大氣運動的穩(wěn)定性理論

1、Chp12 大氣運動的穩(wěn)定性理論大氣運動的穩(wěn)定性理論212.1 流體力學穩(wěn)定性概念流體力學穩(wěn)定性概念 現(xiàn)實世界中，任何系統(tǒng)總會受各種擾動影響原有運動狀態(tài) 若離開平衡位置后仍可回到平衡位置，則稱平衡態(tài)是穩(wěn)定的。平衡態(tài)是穩(wěn)定的。反之，若離開平衡位置后趨向于達到新位置，則稱平衡態(tài)是不穩(wěn)定的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的。舉例：（1）單擺（2）水中木塊地球大氣大尺度運動的基本狀態(tài)：軸對稱的緯向流，而徑向環(huán)流可視為追 加其上的擾動，且是小擾動（相對于基本流）， 故可對方程組線性化可設波形解 進而獲得波動不穩(wěn)定判據(jù)：波振幅是否會隨t增加？我們已知，對于一個波動，可描述為：)()(tkxictxikAeAef（12.1）

2、且過去過去認為：A常數(shù)，且相速c（或圓頻率 ）為實數(shù)。又稱平衡態(tài)3但實際上請注意：c 或 可以為復數(shù)可以為復數(shù)波動振幅可變波動振幅可變！為什么？過去學過，純重力內(nèi)波的相速度（p.208，9.132式）：)()(23222kmikmkNkKKcdzdgNln而：當層結不穩(wěn)定時，0lndzd，則N為虛數(shù)為虛數(shù)！現(xiàn)回到(12.1)的簡單情形：對于(12.1)，設iriccc，則有：)()(tcxiktkcticcxikriireAeAef（12.2）為實數(shù)，注意irccpartimaginarypartreal,)()(tkxictxikAeAef可變振幅4是穩(wěn)定的波。變化，稱中性波動，也時，波幅不

3、隨或的穩(wěn)定不穩(wěn)定稱波動是衰減發(fā)展，波動將衰減增長將指數(shù)則波幅隨或tctciiii0;, 0定義：若特別，氣象上還規(guī)定i不穩(wěn)定增長率不穩(wěn)定增長率。 總而言之，確定c或 的表達式中出現(xiàn)虛部的條件，就是尋求波動 不穩(wěn)定判據(jù)的過程。uu 注意：基本氣流 常數(shù)時，波常為穩(wěn)定的，故要討論不穩(wěn)定性，須設有南北切變 )0(yu)0(zu正壓穩(wěn)定度正壓穩(wěn)定度，或垂直切變斜壓穩(wěn)定度斜壓穩(wěn)定度；一般斜壓問題。和而同時考慮00yuzu512.2 慣性不穩(wěn)定慣性不穩(wěn)定回憶：靜力平衡大氣中氣塊法判別層結穩(wěn)定度公式：垂直方向上！穩(wěn)定中性不穩(wěn)定表示,)(dddzTgdtdw 慣性穩(wěn)定度與之類似，只是在水平方向?？紤]地轉(zhuǎn)平衡下

4、對水平擾動的抑制情況。重要前提：)(yuu )(y如圖：為簡單起見，設環(huán)境重力位勢只有南北分布：，且此環(huán)境大 氣的基本狀態(tài)滿足地轉(zhuǎn)平衡關系：yfuug1假定氣塊水平運動不改變重力位勢場的分布，即氣塊本身具有的重力位勢與環(huán)境位勢gfuyyxx; 0的分布一致：實為正壓不穩(wěn)定D000y20yy0yy20Gguu oC氣塊6則由p坐標下的水平運動方程組（4.26）：)2()() 1 (uufdtdvfvdtdufuydtdvfvxdtdug（12.3）guyyy0現(xiàn)關心（2）中， 及u在流點離開初位置遠處，即處各自如何表達？0yy )()(00yuyug設氣塊初始位置為，其緯向速度自然與所在處西風一

5、致：氣塊氣塊穿越氣流移動y距離后，有：ydyduyuyyu)()(00（3）但請注意：fdyduvdydudtdydydudtdu（4）gufyx0種非地轉(zhuǎn)不穩(wěn)定慣性不穩(wěn)定實質(zhì)上是一?7將（4）代入到（3），即有yfyuyfyuyyug)()()(000（12.8）另一方面，要討論正壓不穩(wěn)定性，就要考慮環(huán)境氣流環(huán)境氣流u有y方向水平切變，則：yyuyuyyuggg)()(00（12.9）將（12.8）（12.9）代入（2），便得到：)()(00yfyuyyuyufdtdvggg，即：（12.10）這就表明：在地轉(zhuǎn)平衡大氣中，受擾而南北移動的氣塊在離開其原位置后，是受抑制而返回（恢復）到原位置，

