數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽第2套試題

1、第1號(hào)題 水質(zhì)評(píng)價(jià)按照中華人民共和國(guó)地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，地下水水質(zhì)共分六個(gè)等級(jí)（如表一）。現(xiàn)經(jīng)過(guò)抽樣得到三個(gè)地區(qū)的水質(zhì)狀況（如表二），對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)，試評(píng)價(jià)他們各屬哪一級(jí)。表一 地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)類(lèi)類(lèi)類(lèi)類(lèi)COD(mg/l)12366硒（mg/l）0.0050.010.010.050.05汞（ug/l）0.050.5111總硬度（mg/l）150300450550550硝酸鹽（mg/l）25203030錳（mgl/l）0.050.050.111亞硝酸鹽（mg/l）0.0010.010.020.10.1表二 三個(gè)地區(qū)水質(zhì)狀況COD(mg/l)硒（mg/l）汞（ug/l）總硬度（mg/l）硝酸鹽（mg/l）錳（

2、mgl/l）亞硝酸鹽（mg/l）11.4200.02360.825.60.6023.410.020.4420.732.50.20.0234.010.030.5380.912.40.080.01第2號(hào)題 工資比較 為研究工資水平與工作年限和性別之間的關(guān)系，在某行業(yè)中隨機(jī)抽取10名職工，所得數(shù)據(jù)如表一所示，試通過(guò)回歸方程分析月工資收入與性別和工作年限有何關(guān)系。 表一 10名職工工資水平、工作年限和性別數(shù)據(jù)月工資收入工作年限性別月工資收入工作年限性別29002男49007男30006女42009女48008男48008女18003女44004男29002男45006男第3號(hào)題 農(nóng)產(chǎn)品定價(jià)某國(guó)政府要為

3、其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定價(jià)。所有這些產(chǎn)品都直接或間接的來(lái)自國(guó)家的原奶生產(chǎn)。原奶首先要分離成脂肪和奶粉兩中組合，去掉生產(chǎn)出口產(chǎn)品和農(nóng)場(chǎng)消費(fèi)的產(chǎn)品的部分后，余下的共有60萬(wàn)噸脂肪和70萬(wàn)噸奶粉，可用于生產(chǎn)牛奶、奶油和兩種奶酪，供國(guó)內(nèi)全年消費(fèi)。各種產(chǎn)品的百分比組成見(jiàn)下表：產(chǎn)品成分脂肪奶粉水牛奶4987奶油80218奶酪1353035奶酪2254035往年的國(guó)內(nèi)消費(fèi)和價(jià)格如下表：產(chǎn)品牛奶奶油奶酪1奶酪2消費(fèi)量（千噸）482032021070價(jià)格（元/噸）2977201050815價(jià)格的變化會(huì)影響消費(fèi)需求。為表現(xiàn)這方面的規(guī)律，定義需求的價(jià)格伸縮性 E： E=需求降低百分?jǐn)?shù)/價(jià)格提高百分?jǐn)?shù) 各種產(chǎn)品的

4、E值，可以據(jù)往年的價(jià)格而后需求變化情況的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法求出。另外，兩種奶酪的需求，隨它們價(jià)格的相對(duì)變化，在某種程度上可以相互替代。表現(xiàn)這一規(guī)律要用需求關(guān)于價(jià)格的交叉伸縮性EAB定義作： EAB=A需求提高百分?jǐn)?shù)/B價(jià)格提高百分?jǐn)?shù) 奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸縮性E21值,同樣可以憑數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法求出 已經(jīng)求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次為0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1, E21=0.4. 試求出4種產(chǎn)品的價(jià)格，試所導(dǎo)致的需求使銷(xiāo)售總收入為最大。然而，政策不允許某種價(jià)格指標(biāo)上升，這使得新的價(jià)格必須使消費(fèi)的總費(fèi)用較上一年度不增加。因此，對(duì)問(wèn)題

5、的一個(gè)特別重要的附加要求，是對(duì)這一政策限制的經(jīng)濟(jì)代價(jià)，給出數(shù)量表示。第4號(hào)題 投資決策某地區(qū)根據(jù)經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃,擬投資建造一級(jí)和二級(jí)公路若干條，綜合分析后，提出公路等級(jí)、公路里程、公路用地面積、造價(jià)、主要原材料用量和年貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量等決策參數(shù)列于表一,試選擇公路建設(shè)的最優(yōu)方案。表一 公路投資決策參數(shù)決策參數(shù)一級(jí)公路二級(jí)公路資源限額擬建公路里程(km)xy用地面積(100m2/km)2502006000dm2左右造價(jià)(萬(wàn)元/km)3001405000左右水泥用量(t/km)80050015000t左右瀝青用量(t/km)320906500t左右年貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量(104t/km)15008002500010

