2021年高考數(shù)學(文)一輪復習講義第1章12命題及其關系充分條件與必要條件

1、§1.2命題及其關系、充分條件與必要條件最新考綱考情考向分析1.理解命題的概念.2.了解“假設p，那么q形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.命題的真假判斷和充分必要條件的判定是考查的主要形式，多與集合、函數(shù)、不等式、立體幾何中的線面關系相交匯，考查學生的推理能力，題型為選擇、填空題，低檔難度.1命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其相互關系(1)四種命題間的相互關系(2)四種命題的真假關系兩個命題互為逆否命題，它們具有相同

2、的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系3充分條件、必要條件與充要條件的概念假設pq，那么p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件pq且qpp是q的必要不充分條件pq且qpp是q的充要條件pqp是q的既不充分也不必要條件pq且qp概念方法微思考假設條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，那么由AB可得，p是q的充分條件，請寫出集合A，B的其他關系對應的條件p，q的關系提示假設AB，那么p是q的充分不必要條件；假設AB，那么p是q的必要條件；假設AB，那么p是q的必要不充分條件；假設AB，那么p是q的充要條件；假設AB且AB，那么p是q的

3、既不充分也不必要條件.題組一思考辨析1判斷以下結論是否正確(請在括號中打“或“×)(1)“對頂角相等是命題()(2)命題“假設p，那么q的否命題是“假設p，那么綈q(×)(3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件()(4)集合A，B，那么ABAB的充要條件是AB.()題組二教材改編2以下命題是真命題的是()A矩形的對角線相等B假設a>b，c>d，那么ac>bdC假設整數(shù)a是素數(shù)，那么a是奇數(shù)D命題“假設x2>0，那么x>1的逆否命題答案A3命題“同位角相等，兩直線平行的逆否命題是_答案兩直線不平行，同位角不相等4“x30是“(x3)(x4)0

4、的_條件(填“充分不必要“必要不充分“充要或“既不充分也不必要)答案充分不必要題組三易錯自糾5設x>0，yR，那么“x>y是“x>|y|的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案C解析由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y是“x>|y|的必要不充分條件6p：x>a是q：2<x<3的必要不充分條件，那么實數(shù)a的取值范圍是_答案(，2解析由，可得x|2<x<3x|x>a，a2.命題及其關系1命題“假設xy0，那么x0的逆否命題是()A假設xy0，那么x

5、0B假設xy0，那么x0C假設xy0，那么y0D假設x0，那么xy0答案D解析“假設xy0，那么x0的逆否命題為“假設x0，那么xy02以下三個命題：假設一個球的半徑縮小到原來的，那么其體積縮小到原來的；假設兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，那么它們的方差也相等；直線xy10與圓x2y2相切其中真命題的序號是_答案3命題“假設a<0，那么一元二次方程x2xa0有實根與其逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)是_答案2解析當a<0時，14a>0，所以方程x2xa0有實數(shù)根，故原命題為真；根據(jù)原命題與逆否命題真假一致，可知其逆否命題為真；逆命題為：“假設方程x2xa0有實根，那么a<0

6、，因為方程有實根，所以判別式14a0，所以a，顯然a<0不一定成立，故逆命題為假；根據(jù)否命題與逆命題真假一致，可知否命題為假故真命題的個數(shù)為2._3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334給出以下命題：“假設f (x)是奇函數(shù)，那么f (x)也是奇函數(shù)的逆命題；“假設x，y是偶數(shù)，那么xy也是偶數(shù)的否命題；“正三角形的三個內角均為60°的否命題；“假設abc3，那么a

7、2b2c23的逆否命題其中真命題的序號是_答案解析假設f (x)為奇函數(shù)，那么f (x)f (x)，所以f (x)是奇函數(shù)，故為真命題；當x1，y3時，xy4為偶數(shù)，故為假命題；不等邊的三角形中存在不為60°的內角，故為真命題；對于，只需證明原命題為真，abc3，(abc)29.a2b2c22ab2bc2ca9，又a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，從而3(a2b2c2)9，a2b2c23成立思維升華(1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意對于不是“假設p，那么q形式的命題，需先改寫假設命題有大前提，寫其他三種命題時需保存大前提(2

8、)判斷一個命題為真命題，需要推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例即可(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假充分、必要條件的判定例1(1)，均為第一象限角，那么“>是“sin>sin的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案D解析取，>成立，而sinsin，sin>sin不成立充分性不成立；取，sin>sin，但<，必要性不成立故“>是“sin>sin的既不充分也不必要條件(2)假設集合Ax|x25x4<0，Bx|

9、xa|<1，那么“a(2,3)是“BA的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析Ax|1<x<4，Bx|a1<x<a1BA，即2a3，(2,3)2,3，“a(2,3)是“BA的充分不必要條件(3)條件p：x>1或x<3，條件q：5x6>x2，那么綈p是綈q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由5x6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以qp，pq，所以綈p綈q，綈q綈p，所以綈p是綈q的充分不必要條件，應選A.思維升華充分條件、必

10、要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題(2)集合法：根據(jù)p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題(3)等價轉化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性進行判斷，適用于條件和結論帶有否認性詞語的命題跟蹤訓練1(1)王安石在 游褒禪山記 中寫道“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也，請問“有志是到達“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀的()A充要條件B既不充分也不必要條件C充分不必要條件D必要不充分條件答案D解析非有志者不能至，是必要條件；但“有志也不一定“能至，不是充分條件(2)設p：x<1