6、還是繼續(xù)加速前進，將取決于（）內(nèi)的正負情況。()gudvffydty 80fdtdv)(yufg在北半球，則與反號，故慣性穩(wěn)定的判據(jù)為：注意，對水平運動，垂直渦度重要：yuxv，即：yufggf環(huán)境基本氣流的絕對渦度環(huán)境基本氣流的絕對渦度，故判據(jù)可改寫為：（12.11）0yu最后提一下，在（12.11）中，若不考慮基本流的水平切變也就無后面的判據(jù)討論可言，基本氣流也就始終處于穩(wěn)定狀態(tài)，在 yu特別大的地方（如急流右側），可以出現(xiàn)慣性不穩(wěn)定。 ()0,gufy穩(wěn)定中性不穩(wěn)定-（12.11）0gf穩(wěn)定，中性不穩(wěn)定912.3.1基本模型其實，K-H波是重力內(nèi)波得簡化形式，如圖的上油下水，運動限制于（

7、x,z）與y無關，不計地球自轉(zhuǎn)作用則只有x,z向運動方程（慣、氣）及連用下標j=1,2分別表示下、上二層流體，平面無柯氏力項，也不計摩擦力作用，由小擾動方法，設：)2 , 1( , , jpppwwuuujjjjjjjj而基本量在z方向上滿足靜力平衡關系：)2 , 1( jgzpjj（12.12）故有線性化后的微擾方程組為：xPPu )xut(jjjj1zPPuxutjjjj1)(0)(zwxujj（1）（2）（3）(x運動方程)（Z運動方程）（二維連續(xù)方程）12.3開爾文赫姆霍茨（K-H）不穩(wěn)定10jwxz)2() 1 (jP嘗試消元，得一個未知量（例如）一個方程，消去，得：0)(xwzux

8、utjjj，再對 z求導一次，得0)(22xwxzuxutjjjjw，故得關于的方向為：22) 3(zwzj（12.14）無窮運處及界面上的邊條件分別為：,1wz,2wz有界，有界-（12.15）2222()()0(1,2)jjuwjtxxz11dtdpdtdphz21,（界面上壓力連續(xù)）全導數(shù)展開并引入小擾動方法合并，得：0)() )( ,2121zppwppxuthzjj，進一步，用靜力平衡關系（12.12）， 改為：（12.17）（12.14）、（12.15）及（12.17）改成定解問題，是下面穩(wěn)定性討論的基礎。1212,()( )() 0jjz huppgwtx1212.3.2相速度及

9、波動不穩(wěn)定判據(jù)相速度及波動不穩(wěn)定判據(jù)對方程（12.14），設有波形解) 2 , 1()()(jezWwctxikjj（12.18）代入（12.14）得0222jjwkdzwd二階常系數(shù)齊次線性常微方程（12.19）若用r表特征值則特征方程為：krkr2 , 1220二不等實根，故通解為：BABeAeBeAewkzkzzrzrj,21積分常數(shù)。利用邊條件（12.15）知：z1wkzAewB10時，有界：z2wkzBewA20時，有界： （12.20）13jwjujp代回到（12.18）即有的完整表達，由此也可得、這就是p.364得（12.21）、（12.22）式，一個表下層，一個表上層，兩層之間

10、是銜接的，具體為應滿足界面動力學條件（12.17）：21、22代入17式，得：的完整表達，（12.23）關于A、B的齊次線性二聯(lián)代數(shù)方程組。其有非零解的條件為系數(shù)行列式為零：（12.24）由此可得頻率方程（12.25），進而解得K-H波的相速度表達式：221221212121212211)()()()(uukguuc（12.26）14顯然，若根式中出現(xiàn)負結果相速c將為復數(shù)波動不穩(wěn)定，故K-H不穩(wěn)定的判據(jù)為：0)()()()(221221212121uukg （12.27）21uu 21當，且(下輕上重) 波不穩(wěn)定2121uu 當而（無上下密度之分，稱純風速切變波）實際上，風速切變總是起不穩(wěn)定作

