簡諧運(yùn)動9-425

1、(二二). 圖解圖解法法oA-Atx = /2T 已知曲線已知曲線 A、T、 已知已知 A、T、 曲線曲線oxmx0 = 0例例3: 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿y軸作簡諧振動軸作簡諧振動, 振動位移振動位移-時(shí)間曲線如圖時(shí)間曲線如圖所示所示,振幅為振幅為A,求求:質(zhì)點(diǎn)的諧振動方程質(zhì)點(diǎn)的諧振動方程 cm.A21006 解解:設(shè)質(zhì)點(diǎn)的諧振動方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)的諧振動方程為為 y=Acos( t+ )從圖上可看出從圖上可看出:(1)t=0時(shí)刻時(shí)刻 0200sinAvcosAAy35yt(s)0A/2A1/3(2)t=1/3s時(shí)刻時(shí)刻 035350wtsinAvtcosAy2235 kt(t=1/3s, k=1,2,3

2、.)從圖上看出從圖上看出:質(zhì)點(diǎn)諧振動周期質(zhì)點(diǎn)諧振動周期T2/3s 32232T 30得到得到:25 質(zhì)點(diǎn)諧振動方程質(zhì)點(diǎn)諧振動方程: 352510062tcos.yyt(s)0A/2A1/3 9-2 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量一、勻速圓周運(yùn)動和諧振動一、勻速圓周運(yùn)動和諧振動OXt =0 t = t tA)tcos(Ax t+ x xwtnao wtsinvvm wtsinwA 在在x軸的投影軸的投影:na wtcosaan wtcosAw2mv旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 作勻速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的位矢在作勻速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的位矢在OX軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動可以表示物體在軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動可以表示物體在OX軸的諧振動。其位矢稱為

3、旋轉(zhuǎn)矢量。軸的諧振動。其位矢稱為旋轉(zhuǎn)矢量。 t =0t = t t+ )tcos(Ax 例例1已知：振子已知：振子 t = 0時(shí)時(shí) 2Ax0 振子向負(fù)方向運(yùn)動，求振子的初相位。振子向負(fù)方向運(yùn)動，求振子的初相位。AAB 32 OX2A 例例2 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿X軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期周期 T=2s。當(dāng)。當(dāng) t=0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對平衡位置的位移時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對平衡位置的位移是是x0 = 0.06m，此刻質(zhì)點(diǎn)向正方向運(yùn)動。求：，此刻質(zhì)點(diǎn)向正方向運(yùn)動。求：（1）諧振動方程；）諧振動方程； （2）振子第一次通過平衡位置的時(shí)刻振子第一次通過平衡位置的時(shí)刻 。 ABA A/2C t

4、t =0t = t解：解： T2（1）由旋轉(zhuǎn)矢量得由旋轉(zhuǎn)矢量得3 （2）t s65t OX)m( )3tcos(12.0 x 65 OX 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作諧振動，振幅軸上作諧振動，振幅A=4cm，周期，周期T=2s，其平，其平衡位置取作坐標(biāo)軸原點(diǎn)。若衡位置取作坐標(biāo)軸原點(diǎn)。若t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)第一次通過時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)第一次通過x=-2cm處，處，且向且向x軸負(fù)方向運(yùn)動，則質(zhì)點(diǎn)第二次通過軸負(fù)方向運(yùn)動，則質(zhì)點(diǎn)第二次通過x=-2cm處時(shí)刻為處時(shí)刻為A. 1s ， B. 23（s），），BA tt =0t = t2AC. 43（s），）， D. 2s 。t t 32 T2s32t 例例3 有兩個(gè)彈簧振子，

5、已知一個(gè)彈簧振子的周期有兩個(gè)彈簧振子，已知一個(gè)彈簧振子的周期T1=0.6s，另一個(gè)彈簧振子的周期另一個(gè)彈簧振子的周期T2 =0.8s。設(shè)。設(shè)t=0時(shí)，第一個(gè)振子從時(shí)，第一個(gè)振子從平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動。第二個(gè)振子從負(fù)方向端點(diǎn)開始運(yùn)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動。第二個(gè)振子從負(fù)方向端點(diǎn)開始運(yùn)動，經(jīng)過動，經(jīng)過0.1s后，求兩個(gè)振子的相位差。后，求兩個(gè)振子的相位差。例例4 1t+ 1A1t=0 1A1 1 tt=0.1 2 1A2 2t 2 t+ 2 23101 解：解：252 21 265t111 45t222 12512 OXA2二、相位差（同頻率）二、相位差（同頻率）)()(1122tt 當(dāng)兩同頻率的諧振

