學(xué)組 編寫 2005年