11、用波動不穩(wěn)定21221221212121)()()()(uukg當（上輕下重，利于穩(wěn)定）時，只有才不穩(wěn) 定，由此解不等式，可定義一個臨界波數(shù)221212121)()(uugkcckk ，當時波動不穩(wěn)定ck15Lk2ccLLguuL,)()(2212122121由于，也可定義臨界波長不穩(wěn)定。RTp2211,RTPRTP21pp 當然，由狀態(tài)方程有（界面上，合為p）。故也可用溫度表出ccLLTTTTuuTTgL,)()(2121222121波不穩(wěn)定1612.4正壓不穩(wěn)定正壓不穩(wěn)定對于正壓大氣正壓大氣，力管項為零，則鉛直渦度方程變?yōu)檎龎簻u度方程（4.37）。進一步，對天氣尺度，作為一級近似，渦度方程

12、為)()(yvxufdtfdn我們又知道，大尺度運動是準水平無輻散準水平無輻散的，故有正壓渦度方程0)(0)(fVtdtfdh要討論正壓不穩(wěn)定，就要設基本西風氣流有水平切變：)(yuu 則要考慮（x,y）平面，用微擾法，設, )(vvuyuu（12.32）則dyud （12.33）yuxvdyudyuxv,（P125）-（12.31）17將（12.32）(12.33)代入(12.31)，可得線性化后的擾動正壓渦度方程：0)( dydvxut（1）回憶：無旋則有勢，平面不可壓則有流函數(shù)，現(xiàn)是水平無輻散，故有流函數(shù)：,xvyu故（1）又可用一個未知函數(shù)表出： （2）方向梯度的稱為基本氣流絕對渦度y

13、fdyddyudfdyddyud)()()(22對線性方程（2），還須給出相應的邊條件，設氣流限制于如圖的2d范圍內(nèi)，故有側邊界條件：0)()( dyxdyv（3）2222()0d uutxxdy18這樣，（2）、(3)構成關于的定解問題。設（2）有波形解，)()(ctxikey（4）將(4)代入（2）、（3），得出關于振幅)(y的本征值問題：0)()(22222dyudkdydcu（5）0)(d（6）正壓不穩(wěn)定必要條件，如果Rossby波不穩(wěn)定（0, 0iic）應出何結果？對于（5），兩端除以)(cu ，變形為：0)(22222cudyudkdyd（12.40 ）19顯然，如果擾動不穩(wěn)定，則

14、可設iririiccc,（12.41）并可引入記號： iriririririricucicucuiccuiccuiccuiccucu22)()()(11對于上節(jié)獲得的正壓Rossby波振幅應滿足的方程：0)(22222cudyudkdyd（12.40）那么，（12.41）代入（12.40），就有：用復數(shù)表示出將c模的平方）數(shù)，將分母化為實數(shù)（共軛復分子分母同乘以分母的實虛部分開xiycuiccu rcrcu 222irccucu20實部：0)()(2222222iirrrdyuddyudkdyd（7） （12.44）0)()(2222222riiridyuddyudkdyd（8）可得：,)8(

15、)7(ri 考慮上式中虛線部分，可以消去，從而簡化問題：0)()(22222222riiirridyuddyddyd虛部:部分別為零復數(shù)為零，須其實、虛0)()()()(222222 iiriirrririruuiuiuikkdydidyd展開時此項不打開更好0)()(2222222iriririidyudkdydidyd，展開為：iyxriO2復振幅的模寫成可積形式？21我們已設擾動是不穩(wěn)定的，故改寫為：0)(222iirridyuddyddyddyd對y從-d積分到d，并利用側邊條件0)(dy則上式左邊第一項0，則有：ddidycudyudc0)(2222（9）0ic，上式要成立只有積分本

16、身=0。0, 022cu要改變符號，中，只有在區(qū)間22yud但，故上式成立，亦即在 （d，d）內(nèi)至少存在著一點kyy ，在該點有0)(0)(0)(22kkkyyayyyyyyufydyudu y2cucii（12.29）22關于正壓不穩(wěn)定，再補一點內(nèi)容：在流體力學中，不計作用，則上述正壓不穩(wěn)定條件（12.29）簡化為：0)(22kyydyud （12.30）這個條件首先由Rayleigh提出，故稱為Rayleigh不穩(wěn)定條件不穩(wěn)定條件。ufyua表明：只有基本氣流的絕對渦度的南北變化yaa在(-d,d)中改變符號，或者說在(-d,d)中存在才有可能才有可能出現(xiàn)Rossby波的正壓不穩(wěn)定（郭曉嵐

