最小二乘曲線擬合及其MATLAB實現(xiàn)

1、 現(xiàn)代測量數(shù)據(jù)處理方法學生課題論文論 文 題 目 ：最小二乘曲線擬合及其MATLAB實現(xiàn)學 院 ：土木工程學院年級專業(yè)班 ：2013級測繪工程一班學 生 姓 名： 學 生 學 號：指 導 老 師提 交 時 間：2016年1月成 績教師簽名目 錄0 引 言31 曲線擬合與最小二乘法概述41.1 曲線擬合簡介41.2 最小二乘法簡介52 曲線擬合的最小二乘法原理62.1 原理的闡述及理論公式推導62.2 結合實例分析與理解82.3 總結歸納求解步驟113 基于MATLAB的最小二乘曲線擬合123.1 MATLAB軟件介紹123.2 求解的基本理論闡述133.3 結合實例進行MATLAB解算144

2、最小二乘曲線擬合案例分析與解算164.1 案例敘述164.2 數(shù)據(jù)輸入與分析174.3 進行擬合求解184.3.1 手工解算184.3.1 基于MATLAB的解算194.4 擬合函數(shù)的精度檢測214.5擬合函數(shù)在實際運用中的優(yōu)勢225 結 論23參考文獻24最小二乘曲線擬合及其MATLAB實現(xiàn)陳濤1（1. 重慶交通大學土木工程學院，重慶400074；）摘 要隨著人類認識能力的不斷進步以及計算技術的快速發(fā)展，對于變量之間的未知關系，應用曲線擬合的方法對揭示其內(nèi)在規(guī)律具有重要的理論與現(xiàn)實意義。在科學實驗數(shù)據(jù)的處理、分析時，實驗數(shù)據(jù)擬合是經(jīng)常采用的一種方法。本文將采用最小二乘法對給定的實驗數(shù)據(jù)進行擬

3、合并得到擬合曲線，加深大家對最小二乘曲線擬合原理的理解。同時將根據(jù)最小二乘擬合理論，并利用MATLAB數(shù)值分析軟件進行編程，解決最小二乘曲線擬合在塔機起重量監(jiān)測系統(tǒng)中的應用問題，實現(xiàn)相應案例數(shù)據(jù)的曲線擬合，獲得了曲線模型對相應數(shù)據(jù)的擬合曲線，很好地解決了該工程案例的曲線擬合問題。關鍵詞：曲線擬合，最小二乘法，MATLAB0 引 言在科學實驗的統(tǒng)計方法研究中，往往要從一組數(shù)據(jù)中，尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關系。由于觀測數(shù)據(jù)往往不準確，因此不要求經(jīng)過所有帶點，而只要求在給定點上的誤差按某種標準最小。若記，就是要求向量的范數(shù)最小。如果用最大范數(shù)，計算上困難較大，通常采用歐式范數(shù)作為誤差度量的標

4、準。的函數(shù)類型往往與實驗的物理背景以及數(shù)據(jù)的實際分布有關，它一般含有某些待定參數(shù)。如果是所有待定參數(shù)的線性函數(shù)，那么相應的問題稱為線性最小二乘問題，否則稱為非線性最小二乘問題。最小二乘法還是實驗數(shù)據(jù)參數(shù)估計的重要工具。這是因為這種方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情況下，用最小二乘法還能提供解答，而且從統(tǒng)計學的觀點分析，用該方法求得各項估計具有最優(yōu)統(tǒng)計特征，因此這一方法也是系統(tǒng)識別的重要基礎。用最小二乘法求擬合曲線時，首先要確定的形式，然后利用最小二乘曲線擬合去構造一個近似解析式。利用該方法“擬合”出的函數(shù)曲線雖然不能保證通過所有的樣本點，但是很好地“逼近”了它們，充分反映了已知數(shù)