11、，q：log2x<0，那么p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析由x<1知x>0，所以p對應的集合為(0，)，由log2x<0知0<x<1，所以q對應的集合為(0,1)，顯然(0,1)(0，)，所以p是q的必要不充分條件充分、必要條件的應用例2Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m假設xP是xS的必要條件，求m的取值范圍解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要條件，知SP.那么當0m3時，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,3本例中，假設xP是xS的必要條件，求m的取值

12、范圍解假設xP是xS的必要條件，那么xSxP，xPxS，PS，那么m9，故m的取值范圍是9，)假設本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使xP是xS的充要條件解假設xP是xS的充要條件，那么PS，方程組無解，即不存在實數(shù)m，使xP是xS的充要條件思維升華充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上解題時需注意(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗跟蹤訓練2(1)p：1x2，q：(xa)(xa1)>0，假設p是綈q的充要條件，那么實數(shù)a的值為_答案1解析綈q：(xa)(xa1)0，

13、axa1.由p是綈q的充要條件知a1.(2)p：4xm<0，q：x2x2>0，假設p是q的一個充分不必要條件，那么m的取值范圍是_答案4，)解析4xm<0，x<，p：x<.x2x2>0，x<1或x>2.q：x<1或x>2.p是q的一個充分不必要條件，1，m4.即m的取值范圍是4，)1命題p：“正數(shù)a的平方不等于0，命題q：“假設a不是正數(shù)，那么它的平方等于0，那么q是p的()A逆命題B否命題C逆否命題D否認答案B解析命題p：“正數(shù)a的平方不等于0可寫成“假設a是正數(shù)，那么它的平方不等于0，從而q是p的否命題2(2022·人大

14、附中階段考)命題“假設x2<1，那么1<x<1的逆否命題是()A假設x21，那么x1或x1B假設1<x<1，那么x2<1C假設x>1或x<1，那么x2>1D假設x1或x1，那么x21答案D解析原命題的逆否命題是把條件和結論都否認后，再交換條件和結論，注意“1<x<1的否認是“x1或x13命題p：假設a<1，那么a2<1，以下說法正確的選項是()A命題p是真命題B命題p的逆命題是真命題C命題p的否命題是“假設a<1，那么a21D命題p的逆否命題是“假設a21，那么a<1答案B解析命題p：假設a<1，那

15、么a2<1，如a2，那么(2)2>1，命題p為假命題，所以A不正確；命題p的逆命題是假設a2<1，那么a<1，為真命題，所以B正確；命題p的否命題是假設a1，那么a21，所以C不正確；命題p的逆否命題是假設a21，那么a1，所以D不正確應選B.4命題“假設m>1，那么m>4以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個數(shù)為()A1B2C3D4答案B解析原命題為真命題，從而其逆否命題也為真命題；逆命題“假設m>4，那么m>1為假命題，故否命題也為假命題，應選B.5命題“假設x2y20，那么xy0的否命題是()A假設x2y20，那么x，y中至少有一個

16、不為0B假設x2y20，那么x，y中至少有一個不為0C假設x2y20，那么x，y都不為0D假設x2y20，那么x，y都不為0答案B解析否命題既否認條件又否認結論6“l(fā)og2(2x3)<1是“4x>8的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由log2(2x3)<10<2x3<2<x<，4x>82x>3x>，所以“l(fā)og2(2x3)<1是“4x>8的充分不必要條件，應選A.7(2022·全國)設，為兩個平面，那么的充要條件是()A內有無數(shù)條直線與平行B內有兩條相交直線與平行C，

17、平行于同一條直線D，垂直于同一平面答案B解析對于A，內有無數(shù)條直線與平行，當這無數(shù)條直線互相平行時，與可能相交，所以A不正確；對于B，根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質知，B正確，對于C，平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對于D，垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確，綜上可知選B.8p：xk，q：(x1)(2x)<0，如果p是q的充分不必要條件，那么實數(shù)k的取值范圍是()A2，) B(2，)C1，) D(，1答案B解析由q：(x1)(2x)<0，得x<1或x>2，又p是q的

18、充分不必要條件，所以k>2，即實數(shù)k的取值范圍是(2，)，應選B.9命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素是假命題，那么以下命題中_為真命題(填序號)M中的元素都不是P中的元素；M中有不屬于P的元素；M中有屬于P的元素；M中的元素不都是P中的元素答案10以下命題中為真命題的是_(填序號)命題“假設x>1，那么x2>1的否命題；命題“假設x>y，那么x>|y|的逆命題；命題“假設x1，那么x2x20的否命題；命題“假設a>b，那么ac>bc的逆否命題答案解析對于，命題“假設x>1，那么x2>1的否命題為“假設x1，那么x21，易知當x2時

19、，x24>1，故為假命題；對于，命題“假設x>y，那么x>|y|的逆命題為“假設x>|y|，那么x>y，分析可知為真命題；對于，命題“假設x1，那么x2x20的否命題為“假設x1，那么x2x20，易知當x2時，x2x20，故為假命題；對于，命題“假設a>b，那么ac>bc為假命題，所以它的逆否命題為假命題11用“充分不必要“必要不充分“充要或“既不充分也不必要填空(1)“x>y>0是“<的_條件；(2)“tan1是“的_條件答案(1)充分不必要(2)充分不必要解析(1)<xy·(yx)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.所以“x>y>0是“<的充分不必要條件(2)因為“是“tan1的充分不必要條件，所以“tan1是“的充分不必要條件12集合A，Bx|1<x<m1，mR，假設xB成立的一個充分不必要條件是xA，那么實數(shù)m的取值范圍是_答案(2，)解析因為Ax|1<x