17、定理郭曉嵐定理）。的極值點，又稱正壓不穩(wěn)定之第一必要條件正壓不穩(wěn)定之第一必要條件。 這就是正壓不穩(wěn)定的必要條件正壓不穩(wěn)定的必要條件。負或由負變正的極值。絕對渦度要達到由正變本氣流的是：在某一緯度上，基波不穩(wěn)定。其判別條件下的情況本氣流有南北水平切變正壓無輻散大氣中，基正壓不穩(wěn)定Rossby23u)(yuu u0icu可見，無論是正壓不穩(wěn)定第一必要條件，還是Rayleigh不穩(wěn)定，基流存在水平切變（）是必不可少的條件。若基流積分不為零，則(9)要成立，只有，故一旦取為常數(shù)，則擾動一取常數(shù)，則(9)定是正壓穩(wěn)定的?；仡^再看一次（12.21）：0222 cuukdyd，iii*的共軛量用復振幅乘以上

18、式并對y從-d積分到+d： dddycuukdyd0*)(*222 （10）注意到：dyddyddyddyddyd*,*222故（10）可寫為：0)(2222 dycuukdyddd（11）24其中)(22iridyudcuu ，故（11）分離實虛部，有：實部：實部： ddddrdycucuudykdyd22222)(（12） ddidyccuu022虛部：虛部：這就是前面的（9）！從實部方程（12）知：左端正值，故（12）成立之必要條件是右端為正。u)(22dyud與 dy 在區(qū)間內(nèi)滿足正相關稱正壓大氣的Fjortoft（費爾托夫）定理（費爾托夫）定理， 又稱正壓不穩(wěn)定需滿足的第二必要條件第

19、二必要條件。 ddddrddddrdyucuudycuucdyucuudycucuu22222222)(右端此項為零。）知：對正壓不穩(wěn)定，由（92512.5 斜壓不穩(wěn)定斜壓不穩(wěn)定 1. 基本方程組和邊條件基本方程組和邊條件中高緯大型天氣系統(tǒng)的發(fā)展，往往是和大氣的斜壓性密切相關的。斜壓的具體表現(xiàn)，就是基本氣流的西風分量隨高度增加的（熱成風關系），為簡單起見， u)(puu 設只是高度p的函數(shù)，若絕熱無摩擦，則有p坐標下運動方程組：00) 1 .12(pcpTyTvxTutTpyvxupfuypvyvvxvutvfvxpuyuvxuutu（靜） （x運） (y運) （連） （熱）波的不穩(wěn)定斜壓Ro

20、ssby26將（靜）pRTp代入（熱），有0)()()(pTcpRpTpRpyvpxupt，亦即：0)11()()()(cpRppTTPRTpyvpxupt故靜、熱可合并為：0)()()(spyvpxupt -（12.34-2）對，采用微擾法：設, , , )(uvvupu則有線性化后擾動量方程組為：)(fvxpuuxut（1）fuyvxut（2） -（12.2）Rpyxtppp號外，兩端再除以提出是常數(shù)，故可以面上坐標系下，等,p位溫定義）(lnp0pyvxu（3）0)()(spyvpxut（4）而36. 4(lnps27 下面，先設法將（1）、（2）、（3）合并為一式：（1）、（2）化為渦

21、度方程：yx) 1 ()2(（注：為簡化其中又擾動與y無關?。簓vfvpuyxufyuxvxut)(00注意，此式不顯含總之，可化為以下二式：0)(0vpfxvxut0)(0svpufpxut-（12.3）純斜壓平面近似）知，實為散度由（3聯(lián)系起來與滿足準地轉(zhuǎn)關系，不過，若設個未知量個方程，vv,3228002022sxpupxutxpfxxut0, 000ppp為零：設上下邊界的二聯(lián)閉合方程組：，則有關于），代入（應用準地轉(zhuǎn)假定3 .12,10 xfv（12.34）（渦度方程）（熱力學方程）這就是我們討論的Rossby波斜壓不穩(wěn)定的基本方程組波斜壓不穩(wěn)定的基本方程組邊界條件：號甚至可以省寫