6、4左右第5號(hào)題 銷(xiāo)售選址某公司準(zhǔn)備在某市建立兩個(gè)銷(xiāo)售代理點(diǎn)，向該市7個(gè)區(qū)的顧客銷(xiāo)售商品，每個(gè)區(qū)的顧客數(shù)量（單位：千人）已經(jīng)表示在下圖上，每個(gè)銷(xiāo)售代理點(diǎn)只能向本區(qū)和一個(gè)相鄰區(qū)的顧客銷(xiāo)售商品，這兩個(gè)銷(xiāo)售代理點(diǎn)應(yīng)該建在何處，才能使所能服務(wù)的顧客數(shù)量最大，試建立模型并求解。第6號(hào)題 績(jī)效評(píng)估某公司有三位副經(jīng)理，現(xiàn)要對(duì)他們進(jìn)行年度績(jī)效考評(píng)，評(píng)估結(jié)果將作為發(fā)放獎(jiǎng)金和晉升的依據(jù)。公司對(duì)25名關(guān)鍵員工進(jìn)行了關(guān)于三位經(jīng)理工作滿(mǎn)意度的調(diào)查，表一中是調(diào)查問(wèn)卷的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。若公司總經(jīng)理一職因多方原因空缺，需從三位副經(jīng)理當(dāng)中提升，請(qǐng)問(wèn)哪位副經(jīng)理才是最合適的人選。表一 調(diào)查問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)結(jié)果評(píng)價(jià)項(xiàng)目評(píng)價(jià)等級(jí)好較好一般差甲乙丙甲乙

7、丙甲乙丙甲乙丙工作能力91210141210215000團(tuán)隊(duì)精神315114719725110創(chuàng)新精神514515813526011尊重員工1134108141126321公平公正2152119151217001幫助員工514114716628020認(rèn)真負(fù)責(zé)413269171325211溝通交流316188141218202第7號(hào)題 校園巴士的運(yùn)行方案由于校園巴士存在等客問(wèn)題，使得校內(nèi)黑巴載人現(xiàn)象嚴(yán)重，影響校園內(nèi)的交通。為了徹底鏟除校內(nèi)黑巴，只靠保衛(wèi)處嚴(yán)管遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，需從運(yùn)營(yíng)效益方面限制黑巴的收入，從而使其自行退出。假設(shè)目前有校內(nèi)巴士12臺(tái)，每臺(tái)車(chē)可容納15人；黑巴小面包10臺(tái)（可容35人），大

8、面包3臺(tái)（可容69人），分布于大門(mén)口、教學(xué)區(qū)和薈園公寓處。如果在高峰時(shí)（早晨7：008：00；中午12：0012：30；晚5：006：00）校內(nèi)巴士等待的時(shí)間為3分鐘，其它時(shí)間段校內(nèi)巴士等待的時(shí)間為10-20分鐘。請(qǐng)計(jì)算全天各類(lèi)車(chē)的總的運(yùn)客量，并根據(jù)這個(gè)運(yùn)客量安排校內(nèi)巴士的數(shù)量、等車(chē)間隔時(shí)間，以使每輛黑巴的收入低于20元，可假設(shè)校園巴士運(yùn)行一趟約七公里，車(chē)輛的平均速度為30公里/小時(shí)。第8號(hào)題 搭配問(wèn)題14個(gè)人AN可以有以下33組搭配工作方式，A B C，B C E，F(xiàn) G H，G H I，H I K，H J K，A B，A E，B C，B E，C D，C E，D E，E F，E J，F(xiàn) G，

9、F H，G H，G I，H I，H J，H K，I K，I L，J K，J M，K L，K M，L N，M N，B，D，L。同一時(shí)間段內(nèi)，要求每個(gè)人都在工作，試問(wèn)：(1) 從中選取5組搭配能不能保證每個(gè)人都在工作？為什么。(2) 如果選取6組搭配能不能保證每個(gè)人都在工作？有多少種選取方式？(3) 列舉選取6組以上的情況。第9號(hào)題 選擇應(yīng)急中心位置某城鎮(zhèn)至今尚無(wú)應(yīng)急設(shè)施，今得到一筆上級(jí)撥款，擬將消防隊(duì)，醫(yī)院和公安局集中在一處，用于在城鎮(zhèn)中建立一個(gè)應(yīng)急中心。根據(jù)去年各街區(qū)發(fā)生應(yīng)急事件的次數(shù)如下圖1（每個(gè)小方格代表一個(gè)街區(qū)，橫豎線(xiàn)代表街道。圖中左邊有一反“L”形陰影區(qū)域表示該處有一障礙，右邊長(zhǎng)方形陰

