2020年八年級數(shù)學(xué)下冊因式分解專題04十字相乘法(學(xué)生版)

1、精品資源備戰(zhàn)中考專題04十字相乘法【學(xué)習(xí)目標】1 .熟練掌握首項系數(shù)為 1的形如x2 （p q）x pq型的二次三項式的因式分解.2 .基礎(chǔ)較好的同學(xué)可進一步掌握首項系數(shù)非1的簡單的整系數(shù)二次三項式的因式分解.3 .對于再學(xué)有余力的學(xué)生可進一步掌握分數(shù)系數(shù)；實數(shù)系數(shù)；字母系數(shù)的二次三項式的因式分解.（但應(yīng)控制好難度）4 .掌握好簡單的分組分解法.【要點梳理】要點一、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法,一 ,一，2, , , pq c 一 2對于二次二項式 x bx c,右存在，則x bx c x p x qp q b要點詮釋：（1）在x2 bx c分解

2、因式時，要先從常數(shù)項c的正、負入手，若c 0,則出q同號（若c 0,則p、q異號），然后依據(jù)一次項系數(shù) b的正負再確定p、q的符號（2）若x2 bx c中的B c為整數(shù)時，要先將c分解成兩個整數(shù)的積（要考慮到分解的各種 可能），然后看這兩個整數(shù)之和能否等于b,直到湊對為止.要點二、首項系數(shù)不為 1的十字相乘法項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即在二次三項式ax2 bx c（a才0小，如果二次項系數(shù) a可以分解成兩個因數(shù)之積，即a a1a2，常數(shù)c c1c2 ,把 a1, a2, c1, c2 排列如下:iJjCj十口甘仁按斜線交叉相乘，再相加，得到a1G2a2c1 ,若它正好等于二次三項式ax2 b

3、x c的一次項系數(shù)b ,融會貫通，戰(zhàn)勝中考即 a22azGb ,那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x c1與a2x c2之積，即ax2 bx ca1x c1 a2x c2要點詮釋：（1）分解思路為 看兩端，湊中間”（2）二次項系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負號添上要點三、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解一一分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式要點詮釋：分組分解法分解因式常用的思路

4、有:方法分類分組方法特點分組 分解 法四項二項、二項按字母分組按系數(shù)分組符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項二項、二項、二項各組之間用公因式三項、二項、一項可化為二次三項式要點四、添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項(或幾項)，使原式適合于提公因式法、公式法或 分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復(fù)嘗試中熟 練掌握技巧和方法.【典型例題】類型一、十字相乘法例 1、分解因式：x2 (a 1)x (6a2 13a

5、6)【答案與解析】解：原式=x2a 1 x 2a 3 3a 2x 2a 3 x 3a 2x 2a 3 x 3a 2【總結(jié)升華】 將a視作常數(shù)，就以x為主元十字相乘可解決 舉一反三：【變式】分解因式：3xy y2 3x4y 5解：原式y(tǒng)2 (3x 4) y 3x 5(y 3x 5)(y 1)例2、分解因式： ，.- I -，【思路點撥】該題可以先將2a a看作一個整體進行十字相乘法分解，接著再套用一次十字相乘【答案與解析】解:因為(a-22 a2 a12 a2 a14 a2 a所以：原式=畫7) 2 一12=(a2 a 2)( a2 a 12)= a1a 2a 3a 4【總結(jié)升華】十字相乘法對于

6、二次三項式的分解因式十分方便，大家一定要熟練掌握舉一反三：【變式】分解因式：(x2 3x)2 2(x2 3x) 8 ;【答案】解：原式x2 3x 4 x2 3x 2x 4 x 1 x 1 x 2例3、分解下列因式22_2_2-一(1)(x2 x 1)(x2 x 2) 12(2)(x2 3x 3)( x2 3x 4) 8【答案與解析】2解：(1)令 x x 1 t ,則原式 t(t 1) 12 t2 t 12 (t 4)(t 3) (x2 x 5)(x2 x 2)_2(x 2)( x 1)(x x 5)人 2.(2)令 x3x m ,原式(m 3)(m 4) 8 m2 m 20 (m 5)(m

