第二章誤差與不確定度

1、第二章第二章 誤差與不確定度誤差與不確定度 本章要點(diǎn)：本章要點(diǎn)： u誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 u隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的特性和處理方法隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的特性和處理方法 u測(cè)量不確定度的概念和評(píng)定方法測(cè)量不確定度的概念和評(píng)定方法 u 測(cè)量數(shù)據(jù)處理的方法測(cè)量數(shù)據(jù)處理的方法 本章是測(cè)量技術(shù)中的基本理論。本章是測(cè)量技術(shù)中的基本理論。 2.1 2.1 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 誤差誤差= =測(cè)量值測(cè)量值- -真值真值 例如，在電壓測(cè)量中，真實(shí)電壓例如，在電壓測(cè)量中，真實(shí)電壓5V5V，測(cè)得的電壓為，測(cè)得的電壓為5.3V5.3V，則，則 誤差誤差= 5.3V

2、 - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 真值真值為為“表征某量在所處的條件下完善地確定的量值表征某量在所處的條件下完善地確定的量值”。真值真值是一個(gè)理想的概念。真值客觀存在，卻難以獲得。是一個(gè)理想的概念。真值客觀存在，卻難以獲得。 2.1.1 2.1.1 測(cè)量誤差測(cè)量誤差 例如：現(xiàn)在是什么時(shí)間？例如：現(xiàn)在是什么時(shí)間？ 能準(zhǔn)確地報(bào)出北京時(shí)間嗎？能準(zhǔn)確地報(bào)出北京時(shí)間嗎？1.誤差的概念誤差的概念和在和在JJF1001-2011JJF1001-2011通用計(jì)量學(xué)術(shù)及定義通用計(jì)量學(xué)術(shù)及定義技術(shù)規(guī)范技術(shù)規(guī)范中，將中，將“測(cè)量誤差測(cè)量誤差”定義為：定義為：在在國(guó)際計(jì)量學(xué)詞匯國(guó)際計(jì)

3、量學(xué)詞匯-通用基本概念及相通用基本概念及相關(guān)術(shù)語(yǔ)關(guān)術(shù)語(yǔ)（VIMVIM）20062006第第3 3版中：版中：測(cè)量誤差測(cè)量誤差=測(cè)得量值測(cè)得量值- -參考量值參考量值巧妙地采用巧妙地采用“參考量值參考量值”這個(gè)詞，準(zhǔn)確這個(gè)詞，準(zhǔn)確合理地?cái)[脫合理地?cái)[脫“真值真值”的困惑！的困惑！實(shí)際上對(duì)實(shí)際上對(duì)“參考量值參考量值”的應(yīng)用通常是用以下三種辦法的應(yīng)用通常是用以下三種辦法 “參考量值參考量值”可由理論（或定義）給出可由理論（或定義）給出例例1 1：三角形內(nèi)角和為三角形內(nèi)角和為180180度度 由國(guó)際計(jì)量統(tǒng)一定義給出（例如秒的定義為銫原由國(guó)際計(jì)量統(tǒng)一定義給出（例如秒的定義為銫原子能級(jí)躍遷子能級(jí)躍遷9192

4、6317709192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1 1秒）。秒）。 1s=91926317701s=9192631770周期周期=31+121+121+29+29+=181用量角器分別量得三內(nèi)角為：用量角器分別量得三內(nèi)角為：+ +誤差誤差=181-180=1=181-180=1例例2 2：秒的定義秒的定義 用用“約定真值約定真值” 作為作為“參考量值參考量值” 用用“不確定度不確定度” 評(píng)定測(cè)量結(jié)果評(píng)定測(cè)量結(jié)果實(shí)際測(cè)量中常把高一等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的實(shí)際實(shí)際測(cè)量中常把高一等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的實(shí)際值作為真值使用。值作為真值使用?！皩?shí)際值實(shí)際值”“”“約定真值約定真值”。 在本章

5、第在本章第2 2、3 3 、 4 4 、 5 5節(jié)中討論誤差時(shí)是節(jié)中討論誤差時(shí)是基于基于“約定真值約定真值”己知的條件下進(jìn)行的。己知的條件下進(jìn)行的。 在本章第在本章第6 6節(jié)中詳細(xì)討論。逆向思維，回避真值，節(jié)中詳細(xì)討論。逆向思維，回避真值，研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長(zhǎng)度，不研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長(zhǎng)度，不能確定的范圍在毫米量級(jí)，而用游標(biāo)卡尺測(cè)量，能確定的范圍在毫米量級(jí)，而用游標(biāo)卡尺測(cè)量，不能確定的范圍在微米量級(jí)。不能確定的范圍在微米量級(jí)。2.2.基本術(shù)語(yǔ)基本術(shù)語(yǔ)測(cè)量?jī)x器的測(cè)量?jī)x器的示值示值-測(cè)量?jī)x器所給出的量的值。測(cè)量?jī)x器所給出的量的值。 也稱測(cè)量值、測(cè)得值。也稱測(cè)量值、測(cè)得

6、值。盡量不要用具體數(shù)量來說準(zhǔn)確度。例如：準(zhǔn)確度盡量不要用具體數(shù)量來說準(zhǔn)確度。例如：準(zhǔn)確度10 mV10 mV只能用某一等級(jí)或范圍來描述，例如：某電流表為只能用某一等級(jí)或范圍來描述，例如：某電流表為1 1級(jí)表級(jí)表（準(zhǔn)確度（準(zhǔn)確度1%x x , x , 故常用故常用x x方便方便測(cè)量值相對(duì)誤差測(cè)量值相對(duì)誤差 x x與滿度相對(duì)誤差與滿度相對(duì)誤差S%S%的關(guān)系：的關(guān)系： xxxxxxx xxxxm mm mm mx xm mm m= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = S S% %xxm mx x= =S S% %測(cè)量值測(cè)量值x x靠近滿