5、據(jù)間內(nèi)在的數(shù)量關系。因此，這種方法在生產(chǎn)實踐和科學實驗中具有廣泛的應用前景。本文針對最小二乘曲線擬合的有關理論和應用問題以及相應的MATLAB實現(xiàn)進行探討。1 曲線擬合與最小二乘法概述1.1 曲線擬合簡介實際工作中，變量間未必都有線性關系，如服藥后血藥濃度與時間的關系；疾病療效與療程長短的關系；毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。曲線擬合是指選擇適當?shù)那€類型來擬合觀測數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關系。曲線擬合是用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點組所表示的坐標之間的函數(shù)關系的一種數(shù)據(jù)處理方法。用解析表達式逼近離散數(shù)據(jù)的一種方法。在科學實驗或社會活動中，通過實驗或觀測得到量x與y

6、的一組數(shù)據(jù)對（i1，2，m），其中各是彼此不同的 。人們希望用一類與數(shù)據(jù)的背景材料規(guī)律相適應的解析表達式，來反映量x與y之間的依賴關系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。常稱作擬合模型 ，在式中是一些待定參數(shù)。當c在中線性出現(xiàn)時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優(yōu)度的標準，最常用的一種做法是選擇參數(shù)c使得擬合模型與實際觀測值在各點的殘差(或離差) 的加權平方和達到最小，此時所求曲線稱作在加權最小二乘意義下對數(shù)據(jù)的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數(shù)，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優(yōu)化方

7、法求得所需參數(shù)才能得到擬合曲線，有時稱之為非線性最小二乘擬合。1.2 最小二乘法簡介最小二乘法是法國大數(shù)學家A.M.Legendre 最先于1805年發(fā)表的，其動機是為處理一類從天文學和測地學中提出的數(shù)據(jù)分析問題。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合，工程施工中，我們會經(jīng)常取得一些相關的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)往往來自與施工密切相關的測量或實驗中，我們可以通過作圖或多段插值取得變量之間的聯(lián)系，但作圖和插值查圖往往誤差較大。這時可采用最小二乘法先擬合出一個多項式，再根據(jù)此多項

8、式求解任一自變量所對應的因變量較精確的結果，據(jù)此繪圖可得到較精確、較合理的曲線。1801年，意大利天文學家朱賽普·皮亞齊發(fā)現(xiàn)了第一顆小行星谷神星2,經(jīng)過40天的跟蹤觀測后，由于谷神星運行至太陽背后，使得皮亞齊失去了谷神星的位置。隨后全世界的科學家利用皮亞齊的觀測數(shù)據(jù)開始尋找谷神星，但是根據(jù)大多數(shù)人計算的結果來尋找谷神星都沒有結果。時年24歲的高斯也計算了谷神星的軌道。奧地利天文學家海因里希·奧爾伯斯根據(jù)高斯計算出來的軌道重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作天體運動論中。 法國科學家勒讓德于1806年獨立發(fā)現(xiàn)“最小二乘法”，但因不為世人所知而默

9、默無聞。 勒讓德曾與高斯為誰最早創(chuàng)立最小二乘法原理發(fā)生爭執(zhí)。 1829年，高斯提供了最小二乘法的優(yōu)化效果強于其他方法的證明，因此被稱為高斯-莫卡夫定理。最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學優(yōu)化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。2 曲線擬合的最小二乘法原理2.1 原理的闡述及理論公式推導給定數(shù)據(jù)，設擬合函數(shù)形式為 2.11其中為已知的線性無關函數(shù)（如果存在不全為零的常熟，使得，則稱函數(shù)線性相關，否則稱為線性無關）。求系數(shù)，使得 2.12最小，若 2.13則稱相應的為最小二乘擬合曲線

10、。特別的，若則稱為次最小二乘擬合多項式。下面用求多元函數(shù)極值的方法來求最小點。將（2.12）式兩邊對求偏導。并令 化簡得 2.14為了進一步化簡，可以引入內(nèi)積符號。在線性代數(shù)中，中兩個向量及的內(nèi)積定義為，將它加以推廣，得到下面結論：設與是兩個已知函數(shù)，記，令利用內(nèi)積的定義，式（2.14）可以寫為 2.15其中，···， ， 2.16方程組（2.15）稱為正規(guī)方程組或法方程組，其中系數(shù)矩陣是對稱的。可以證明，當函數(shù)線性無關時，方程組（2.15）是對稱正定的，因此有唯一解。求出方程組（2.15）的解后，代入式（2.11）即可得最小二乘擬合函數(shù)。另外，對帶權的最小二乘擬

11、合函數(shù)有如如下的定義：設，給定在個節(jié)點上的函數(shù)值及一組權系數(shù)，若有函數(shù)，滿足則稱為在個節(jié)點上關于權系數(shù)的最小二乘擬合函數(shù)。2.2 結合實例分析與理解Intel公司董事長Moore在上個世紀的60年代就觀察到一個很有趣的現(xiàn)象：集成電路上可容納的單晶體數(shù)量每隔一年半左右并會增長一倍，從而使集成電路的性能也能提高一倍。據(jù)此他提出了轟動世界的Moore定律，預測這種增長趨勢會一直延續(xù)下去。下面給出Moore數(shù)據(jù)，如表 1所示：（年）19591962196319641965（增長倍數(shù)）13456表 1 Moore數(shù)據(jù)畫出相應的散點圖如圖 1所示： 圖 1 Moore數(shù)據(jù)散點圖表 1中第二行數(shù)據(jù)為芯片上晶

12、體數(shù)目在不同年代與1959年時的數(shù)目比較的倍數(shù)，通過觀察k與t中間大致呈線性關系，如圖 1所示。據(jù)此導出了著名的Moore定律。通過以上的分析，可設 2.21將表 1中的數(shù)據(jù)代入式（2.21）的超定方程組，其中，t表示時間，k表示增長倍數(shù)，a,b為待定系數(shù)。若將表 1中的數(shù)據(jù)代入式（2.21），得線性方程組 2.22方程組（2.22）是一個朝頂方程組，在這五個線性方程中，任意兩個聯(lián)立求解可得到十組不同的解。即是說該方程組不存在通常意義上的解?，F(xiàn)將線性方程組（2.22）寫出矩陣形式,其中，此超定方程組五常義解，即是說不存在使得，但是該超定方程組存在最小二乘解，也就是說存在，使得達到最小，并且是線

13、性方程組 2.23的解。我們稱式（2.23）為法方程組，在本例中它是一個二階線性方程組，即解這個方程組得.由此得到Moore公式.需要說明的是，對于，顯然，但是根據(jù)曲線擬合的最小二乘原理，從整體趨勢上使偏差達到最小，此處的偏差，這個值已經(jīng)很小了、滿足要求。2.3 總結歸納求解步驟下面我們就以上摩爾（Moore）預測公式實例總結利用最小二乘曲線擬合原理求解實際問題的步驟：（1）分析數(shù)據(jù)，根據(jù)散點圖設定擬合函數(shù)（2）代入數(shù)據(jù)得到超定方程組，該超定方程組的矩陣形式為，其中，.（3）如表 2所示，建立法方程組.1959119593837681196235886384944419634785238533

14、69196459820385729619656117903861225表 2 據(jù)表 2中計算結果得, 其中m為實測數(shù)據(jù)組數(shù)。（4）解法方程組得擬合參數(shù)向量并據(jù)此得到擬合曲線函數(shù)（5）通過將所得的擬合函數(shù)曲線與原始數(shù)據(jù)散點圖進行同坐標對比或計算總體趨勢上的偏差值檢驗擬合函數(shù)的精度。3 基于MATLAB的最小二乘曲線擬合3.1 MATLAB軟件介紹MATLAB是matrix和laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）。是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真

15、等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式

16、與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點，使MATLAB成為一個強大的數(shù)學軟件。在新的版本中也加入了對C，F(xiàn)ORTRAN，C+，JAVA的支持?？梢灾苯诱{(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到MATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用。 3.2 求解的基本理論闡述假設有一組數(shù)據(jù)，且已知這組數(shù)據(jù)滿足某一函數(shù)原型，其中為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標就是求出這一組待定系數(shù)值，使得目標函數(shù)最小。

17、MATLAB的統(tǒng)計工具箱提供了Isqcurvefit函數(shù)，可以解決最小二乘曲線擬合問題。 該函數(shù)的調(diào)用格式如下：其中，F(xiàn)un為原始函數(shù)的MATLAB表示，可以是M-函數(shù)或inline函數(shù)；為最優(yōu)化的初值；x，y為原始輸入輸出向量。調(diào)用該函數(shù)，將返回待定系數(shù)向量，以及在此系數(shù)下的目標函數(shù)的值Jm.。3.3 結合實例進行MATLAB解算此處我們就結合上面的Moore實例進行分析，通過對散點圖的分析我們已經(jīng)假設出了初始函數(shù).其實現(xiàn)的MATLAB程序如下：t=1959 1962 1963 1964 1965;k=1 3 4 5 6;令，這樣，原函數(shù)就可以寫出，可以用MATLAB程序代碼寫出：funct

18、ion k = K( a,t )k=a(1)+a(2)*t; end %定義原型函數(shù)kformat long%小數(shù)精度定義為小數(shù)點后15位a,JM=lsqcurvefit('K',1;1,t,k); %調(diào)用Isqcurvefit函數(shù)求系數(shù)和偏差值第 15 頁 共 27 頁結果如下：aa = 1.0e+03 * -1.625528269401662 0.000830188662693JMJM = 0.188679245282990由結果可知a=a(1)=-1625.528269,b=a(2)=0.830189,即由MATLAB解算出來的擬合函數(shù)為這與上面手工解算的結果基本一致。另

19、外，我們可以將原始數(shù)據(jù)的散點圖和得到的擬合曲線畫在一個坐標畫面上以檢測擬合函數(shù)的精度，編寫程序如下：ti=1959 1962 1963 1964 1965;ki=-1625.528296+0.830189*ti;plot(t,k,'o',ti,ki)結果如圖 2所示，最小二乘法曲線擬合的結果是找到符合經(jīng)驗公式的最優(yōu)曲線，但這一經(jīng)驗公式是否有效還需要事后檢驗，一般就是從圖像上做出判斷。定量的方法也是有的，一般是計算殘差平方和，再進行統(tǒng)計檢驗，對此就不做多余的講解了。通過對圖 2的分析可知擬合曲線與原始數(shù)據(jù)是比較穩(wěn)合的，滿足要求。圖 2 擬合函數(shù)對原始數(shù)據(jù)的逼近4 最小二乘曲線擬合

20、案例分析與解算4.1 案例敘述起重量限制器是用來保護塔機的重要裝置之一，是用于防止因超重而引起起升電機、傳動機構、鋼絲繩的損壞。但是它只能在極限的狀態(tài)下保護塔機起升機構不會受到損壞，不能夠顯示起重量值，因此，司機在操作過程中不了解塔機每次起吊重量的具體狀況。為了進一步提高塔機的安全性能和工作效率，增加塔機起重量在線監(jiān)測裝置非常重要，實時準確地測量出起重量是在線監(jiān)測的關鍵。在實時臨測系統(tǒng)中，在原有起重量限制器的基礎上加裝了拉力傳感器，傳感器所測量的拉桿拉力Q與鋼絲繩的張力F之間存在著一定的函數(shù)關系，起重量增加，拉桿拉力也相應增加，因此可通過間接測量拉桿拉力的方法先測出鋼絲繩的張力，然后根據(jù)吊鉤處

21、的鋼絲繩倍率關系計算出實際起重量，從而在拉桿拉力與塔機起重量之間建立起函數(shù)關系。4.2 數(shù)據(jù)輸入與分析由于塔機起重量G與鋼絲繩張力F之間有確定的函數(shù)關系，在實際應用中，以塔機起重量G代替鋼絲繩張力F作為輸出樣本，以拉桿拉力Q作為輸入樣本。塔機QTZ63最大額定起重量為，分別以，為起重量，測量相應的拉力傳感器拉力Q，以獲取樣本表 3所示。樣本拉桿拉力Q/kN起重量G/kg10020.4560030.94120041.44180052.10240062.61300073.36360084.27420095.164800106.055400117.336000表 3實測樣本、估算值及相對誤差 利用M

22、ATLAB畫出其散點圖，分析其函數(shù)模型，程序代碼如下：G=0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000;Q=0 0.45 0.94 1.44 2.10 2.61 3.36 4.27 5.16 6.05 7.33;plot(Q,G,'o')結果如圖 3所示，根據(jù)散點圖的走勢我們可以設原函數(shù)為三次多項式函數(shù)模型： 圖 3樣本數(shù)據(jù)散點圖4.3 進行擬合求解 由于該案例的運算量不是太大，所以在這里我們在采用MATLAB解算的同時也進行了一次手工解算，同時也可以就兩種方法的對比體現(xiàn)出MATLAB解算的高效、簡單與快捷的特點，但是在這

23、個大數(shù)據(jù)時代，我們碰到的更多是手工解算所不能完成的大數(shù)據(jù)，到時候就只能利用MATLAB實現(xiàn)了。4.3.1 手工解算（1）由原始數(shù)據(jù)散點圖得出函數(shù)模型如下（2）將表 3中的原始數(shù)據(jù)代入上式得超定方程組 該超定方程組的矩陣形式為,其中（3）建立法方程組(4)解法方程組，得所以所得的擬合函數(shù)為4.3.1 基于MATLAB的解算通過對散點圖的分析我們已經(jīng)假設出了函數(shù)原型.求解過程實現(xiàn)的MATLAB程序如下：G=0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000;Q=0 0.45 0.94 1.44 2.10 2.61 3.36 4.27 5.16 6.

24、05 7.33;令，這樣，原函數(shù)就可以寫出，用MATLAB程序代碼寫出：function G = F( a,Q )G=a(1)*Q.3+a(2)*Q.2+a(3)*Q; end%定義原型函數(shù)Gformat long%小數(shù)精度定義為小數(shù)點后15位a,JM=lsqcurvefit('F',1;1;1,Q,G); %調(diào)用Isqcurvefit函數(shù)求系數(shù)和偏差值第 27 頁 共 27 頁結果如下：a = 1.0e+03 * 0.004601860834153 -0.110534167186377 1.383597884382993 JM = 1.523115957936404e+04由

25、結果可知a=a(1)=4.6019,b=a(2)=-110.5342,c=a(3)=1383.5979。即由MATLAB解算出來的擬合函數(shù)為擬合函數(shù)與上面手工解算的結果是一致的。通過傳統(tǒng)手工解算與MATLAB解算過程的對比，能夠明顯的看出MATLAB解算比手工解算要簡單方便的多，這種對比在數(shù)據(jù)量更大的案例中會更加的顯著，而且在那種大數(shù)據(jù)處理中手工解算是很容易出錯的，MATLAB解算可以避免這種錯誤。4.4 擬合函數(shù)的精度檢測由于手工解算和MATLAB解算的擬合結果是一樣的，我們采用畫圖法檢測精度是只需要畫一幅圖如圖 4所示：圖 4擬合函數(shù)對原始數(shù)據(jù)的逼近觀察散點圖可知擬合函數(shù)曲線與原始數(shù)據(jù)的吻

26、合度是非常高的，定性分析的整體精度是滿足要求的。不同之處在于這里MATLAB解算的偏差值從表面上看起來是很大的，這主要是因為該案例采用的數(shù)據(jù)原本就大，我們可以求其相對誤差，從另一方面定量來看一下其擬合精度，相對誤差表如下表 4所示：樣本拉桿拉力Q/kN起重量G/kg擬合函數(shù)所求起重量G/kg相對誤差/%1000020.45600600.660.1530.9412001206.740.5741.4418001776.921.3052.1024002460.722.4762.6130002940.042.0473.3636003575.570.6984.2742004250.881.2095.16

27、48004828.570.59106.0554005344.011.05117.3360006015.270.25表 4 擬合曲線所求起重量相對理論值的相對誤差表觀察該表其單個樣本的相對誤差最大也就為2.47%，從事件發(fā)生的概率來講這個概率的事件屬于小概率事件，另外 GB5l4494規(guī)定：起重機應安裝起重量限制器，對最大起重量大于6t的起重機如設有提示裝置，則其數(shù)值誤差不得大于指示值的5，因此定量分析結果的精度是滿足要求的。4.5擬合函數(shù)在實際運用中的優(yōu)勢塔機起重量監(jiān)測中存在的非線性問題中，采用數(shù)據(jù)擬合理淪，建立了起重量 G和拉桿拉力Q之間的函數(shù)關系式，使塔機起重量監(jiān)測在PLC中得以實現(xiàn)。在實

28、際運用中，該方法具有如下優(yōu)點：(1)計算結果惟一，計算量小，便于在PLC、單片機等硬件設備上實現(xiàn)；(2)可精確、方便地實現(xiàn)起重量的實時監(jiān)測；(3)當鋼絲繩倍率改變時，只需調(diào)整對應多項式的系數(shù)，不必改動其它硬件設施；(4)保留了原有起重量限制器中的超重預警開關和超重報警開關，能夠實現(xiàn)起重量預警和報警的雙重保護。5 結 論當今最小二乘法已經(jīng)廣泛的應用于各類學科，成為了不可缺少的重要工具。目前在物理學、地質勘探學、概率論、統(tǒng)計學等領域有著重要的應用。而最小二乘法曲線擬合的出現(xiàn)，又使得圖像呈現(xiàn)更加直觀，程序代碼簡單，使用方便，已經(jīng)成為研究人員開展科研工作的有效工具之一。在做完了這篇論文后，學習到了許多

29、新的知識。對于最小二乘法有了深一步的認識，了解了它的計算原理以及對于現(xiàn)在的測量估算上的意義，并對MATLAB也有了重新的認識，感受到了MATLAB在現(xiàn)代數(shù)據(jù)處理中的重要地位。最小二乘法如果想將曲線擬合的比較完美，必須應用適當?shù)哪M曲線，如果模擬曲線選擇不夠適當，那么用最小二乘法計算完后，會發(fā)現(xiàn)擬合曲線誤差比較大，均方誤差也比較大，而如果擬合曲線選擇適當，那么效果較好，例如在本文中，不論是Moore定律案例還是塔機的起重量監(jiān)測案例其實最初的曲線模型確定都是非常重要而且并不是那么容易的，只是本文側重于利用理論求解問題而忽視了對這一點的講解，不同的曲線模型得出的結果是完全不一樣的。因此，在實際應用中

30、需要對已知點根據(jù)分布規(guī)律選取多個可能的近似擬合曲線，算出后比較誤差與均方誤差，得到最佳擬合曲線。但是如果已知點分布非常不規(guī)律，無法觀察或是無法正確觀察出其近似曲線，那么根本無法使用最小二乘法進行曲線擬合，我們只能使用其它方法進行逼近。 參考文獻1 胡曉東，董辰輝.MATLAB從入門到精通M.一.北京:人民郵電出版社, 2010.xiao-dong hu, Dong Chen fai. MATLAB from entry to master M. Beijing: people's posts and telecommunications publishing house, 2010.

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