7、4)2_2_2_(x 3x 5)(x 3x 4) (x 4)( x 1)(x 3x 5)【總結(jié)升華】 此兩道小題結(jié)構(gòu)都非常有特點，欲分解都必須先拆開，再仔細觀察每個式子中都存在大量相 同的因式一整體性想法.整體性思路又稱換元法，這與我們生活中搬家有些類似，要先將一些碎東西找包， 會省許多事.類型二、分組分解法例4、分解因式：x2 2xy y2 3x 3y 2【思路點撥】對完全平方公式熟悉的同學(xué)，一看見該式，首先想到的肯定是式子中前三項恰好構(gòu)成(x y)2,第 4、5 項- 3(x y).【答案與解析】2斛：原式(x y) 3(x y) 2 (x y 1)(x y 2)【總結(jié)升華】 熟記公式在復(fù)

8、雜背景下識別公式架構(gòu)很重要；我們前面練習(xí)中無論公式、配方、十字相乘一般都只涉及單一字母，其實代數(shù)式學(xué)習(xí)是一個結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，其中任一個字母均可被一個復(fù)雜代數(shù)式來替代，故有時要有一些整體性認識的想法舉一反三：22【變式1】分解因式：(1) a b ac bc,、 _ 2 _ 2 _(2) 5a5b3a 3b(3) 3xy y2 3x 4y 5【答案】解：(1)原式 a b a b cab ababc；2. 2(2)原式5 a b 3 a b5 ab a b3 a b ab 5a 5b 3；(3)原式3xy 3xy2 4y 53x(y 1) (y1)(y 5)(y 1)(3x y 5).【變式2】分解

9、因式：a2 4b2 c4 4ab 2ac2 4bc2 1 .【答案】解：a2 4b2 c4 4ab 2ac2 4bc2 11 .2._2.24.=a4b4ab2ac 4bc c12 222=2ba2c2 2bac2 1 c2 1=2b a c2 1 2b a c2 1 .類型三、拆項或添項分解因式例5、閱讀理解：對于二次三項式 x2+2ax+a2可以直接用公式法分解為(x+a) 2的形式，但對于二次三項式 x2+2ax-8a2,就不能直接用公式法了.我們可以在二次三項式x2+2ax-8a2中先加上一項a2,使其成為完全平方式，再減去 a2這項，使整個式子的值不變，于是又：x2+2ax - 8

10、a2=x2+2ax- 8a2+a2 - a2=(x2+2ax+a2) - 8a2- a2=(x+a) 2 9a2=(x+a) +3a (x+a) - 3=(x+4a) (x2a)像這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法.（1）請認真閱讀以上的添（拆）項法，并用上述方法將二次三項式：x2+2ax- 3a2分解因式.（2）直接填空：請用上述的添項法將方程的x2-4xy+3y2=0化為（x-） ? （x-） =0并直接寫出y與x的關(guān)系式.（滿足xywQ且x型）2 , 2（3）先化簡三 y_2一工十y ,再利用（2）中y與x的關(guān)系式求值.【答案與解析】解：(1) x2+2ax- 3a2=x2+

11、2ax+a2 - 4a2=(x+a) 2- 4a2=(x+a+2a) (x+a - 2a)=(x+3a) (x- a);(2) x2- 4xy+3y2=x2 - 4xy+4y2 - y2=(x - 2y) 2 - y2=(x-2y+y) (x- 2y- y)=(x- y) (x- 3y);x=y 或 x=3y;故答案為：y; 3y=-Xx若x=y,原式=-2;2右x=3y,原式=.3【總結(jié)升華】 此題考查了因式分解-添（拆）項法，正確地添（拆）項是解本題的關(guān)鍵.【鞏固練習(xí)】一.選擇題21 .如果多項式mx nxA. m = 6 B. n2 .若 x2a b x abA.5B. -623.將 x

12、 y 5 x yA.xy2xyC. xy6xy2能因式分解為 3x=1 C. p = -2x2 x 30,且 bC.-56因式分解的結(jié)果是3B.1 D.2 x p ,那么下列結(jié)論正確的是D. mnp = 3()4 .把多項式1+a+b+ab分解因式的結(jié)果是(A. (a1) (bT)B. (a+1) (b+1)a ,則b的值為(D.6().x y 2 xyx y6 x y)C. (a+1) (b 1)225.對 4x 2x 9y3y運用分組分解法分解因式，分組正確的是).31D. (a-1) (b+1)()2_2_2_2_A. (4x22x)( 9y2 3y)B. (4x29y2) (2x 3y