7、量程值靠近滿量程值x xmm相對(duì)誤差小相對(duì)誤差小電工儀表將滿度相對(duì)誤差分為七個(gè)等級(jí)：電工儀表將滿度相對(duì)誤差分為七個(gè)等級(jí)： 等級(jí)等級(jí)0.10.10.20.20.50.51.01.01.51.52.52.55.05.0S%S%0.1%0.1%0.2%0.2%0.5%0.5%1.0%1.0%1.5%1.5%2.5%2.5%5.0%5.0%例：檢定量程為例：檢定量程為1000A1000A的的0.20.2級(jí)電流表，在級(jí)電流表，在500A500A刻度刻度上標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)為上標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)為499A499A，問此電流表是否合格？，問此電流表是否合格？ 解：解： x x0 0=499A =499A x x=500A

8、=500A x xmm=1000A=1000A%2 . 0%1 . 0%1001000499500%1000mmxxx故在此刻度處合格故在此刻度處合格2.1.3 2.1.3 誤差按性質(zhì)分類誤差按性質(zhì)分類隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 粗大誤差粗大誤差 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差-不可預(yù)定方式變化的誤差（同不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量隨機(jī)變量）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差-按一定規(guī)律變化的誤差按一定規(guī)律變化的誤差粗大誤差粗大誤差-顯著偏離實(shí)際值的誤差顯著偏離實(shí)際值的誤差在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義（JF1001-1998）中，系統(tǒng)誤差定義為：）中，系統(tǒng)誤差定義為：

9、“在重復(fù)性條在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量無限多次測(cè)量所得的結(jié)果件下，對(duì)同一被測(cè)量無限多次測(cè)量所得的結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差的平均值與被測(cè)量的真值之差?！庇糜帽硎鞠到y(tǒng)誤表示系統(tǒng)誤差，即差，即 1. 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差0Ax （2.112.11）1211()nniix xxxxnnn （2.122.12） 為無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值（概率論中的數(shù)學(xué)期為無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值（概率論中的數(shù)學(xué)期望），這里簡(jiǎn)稱為望），這里簡(jiǎn)稱為總體均值總體均值。 x在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義（JG10011998）中，隨機(jī)誤差定義為：）中，隨機(jī)誤差定義為：“測(cè)量結(jié)果與

10、測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差所得結(jié)果的平均值之差?！庇糜帽硎倦S機(jī)誤差，即表示隨機(jī)誤差，即 2. 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差xxii隨機(jī)誤差定義表示：在重復(fù)性條件下（指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量隨機(jī)誤差定義表示：在重復(fù)性條件下（指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器相同的條件下），每次測(cè)量誤差人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器相同的條件下），每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的誤差，簡(jiǎn)稱隨差。的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的誤差，簡(jiǎn)稱隨差。（2.132.13）3. 粗大誤差粗大誤差在一定條件下，在一定條件下，測(cè)量值顯

11、著偏離其真值（或約定測(cè)量值顯著偏離其真值（或約定真值）所對(duì)應(yīng)的誤差，稱為粗大誤差真值）所對(duì)應(yīng)的誤差，稱為粗大誤差。 粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是 讀數(shù)錯(cuò)誤讀數(shù)錯(cuò)誤 測(cè)量方法不對(duì)測(cè)量方法不對(duì) 瞬間干擾瞬間干擾 儀器工作不正常等。儀器工作不正常等。對(duì)粗大誤差的處理通常是對(duì)粗大誤差的處理通常是按一定的法則進(jìn)行剔除。按一定的法則進(jìn)行剔除。 4. 4. 三種誤差的關(guān)系三種誤差的關(guān)系 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 小，準(zhǔn)確度高小，準(zhǔn)確度高 A A或或A AX Xi iX Xi i隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 小小 ，精密度高，精密度高 A AA A或或X Xi i系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都較小，稱精確度高系統(tǒng)誤差和

12、隨機(jī)誤差都較小，稱精確度高 A A或或X Xi iX Xi i x= x= + + + ( + (粗大誤差粗大誤差) )首先剔除去首先剔除去定性的概念：定性的概念：定量的概念：定量的概念： 000iiiixxAxxxAxxxA 上式表示誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)系。圖上式表示誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)系。圖2.2給給出了這些誤差之間關(guān)系的示意圖。出了這些誤差之間關(guān)系的示意圖。由（由（2.1）式誤差的定義：）式誤差的定義：定量的概念：定量的概念：2.2 2.2 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 2.2.1 2.2.1 定義與性質(zhì)定義與性質(zhì) 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差定義定義：在等精度測(cè)量下，誤差的絕對(duì)值在

13、等精度測(cè)量下，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都是不定值，稱為隨機(jī)誤差，也稱偶然誤差、和符號(hào)都是不定值，稱為隨機(jī)誤差，也稱偶然誤差、或然誤差，簡(jiǎn)稱隨差?；蛉徽`差，簡(jiǎn)稱隨差。 隨機(jī)誤差概念隨機(jī)誤差概念-不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量）變量）xxii舉例：舉例：對(duì)一電阻進(jìn)行對(duì)一電阻進(jìn)行n n=100=100次等精度測(cè)量次等精度測(cè)量表表 2.22.2 按大小排列的等精度測(cè)量結(jié)果按大小排列的等精度測(cè)量結(jié)果 測(cè)量值測(cè)量值x xi i（ ）相同測(cè)值出現(xiàn)次數(shù)相同測(cè)值出現(xiàn)次數(shù)mmi i相同測(cè)值相同測(cè)值出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.0

14、29.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.9814140.140.149.999.9918180.180.1810.0010.0022220.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.010.01將表將表2.22.2中數(shù)據(jù)畫成直方圖中數(shù)據(jù)畫成直方圖P P( (x x) ) x x0 0 隨機(jī)誤差性質(zhì)：服從隨機(jī)誤差性質(zhì)：服從正態(tài)分布正態(tài)分布，具有以下，具有以下4 4個(gè)特性個(gè)特性：

15、 對(duì)稱性對(duì)稱性絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等；誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性單峰性絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多；大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性有界性絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限；機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限； 抵償性抵償性當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無窮大，當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無窮大，隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。 2.2.2 2.2.2 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理 隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量的類同關(guān)系隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量的類同關(guān)系 1.1.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 設(shè)設(shè)x x1 1，x x2

