浦東暑假初中數學補習班初三數學

1、 初三數學 東南數理化 初中數學教研組【數學】中考數學輔助線的添加方法，幫你輕松拿下壓軸題一、添輔助線有兩種情況：1、按定義添輔助線：如證明兩直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。2、按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線是個基本圖形：當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與兩條平行線都相交的等第三條直線（2

2、）等腰三角形是個簡單的基本圖形：當幾何問題中出現一點發(fā)出的兩條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的兩邊相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。（5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行

3、證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四

4、個端點兩兩連結或過兩端點添平行線（7）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉型；當出現相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當出現30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角直角三角形三邊比為1：2：3進行證明（9）半圓上的圓周角出現直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子

5、不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二、基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一

6、條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等

7、.3.梯形中常用輔助線的添法梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。4.圓中常用輔助線的添法（1）見弦作弦心距有關弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設與結論間的聯系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已

8、知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來證明問題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質來證明問題。（4）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯系起來。三、作輔助線的方法1、中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目

9、的。2、垂線、分角線，翻轉全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。3、邊邊若相等，旋轉做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。4、造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造

10、一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表5、兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。6、兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現兩圓相切（外切，內切），或相離（內含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內外公切線。7、切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是

11、斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。8、弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內角和圓外角也存在因果關系互相聯想作輔助線。9、面積找底高，多邊變三邊。如遇求面積，（在條件和結論中出現線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。如遇多邊形，想法割

12、補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數為“面積找底高，多邊變三邊”。1在平面直角坐標系中，有A(-8，3),B(-4，5),C(0,m),D(n,0),當四邊形ABCD的周長最短時，m:n的值為 .;AODBFKE圖3GMCKP2（11閘北）. 如圖3，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F，O分別是AB，CD，AD的中點，以點O為圓心，以OE為半徑畫弧EF，P是上的一個動點，連結OP，并延長OP交線段BC于點K，過點P作O的切線，分別交射線AB于點M，交直線BC于點G. 若，則BKABGCD3、點是的重心，的延長線交于，將

13、繞點順時針方向旋轉得到，則的面積 .4.在矩形ABCD中，AD=4，對角線AC、BD交于點O，P為AB的中點，將ADP繞點A順時針旋轉，使點D恰好落在點O處，點P落在點P/處，那么點P/與點B的距離為 5678楊浦11 25已知半徑為6的O1與半徑為4的O2相交于點P、Q，且O1P O2= 120°，點A為O1上異于點P、Q的動點，直線AP與O2交于點B，直線O1A與直線O2B交于點M。（1） 如圖1，求AM B的度數；（2） 當點A在O1上運動時，是否存在AM B的度數不同于（1）中結論的情況？若存在，請在圖2中畫出一種該情況的示意圖，并求出AM B的度數；若不存在，請在圖2中再畫

14、出一個符合題意的圖形，并證明AM B的度數同于（1）中結論；（3） 當點A在O1上運動時，若APO1與BPO2相似，求線段AB的長。圖2PO1O2QPO1O2圖1ABMQPO1O2Q備用圖9徐匯11 25.在梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，AB=4，AD=5，CD=5E為底邊BC上一點，以點E為圓心，BE為半徑畫E交直線DE于點F (1) 如圖，當點F在線段DE上時，設BE，DF，試建立關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍； (2) 當以CD直徑的O與E與相切時，求的值；(3) 聯接AF、BF，當ABF是以AF為腰的等腰三角形時，求的值。10（11閔行）25如圖，在矩形ABCD中，點

15、E在邊AD上，聯結BE，ABE = 30°，BE = DE，聯結BD點M為線段DE上的任意一點，過點M作MN / BD，與BE相交于點N（1）如果，求邊AD的長；（2）如圖1，在（1）的條件下，如果點M為線段DE的中點，聯結CN過點M作MFCN，垂足為點F，求線段MF的長；（3）試判斷BE、MN、MD這三條線段的長度之間有怎樣的數量關系？請證明你的結論ABCDEMN（圖1）FABCDEMN（第25題圖）11徐匯11 21（本題滿分10分，第（1）題6分，第（2）、（3）題各2分）人數（人） 景點4月份外地游客來滬旅游首選景點統計圖外 灘城隍廟東方明珠南京路人民廣場新天地其它作為國際化

16、的大都市，上海有許多優(yōu)秀的旅游景點.某旅行社對4月份本社接待的2000景點頻數頻率外 灘6500.325城隍廟350東方明珠3000.15南京路3000.15人民廣場新天地0.075其 它500.025合 計200014月份來滬游客旅游首選景點的頻數分布表名外地游客來滬旅游的首選景點作了一次調查,調查結果如下圖表.（1）填上頻數和頻率分布表中空缺的數據,并補全統計圖；（2）由于五一黃金周、6月高三學生放假，該社接待外來旅游的人數每月比上月按,60%的速度增長，預計該旅行社6月將接待外地來滬的游客的人數是 (3) 該旅行社預計10月黃金周接待外地來滬的游客將達5200人,請你估計首選景點是外灘的

17、人數約是 12（2011閘北）21（本題滿分10分）2010年，世博會在我國的上海舉行，在網上隨機抽取了5月份中的某10天持票入園參觀的人數，繪成下面的統計圖根據圖4中的信息回答下列問題：(1)求出這10天持票入園人數的平均數、中位數和眾數；圖4(2)不考慮其它因素的影響，以這10天的數據作為樣本，估計在世博會開館的184天中，持票入園人數超過30萬人的有多少天？13（11閔行）22分數50.560.570.580.590.5100.5（第22題圖）0.10.20.30.250.0050.0100.0150.0200.0250.030某校九年級260名學生進行了一次數學測驗，隨機抽取部分學生的

18、成績進行分析，這些成績整理后分成五組，繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），從左到右前四個小組的頻率分別為0.1、0.2、0.3、0.25，最后一組的頻數為6根據所給的信息回答下列問題：（1）共抽取了多少名學生的成績？（2）估計這次數學測驗成績超過80分的學生人數約有多少名？（3）如果從左到右五個組的平均分分別為55、68、74、86、95分，那么估計這次數學測驗成績的平均分約為多少分？1某班50名學生的一次英語聽力測試成績分布如下表所示(滿分10分)：這次聽力測試成績的眾數是成績(分)012345678910人數(人)0001013561519 (A)5分； (B)6分； (C)9分； (D)1

19、0分 2已知（x1, y1）,（x2, y2）,（x3, y3）是反比例函數的圖像上的三個點，且，則，的大小關系是(A)； (B)； (C)； (D)3關于長方體有下列三個結論： 長方體中每一個面都是長方形； 長方體中每兩個面都互相垂直； 長方體中相對的兩個面是全等的長方形其中結論正確的個數有（A）0個；（B）1個；（C）2個；（D）3個.4已知O1和O2的半徑分別為3、5，O1上一點A與O2的圓心O2的距離等于6，那么下列關于O1和O2的位置關系的結論一定錯誤的是（A）兩圓外切；（B）兩圓內切；（C）兩圓相交； （D）兩圓外離.1、在ABC中，ABAC5，BC6，點E、F分別在AB、BC邊上，將BEF沿直線EF翻折后，點B落在對邊A