13、)C. (4x23y)(2x 9y2)D. (4x22x3y) 9y23 一 26 .如果x 3x 3x m有一個因式為 x 3 ,那么m的值是()A. -9B.9C.- 1D.1二.填空題 227 .分解因式：y 4 2xy x .228 .分解因式：4a 20ab 25b36=.9 . x5 x3 x2 1分解因式的結(jié)果是.10 .如果代數(shù)式 /一戶16工有一因式式4,則a的值為- 32.2 .311 .右a a b ab b有因式 a b，則另外的因式是 .22.212.分解因式：(1) kx (2k 3)x k 3 ； (2) x (n 2m)x m mn三.解答題22 ,13 .已知

14、 x y 0, x 3y 1,求 3x 12xy 13y 的值.14 .分解下列因式：C2c(1) a a 8 a a 12(2) 4xy xy3 4x2y x3y4 22 22(3) 4x y 5x y 9y(4) 2a4 a3 6a215 .先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分 組分解法、拆項法、十字相乘法等等.(1)分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法.如：ax+by+bx+ay= (ax+bx) + (ay+by)=x (a+b) +y (a+b)=(a+b) (x+y)2xy+y2-

15、 1+x2=x2+2xy+y2- 1 2.=(x+y) - 1=(x+y+1) (x+y 1)(2)拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法.如：x2+2x - 32 .=x +2x+1 4=(x+1) 2-22=(x+1+2) (x+1 - 2)=(x+3) (x 1)請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：a2 - b2+a - b;(2)分解因式：x2- 6x - 7;(3)分解因式：a2+4ab-5b2.學(xué)法指導(dǎo)：怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 人生是一種體驗，一種經(jīng)歷，一種探索，一種 生更，而人生目標，則是一種自我的設(shè)定。人生的目標在于追求，這種追求不僅

16、是縱向的拓展，更是橫向的探索。每個人都有自己不同的人生目標，它不一定是鴻鵠大志，不一定撼天動地，但要有一個切實的規(guī)劃，目標既定，就要 朝著你的目標勇敢前進。所有的成績都是努力的結(jié)果，都是勤奮的結(jié)晶，給自己確立一個通過努力能實現(xiàn)的目標，然后朝著這個目標努力，一 個人要想生活得無怨無悔，就只有努力拼搏；只有努力拼搏過才能無怨無悔。認真學(xué)習(xí)，加快生活、學(xué)習(xí)的節(jié)奏，排除一切雜念，全身心投入到學(xué)習(xí)中去，加入到競爭的行列中去，戰(zhàn)勝自己，成 為執(zhí)掌自己命運的主人。 有人說自信是駕馭理想的風(fēng)帆，是成功的基石！成績一時不理想并不可怕，可怕的是喪失了信心，可怕的是沒走上戰(zhàn)場就倒了下來。人的生命是有限的，可它的廣度

17、、高度、深度是無限的，讓自己有限的生命活出質(zhì)量活出品味。要回答這個似乎非常簡單：把定理、公式都記住，勤思好問，多做幾道題，不就行了。事實上并非如此，比如：有的同學(xué)把書上的黑體字都能一字不落地背下來，可就是不會用；有的同學(xué)不重視知識、方法的產(chǎn)生過程，死記結(jié)論，生搬硬套；有的同學(xué)眼高手低，想”和 說”都沒問題，一到 寫”和 算”，就漏洞百出，錯誤連篇；有的同學(xué)懶得做題，覺得做題太辛苦，太枯燥，負擔(dān)太重；也有的同學(xué)題做了不少，輔導(dǎo)書也看了不少，成績就是上不去，還有 的同學(xué)復(fù)習(xí)不得力，學(xué)一段、丟一段。究其原因有兩個：一是學(xué)習(xí)態(tài)度問題：有的同學(xué)在學(xué)習(xí)上態(tài)度曖昧，說不清楚是進取還是退縮，是堅持還是放棄，是