6、動計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同時(shí)，任當(dāng)兩同頻率的諧振動計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同時(shí)，任意時(shí)刻的相位差等于初相位差。意時(shí)刻的相位差等于初相位差。OX討論討論（1） = 2k （k=0， 1， 2 ）兩諧振動同相。兩諧振動同相。OXtA2A1A1A2 A1A2t=0t=T/4同方向、同頻率、計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同方向、同頻率、計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同同（2） = （2k+1） （k=0， 1， 2 ） 兩諧振動反相。兩諧振動反相。OXOXtA2A1A1A2 A2 A1t=0t=T/4同方向、同頻率、計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同方向、同頻率、計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同同OXt （3） 取除取除 2k 、 （2k+1） 外外的任意值，兩諧振動相位不一致，相互之間的的任意值，兩諧振動

7、相位不一致，相互之間的狀態(tài)稱超前或落后。狀態(tài)稱超前或落后。 OXA1A1A2A2 tt=T/40同方向、同頻率、計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同方向、同頻率、計(jì)時(shí)起點(diǎn)相同同9 4 簡諧振動的能量簡諧振動的能量一、彈簧振子的能量一、彈簧振子的能量mOXVt時(shí)刻時(shí)刻)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpx系統(tǒng)總能量系統(tǒng)總能量2222121AmkAEEEpk二、討論二、討論1.系統(tǒng)的總能量由振動的初始條件決定。系統(tǒng)的總能量由振動的初始條件決定。2.能量方程能量方程Ekxdtdxm2221)(21mOXVx例例1 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體和一個(gè)輕彈簧組成彈簧振的物體和一個(gè)輕彈簧組成彈簧

8、振子，其固有振動周期為子，其固有振動周期為T。當(dāng)它做振幅為。當(dāng)它做振幅為A的的自由振動時(shí)，求其振動能量自由振動時(shí)，求其振動能量E。解：解：22Am21E T2 22222ATm2Am21E 一物體質(zhì)量為一物體質(zhì)量為0.25kg，在彈性力的作用下作簡諧振，在彈性力的作用下作簡諧振動，彈簧的勁度系數(shù)動，彈簧的勁度系數(shù)k=25 Nm-1，如果起始振動時(shí)具有勢，如果起始振動時(shí)具有勢能能0.06J和動能和動能0.02J，求，求： （1）振幅；）振幅； （2） 動能等于勢能時(shí)的位移；動能等于勢能時(shí)的位移； （3）經(jīng)過平衡位置時(shí)物體的速度。經(jīng)過平衡位置時(shí)物體的速度。 例例22kA21E k)EE(2kE2A

9、pk m08.0 （1）（2）E21EEpk 2pkx21E m566.0kEx （3）0 x Emv21E2mk s/m.mEv402 例例3:如圖所示如圖所示,一勁度系數(shù)為一勁度系數(shù)為k的輕彈簧的輕彈簧, 在水平面作振幅為在水平面作振幅為A的諧振的諧振動時(shí)動時(shí), 有一粘土有一粘土(質(zhì)量為質(zhì)量為m,從高度從高度h處自由下落處自由下落), 正好落在彈簧所正好落在彈簧所系的質(zhì)量為系的質(zhì)量為M的物體上的物體上,求求:(1)振動的周期有何變化振動的周期有何變化?(2)振幅有何變化振幅有何變化?設(shè)設(shè)(a)粘土是在物體通過平衡位置時(shí)落在其上的粘土是在物體通過平衡位置時(shí)落在其上的; (b)粘土是粘土是物體

10、在最大位移處落在其上的物體在最大位移處落在其上的.Mh已知已知:K,M, A, m, h求求:(1)T變化變化(2)A變化變化(a):t=0,x0=0 (b):t=0, x0=A ox解解:(1)周期與振動角頻率有周期與振動角頻率有關(guān)關(guān), 為為固有頻率固有頻率mk 粘土落下前粘土落下前:MK 粘土落下后粘土落下后:mMK KMT 22KmMT 22(2)設(shè)碰前振幅為設(shè)碰前振幅為A,碰后振幅為碰后振幅為A (a):t=0,x0=0 設(shè)碰前物體正通過平衡位置設(shè)碰前物體正通過平衡位置,向向x軸正向運(yùn)動軸正向運(yùn)動00vhox0vM以粘土與振子組成的系統(tǒng)為研究對象以粘土與振子組成的系統(tǒng)為研究對象系統(tǒng)在水

11、平方向動量守恒系統(tǒng)在水平方向動量守恒 vmMvM 0碰前動量碰前動量碰后動量碰后動量0vmMMv 對碰前對碰前M和碰后和碰后M+m運(yùn)用運(yùn)用簡諧振動機(jī)械能守恒定律簡諧振動機(jī)械能守恒定律2022121MvkA 222121vmMAk hox0vMAmMMA (b):t=0, x0=A v0=0 t=0, x0=A v0=0;粘土此時(shí)落下粘土此時(shí)落下,由由系統(tǒng)水平方向動量守恒系統(tǒng)水平方向動量守恒00 vv故振幅保持不變故振幅保持不變,AA hox0vM9-5 諧振動的合成諧振動的合成一、兩個(gè)同方向同頻率諧振動的合成一、兩個(gè)同方向同頻率諧振動的合成二、同方向同頻率多個(gè)諧振動的合成二、同方向同頻率多個(gè)諧

12、振動的合成三、同方向不同頻率的兩諧振動的合成三、同方向不同頻率的兩諧振動的合成四、相互垂直的同頻率的諧振動的合成四、相互垂直的同頻率的諧振動的合成五、相互垂直的不同頻率的諧振動的合成五、相互垂直的不同頻率的諧振動的合成一、同方向同頻率諧振動的合成一、同方向同頻率諧振動的合成)cos()cos(222111tAxtAx21xxx？ A1A2AOXx1x2x 1 2 ）（tAxxxcos21）（12212221cos2AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg 質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的諧振動，質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的諧振動，其合振動仍是在同方向上同頻率的諧振動。其合

13、振動仍是在同方向上同頻率的諧振動。結(jié)論結(jié)論討論討論振幅與初相位差的關(guān)系振幅與初相位差的關(guān)系 （A ）（1） = 2k （k=0， 1， 2 ）A = A1 + A2兩諧振動相互加強(qiáng)。兩諧振動相互加強(qiáng)。OXtx1x2x）（12212221cos2AAAAA（2） = （2k+1） （k=0， 1 ）21AAA兩諧振動相互減弱。兩諧振動相互減弱。OXtx2x1x）（12212221cos2AAAAA2121AAAAAOXtx1x2x）、（122kk（3） 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧運(yùn)動，表達(dá)式為運(yùn)動，表達(dá)式為)m(3t2cos8x1 試求其合振動的振幅

14、和初相位。試求其合振動的振幅和初相位。)m(32t2cos5x2 OxA1A2)m()3t2cos(3x 例例112A 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧運(yùn)動，表達(dá)式為諧運(yùn)動，表達(dá)式為)m(3t2cos4x1 試求其合振動的振幅和初相位。試求其合振動的振幅和初相位。)m(6t2cos3x2 OxA1A2例例2A)m( )125.0t2cos(5x 12)m(5AAA2221 125.0AAtg31211 二、同方向同頻率多個(gè)諧振動的合成二、同方向同頻率多個(gè)諧振動的合成)cos()cos(222111tAxtAx ）（tAxxXcos21A、 的計(jì)算：的計(jì)算：

15、（1）公式；）公式；（2）旋轉(zhuǎn)矢量）旋轉(zhuǎn)矢量 的合成。的合成。A2A3A5A1A7A 1 2 - 1 3 - 2 4 - 3 5 - 4 6 - 5A6A4 7 - 6OX作業(yè)：作業(yè)：單元單元30(一一)1, 2, 3, 4, 5, 6；(二二)4; (三三)2, 4(四四)1，2；1. 振動方程振動方程動力學(xué)方程動力學(xué)方程kxfs彈性力彈性力dtdxCfrC：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)阻尼力阻尼力022022xdtdxdtxdmC2阻尼因數(shù)阻尼因數(shù)其中：其中：mk20固有頻率固有頻率9-6 阻尼、受迫振動、共振阻尼、受迫振動、共振二、受迫振動二、受迫振動 系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下發(fā)生的振動。周系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下發(fā)生的振動。周期性外力稱為策動力（強(qiáng)迫力）。期性外力稱為策動力（強(qiáng)迫力）。1. 振動方程振動方程彈性力：彈性力：kxfs阻尼力：阻尼力：dtdxCfr策動力：策動力：tFfpcos0t ）（tAxpcos其中：其中：22012222024)(pppptgfA與初始條與初始條件無關(guān)。件無關(guān)。3.共振共振當(dāng)當(dāng)2202rp時(shí)時(shí)2202fAAr0rrA共共 振振力學(xué)共振力學(xué)共振1. “魚洗魚洗”；2.工程設(shè)計(jì)中的禁忌；工程設(shè)計(jì)中的禁忌