16、2，x xi i，為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量X X的可能取值，相應(yīng)的可能取值，相應(yīng)概率為概率為p p1 1，p p2 2，p pi i，其級(jí)數(shù)和為其級(jí)數(shù)和為 若若 絕對(duì)收斂，則稱其和數(shù)為數(shù)學(xué)期望，記為絕對(duì)收斂，則稱其和數(shù)為數(shù)學(xué)期望，記為E E( (X X) ) iipxiiipxXE1)(1iipx x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+x xi ip pi i+= += iiipx1在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中， 期望與均值是同一概念期望與均值是同一概念1211nniixxxxxnn算術(shù)平均值算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近，由概率論的大數(shù)定律與被測(cè)量的真值最為接近，由概率論的

17、大數(shù)定律可知，若測(cè)量次數(shù)無限增加，則算術(shù)平均值可知，若測(cè)量次數(shù)無限增加，則算術(shù)平均值 x必然趨于必然趨于實(shí)際值實(shí)際值。 2.2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差方差、標(biāo)準(zhǔn)差方差是用來描述隨機(jī)變量可能值對(duì)期望的分散的特征值。方差是用來描述隨機(jī)變量可能值對(duì)期望的分散的特征值。 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的方差為的方差為X X與其期望與其期望E E（X X）之差的平方的期望，）之差的平方的期望，記為記為D D（X X），即），即 2D( )=E -E(X) XX例：兩批電池的測(cè)量數(shù)據(jù)例：兩批電池的測(cè)量數(shù)據(jù) n nX X0 0X Xx xi in nX X0 0X Xx xi i誤差離散性小誤差離散性小誤差離散性大誤差離散性

18、大測(cè)量中的隨機(jī)誤差也用方差測(cè)量中的隨機(jī)誤差也用方差 )(2x來定量表征：來定量表征： n22ii=11 (x)=(x -x)n式中式中 i( - )x x是某項(xiàng)測(cè)值與均值之差，稱為是某項(xiàng)測(cè)值與均值之差，稱為剩余誤差剩余誤差或或殘差殘差，記作記作 ii=( - )v x x。將剩余誤差平方后求和平均，擴(kuò)大了。將剩余誤差平方后求和平均，擴(kuò)大了離散性，故用方差來表征隨機(jī)誤差的離散程度。離散性，故用方差來表征隨機(jī)誤差的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差方差的量綱是隨機(jī)誤差量綱的平方，使用不方便。為了與隨機(jī)方差的量綱是隨機(jī)誤差量綱的平方，使用不方便。為了與隨機(jī)誤差的量綱統(tǒng)一，常將其開平方，用標(biāo)準(zhǔn)差或均方差表示，記誤

19、差的量綱統(tǒng)一，常將其開平方，用標(biāo)準(zhǔn)差或均方差表示，記作作n2ii=11=(x -x)n（2.162.16） 應(yīng)當(dāng)指出，剩余誤差應(yīng)當(dāng)指出，剩余誤差 i i應(yīng)包含系統(tǒng)誤差應(yīng)包含系統(tǒng)誤差 和隨機(jī)誤差和隨機(jī)誤差 i i，因這里，因這里只討論隨機(jī)誤差，故認(rèn)為系統(tǒng)誤差已消除，即只討論隨機(jī)誤差，故認(rèn)為系統(tǒng)誤差已消除，即 Vx xiiii=+ = = -正態(tài)分布正態(tài)分布 在概率論和誤差理論的研究中，已充分論證了絕大多數(shù)隨機(jī)誤差在概率論和誤差理論的研究中，已充分論證了絕大多數(shù)隨機(jī)誤差的分布規(guī)律都可以用正態(tài)分布來描述，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的分布規(guī)律都可以用正態(tài)分布來描述，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為正態(tài)分布為正態(tài)分

20、布 221-(x-)p(x)=exp22當(dāng)知道正態(tài)分布的兩個(gè)基本參數(shù)：算術(shù)平均值當(dāng)知道正態(tài)分布的兩個(gè)基本參數(shù)：算術(shù)平均值 x和標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差 ，該，該正態(tài)分布的曲線形狀則基本確定。正態(tài)分布的曲線形狀則基本確定。 P P( (x x) ) x x0 0給出了給出了 x = 0時(shí)，三條不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線：時(shí)，三條不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線： 123 。標(biāo)準(zhǔn)差小，曲線尖銳，說明測(cè)量誤差小的數(shù)據(jù)。標(biāo)準(zhǔn)差小，曲線尖銳，說明測(cè)量誤差小的數(shù)據(jù)占優(yōu)勢(shì)大，即測(cè)量精度高。占優(yōu)勢(shì)大，即測(cè)量精度高。x x( ( ) )0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 23 3本書附錄本書附錄A A給出了正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間

21、的積分表。其中給出了正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間的積分表。其中xx xxxx-E( )-Z=( )( )ak=（2.182.18）式中式中k k為為置信因子置信因子，a a為所設(shè)的區(qū)間寬度的一半。為所設(shè)的區(qū)間寬度的一半。 K=1K=1時(shí)，時(shí)， K=2K=2時(shí)，時(shí)， K=3K=3時(shí)，時(shí)， P P( (x x ) )0 0. .6 68 82 27 7圖圖2.7 2.7 正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率P(|x|2)P(|x|2)0.9545P(|x|3)P(|x|3)0.9973 2.2.3 2.2.3 有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 上述正態(tài)分布是（

22、上述正態(tài)分布是（n n）下求得的，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行）下求得的，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量有限次測(cè)量1.1.有限次測(cè)量的算術(shù)平均值有限次測(cè)量的算術(shù)平均值 對(duì)同一量值作一系列等精度獨(dú)立測(cè)量，其測(cè)量列中的全部測(cè)量對(duì)同一量值作一系列等精度獨(dú)立測(cè)量，其測(cè)量列中的全部測(cè)量值的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近。值的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近。 設(shè)被測(cè)量的真值為設(shè)被測(cè)量的真值為 ，其等精度測(cè)量值為，其等精度測(cè)量值為x x1 1，x x2 2，x xn n，則，則其算術(shù)平均值為其算術(shù)平均值為 n12nii=111x= (x +x +.+x )=xnn由于由于 x的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 ，故算