10、影區(qū)域是一淺水塘公園，可以認(rèn)為這些陰影部份應(yīng)急事件次數(shù)均為零。）應(yīng)急車(chē)駛過(guò)南北向一個(gè)街區(qū)平均花15S，東西街區(qū)平均花20S，試問(wèn)應(yīng)將應(yīng)急中心建于何處，能使最長(zhǎng)應(yīng)急響應(yīng)時(shí)間最短。注：應(yīng)急中心一般建在街角處。若建兩處應(yīng)急中心，又應(yīng)選在什么位置呢？第10號(hào)題 房地產(chǎn)銷(xiāo)售問(wèn)題我市某房地產(chǎn)公司通過(guò)對(duì)歷史資料進(jìn)行回歸分析（即數(shù)據(jù)擬合），并結(jié)合2008年上半年可能出現(xiàn)的影響樓盤(pán)銷(xiāo)售的因素，預(yù)測(cè)該公司2008年上半年的銷(xiāo)售情況如下表所示：月 份1 2 3 4 5 6 銷(xiāo)售量（套）42 32 41 67 25 29 該公司的樓盤(pán)2007年12月的銷(xiāo)售均價(jià)為4800元/平方米，平均每套120平方米，2008年上半

11、年的售價(jià)保持不變。2007年12月末尚有49套現(xiàn)房未售出。商品房從規(guī)劃到售出會(huì)發(fā)生下列費(fèi)用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指購(gòu)地、機(jī)器設(shè)備的折舊）和可變成本（鋼材、水泥、裝飾材料和人工成本等，其中人工成本在可變成本中占到大約40%），按照2007年12月份的建材價(jià)格計(jì)算，可變成本（萬(wàn)元）與商品房建造套數(shù)（以平均每套120平方米計(jì)算）的平方成正比，比例系數(shù)為0.5。且可變成本與建材價(jià)格上漲幅度有關(guān)，例如建材價(jià)格上漲10%，則可變成本是按前面方法計(jì)算結(jié)果的1.1倍。（2）銷(xiāo)售費(fèi)用，與當(dāng)月銷(xiāo)售金額成正比。（3）折舊，建造好的商品房未售出的必須計(jì)提折舊，折舊分40年平均攤銷(xiāo)，即該公司生產(chǎn)的商品房

12、平均每套每月的折舊為48萬(wàn)元/（40*12）=0.1萬(wàn)元。近年以來(lái)，央行和國(guó)家發(fā)改委等部門(mén)出臺(tái)了一系列措施平抑建材價(jià)格，但由于對(duì)建材需求結(jié)構(gòu)而言，總體上求大于供的市場(chǎng)狀況沒(méi)有得到根本改善，預(yù)計(jì)今年建材的價(jià)格仍會(huì)有一定的增長(zhǎng)。預(yù)計(jì)的增長(zhǎng)速度（以2007年12月的價(jià)格為基準(zhǔn)）見(jiàn)下表：月 份1 2 3 4 5 6 增長(zhǎng)速度10% 10% 15% 15% 20% 20% 該公司希望在上半年就把建造好的房屋全部銷(xiāo)售完，為使利潤(rùn)最大化，需要制定出從2008年1月到6月每月的建造計(jì)劃（即每月完成多少套，以平均每套120平方米計(jì)算）。（1）如果公司的月建造能力沒(méi)有限制，并允許期房（即尚未建好的房屋）銷(xiāo)售，但在

13、6月底前要全部完成交房，如何制定月建造計(jì)劃？（2）如果公司的月建造能力限于33套（以平均每套120平方米計(jì)算），并且允許期房（即尚未建好的房屋）銷(xiāo)售，但在6月底前要全部完成交房，又該如何制定月建造計(jì)劃？第11號(hào)題 牧場(chǎng)的管理有一塊一定面積的草場(chǎng)放牧羊群，管理者要估計(jì)草場(chǎng)能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要貯存多少草供冬季之用.為解決這些問(wèn)題調(diào)查了如下的背景材料：1） 本地環(huán)境下這一品種草的日生長(zhǎng)率為季節(jié)冬 春 夏 秋日生長(zhǎng)率（g/m2） 0 3 7 42）羊的繁殖率 通常母羊每年產(chǎn)13只羊羔，5歲后被賣(mài)掉。為保持羊群的規(guī)?？梢再I(mǎi)進(jìn)羊羔，或者保留一定數(shù)量的母羊。每只母羊的平均繁殖率為年齡01

14、 12 23 34 45產(chǎn)羊羔數(shù) 0 1.8 2.4 2.0 1.83)羊的存活率 不同年齡的母羊的自然存活率（指存活一年）為年齡12 23 34 存活率0.98 0.95 0.80 4）草的需求量 母羊和羊羔在各個(gè)季節(jié)每天需要的草的數(shù)量（kg）為季節(jié)冬 春 夏 秋母羊2.05 2.40 1.15 1.30 羊羔0 1.00 1.65 0注：只關(guān)心羊的數(shù)量，而不管它們的重量。一般在春季產(chǎn)羊羔，秋季將全部公羊和一部分母羊賣(mài)掉，保持羊群數(shù)量不變。第12號(hào)題 選課問(wèn)題 某同學(xué)考慮下學(xué)期的選課，其中必修課只有一門(mén)（2學(xué)分），可供選修的限定選修課（限選課）有8門(mén)，任意選修課（任選課）有10門(mén)。由于有些課

15、程之間相互關(guān)聯(lián)，所以可能在選修某門(mén)課程時(shí)必須同時(shí)選修其他某門(mén)課程，課程信息見(jiàn)下表：限選課課號(hào)12345678學(xué)分55443332同時(shí)選修要求12任選課課號(hào)9101112131415161718學(xué)分3332221111同時(shí)選修要求864576按學(xué)校規(guī)定，學(xué)生每個(gè)學(xué)期選修的總學(xué)分?jǐn)?shù)不能少于20學(xué)分，因此該同學(xué)必須在上述18門(mén)課中至少選修18個(gè)學(xué)分，學(xué)校還規(guī)定學(xué)生每學(xué)期選修任選課的比例不能少于所修總學(xué)分（包括2個(gè)必修學(xué)分）的1/6,也不能超過(guò)所修總學(xué)分的1/3。學(xué)院也規(guī)定，課號(hào)為5，6，7，8的課程必須至少選一門(mén)。試問(wèn)：1）為了達(dá)到學(xué)校和院系的規(guī)定，該同學(xué)下學(xué)期最少應(yīng)該選幾門(mén)課？應(yīng)該選哪幾門(mén)課？2）

16、若考慮在選修最少學(xué)分的情況下，該同學(xué)最多可以選修幾門(mén)課？選哪幾門(mén)？3）若考慮到選修時(shí)課程能否如愿選上的問(wèn)題，請(qǐng)多準(zhǔn)備幾套選擇方案。已知課程限選人數(shù)為1，2，3，4限選人數(shù)最多，5，6，7，8次之，13、17、18限選人數(shù)最少。請(qǐng)考慮選課時(shí)的先后順序（先選者先錄，人滿(mǎn)停選）。第13號(hào)題 企業(yè)評(píng)價(jià)選定20個(gè)評(píng)價(jià)者對(duì)某一企業(yè)的市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，將評(píng)價(jià)等級(jí)分為五等，如表一所示，評(píng)價(jià)等級(jí)的數(shù)字表示人數(shù)，如“資產(chǎn)負(fù)債率”一欄表示有6個(gè)人認(rèn)為很好，9個(gè)人認(rèn)為較好等等，采用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)該企業(yè)屬于哪一等級(jí)作出評(píng)價(jià)。表一 企業(yè)市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)效果評(píng)價(jià)情況評(píng)價(jià)因素評(píng)價(jià)因子評(píng)價(jià)等級(jí)很好較好一般較差很差財(cái)務(wù)效果資產(chǎn)負(fù)債率6

17、9410資產(chǎn)報(bào)酬率216200股東權(quán)益報(bào)酬率112700銷(xiāo)售凈利率19820競(jìng)爭(zhēng)效果顧客滲透率310610顧客忠誠(chéng)度26840顧客選擇性39710價(jià)格選擇性18290營(yíng)銷(xiāo)效率市場(chǎng)擴(kuò)大速度18920銷(xiāo)售費(fèi)用對(duì)銷(xiāo)售額比率27342公眾效果社會(huì)貢獻(xiàn)率18551競(jìng)爭(zhēng)者仿效率14861媒介注意度17930顧客滿(mǎn)意度25841服務(wù)效果承諾履約率57431用戶(hù)投訴率08471商品退換率19550社會(huì)導(dǎo)向消費(fèi)者影響率86240品牌形成率4483114: 考試場(chǎng)次的安排某校有學(xué)生班40個(gè)，開(kāi)設(shè)課程50門(mén)（課程代號(hào)為：1，2，3，4，, 50），課表如下：班號(hào)A1A2A3A4選課1,2,5,8,13,16,17,

18、242,4,6,9,43,45,503,7,35,38,40,4123,26,28,32,31,45班號(hào)A5A6A7A8選課11,14,18,19,24,25,281,5,9,29,26,34,383,4,7,10,15,19,204,11,14,16,19,21,24班號(hào)A9A10A11A12選課1,2,5,8,18,50,233,5,23,24,26,30,39,417,8,9,45,48,49,5010,12,15,19,21,27,31班號(hào)A13A14A15A16選課5,41,44,45,46,48,4910,12,18,20,23,27,2920,22,26,30,31,33,352

19、3,25,29,32,35,36班號(hào)A17A18A19A20選課32,33,36,38,40,42,441,8,9,21,22,34,35,3611,13,15,18,19,2422,25,28,29,34,35,42班號(hào)A21A22A23A24選課50,45,46,35,37,38,3933,35,2,5,12,282,5,9,12,19,29,483,13,23,33,43,44,48班號(hào)A25A26A27A28選課4,7,22,17,27,37,445,7,33,48,4933,36,48,49,502,8,12,28,39,48,49班號(hào)A29A30A31A32選課10,12,33,2

20、3,45,35,372,4,8,12,42,483,6,9,10,43,45,5021,26,27,29,37,39班號(hào)A33A34A35A36選課2,4,6,8,18,28,30,3210,4,24,26,27,2820,22,23,33,425,9,15,25,37,46班號(hào)A37A38A39A40選課1,3,5,13,24,26,339,10,12,23,43,4621,23,27,39,44,4833,34,44,45,46,47所有課都在同一時(shí)間結(jié)束，并規(guī)定了考試時(shí)間，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：1 如果每個(gè)學(xué)生只選三門(mén)課（課程編號(hào)大的優(yōu)先）進(jìn)行考試，試安排考場(chǎng)。2 每一個(gè)學(xué)生所選的每一門(mén)課都必

21、須考試，試安排考場(chǎng)。3 若學(xué)校被用來(lái)考試的教室有限，最少應(yīng)是多少教室，應(yīng)如何考慮？4 一般情況如何考慮？注：學(xué)校要求：考試的整個(gè)場(chǎng)次盡可能的少，同一門(mén)課必須用同一張?jiān)嚲怼?5 飛越北極 今年6月，揚(yáng)子晚報(bào)發(fā)布消息：“中美航線(xiàn)下月可飛越北極，北京至底特律可節(jié)省4小時(shí)”，摘要如下： 7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機(jī)飛越北極，此改變可大幅度縮短北美與亞洲間的飛行時(shí)間，旅客可直接從休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飛北京等地。據(jù)加拿大空中交通管制局估計(jì)，如飛越北極，底特律至北京的飛行時(shí)間可節(jié)省4個(gè)小時(shí)。由于不需中途降落加油，實(shí)際節(jié)省的時(shí)間不止此數(shù)。假設(shè)：飛機(jī)飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時(shí)9

22、80公里；從北京至底特律原來(lái)的航線(xiàn)飛經(jīng)以下10處：A1 (北緯31度，東經(jīng)122度)； A2 (北緯36度，東經(jīng)140度)；A3 (北緯 53度，西經(jīng)165度)； A4 (北緯62度，西經(jīng)150度); A5 (北緯 59度，西經(jīng)140度)； A6 (北緯 55度，西經(jīng)135度)；A7 (北緯 50度，西經(jīng)130度)； A8 (北緯 47度，西經(jīng)125度)；A9(北緯 47度，西經(jīng)122度)； A10 (北緯 42度，西經(jīng)87度)。請(qǐng)對(duì)“北京至底特律的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)“從數(shù)學(xué)上作出一個(gè)合理的解釋?zhuān)謨煞N情況討論：（1） 設(shè)地球是半徑為6371千米的球體；設(shè)地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，赤道半徑為637

23、8千米，子午線(xiàn)短半軸為6357千米。16 題 如何填報(bào)高考志愿每年的高考牽動(dòng)千家萬(wàn)戶(hù)，如何根據(jù)自己的高考成績(jī)合理地填報(bào)志愿是困擾每個(gè)考生的實(shí)際問(wèn)題。請(qǐng)你收集自己所在的省、市、自治區(qū)各高校歷年的錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)（至少?gòu)?001年至2006年）解決以下問(wèn)題：1. 首先將各高校按照重點(diǎn)院校（第一批招生），一般本科和高職高專(zhuān)分為三類(lèi)，依據(jù)歷年各地區(qū)的一本、二本、專(zhuān)科分?jǐn)?shù)線(xiàn)，給出三類(lèi)院校錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)與各地區(qū)的一本、二本、專(zhuān)科分?jǐn)?shù)線(xiàn)之間的關(guān)聯(lián)分析.2. 根據(jù)每個(gè)高校歷年的錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)，從中找出規(guī)律，進(jìn)而預(yù)測(cè)2007年的錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)3. 由于每年都會(huì)發(fā)生高分學(xué)生“撞車(chē)現(xiàn)象”，請(qǐng)你收集自己所在地區(qū)的“高分撞車(chē)”數(shù)據(jù)，建立

24、模型進(jìn)行分析并給出如何避免“高分撞車(chē)”現(xiàn)象的策略.17 空洞探測(cè) 山體、隧洞、壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測(cè)量來(lái)確定。一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題可描述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿(mǎn)空氣的空洞，在平板的兩個(gè)鄰邊分別等距地設(shè)置若干波源，在它們的對(duì)邊對(duì)等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個(gè)波源到達(dá)對(duì)邊上每個(gè)接收器的時(shí)間，根據(jù)彈性波在介質(zhì)中和在空氣中不同的傳播速度，來(lái)確定板內(nèi)空洞的位置?，F(xiàn)考察如下的具體問(wèn)題：一塊240（米）×240（米）的平板（如圖），在 AB邊等距地設(shè)置7個(gè)波源Pi (i=1,7)，CD邊對(duì)等地安放7個(gè)接收器Qj (j=1,7)，記錄由Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj的時(shí)間ti

25、j(秒); 在 AD邊等距地設(shè)置7個(gè)波源Ri (i=1,7)，BC邊對(duì)等地安放7個(gè)接收器Sj (j=1,7)，記錄由Ri發(fā)出的彈性波到達(dá)Sj的時(shí)間ij (秒)。已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880（米/秒）和320（米/秒），且彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。1）確定該平板內(nèi)空洞的位置。QjABCDPiRiSj 2）只根據(jù)由Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj的時(shí)間tij(i,j=1,7)，能確定空洞的位置嗎；討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接受器的方法。tijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P10.06110.08950.19960.20320.41810.492

26、30.5646P20.09890.05920.44130.43180.47700.52420.3805P30.30520.41310.05980.41530.41560.35630.1919P40.32210.44530.40400.07380.17890.07400.2122P50.34900.45290.22630.19170.08390.17680.1810P60.38070.31770.23640.30640.22170.09390.1031P70.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042ijS1S2S3S4S5S6S7R10.06450.060

27、20.08130.35160.38670.43140.5721R20.07530.07000.28520.43410.34910.48000.4980R30.34560.32050.09740.40930.42400.45400.3112R40.36550.32890.42470.10070.32490.21340.1017R50.31650.24090.32140.32560.09040.18740.2130R60.27490.38910.58950.30160.20580.08410.0706R70.44340.49190.39040.07860.07090.09140.0583彈性介質(zhì)中

28、物質(zhì)粒子間有彈性相互作用，當(dāng)某處物質(zhì)粒子離開(kāi)平衡位置，即發(fā)生應(yīng)變時(shí)，該粒子在彈性力的作用下發(fā)生振動(dòng)，同時(shí)又引起周?chē)Ｗ拥膽?yīng)變和振動(dòng)，這樣形成的振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播過(guò)程稱(chēng)為“彈性波”。18 西部地區(qū)農(nóng)村建設(shè)規(guī)劃問(wèn)題在我國(guó)西北部某些干旱地區(qū)，水資源量不足是發(fā)展農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)的主要限制因素之一。緊密配合國(guó)家西部大開(kāi)發(fā)和新農(nóng)村建設(shè)的方針政策，合理利用水資源，加強(qiáng)農(nóng)田水利工程建設(shè)，加速西部農(nóng)牧業(yè)發(fā)展，這是當(dāng)?shù)卣囊粋€(gè)重要任務(wù)。在水利工程建設(shè)中，如何合理規(guī)劃，發(fā)揮最大的水利經(jīng)濟(jì)效益，是值得研究的一個(gè)問(wèn)題?，F(xiàn)有問(wèn)題如下：?jiǎn)栴}1： 某地區(qū)現(xiàn)有耕地可分為兩種類(lèi)型，第類(lèi)耕地各種水利設(shè)施配套，土地平整，排灌便利；第

29、類(lèi)耕地則未具備以上條件。其中第類(lèi)耕地有2.5萬(wàn)畝，第類(lèi)耕地有8.2萬(wàn)畝，此外尚有宜墾荒地3.5萬(wàn)畝。該地區(qū)主要作物是小麥，完全靠地表水進(jìn)行灌溉。由于地表水的供應(yīng)量隨季節(jié)波動(dòng)，在小麥揚(yáng)花需水時(shí)恰逢枯水季節(jié)，往往由于缺水使一部分麥田無(wú)法灌溉，影響產(chǎn)量。而且由于第類(lèi)耕地條件差，土地不平整，所以灌溉定額高，浪費(fèi)水量比較大，并且產(chǎn)量還不及第類(lèi)耕地高。進(jìn)一步合理利用水資源的措施有二：其一是進(jìn)行農(nóng)田建設(shè)，把一部分第類(lèi)耕地改造成為第類(lèi)耕地，以節(jié)約用水，提高單產(chǎn)；其二是修建一座水庫(kù)，閑水期蓄水，到小麥揚(yáng)花需水的枯水期放水，從而調(diào)節(jié)全年不用季節(jié)的水量。目前該地區(qū)在整個(gè)小麥生長(zhǎng)期的地表水資源可利用量為96.5百萬(wàn)方