18、維持還是改進，他們勤奮學(xué)習(xí)的決心經(jīng)常動搖，投入學(xué)習(xí)的精力也非常有限，思維通常也是被動的、淺層的和粗放的，學(xué)習(xí)成績也總是徘徊不前。反之，有的同學(xué)學(xué)習(xí)目的明確，學(xué)習(xí)動力強勁，他們擁有堅韌不拔的意志、刻苦鉆研的精神和自主學(xué)習(xí)的意識，他們總是想方設(shè)法解決學(xué)習(xí)中遇到的困難，主動向同學(xué)、老師求教，具有良好的自我認識能力和創(chuàng)造學(xué)習(xí)條件的能力。二是學(xué)習(xí)方法問題：有的同學(xué)根本就不琢磨學(xué)習(xí)方法，被動地跟著老師走，上課記筆記，下課寫作業(yè)，機械應(yīng)付，效果平平；有的同學(xué)今天試這種方法、明天試那種方法，病急亂投醫(yī)”，從不認真領(lǐng)會學(xué)習(xí)方法的實質(zhì)，更不會將多種學(xué)習(xí)方法融入自己的日常學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；更多的同學(xué)對學(xué)

19、習(xí)方法存在片面的、甚至是錯誤的理解，比如，什么叫會了”?是聽懂了 ”還是能寫了 "，或者是會講了 ”？這種帶有評價性的體驗，對不同的學(xué)生來說，差異是非常大的，這種差異影響著 學(xué)生的學(xué)習(xí)行為及其效果。由此可見，正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)的學(xué)習(xí)方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的兩大基石。這兩大基石的形成又離不開平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐，下面就幾個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中的具體問題談一談如何學(xué)好數(shù)學(xué)。運算是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功。初中階段是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力的黃金時期，初中代數(shù)的主要內(nèi)容都和運算有關(guān)，如有理數(shù)的運算、整式的運算、因式分解、分式的運算、根式的運算和解方程。初中運算能力不過關(guān)，會直接影響高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)：從目前的數(shù)學(xué)評價來說，

20、運算準確還是一個很重要的方面，運算屢屢出錯會打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，從個性品質(zhì)上說，運算能力差的同學(xué)往往粗枝大葉、不求甚解、眼高手低，從而阻礙了數(shù)學(xué)思維的進一步發(fā)展。從學(xué)生試卷的自我分析上看，會做而做錯的題不在少數(shù)， 且出錯之處大部分是運算錯誤，并且是一些極其簡單的小運算， 如71-19=68, (3 3) 2=81等，錯誤雖小，但決不可等閑視之，決不能讓一句馬虎”掩蓋了其背后的真正原因。幫助學(xué)生認真分析運算出錯的具體原因，是提高學(xué)生運算能力的有效手段之一。在面對復(fù)雜運算的時候，常常要注意以下兩點：情緒穩(wěn)定，算理明確，過程合理，速度均勻，結(jié)果準確；要自信，爭取一次做對；慢一點，想清楚再寫；少心

21、算，少跳步，草稿紙上也要寫清楚。二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識理解和記憶數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。學(xué)數(shù)學(xué)沒有捷徑可走，保證做題的數(shù)量和質(zhì)量是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路。1、如何保證數(shù)量？選準一本與教材同步的輔導(dǎo)書或練習(xí)冊。做完一節(jié)的全部練習(xí)后，對照答案進行批改。千萬別做一道對一道的答案，因為這樣會造成思維中斷和對答案的依賴 心理；先易后難，遇到不會的題一定要先跳過去，以平穩(wěn)的速度過一遍所有題目，先徹底解決會做的題；不會的題過多時，千萬別急躁、泄氣，其實你認為困難的題，對其他人來講也是如此， 只不過需要點時間和耐心； 對于例題，有兩種處理方式：先 做后看”與先看后測”。選擇有思考價值的題，與同學(xué)、老師交流，并把心得記在自習(xí)本上。每天保證1小時左右的練習(xí)時間。2、如何保證質(zhì)量？題不在多，而在于精，學(xué)會 解剖麻雀充分理解題意，注意對整個問題的轉(zhuǎn)譯，深化對題中某個條件的認識；看看與哪些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相聯(lián)系，有沒有出現(xiàn)一些新的功能或用途？再現(xiàn)思維活動經(jīng)過，分析想法的產(chǎn)生及錯因