23、術(shù)平均值就是真值，故算術(shù)平均值就是真值 的無偏估計(jì)值。的無偏估計(jì)值。實(shí)際測(cè)量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。實(shí)際測(cè)量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。2.2.有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差貝塞爾公式貝塞爾公式 上述的標(biāo)準(zhǔn)差是在上述的標(biāo)準(zhǔn)差是在n n的條件下導(dǎo)出的，而實(shí)際測(cè)量的條件下導(dǎo)出的，而實(shí)際測(cè)量只能做到有限次。當(dāng)只能做到有限次。當(dāng)n n為有限次時(shí)，可以導(dǎo)出這時(shí)為有限次時(shí)，可以導(dǎo)出這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 xx xn2ii=11s( )=( - )n-1這就是貝塞爾公式。由于推導(dǎo)中不夠嚴(yán)密，故這就是貝塞爾公式。由于推導(dǎo)中不夠嚴(yán)密，故 )(xs被稱為被稱為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的估值，也稱實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。準(zhǔn)

24、差的估值，也稱實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。3.3.平均值的標(biāo)準(zhǔn)差平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分mm組組進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù)進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù)n n次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值，次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定分散性。這說明有限次測(cè)量的分散性。這說明有限次測(cè)量的算術(shù)平均值還存在著誤差算術(shù)平均值還存在著誤差。當(dāng)需。當(dāng)需要更精密時(shí)，應(yīng)該用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差要更精密時(shí)，應(yīng)該用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 x來評(píng)價(jià)。來評(píng)價(jià)。 已知

25、算術(shù)平均值已知算術(shù)平均值 x為為 n m 1 2 m n m 1 2 m 1 1 x x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 1( )s x1x2( )s x( )ms x2xs( )s( )=nxxmxmiixmx1_1在概率論中有在概率論中有“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè)幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè)隨機(jī)變量方差之和隨機(jī)變量方差之和”的定理，可進(jìn)行下面推導(dǎo)的定理，可進(jìn)行下面推導(dǎo))()()()(222212xxxxn )(1)(1)(

26、2222xnxnnxnxx)()(因因 故有故有 所以所以 )(.)()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx當(dāng)當(dāng)n n為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則 nxsxs)()(（2.212.21） 結(jié)論結(jié)論：（：（2.212.21）式說明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是任意一組）式說明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是任意一組n n次次測(cè)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差的 n分之一。即算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估值分之一。即算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估值 )(xs比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值 )(xs小小 n倍，倍， 表明了各組平均值再平均以后數(shù)值更集中了。

27、這是由于隨機(jī)誤表明了各組平均值再平均以后數(shù)值更集中了。這是由于隨機(jī)誤差的抵償性，測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度差的抵償性，測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所以，用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差。以，用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差。意義意義：（：（2.212.21）式給實(shí)際測(cè)量帶來了方便，人們只要測(cè)量一組）式給實(shí)際測(cè)量帶來了方便，人們只要測(cè)量一組數(shù)據(jù)，求得標(biāo)準(zhǔn)差，將其除以數(shù)據(jù)，求得標(biāo)準(zhǔn)差，將其除以 ，則相當(dāng)于得到了多組數(shù)據(jù)，則相當(dāng)于得到了多組數(shù)據(jù)n的算

28、術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。歸納歸納：有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：(1)(1)列出測(cè)量值的數(shù)據(jù)表列出測(cè)量值的數(shù)據(jù)表 (2)(2)計(jì)算算術(shù)平均值計(jì)算算術(shù)平均值 1211nniix xxxxnn ()iivxx221111( )()11nniiiis xxxnn(3)(3)殘差殘差 (4)(4)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差）（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差） ( )( )s xs xn(5)(5)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 例例2.62.6 對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了8 8次測(cè)量，得測(cè)量值次測(cè)量

29、，得測(cè)量值 ix的序列的序列( (見表見表2.3) 2.3) 。求測(cè)量值的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。求測(cè)量值的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用數(shù)據(jù)所用數(shù)據(jù)iv序號(hào)序號(hào)1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz)(kHz)1000.1000.82821000.1000.79791000.1000.85851001000.340.341001000.780.781001000.90.91 11001000.760.761001000.80.82 20.060.060.030.030.090.09- -0.420.420.020.020.10.15 5

30、0.000.000.00.06 6解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,這里采用的運(yùn)算技巧）這里采用的運(yùn)算技巧） nii=110.01x=x =1000+(82+79+85+34+78+91+76+82)=1000.76kHzn82110.2155( )0.17517inis xvn(2)(2)用公式用公式 xxvii計(jì)算各測(cè)量值殘差列于表計(jì)算各測(cè)量值殘差列于表2-32-3中中(3)(3)標(biāo)準(zhǔn)差估值標(biāo)準(zhǔn)差估值 (4)(4) x的標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差 因整數(shù)位不變因整數(shù)位不變kHzkHznxsxs062. 08175. 0)()(_例例2.152.15 對(duì)某直流穩(wěn)壓電源的輸出電壓U

31、x進(jìn)行了10次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：求輸出電壓Ux的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差估值005. 50054. 5)7110941526113(101001. 0000. 5101iU解：解：U Ux x的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值 殘差殘差 次數(shù)次數(shù)12345678910電壓電壓/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007 殘差殘差(103V)-2.45.60.6-7.49.6-9.43.64.6-6.41.6V1012)(91)(iUUiUs101232222222222)10(6 . 1)4 . 6(6 . 46 . 3)4 . 9(6 . 9