30、，其中小麥揚(yáng)花需水季節(jié)可供水量為7.5百萬(wàn)方。水庫(kù)建成后在小麥揚(yáng)花需水季節(jié)可多供水量為6.5百萬(wàn)方。修建水庫(kù)需要投資5.5百萬(wàn)元，將第類(lèi)耕地改造為第類(lèi)耕地每畝需要投資20元，將荒地開(kāi)墾為第類(lèi)耕地每畝需要投資85元，將荒地直接開(kāi)墾為第類(lèi)耕地每畝需要投資100元。規(guī)劃期內(nèi)，計(jì)劃總投資額為9百萬(wàn)元。該地區(qū)對(duì)小麥的需求量及國(guó)家征購(gòu)指標(biāo)共計(jì)2萬(wàn)噸，超額向國(guó)家交售商品糧每噸可加價(jià)100元。各種條件下水的灌溉額及凈收益情況如下表1：表1： 規(guī)劃年各種條件下的灌溉定額及凈收益類(lèi)別全生長(zhǎng)期澆水量（百方/畝）揚(yáng)花時(shí)澆水量（百方/畝）單產(chǎn)(噸/畝）凈產(chǎn)值（百元/畝）揚(yáng)花時(shí)澆水的第類(lèi)耕7.51.40.250.52揚(yáng)花

31、時(shí)不澆水的第類(lèi)耕6.10.00.20.43揚(yáng)花時(shí)澆水的第類(lèi)耕9.01.650.230.47揚(yáng)花時(shí)不澆水的第類(lèi)耕7.350.00.1850.39為了充分利用水資源，發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，規(guī)劃期內(nèi)應(yīng)該將多少畝第類(lèi)耕地改造為第類(lèi)耕，應(yīng)該開(kāi)墾多少畝荒地，水庫(kù)有沒(méi)有必要修建。問(wèn)題2： 另一地區(qū)現(xiàn)有4種類(lèi)型土地，其基本情況如表2所示。表2： 某地區(qū)現(xiàn)有土地基本情況土地類(lèi)型農(nóng)田工程條件現(xiàn)有面積（萬(wàn)畝）單產(chǎn)（萬(wàn)噸/萬(wàn)畝）生產(chǎn)耗電（百萬(wàn)度/萬(wàn)畝）凈產(chǎn)值（百萬(wàn)元/萬(wàn)畝）無(wú)抗旱，無(wú)排澇6000750015無(wú)抗旱，有排澇250101520有抗旱，無(wú)排澇100090218有抗旱，有排澇05012502525地方政府新農(nóng)村

32、建設(shè)項(xiàng)目中計(jì)劃興建抗旱排澇設(shè)施。興建抗旱設(shè)施每萬(wàn)畝需投資100萬(wàn)元，若再建排澇設(shè)施則必須先治理該流域的主河道，主河道治理投資需300萬(wàn)元。主河道治理后可再使4.5萬(wàn)畝土地能夠搞排澇工程，每萬(wàn)畝需投資50萬(wàn)元。地方政府在規(guī)劃期內(nèi)可籌集資金1000萬(wàn)元，國(guó)家對(duì)該地區(qū)每年可供農(nóng)業(yè)用電2.5百萬(wàn)度，當(dāng)?shù)貙?duì)糧食需求量及國(guó)家征購(gòu)任務(wù)總計(jì)為0.8萬(wàn)噸，超額生產(chǎn)糧食向國(guó)家交售每噸可加價(jià)100元。地方政府應(yīng)該如何確立農(nóng)田基本建設(shè)規(guī)劃，使該地區(qū)到規(guī)劃期內(nèi)凈產(chǎn)值最大（資本回收因子取0.1）。問(wèn)題3： 上述關(guān)于地區(qū)農(nóng)田基本建設(shè)問(wèn)題的描述，對(duì)實(shí)際情況而言是過(guò)分簡(jiǎn)化了的。實(shí)際情況下，一個(gè)地區(qū)可能有幾個(gè)流域，有若干條主河道

33、需要治理，并且其土地類(lèi)型也可能有若干類(lèi)別，農(nóng)田水利條件又可分為若干等級(jí)，所種植的作物也不會(huì)只有一種，植物不同生長(zhǎng)期對(duì)水的需求量也各不相同?？紤]到這些因素，進(jìn)一步擴(kuò)展建模的思路及模型。19題：體能測(cè)試時(shí)間安排某校按照教學(xué)計(jì)劃安排各班學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，以了解學(xué)生的身體狀況。測(cè)試包括身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力和臺(tái)階試驗(yàn)共5個(gè)項(xiàng)目，均由電子儀器自動(dòng)測(cè)量、記錄并保存信息。該校引進(jìn)身高與體重測(cè)量?jī)x器3臺(tái)，立定跳遠(yuǎn)、肺活量測(cè)量?jī)x器各1臺(tái)，握力和臺(tái)階試驗(yàn)測(cè)量?jī)x器各2臺(tái)。身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力4個(gè)項(xiàng)目每臺(tái)儀器每個(gè)學(xué)生的平均測(cè)試（包括學(xué)生的轉(zhuǎn)換）時(shí)間分別為10秒、20秒、20秒、15秒，臺(tái)階試