22、擾動量撇也可以引入地轉(zhuǎn)流函數(shù)0f292. 方程組的求解：方程組的求解：（兩層模式下的Rossby波斜壓不穩(wěn)定討論方程組）23113132122032323220121212)(2)(2(2)(2)(pxuuxuutpfxxxutpfxxxuts-(12.40)則有：再取算術平均近似：的微商用差商代替，如對層（下層）（上層）、方程寫在散度渦度等分兩層模式：大氣分為斜壓312312202121,21231:4uuupppp041層上23層下渦度方程絕熱方程hPap2000hPap10004p00渦度方程30)(2)(3)(1ctxikctxikctxikEeBeAe設（12.40）有波形解：代之入

23、（12.40）得關于A、B、E的齊次線性代數(shù)方程組有非零解之充要條件,是系數(shù)行列式0 得頻率方程，解之，有： 波動相速度為（12.44） 其中，為書寫簡潔，已引入以下4個符號：2,)2(/312202uuUpfms平均緯向風速231uuUT（12.45） 風速的垂直切變（大氣斜壓性）1222222()(2)mkcUkk（12.41）22224422222(2)(2)(2)TUkkkk )(a)(b為負數(shù)要出現(xiàn)虛部，只有c31若令0TU（正壓大氣），則由（12.44） ，（12.45） 知2222222222222)2()2()(kUkUkkkkkUcmmm以上二情況，c都不可能是復數(shù)，可見：只

24、有 0TU才可出現(xiàn)斜壓不穩(wěn)定。3、斜壓不穩(wěn)定條件斜壓不穩(wěn)定條件（必要條件與充分條件）（必要條件與充分條件） 由（12.45） 知，根號內(nèi)的（a）為正，（b）可正可負，要出現(xiàn)不穩(wěn)定, 0ic必須為負，要求0222 k,22Lk不穩(wěn)定之必要條件不穩(wěn)定之必要條件即不穩(wěn)定必要條件： kmL370022cL（臨界波長）正壓大氣水平有輻散Rossby波速正壓大氣水平無輻散Rossby波速22224422 222(2)(2)(2)TUkk kk )(a)(b32cLL cLL 0只有的波才有可能出現(xiàn)才有可能出現(xiàn)斜壓不穩(wěn)定，反之，當然，進一步才會出現(xiàn)波的不穩(wěn)定，故有不穩(wěn)定之充分條件不穩(wěn)定之充分條件：波一定是穩(wěn)

25、定的。0)2()2()2(22222222442kkUkkT，解不等式，有穩(wěn)定不穩(wěn)定波動,44422TcTTcTUUUkkU0TU 令根號內(nèi)的值，可得隨L變化之圖像和穩(wěn)定與不穩(wěn)定之界限：TcTUU時，各種波長的擾動均為穩(wěn)定；cLL TU時，不論多大，擾動亦均為穩(wěn)定；TU越大，不穩(wěn)定波的波長范圍越寬；L足夠大時，必須TU也很大，才能不穩(wěn)定。TULTcUcL，穩(wěn)定0，不穩(wěn)定003312.6 中尺度對稱不穩(wěn)定中尺度對稱不穩(wěn)定12.6.1 基本概念基本概念現(xiàn)考慮基流為一般斜壓緯向氣流( , ) ,gguuy z而緯向（即x方向）運動方程為: 1uuupuvfvttyx （1） 實為慣性力、柯氏力和氣壓梯度力三力平衡，各量用特征尺度和無量綱積的形式表示，有：2*11)UPpVufUvLtLx （2） 若兩端乘以L，則各項量綱應為單位質(zhì)量空氣的動能動能：*1)PpUVufLUvtx （3） 若兩端再除以U，則各項應為單位質(zhì)量空氣的動量動量：*1)PpUVufLvtUx （4） f不是大氣長波的不穩(wěn)定性，而是中尺度氣塊的不穩(wěn)定，故視為常數(shù)34gugMufy（4）表明，緯向基流的相對動量為，因地球自轉(zhuǎn)f而引起的牽連動量為-fy， 緯向基流的絕對動量緯向基流的絕對動量。故可認為： 已學習過，用氣塊法討論層結對流穩(wěn)定性（z方向）和慣性穩(wěn)定性（水平y(tǒng) 方向），且有如下之判據(jù)式：對流穩(wěn)定性對流穩(wěn)定性: