第2(3)章拉壓桿超靜定(7)

1、2-9 2-9 拉（壓）超靜定問題拉（壓）超靜定問題一一. . 靜定與超靜定的概念靜定與超靜定的概念引例引例: : 在日常生活中乃至在工程中我們常常遇到僅靠靜力平在日常生活中乃至在工程中我們常常遇到僅靠靜力平衡方程無法求得約束反力的例子。衡方程無法求得約束反力的例子?！皟蓚€和尚抬水吃，兩個和尚抬水吃，沒水吃沒水吃”，恐怕是最早說到超靜定問題的例子了。，恐怕是最早說到超靜定問題的例子了。17741774年，歐拉在研究桌子四條腿的受力問題時才真正開始研究超年，歐拉在研究桌子四條腿的受力問題時才真正開始研究超靜定問題。靜定問題。DABC剛體靜定問題：靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平

2、若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類問題稱為靜定問題，相應的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。這類問題稱為靜定問題，相應的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。平面力系：平面力系： 共線力系共線力系 匯交力系匯交力系 平行力系平行力系平衡方程數(shù)：平衡方程數(shù)： 未知力數(shù)：未知力數(shù)： FFFA12211 2 21 2 2超靜定問題：超靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)多于獨立的若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)多于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知力，這類問題稱

3、為超靜定問題或靜不定問題力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題. .FFFA1221B334平面力系：平面力系： 共線力系共線力系 匯交力系匯交力系 平行力系平行力系平衡方程數(shù)：平衡方程數(shù)： 未知力數(shù)：未知力數(shù)： 1 2 22 3 4超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差，也未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束（多余約束力）個數(shù)或等于解超靜定結(jié)等于多余約束（多余約束力）個數(shù)或等于解超靜定結(jié)構(gòu)所需補充方程個數(shù)。構(gòu)所需補充方程個數(shù)。多余約束：多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)上在靜定結(jié)構(gòu)上再再加上的一個或幾個約束，加上的一個或幾個約束，對對于維持結(jié)構(gòu)平衡來說是多余于維持結(jié)構(gòu)平衡來說是多

4、余的約束的約束（但對于特定地工程（但對于特定地工程要求是必要的）稱要求是必要的）稱多余約束多余約束。對應的約束力稱對應的約束力稱多余約束反多余約束反力（多余約束力）。力（多余約束力）。由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上（如力及變形，在工程上（如等）應等）應用非常廣泛。用非常廣泛。相應的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)。相應的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)。（1）超靜定問題解法的思路超靜定問題解法的思路解題思路要考慮平衡方程（靜力平衡方面）、變形相容解題思路要考慮平衡方程（靜力平衡方面）、變形相容方程（幾何變形方面）和物理方程（物理關(guān)系）。關(guān)鍵方程（幾何

5、變形方面）和物理方程（物理關(guān)系）。關(guān)鍵在于尋找變形協(xié)調(diào)關(guān)系作為補充方程。在于尋找變形協(xié)調(diào)關(guān)系作為補充方程。平衡方程平衡方程物理方程物理方程幾何方程幾何方程聯(lián)立求解聯(lián)立求解二、解超靜定結(jié)構(gòu)的方法二、解超靜定結(jié)構(gòu)的方法（2）解超靜定結(jié)構(gòu)的方法）解超靜定結(jié)構(gòu)的方法解超靜定的方法解超靜定的方法：有很多種：有很多種,這里只介紹兩種方法這里只介紹兩種方法:比較變形法和比較變形法和幾何分析法幾何分析法 （一）比較變形法（一）比較變形法步驟步驟: （1）選取靜定基本結(jié)構(gòu)）選取靜定基本結(jié)構(gòu)(靜定基靜定基):即去掉超靜定結(jié)構(gòu)多余約束即去掉超靜定結(jié)構(gòu)多余約束,用用多余約束力來代替多余約束力來代替,得到超靜定結(jié)構(gòu)的基

6、本結(jié)構(gòu)（得到超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)（靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)）；）；（2）計算靜定基在原有外力和多余約束力作用下在解除約束處的）計算靜定基在原有外力和多余約束力作用下在解除約束處的位移（變形）（位移（變形）（物理關(guān)系物理關(guān)系）；）；（3）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條件，即多余約束處的）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條件，即多余約束處的位移（變形）必須滿足該處的實際情況（位移（變形）必須滿足該處的實際情況（幾何方面幾何方面）；）；（4）將（）將（2）算得的位移代入變形協(xié)調(diào)條件得到補充方程；）算得的位移代入變形協(xié)調(diào)條件得到補充方程；（5）聯(lián)立）聯(lián)立靜力平衡方程靜力平衡方程和補充方程最后求出全部未知力

7、。和補充方程最后求出全部未知力。（二）幾何分析法（二）幾何分析法步驟：步驟：（1）根據(jù)靜力平衡條件列出獨立的靜力平衡方程。）根據(jù)靜力平衡條件列出獨立的靜力平衡方程。（2）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條件，即各桿）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條件，即各桿在約束處的變形滿足一定的已知條件（在約束處的變形滿足一定的已知條件（幾何方面幾何方面）。）。（3）應用胡克定律列出內(nèi)力與變形的）應用胡克定律列出內(nèi)力與變形的物理關(guān)系物理關(guān)系。（4）由（）由（2）（）（3）聯(lián)立得到補充方程。）聯(lián)立得到補充方程。（5）聯(lián)立求解）聯(lián)立求解靜力平衡方程靜力平衡方程和補充方程，即可求出全部和補充方程，即可求出全部未

8、知力。未知力。1.1.比較變形法比較變形法三、三、 拉（壓）桿超靜定問題的解法舉例：拉（壓）桿超靜定問題的解法舉例：把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但必須把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但必須滿足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。滿足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。（1 1）選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），）選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B B端解除多端解除多余約束，代之以約束反力余約束，代之以約束反力R RB B解解：例例19 桿上段為銅，下段為鋼桿，桿上段為銅，下段為鋼桿，222,EA 彈性模量截面積下段長桿的兩端為固支桿的兩端為固支,求兩段的軸力。求兩段的軸力。111,EA 彈性模量截面積上段長12FC11AE

9、22AEBABR（2 2）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移（3 3）比較兩次計算的變形量，其值應該滿足）比較兩次計算的變形量，其值應該滿足變形相容條件，建立方程求解。變形相容條件，建立方程求解。0BCBAC111BACAE)R(F)AE(R222BCB)122211122211122211AEAEFAERAEAEFAERBA例例 20 圖示兩端固定直桿，已知：圖示兩端固定直桿，已知：F， l1，E1，A1，l2， E2， A2，求：，求：FA，F(xiàn)B。 解：為一次超靜定問題解

10、：為一次超靜定問題1靜力平衡方程靜力平衡方程2變形幾何方程變形幾何方程0 :0FFFFBAy21ll ( (1) )( (2) )3物理方程物理方程( (3) ) ,1111111N1AElFAElFlA2222222N2AElFAElFlBABlll12CFFAB1F2FAFN1FBFN22 2. 幾何分析法幾何分析法4聯(lián)立求解，得到聯(lián)立求解，得到討論：當討論：當E1=E2，A1=A2時時FllFlllFFllFlllFBA12112212 ,1222112111221 ,1lAElAEFFlAElAEFFBA解解: 畫畫A結(jié)點受力圖，建立平衡方程結(jié)點受力圖，建立平衡方程F未知力未知力2 2

11、個，平衡方程個，平衡方程1 1個，為一次超靜定。個，為一次超靜定。例例21 21 ，F(xiàn)1NF2NF3NF解超靜定問題的關(guān)鍵是找出求解所有未知解超靜定問題的關(guān)鍵是找出求解所有未知約束反力所缺少的補充方程。結(jié)構(gòu)變形后約束反力所缺少的補充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件足約束條件-即滿足即滿足變形相容條件變形相容條件。A123A,3,3311AEAE桿為在在F力作用下，力作用下，求各桿內(nèi)力。求各桿內(nèi)力。1、2桿抗拉剛度為桿抗拉剛度為x21:0NNxFFFyFFFFNNy31cos2:0A213213）代入物理關(guān)系，建立補充方程）代入物

12、理關(guān)系，建立補充方程21cos313333333311111111cosAEFAEFAEFAEFNNNNA32）如圖三桿鉸結(jié)，畫）如圖三桿鉸結(jié)，畫A節(jié)點位移圖節(jié)點位移圖,列出變形相容條件。要注意所設的列出變形相容條件。要注意所設的變形性質(zhì)必須和受力分析所中設定變形性質(zhì)必須和受力分析所中設定的力的性質(zhì)一致。由對稱性知的力的性質(zhì)一致。由對稱性知4）聯(lián)立、求解：）聯(lián)立、求解：33311321133!cos21coscos2AEAEFFAEAEFFNNcoscos:333111AELFAELFNN得得121）變形相容條件）變形相容條件： 例例22 22 圖示結(jié)構(gòu)，各桿圖示結(jié)構(gòu)，各桿EA不同列出求解該結(jié)

13、構(gòu)桿靜力平衡方不同列出求解該結(jié)構(gòu)桿靜力平衡方程和相容方程。程和相容方程。ABCDPL123解解：本題為一次超靜定本題為一次超靜定用幾何法分析變形用幾何法分析變形Acb設設A A點橫移（左、右任選）、點橫移（左、右任選）、設右移設右移23a圖中幾何關(guān)系：圖中幾何關(guān)系：AcAa+ac且：且： ac=2bctan2sinsin231l即：即：2）物理方程）物理方程3）平衡方程：）平衡方程：把物理方程代入變形把物理方程代入變形相容方程相容方程333332222211111,AELFAELFAELFNNN可求得用內(nèi)力表示的可求得用內(nèi)力表示的相容方程相容方程。須注意各桿內(nèi)力應與所設變形一致須注意各桿內(nèi)力應

14、與所設變形一致取節(jié)點取節(jié)點A研究研究：ABCDPL123Ab213a圖中圖中1 1，2 2桿伸長，對應為拉力，桿伸長，對應為拉力，3 3桿縮短，應對應為壓力。桿縮短，應對應為壓力。xyAPFN1FN2 FN30coscos:0sinsin:021331NNNxNNyFFFFPFFF例例2323(1)(1)建立坐標系建立坐標系DABC剛體xyz桌腿下部四個端點坐標是桌腿下部四個端點坐標是(2)(2)平衡方程平衡方程)., 2/,(), 2/,(), 2/,(), 2/,(4321haaDhaaChaaBhaaA(3)(3)變形相容方程變形相容方程-四點共平面四點共平面FFFFFFFFFCBABD

15、CA2210ACM0BDM0zFFFAFBFCFD 桌腿間距桌腿間距2a2aa a，高為，高為h h的長方桌，在對角線的的長方桌，在對角線的1/41/4處處受力受力F F作用作用( (如圖如圖),),求出桌腿所受的力。求出桌腿所受的力。展開后得幾何方程展開后得幾何方程1+ 3=2+ 40022012/12/12/12/4131214321aaaahaahaahaahaa(4) (4) 物理方程物理方程.;4321EAhFEAhFEAhFEAhFDCBA、式聯(lián)立求解：、式聯(lián)立求解：FA=FC=F/4, FB=0, FD=F/2例例24 24 剛性梁剛性梁AD由由1 1、2 2、3 3桿懸掛，已知

16、三桿材料相同，許用桿懸掛，已知三桿材料相同，許用應力為應力為 ，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為 E，桿長均為，桿長均為l，橫截面面積，橫截面面積均為均為A，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷 P 解：靜力平衡條件：解：靜力平衡條件：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：) 1 ( 3323N2N1NPFFFllll213123,代入物理方程：代入物理方程：AElFAElFAElFAElFNNNN13123,2 ) 2( 3,21312NNNNFFFFaallaall3213121NF3NF2NF將（將（2）代入（）代入（1）求出）求出FN1，并，并由（由（2）求出）求出FN2、FN3，根據(jù)所，根

17、據(jù)所求得三個軸力，最后由正應力求得三個軸力，最后由正應力強度條件確定許用荷載強度條件確定許用荷載P。此此項工作同學們自己完成。項工作同學們自己完成。四、四、 裝配應力和溫度應力裝配應力和溫度應力（1） 裝配應力裝配應力 超靜定桿系超靜定桿系(結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu))由由于存在于存在“多余多余”約束，約束，因此如果各桿件在制造因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組時長度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力內(nèi)力裝配內(nèi)力裝配內(nèi)力，以，以及相應的及相應的裝配應力裝配應力。 圖圖a中所示桿系中所示桿系( (E1A1=E2A2) )中桿中桿3的長度較的長度較應有長度短了應有長度短了 e，裝配后各

18、桿的位置將如圖中虛，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時，桿線所示。此時，桿3在結(jié)點在結(jié)點 A 處受到裝配力處受到裝配力FN3作用作用( (圖圖b) )，而桿，而桿1, ,2在匯交點在匯交點A 處共同承受與處共同承受與桿桿3相同的裝配力相同的裝配力FN3作用作用( (圖圖b) )。(a)求算求算FN3需利用位移需利用位移( (變形變形) )相容相容條件條件( (圖圖a) )列出補充方程列出補充方程由此可得裝配力由此可得裝配力FN3，亦即桿，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為中的裝配內(nèi)力為eAAAA eAElFAElF 21113N333N3cos2 21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力

19、）拉力）(a) 至于各桿橫截面上的裝配應力只需將裝配內(nèi)至于各桿橫截面上的裝配應力只需將裝配內(nèi)力力( (軸力軸力) )除以桿的橫截面面積即得。除以桿的橫截面面積即得。 由此可見，計算超靜定桿系由此可見，計算超靜定桿系( (結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)) )中的裝配中的裝配力和裝配應力的關(guān)鍵力和裝配應力的關(guān)鍵, ,仍在于根據(jù)位移仍在于根據(jù)位移( (變形變形) )相容相容條件并利用物理關(guān)系列出補充方程。條件并利用物理關(guān)系列出補充方程。而桿而桿1和桿和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為中右側(cè)的圖可知為 壓壓力力 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF 兩根相同的鋼桿

20、兩根相同的鋼桿1、 2，其其長度長度l =200 mm，直徑，直徑d =10 mm。兩端用剛性塊連接在一。兩端用剛性塊連接在一起如圖起如圖a所示。將長度為所示。將長度為200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的銅桿的銅桿3（圖圖b）裝配在與桿裝配在與桿1和桿和桿2對對稱的位置稱的位置( (圖圖c) )，求各桿橫截面，求各桿橫截面上的應力。已知：銅桿上的應力。已知：銅桿3的橫的橫截面為截面為20 mm30 mm的矩形，的矩形，鋼的彈性模量鋼的彈性模量E=210 GPa，銅，銅的彈性模量的彈性模量E3=100 GPa。例例 251. 裝配后有三個未知的裝配內(nèi)力裝配后有三個未知的裝配內(nèi)力F

21、N1, FN2 , FN3，如，如圖圖d所示。但平行力系只有二個獨立的平衡方程，所示。但平行力系只有二個獨立的平衡方程，故為一次靜不定問題。也許有人認為，根據(jù)對稱關(guān)故為一次靜不定問題。也許有人認為，根據(jù)對稱關(guān)系可判明系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個，但要注，故未知內(nèi)力只有二個，但要注意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以這仍然是一次靜不定問題。所以這仍然是一次靜不定問題。例例 25解：解：2. 變形相容條件變形相容條件( (圖圖c) )為為這里的這里的 l3是指桿是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負號。在裝

22、配后的縮短值，不帶負號。)2(31ell 例例 253. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得補充方程式得補充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例例 254. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)和和(3)式得式得 所得結(jié)果為正，所得結(jié)果為正，說明原先假定桿說明原先假定桿1、2的裝配內(nèi)力為拉力和的裝配內(nèi)力為拉力和桿桿3的裝配內(nèi)力為壓的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。力是正確的。 EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例例 255. 各桿橫截面上的裝配應力如下：各桿橫截面上的裝配應力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉應力）（拉應力）（壓

23、應力）（壓應力）例例 25求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問題，其關(guān)鍵仍是求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問題，其關(guān)鍵仍是根據(jù)相容條件建立變形幾何方程。根據(jù)相容條件建立變形幾何方程。以上計算結(jié)果表明，很小的制造誤差，卻產(chǎn)生以上計算結(jié)果表明，很小的制造誤差，卻產(chǎn)生較大的裝配應力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。較大的裝配應力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應力的因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應力的不利影響。不利影響。例例 25（2） 溫度應力溫度應力 也是由于超靜定桿系存在也是由于超靜定桿系存在“多余多余”約束，桿約束，桿件會因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度件會因溫度變化產(chǎn)生的

24、變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫內(nèi)力及溫度應力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產(chǎn)生度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產(chǎn)生相當可觀的溫度應力。相當可觀的溫度應力。線膨脹系數(shù)：溫度每變化線膨脹系數(shù)：溫度每變化1度，材料長度變化的百分率，單度，材料長度變化的百分率，單位位1/開開,即即1/(。C)。桿原長。桿原長。溫度變化，溫度變化，線膨脹系數(shù)，線膨脹系數(shù)，式中：式中：溫度變化桿的變形：溫度變化桿的變形：-l-t-tllllt 兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖a所示。所示。試求當溫度升高試求當溫度升

25、高 t 時橫截面上的溫度應力。桿的時橫截面上的溫度應力。桿的橫截面面積為橫截面面積為A，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為E，線膨脹系，線膨脹系數(shù)為數(shù)為 l。例例 261. 若若AB桿僅桿僅A端固定，端固定，B端無約束，當溫度升高端無約束，當溫度升高時，只會產(chǎn)生縱向伸長時，只會產(chǎn)生縱向伸長 lt，而不會產(chǎn)生內(nèi)力。當，而不會產(chǎn)生內(nèi)力。當A、B均為固定端時，均為固定端時， lt受到約束不能自由伸長，受到約束不能自由伸長，桿端產(chǎn)生約束力桿端產(chǎn)生約束力FA和和FB。兩個未知力，一個平衡。兩個未知力，一個平衡方程，為一次靜不定問題。方程，為一次靜不定問題。(b)例例 26解：解： 2. 以剛性支撐以剛性

26、支撐B為為“多余多余”約束，約束，F(xiàn)B為多余約為多余約束未知力，設基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸束未知力，設基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長變形長變形 lt，由，由“多余多余”未知力未知力FB產(chǎn)生的縮短變產(chǎn)生的縮短變形形 lF分別如圖分別如圖c、d所示。所示。(c)(d)例例 263. 變形相容條件是桿的總長度保持不變，即變形相容條件是桿的總長度保持不變，即(1)0 Ftll(c)(d)例例 264. 將將(2)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN, (2)0N EAlFltl 補充方程為補充方程為(3)(c)(d)例例 265. 由由(3)式解得式解得tEAFlN (c)(d)例例 266. 桿的橫截面上的溫度應力為桿的橫截面上的溫度應力為tEAFlN (c)(d)例例 26說明：原先認為桿受軸向壓力是對的，該桿的溫度說明：原先認為桿受軸向壓力是對的，該桿的溫度應力為壓應力。應力為壓應力。 若該桿為鋼桿。若該桿為鋼桿。 l =1.210- -5/( (C)，E=210 109Pa，則當溫度升高則當溫度升