32、)4 . 7(6 . 06 . 5)4 . 2(91i10123)10(56. 296.4016.2196.1236.8816.9276.5736. 036.3176. 591iV006. 00062. 0104 .353916標(biāo)準(zhǔn)偏差估值標(biāo)準(zhǔn)偏差估值 2.2.4 2.2.4 測(cè)量結(jié)果的置信度測(cè)量結(jié)果的置信度 1.1.置信置信度度與置信與置信區(qū)間區(qū)間 ( (百分比百分比) ) ( (范圍范圍) ) 置信度置信度（置信概率）就是用來描述測(cè)量結(jié)果處于某一（置信概率）就是用來描述測(cè)量結(jié)果處于某一范圍范圍內(nèi)可內(nèi)可靠程度的量，一般用百分?jǐn)?shù)表示。靠程度的量，一般用百分?jǐn)?shù)表示。 置信區(qū)間置信區(qū)間，即所選擇的

33、這個(gè)范圍，一般用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示，即所選擇的這個(gè)范圍，一般用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示，)(xk如如 給定給定2 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差 )(2x范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的可信度是百分之幾？范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的可信度是百分之幾？條件：必須先知道測(cè)值的分布，才能討論置信問題。條件：必須先知道測(cè)值的分布，才能討論置信問題。 P(x)E(x)x0k(x)k(x)置信度置信度？%區(qū)間區(qū)間2.2.正態(tài)分布下的置信度正態(tài)分布下的置信度K=1K=1時(shí)，時(shí)， K=2K=2時(shí)，時(shí)， K=3K=3時(shí)，時(shí)， k k=3=3時(shí)，即在以時(shí)，即在以3 3倍標(biāo)準(zhǔn)差倍標(biāo)準(zhǔn)差3 3 區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為99.73%99.73%

34、，而在這個(gè)區(qū)間外的概率非常小。，而在這個(gè)區(qū)間外的概率非常小。 圖圖2.7 2.7 正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率68.3%68.3%95.4%95.4%99.7%99.7%P P( (x x ) )0 0. .6 68 82 27 7P(|x|2)P(|x|2)0.9545P(|x|3)P(|x|3)0.9973 3. t3. t分布下的置信度分布下的置信度 （n20n200n200） i3 3s s（x x） 2 2 格拉布斯檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法（理論與實(shí)驗(yàn)證（理論與實(shí)驗(yàn)證明較好）明較好） 3 3 中位數(shù)檢驗(yàn)法中位數(shù)檢驗(yàn)法x xP P( (x x) )E E( (x

35、 x) )0 0-3s-3s3s3s中位數(shù)中位數(shù)平均值平均值 大量統(tǒng)計(jì)表明，當(dāng)數(shù)據(jù)列中沒有粗大誤差時(shí)大量統(tǒng)計(jì)表明，當(dāng)數(shù)據(jù)列中沒有粗大誤差時(shí) 991991、996996、999999、10011001、10041004、10081008、10111011、10141014、1019 1019 8 .10049101910141011100810041001999996991maxGs G G查查p34p34表表2.62.6中位數(shù)中位數(shù)例例GSGSGSGS2.3.4 2.3.4 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 例例 2.12 2.12 對(duì)某溫度進(jìn)行多次等精度測(cè)量，所得結(jié)果列于表對(duì)某溫度進(jìn)行多次等精度測(cè)量，所得結(jié)

36、果列于表2.72.7中，中，試檢查數(shù)據(jù)中有無異常。試檢查數(shù)據(jù)中有無異常。表表2.7 2.7 例例 2.122.12所用數(shù)據(jù)所用數(shù)據(jù)序號(hào)序號(hào)測(cè)得值測(cè)得值x xi i殘差殘差v vi i序號(hào)序號(hào)測(cè)得值測(cè)得值x xi i殘差殘差v vi i序號(hào)序號(hào)測(cè)得值測(cè)得值x xi i殘差殘差v vi i1 120.4220.42+0.016+0.0166 620.4320.43-0.026-0.026111120.4220.42+0.016+0.0162 220.4320.43+0.026+0.0267 720.3920.39-0.014-0.014121220.4120.41+0.006+0.0063 320

37、.4020.40-0.004-0.0048 820.3020.30-0.104-0.104131320.3920.39-0.014-0.0144 420.4320.43+0.026+0.0269 920.4020.40-0.004-0.004141420.3920.39-0.014-0.0145 520.4220.42+0.016+0.016101020.4320.43+0.026+0.026151520.4020.40-0.004-0.004(1(1）萊特檢驗(yàn)法萊特檢驗(yàn)法 ： 從表中可以看出從表中可以看出x x8 8=20.30=20.30殘差較大，殘差較大，是個(gè)可疑數(shù)據(jù)，是個(gè)可疑數(shù)據(jù)， 8

38、3 ( )s x80.104 故可判斷故可判斷x x8 8是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。再對(duì)剔除后數(shù)據(jù)計(jì)算得是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。再對(duì)剔除后數(shù)據(jù)計(jì)算得 其余的其余的1414個(gè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)據(jù)的 i均小于均小于 3 ( )s x ，故為正常數(shù)據(jù)。，故為正常數(shù)據(jù)。 404.20 x033. 0)(xs411.20 x016. 0)(xs3 ( )0.016 30.048s x 3 ( )0.033 30.0991s x （2 2）按）按格拉布斯檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法 取置信概率取置信概率 P Pc c=0.99=0.99，以，以 n n=15=15查表查表2.62.6得得 GG=2.70=2.70G Gs=2.

39、7s=2.70.033=0.090.033=0.09 8，剔除，剔除x x8 8后重新計(jì)算判別，后重新計(jì)算判別，得得n n=14=14，p pc c=0.99=0.99下下GG值為值為 2 26666G GSS 2.66 2.66 0.016 0.016 0.040.04 可見余下數(shù)據(jù)中無異常值。可見余下數(shù)據(jù)中無異常值。 （3）按中位數(shù)法）按中位數(shù)法將表中數(shù)據(jù)進(jìn)行排序得將表中數(shù)據(jù)進(jìn)行排序得20.30, 20.39, 20.39, 20.40, 20.40, 20.40, 20.41, 20.42, 20.42, 20.43, 20.43, 20.43, 20.43該數(shù)列的中位數(shù)為：該數(shù)列的中位