34、驗(yàn)每臺(tái)儀器一次測(cè)試5個(gè)學(xué)生，需要3分30秒。每個(gè)學(xué)生測(cè)試每個(gè)項(xiàng)目前要錄入個(gè)人信息，即學(xué)號(hào)，平均需時(shí)5秒。儀器在每個(gè)學(xué)生測(cè)量完畢后學(xué)號(hào)將自動(dòng)后移一位，于是如果前后測(cè)試的學(xué)生學(xué)號(hào)相連，就可以省去錄入時(shí)間，而同一班學(xué)生的學(xué)號(hào)是相連的。學(xué)校安排每天的測(cè)試時(shí)間為8：0012：10與13：3016：45兩個(gè)時(shí)間段。5項(xiàng)測(cè)試都在最多容納150個(gè)學(xué)生的小型場(chǎng)所進(jìn)行，測(cè)試項(xiàng)目沒(méi)有固定的先后順序。參加體能測(cè)試的各班人數(shù)見(jiàn)附表。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時(shí)間段內(nèi)完成所有項(xiàng)目的測(cè)試，并且在整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時(shí)間。請(qǐng)你用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言表述各班測(cè)試時(shí)間安排問(wèn)題，給出該數(shù)學(xué)問(wèn)題的算法，

35、盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測(cè)試時(shí)間的安排計(jì)劃，并且說(shuō)明該計(jì)劃怎樣滿(mǎn)足學(xué)校的上述要求和條件。最后，請(qǐng)對(duì)學(xué)校以后的體能測(cè)試就以下方面提出建議，并說(shuō)明理由：如引進(jìn)各項(xiàng)測(cè)量?jī)x器的數(shù)量；測(cè)試場(chǎng)所的人員容量；一個(gè)班的學(xué)生是否需要分成幾個(gè)組進(jìn)行測(cè)試等。附表 參加體能測(cè)試的各班人數(shù) 班號(hào)123456789101112131415人數(shù)584340393048422924602936383946班號(hào)161718192021222324252627282930人數(shù)12162893638454724303621243748班號(hào)313233343536373839404142434445人

36、數(shù)535751582062443738394240375450班號(hào)464748495051525354555657585960人數(shù)42432742455318407516155544382620題 比賽項(xiàng)目的排序在各種運(yùn)動(dòng)比賽中，為了使比賽公平、公正、合理的舉行，一個(gè)基本要求是：在比賽項(xiàng)目排序過(guò)程中，盡可能使每個(gè)運(yùn)動(dòng)員不連續(xù)參加兩項(xiàng)比賽，以便運(yùn)動(dòng)員恢復(fù)體力，發(fā)揮正常水平。1表1是某個(gè)小型運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽報(bào)名表。有14個(gè)比賽項(xiàng)目，40名運(yùn)動(dòng)員參加比賽。表中第1行表示14個(gè)比賽項(xiàng)目，第1列表示40名運(yùn)動(dòng)員，表中“”號(hào)處的位置表示運(yùn)動(dòng)員參加此項(xiàng)比賽。建立此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并且合理安排比賽項(xiàng)目順序，使連續(xù)

37、參加兩項(xiàng)比賽的運(yùn)動(dòng)員人次盡可能的少；2說(shuō)明上述算法的合理性；3對(duì)“問(wèn)題2”的比賽排序結(jié)果，給出解決“運(yùn)動(dòng)員連續(xù)參加比賽”問(wèn)題的建議及方案。表1某小型運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽報(bào)名表項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員12345678910111213141#2#3#4#5#6#7#8#9#10#11#12#13#14#15#16#17#18#19#20#21#22#23#24#25#26#27#28# 29#30 #31#32#33#34#35#36#37#38#39#40#21.基金使用計(jì)劃某大學(xué)獲得了一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其投入到學(xué)校教學(xué)或科研中。經(jīng)行家分析，投入到科研上，這筆基金給學(xué)校帶來(lái)的年平均收益情況見(jiàn)下表1（譬如某人或?qū)W科組申請(qǐng)到此基金的一部分作為科研經(jīng)費(fèi)，申請(qǐng)時(shí)間3個(gè)月，3個(gè)月期滿(mǎn)必須歸還?；饡?huì)）。投資收益率又稱(chēng)投資利潤(rùn)率是指投資收益（稅后）占投資成本的比率。收益率公式：投資收益率投資收益投資成本×100表1：科研基金年平均收益率（%）種類(lèi)3個(gè)月6個(gè)月一年二年三年五年收益率（%）1