IIR數(shù)字濾波器

1、數(shù)字信號(hào)課程設(shè)計(jì)報(bào)告設(shè)計(jì)題目： IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn) 專業(yè)班級(jí) 學(xué) 號(hào) 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 王科平 2016年12月26日目 錄一: 摘要························3二：正文·············

2、·················4 1設(shè)計(jì)內(nèi)容·························4 2. 設(shè)計(jì)原理·····&#

3、183;·················52.1.用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器········52.2雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器········73.設(shè)計(jì)過程········

4、················93.1雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器·····9 3.2用脈沖響應(yīng)不變性設(shè)計(jì)IIR濾波······15三：結(jié)論···············&#

5、183;·············16四：參考文獻(xiàn)·····························17一 摘要數(shù)字濾波器是現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的重要組成部分之一。R數(shù)字濾

6、波器又是其中非常重要的一類濾波器，因其可以較低的階次獲得較高的頻率選擇特性而得到廣泛應(yīng)用。 本文研究了R數(shù)字濾波器的常用設(shè)計(jì)方法，在分析各種R實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，利用MATLAB針對(duì)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的R數(shù)字濾波器做了多方面的仿真，從理論分析和仿真情況確定了所要設(shè)計(jì)的R數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)以及中間數(shù)據(jù)精度。一種采用MATLAB的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)工具箱FDATOOL快速有效設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法，可實(shí)時(shí)調(diào)整濾波器的參數(shù)從而使濾波器的設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)。概述了FDATOOL的使用方法，采用DSP Builder建立了實(shí)現(xiàn)模型，給出了基于FPGA的IIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)流程，并且在最后使用Si

7、mulink進(jìn)行仿真，給出了仿真波形。隨著信息與數(shù)字技術(shù)的發(fā)展,數(shù)字信號(hào)處理已成為當(dāng)今極其重要的學(xué)科與技術(shù)之一,它在通信、語音、圖像、自動(dòng)控制、雷達(dá)、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號(hào)處理的基本方法中,通常會(huì)涉及到變換、濾波、頻譜分析、調(diào)制解調(diào)和編碼解碼等處理。其中,濾波是應(yīng)用非常廣泛的一個(gè)環(huán)節(jié),數(shù)字濾波器的理論與相關(guān)設(shè)計(jì)也一直都是人們研究的重點(diǎn)之一。數(shù)字濾波器根據(jù)其單位沖擊響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性可分為兩類:無限沖擊響應(yīng)(IIR)濾波器和有限沖擊響應(yīng)(FIR)濾波器。在給定濾波器階數(shù)時(shí),與FIR濾波器相比,無限沖擊響應(yīng)IIR(infiniteimpulsere2s

8、ponse)濾波器在達(dá)到某種性能屬性方面可以有更好的效率。這是因?yàn)镮IR濾波器引入了反饋,且適合于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的0點(diǎn)和極點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)。 IIR數(shù)字濾波器具有無限寬的沖激響應(yīng),與模擬濾波器相匹配,所以IIR濾波器的設(shè)計(jì)可以采取在模擬濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上進(jìn)一步變換的方法。其設(shè)計(jì)方法主要有脈沖響應(yīng)不變法、雙向性變換法。一般數(shù)字濾波器從功能上可分為低通、高通、帶通、帶阻等濾波器，它們的幅頻特性是離線規(guī)定，但這種理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果且無限長的，我們只能按照某些準(zhǔn)則盡可能逼近它，這些濾波器可以為逼近的原則。數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖相應(yīng)分類，可以為無限長脈沖響應(yīng)

9、和有限長脈沖響應(yīng)。 二 正文1. 設(shè)計(jì)內(nèi)容濾波器的指標(biāo)常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù) 一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為： 其中，稱為幅頻特性函數(shù)，稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。一般IIR數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應(yīng)函數(shù)來描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，相頻特性一般不作要求。IIR濾波器指標(biāo)參數(shù)如下圖所示。圖中，和分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；1和2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（dB）分別為p和s表示：一般要求  圖1低通濾波

10、器的技術(shù)要求2. 設(shè)計(jì)原理IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為假設(shè)MN，當(dāng)MN時(shí),系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)ka和kb，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。21用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)

11、序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)  式中,T是采樣周期。 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個(gè)從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。圖2脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。

12、正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖3脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs

13、，若使fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。2.2雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻

14、譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖4所示圖4雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)1由-/T經(jīng)過0變化到/T時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個(gè)j軸。將上式寫成將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為以上兩式是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換首先,把z=ej，可得即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入上式因此由此看出，當(dāng)<0時(shí)

15、，|z|<1；當(dāng)>0時(shí)，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。其設(shè)計(jì)步驟是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過渡模擬

16、濾波器得到系統(tǒng)函數(shù))(sHa，然后將)(sHa按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù))(zH。這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。為了保證轉(zhuǎn)換后的)(zH穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求: (1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。 利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過程是：(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通

17、帶邊界頻率pw、通帶最大衰減pa、阻帶截止頻率sw、阻帶最小衰減sa。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器。 (4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器)(sHa轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù))(zH。 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如下：圖5 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖3. 設(shè)計(jì)過程3.1雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 低通clearwp=12*pi; ws=35*pi; rp=0.5; rs=40; fs=100; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp

18、,rs,'s') z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title('幅頻、相頻圖');n =4wc =96.0575num = 0.0172 -0.0121 0.0255 -0.0121 0.0172den =1

19、.0000 -2.7303 2.9423 -1.4522 0.2759高通clearwp=35*pi; ws=12*pi; rp=0.5; rs=40; fs=100; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s') z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,

20、den,128,fs);grid on;title('幅頻、相頻圖');n =4wc =43.1537num =0.0104 -0.0294 0.0401 -0.0294 0.0104den =1.0000 -3.4194 4.4215 -2.5587 0.5587帶阻clearwp=85*pi;  ws=139*pi;  rp=0.5;  rs=40; fs=600; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s') z,p,k=cheb2ap(n,rs);&

21、#160;a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title('幅頻、相頻圖');n =6wc = 431.0781num =0.0143 -0.0295 0.0441 -0.0428 0.0441 -0.0295

22、 0.0143帶通clearwp=89*pi;  ws=225*pi;  rp=0.5;  rs=40; fs=600; n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s') z,p,k=cheb2ap(n,rs); a,b,c,d=zp2ss(z,p,k); at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc); at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs); num,den=ss2

23、tf(at2,bt2,ct2,dt2) figure(1); freqz(num,den,128,fs);grid on;title('幅頻、相頻圖');n =5wc =537.0759num =0.0167 -0.0134 0.0145 0.0145 -0.0134 0.0167den = 1.0000 -3.1304 4.1669 -2.8750 1.0225 -0.14853.2用脈沖響應(yīng)不變性設(shè)計(jì)IIR濾波fp=2100; fs=8000; Fs=20000; Rp=0.5; Rs=30; T=1/Fs; %Éè

24、8;ÆÖ¸±ê W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;%Çó¹éÒ»»¯ÆµÂÊ N,Wn=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,'s');%È·¶¨butterworthµÄ×îС½éÊýNºÍƵÂ&#

25、202;²ÎÊýWn z,p,k=buttap(N);%Éè¼ÆÄ£ÄâµÍͨÔÐ͵ÄÁ㼫µãÔöÒæ²ÎÊýbp,ap=zp2tf(z,p,k); %½«Á㼫µ

26、27;ÔöÒæת»»³É·Ö×Ó·Öĸ²ÎÊýbs,as=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs);%½«µÍͨÔÐÍת»»ÎªÄ£ÄâµÍÍ

27、8;bz,az=impinvar(bs,as,Fs); %ÓÃÂö³åÏìÓ¦²»±ä·¨½øÐÐÄ£Êý±ä»»sys=tf(bz,az,T); %¸ø³ö´«Ê亯ÊýH,W=freqz(bz,

28、az,512,Fs); %Éú³ÉƵÂÊÏìÓ¦²ÎÊýsubplot(2,1,1); plot(W,20*log10(abs(H); %»æÖÆ·ùƵÏìÓ¦grid on; %¼Ó×ø±êÍø¸ñxlabel('ƵÂÊ/Hz'); ylabel('Õñ·ù/dB');subplot(2,1,2); plot(W,abs(H); grid on; xlabel('ƵÂÊ/Hz'); ylabel('Õñ·ù/H'); 三 結(jié)論 本次數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法是基于MATLAB的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，是用學(xué)過的數(shù)字信號(hào)理論為依據(jù)，用MATLAB代碼來實(shí)現(xiàn)的。通