40、數(shù)為：20.41算數(shù)平均值為：算數(shù)平均值為：20.404假設(shè)懷疑偏離中位數(shù)較大的假設(shè)懷疑偏離中位數(shù)較大的20.30為異常數(shù)據(jù)，將它剔除后，為異常數(shù)據(jù)，將它剔除后，剩下數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：剩下數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：20.415剩余數(shù)據(jù)的算數(shù)平均值為：剩余數(shù)據(jù)的算數(shù)平均值為：20.411中位數(shù)接近算數(shù)平均值，為正常數(shù)據(jù)。中位數(shù)接近算數(shù)平均值，為正常數(shù)據(jù)。 x(1)所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今尚未有統(tǒng)至今尚未有統(tǒng)一的規(guī)定一的規(guī)定。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測(cè)量次偏離正態(tài)分布時(shí)，

41、檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測(cè)量次數(shù)較少時(shí)更不可靠。數(shù)較少時(shí)更不可靠。(2)若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，然后重新計(jì)算逐個(gè)剔除，然后重新計(jì)算(3)在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少。否則，說明系統(tǒng)。否則，說明系統(tǒng)工作不正常。要對(duì)異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn)進(jìn)行分析，找出原因，不工作不正常。要對(duì)異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn)進(jìn)行分析，找出原因，不要輕易舍去異常數(shù)據(jù)而放過發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會(huì)。要輕易舍去異常數(shù)據(jù)而放過發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會(huì)。(4)上述三種檢驗(yàn)法中，萊特檢驗(yàn)法是以正態(tài)分布為依據(jù)的上述三種檢驗(yàn)法中，萊特檢驗(yàn)法是以正態(tài)分布為依據(jù)的，測(cè)值

42、數(shù)據(jù)最好，測(cè)值數(shù)據(jù)最好n200，若，若nABX BA 被測(cè)電池電壓被測(cè)電池電壓x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V測(cè)量誤差為：測(cè)量誤差為： =0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%=0.2%+0.05%0.2%0.2%采用微差法測(cè)量，測(cè)量誤差主要決定于標(biāo)準(zhǔn)量的誤差，采用微差法測(cè)量，測(cè)量誤差主要決定于標(biāo)準(zhǔn)量的誤差，測(cè)試儀表誤差的影響被大大削弱。本例說明，用誤差為測(cè)試儀表誤差的影響被大大削弱。本例說明，用誤差為5 5的電壓表進(jìn)行測(cè)量，可得的電壓表進(jìn)行測(cè)量，可得0.2%0.2%的測(cè)量精確度。的測(cè)量精確度。待測(cè)待測(cè)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)

43、（固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V圖圖2.17 2.17 微差法測(cè)量微差法測(cè)量BAAABBBABXABXXABX2.4.4 2.4.4 等精度測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（等精度測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（重點(diǎn)重點(diǎn)） 當(dāng)對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí)，測(cè)量值中可能含有當(dāng)對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí)，測(cè)量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差，應(yīng)按下述基本步驟對(duì)系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差，應(yīng)按下述基本步驟對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。1)1)對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正，列出測(cè)量值對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正，列出測(cè)量值x xi i 的數(shù)據(jù)表的數(shù)據(jù)表2)2)計(jì)算算術(shù)平均值計(jì)算算術(shù)平均值 3)3)列

44、出殘差列出殘差 4)4)按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的估值按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的估值 11niixxn()iivx x211( )1niis xn()()s xs xn5)5)按萊特準(zhǔn)則按萊特準(zhǔn)則 3 ( )is xmaxGs，或格拉布斯準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則 ，檢查和剔除，檢查和剔除粗大誤差；若有粗大誤差，應(yīng)逐一剔除粗大誤差；若有粗大誤差，應(yīng)逐一剔除后，重新計(jì)算后，重新計(jì)算 和和s s，再判別直到無粗大誤差；，再判別直到無粗大誤差； x6)6)判斷有無系統(tǒng)誤差，如有應(yīng)查明原因，修正或消除系判斷有無系統(tǒng)誤差，如有應(yīng)查明原因，修正或消除系 統(tǒng)誤差后重新測(cè)量；統(tǒng)誤差后重新測(cè)量； 7)7)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差

45、的估計(jì)值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值8)8)寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即 式中式中k k為置信因子。為置信因子。 )(xksxA例例2.142.14 對(duì)某電壓進(jìn)行對(duì)某電壓進(jìn)行1616次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)x xi i中中已記入修正值，列于表已記入修正值，列于表2.82.8中。要求給出包括誤差在內(nèi)中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。序號(hào)序號(hào)測(cè)量值測(cè)量值x xi i(V)(V) 殘差殘差v vi i殘差殘差v vi i序號(hào)序號(hào)測(cè)量值測(cè)量值x xi i(V)(V)殘差殘差v vi i殘差殘差v vi i1 1205.30205.300.0

46、00.00+0.09+0.099 9205.71205.71+0.41+0.41+0.50+0.502 2204.94204.94-0.36-0.36-0.27-0.271010204.70204.70-0.60-0.60-0.51-0.513 3205.63205.63+0.33+0.33+0.42+0.421111204.86204.86-0.44-0.44-0.35-0.354 4205.24205.24-0.06-0.06+0.03+0.031212205.35205.35+0.05+0.05+0.14+0.145 5206.65206.65+1.35+1.35-1313205.212

47、05.21-0.09-0.090.000.006 6204.97204.97-0.33-0.33-0.24-0.241414205.19205.19-0.11-0.11-0.02-0.027 7205.36205.36+0.06+0.06+0.15+0.151515205.21205.21-0.09-0.090.000.008 8205.16205.16-0.14-0.14-0.05-0.051616205.32205.32+0.02+0.02+0.11+0.11解：解：(1)(1)求出算術(shù)平均值求出算術(shù)平均值 30.205161161iixx(2)(2)計(jì)算計(jì)算 xxvii列于表中列于表中,

48、 ,并驗(yàn)證并驗(yàn)證 01niiv(3)(3)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差估值計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差估值: : 4434. 011611612iivs(4)(4)按萊特準(zhǔn)則判斷有無按萊特準(zhǔn)則判斷有無 3302. 13 svi查表中第查表中第5 5個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)據(jù) sv335. 1565.2065x，視，視 為為粗大誤差粗大誤差, ,加以剔除，現(xiàn)剩下加以剔除，現(xiàn)剩下1515個(gè)數(shù)據(jù)。個(gè)數(shù)據(jù)。(5)(5)重新計(jì)算剩余重新計(jì)算剩余1515個(gè)數(shù)據(jù)的平均值個(gè)數(shù)據(jù)的平均值: : 21.205x重新計(jì)算重新計(jì)算 xxvii列于表列于表2.82.8中中, ,并驗(yàn)證并驗(yàn)證 10niiv。(6)(6)重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差 27. 011

49、511512iivs(7)(7)按萊特準(zhǔn)則再判斷按萊特準(zhǔn)則再判斷 81. 03 svi, ,現(xiàn)各現(xiàn)各 iv均小于均小于 3s則認(rèn)為剩余則認(rèn)為剩余1515個(gè)數(shù)據(jù)中不再含有粗大誤差。個(gè)數(shù)據(jù)中不再含有粗大誤差。 , ,(8)(8)對(duì)對(duì) iv作圖作圖, ,判斷有無變值系統(tǒng)誤差，從圖中可見判斷有無變值系統(tǒng)誤差，從圖中可見無明顯累進(jìn)性或周期性系統(tǒng)誤差。無明顯累進(jìn)性或周期性系統(tǒng)誤差。殘差圖殘差圖(9)(9)計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差: : (10)(10)寫出寫出測(cè)量結(jié)果表達(dá)式測(cè)量結(jié)果表達(dá)式: : 07. 015/27. 015/ ssx(205.2 0.2)xx xksv ( (取置

50、信系數(shù)取置信系數(shù)k=3) k=3) V2.5 2.5 誤差的合成與分配誤差的合成與分配 合成合成： 例：例： P PIU IU U U和和 I I如何影響如何影響 P P ？ I=U/R I=U/R U U和和 R R如何影響如何影響 I I ？ 方法：推導(dǎo)一個(gè)普遍適用的公式。方法：推導(dǎo)一個(gè)普遍適用的公式。 分項(xiàng)誤差分項(xiàng)誤差合成合成分配分配總合誤差總合誤差2.5.1 2.5.1 測(cè)量誤差的合成測(cè)量誤差的合成 1 1 誤差傳遞公式誤差傳遞公式 設(shè)設(shè) )(21xxfy，若在若在 )(20100 xxfy，附近各階偏導(dǎo)數(shù)存在，則可把附近各階偏導(dǎo)數(shù)存在，則可把y y展為展為泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) )(21x

51、xfy，1020110220110110220220122222222212() ()()1()2() ()() 2fff xxx xxxxxfffx xx xxxxxxx xx ，！)()(20221011xxxxxx及分別表示分別表示x x1 1及及x x2 2分項(xiàng)的誤差，由于分項(xiàng)的誤差，由于 1122xxxx及的中高階小量，則總合的誤差為的中高階小量，則總合的誤差為 ，略去泰勒級(jí)數(shù)，略去泰勒級(jí)數(shù)221120100)(xxfxxfxxfyyyy，同理，當(dāng)總合同理，當(dāng)總合y y由由mm個(gè)分項(xiàng)合成時(shí)，可得個(gè)分項(xiàng)合成時(shí)，可得mmxxfxxfxxfy2211jmjjxxfy1 絕對(duì)誤差的傳遞公式絕

52、對(duì)誤差的傳遞公式 例例方案方案1 1方案方案2 2 方案方案3 3解：解：方案方案1 1：用公式：用公式P PI IU UUIIUUUPIIPP則算得功率的相對(duì)誤差為則算得功率的相對(duì)誤差為VIpUIUIUIIUPPP P= =IUIU=U=U2 2/R/R=I=I2 2R R方案方案2 2：用公式：用公式 P P= =U U2 2R R 222RRURUURRPUVPP則則 RURRURURUUPPp2222222VRURUR=求導(dǎo)求導(dǎo)方案方案3 3：用公式：用公式 P PI I2 2R R RIIIRRRPIIPP22RIpRRIIRIRIRIIIRPP222222則則 相對(duì)誤差相對(duì)誤差方法

53、方法1 1jmjjyxxffyy11方法方法2：用對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù) 1ln yyyjjdxfdfdxdfln/jmjjyxxf1ln 相對(duì)誤差傳遞公式相對(duì)誤差傳遞公式方案方案2 2： 2UpR用用相對(duì)誤差傳遞公式相對(duì)誤差傳遞公式 lnP=2lnU-lnRlnP=2lnU-lnR(2lnln )(2lnln )22pVRURURURURURUR 若若 ),(21mxxxfy 的函數(shù)關(guān)系為和、差關(guān)系時(shí)，的函數(shù)關(guān)系為和、差關(guān)系時(shí)，常先求總合的絕對(duì)誤差，若函數(shù)關(guān)系為積、商或乘常先求總合的絕對(duì)誤差，若函數(shù)關(guān)系為積、商或乘方、開方方、開方關(guān)系時(shí)，常先求總合的相對(duì)誤差比較方便。關(guān)系時(shí)，常先求總合的相對(duì)

54、誤差比較方便。 y=xy=x1 1+x+x2 2-x-x3 3321xxxy 12mnyxx xLCf210用哪種方法求相對(duì)誤差方便？用哪種方法求相對(duì)誤差方便？2 2 系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的合成： 由誤差傳遞公式，易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。由誤差傳遞公式，易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。mmxxfxxfxxfy 2211一般地，各分項(xiàng)誤差一般地，各分項(xiàng)誤差 x x由系統(tǒng)誤差由系統(tǒng)誤差 及隨機(jī)誤差及隨機(jī)誤差 構(gòu)成，構(gòu)成，)()()(222111mmmxfxfxfy 若隨機(jī)誤差可以忽略，總的系統(tǒng)誤差若隨機(jī)誤差可以忽略，總的系統(tǒng)誤差 y y可由各分項(xiàng)系統(tǒng)可由各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成誤差合成 jmjjy

55、xf13.3.隨機(jī)誤差的合成隨機(jī)誤差的合成 )(1jjmjjyyxfy若各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差為零，則總的隨機(jī)誤差為若各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差為零，則總的隨機(jī)誤差為 jmjjyxf1隨機(jī)誤差應(yīng)由方差或隨機(jī)誤差應(yīng)由方差或 標(biāo)準(zhǔn)差表征：標(biāo)準(zhǔn)差表征：2221()mjjfyxxj（ ）（ ）確定性誤差是按代數(shù)形式合成：確定性誤差是按代數(shù)形式合成：隨機(jī)誤差的方差是按幾何形式隨機(jī)誤差的方差是按幾何形式合成：合成：22212yxx12yxx2.5.2 2.5.2 測(cè)量誤差的分配測(cè)量誤差的分配分項(xiàng)誤差分項(xiàng)誤差 總合誤差總合誤差 合成合成 分配分配 1.1.等準(zhǔn)確度分配等準(zhǔn)確度分配設(shè)設(shè) =0 =0 1 1= = 2 2副邊總

56、電壓副邊總電壓U=880V U=880V 則，測(cè)量允許的最大總誤差為則，測(cè)量允許的最大總誤差為 U= = U U （2 2）= =17. 6 V 17. 6 V 3 31 12 250H50HZ Z220V220VU U4 45 5誤差的分配誤差的分配U U1 1U U2 2440v440v440v440v880v880v例例：用量程為：用量程為500V500V交流電壓交流電壓表測(cè)副邊總電壓，要求相對(duì)表測(cè)副邊總電壓，要求相對(duì)誤差小于誤差小于2%2%，問，問應(yīng)選幾級(jí)應(yīng)選幾級(jí)電壓表電壓表？用引用相對(duì)誤差為用引用相對(duì)誤差為 n的電壓表測(cè)量時(shí)，電表的滿刻度值為的電壓表測(cè)量時(shí)，電表的滿刻度值為U Umm

57、，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為 mnUUmax，這個(gè)值不應(yīng)大于每，這個(gè)值不應(yīng)大于每個(gè)個(gè)副圈分配到的測(cè)量誤差副圈分配到的測(cè)量誤差 U Ui i，即要求，即要求%66.15008.8minUU可見選用可見選用1.51.5級(jí)（級(jí)（1.5%1.5%）的電壓表能滿足測(cè)量要求。的電壓表能滿足測(cè)量要求。 VUUUi8 . 826 .17221可以認(rèn)為測(cè)量誤差主要是由電壓表誤差造成的，而且由于兩次可以認(rèn)為測(cè)量誤差主要是由電壓表誤差造成的，而且由于兩次測(cè)量的電壓值基本相同，根據(jù)測(cè)量的電壓值基本相同，根據(jù)等準(zhǔn)確度分配原則分配誤差等準(zhǔn)確度分配原則分配誤差，則，則2. 2. 等作用分配等作用分配等

58、作用分配是指各分項(xiàng)的誤差它們對(duì)測(cè)量誤差總合的作用或等作用分配是指各分項(xiàng)的誤差它們對(duì)測(cè)量誤差總合的作用或者說對(duì)總合的影響是相同的，即者說對(duì)總合的影響是相同的，即 mmxfxfxf 2211)()()()()()(2222221221mmxxfxxfxxf 可求出應(yīng)分配各分項(xiàng)的誤差為可求出應(yīng)分配各分項(xiàng)的誤差為jyjxfmjjxfmyx)()(例例2.18 2.18 通過測(cè)電阻上的電壓、電流值間接測(cè)電阻上消耗的功率，已測(cè)出通過測(cè)電阻上的電壓、電流值間接測(cè)電阻上消耗的功率，已測(cè)出電流為電流為100mA100mA，電壓為，電壓為3V3V，算出功率為，算出功率為300mW300mW。若要求功率測(cè)量的系。若

59、要求功率測(cè)量的系統(tǒng)誤差不大于統(tǒng)誤差不大于5%5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差不大于，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差不大于5mW5mW，問電壓和電流的，問電壓和電流的測(cè)量誤差多大時(shí)才能保證上述功率誤差的要求。測(cè)量誤差多大時(shí)才能保證上述功率誤差的要求。 P = U I P = U I300mw 3v 100mA 300mw 3v 100mA 5%5% ？ ？5mW 5mW ？ ？在按等作用分配原則進(jìn)行誤差分配以后，可根據(jù)實(shí)際測(cè)量時(shí)各分項(xiàng)誤差達(dá)在按等作用分配原則進(jìn)行誤差分配以后，可根據(jù)實(shí)際測(cè)量時(shí)各分項(xiàng)誤差達(dá)到給定要求的困難程度適當(dāng)進(jìn)行到給定要求的困難程度適當(dāng)進(jìn)行調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)，在滿足總誤差要求的前提下，對(duì)，在滿足總誤差要求的

60、前提下，對(duì)不不容易達(dá)到要求的分項(xiàng)適當(dāng)放寬容易達(dá)到要求的分項(xiàng)適當(dāng)放寬分配的誤差，而對(duì)容易達(dá)到要求的分項(xiàng)，則分配的誤差，而對(duì)容易達(dá)到要求的分項(xiàng)，則可適當(dāng)把分給的誤差再改小些，以使各分項(xiàng)測(cè)量的要求不致難易不均?？蛇m當(dāng)把分給的誤差再改小些，以使各分項(xiàng)測(cè)量的要求不致難易不均。 3. 3. 抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配 當(dāng)各分項(xiàng)誤差中第當(dāng)各分項(xiàng)誤差中第k k項(xiàng)誤差特別大時(shí)，按照微小誤差準(zhǔn)則，若其他項(xiàng)對(duì)總合項(xiàng)誤差特別大時(shí)，按照微小誤差準(zhǔn)則，若其他項(xiàng)對(duì)總合的影響可以忽略，這時(shí)就可以不考慮次要分項(xiàng)的誤差分配問題，只要保證的影響可以忽略，這時(shí)就可以不考慮次要分項(xiàng)的誤差分配問題，只要保證主要項(xiàng)的誤差