電路基礎第5章

1、第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象5.1 頻率響應與網(wǎng)絡函數(shù)頻率響應與網(wǎng)絡函數(shù)5.2 一階電路和二階電路的頻率響應一階電路和二階電路的頻率響應5.3 串聯(lián)諧振電路串聯(lián)諧振電路5.4 并聯(lián)諧振電路并聯(lián)諧振電路第五章第五章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象返回主目錄返回主目錄第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第第5章章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象5.1頻率響應與網(wǎng)絡函數(shù)頻率響應與網(wǎng)絡函數(shù) 對于動態(tài)電路, 由于容抗和感抗都是頻率的函數(shù), 因此, 不同頻率的正弦激勵作用于電路時, 即使其振幅和初相相同, 響應的振幅和初相都將隨之而變。這種電路響應隨激勵頻率而變化的特性

2、稱為電路的頻率特性或頻率響應。 在電路分析中, 電路的頻率特性通常用正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡函數(shù)來描述。 在具有單個正弦激勵源(設其角頻率為)的電路中, 如果將我們所關心的某一電壓或電流作為響應, 根據(jù)齊次定理, 響應相量(振幅相量 或有效值相量 )與激勵相量（振幅相量 或有效值相量 )成正比, 即 mYYFmF第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象mmFYjwH)(式中的比例系數(shù)H(j)稱為網(wǎng)絡函數(shù), 即 H(j) = 根據(jù)響應和激勵是否在電路同一個端口, 網(wǎng)絡函數(shù)可分為策動點函數(shù)和轉移函數(shù)（或傳輸函數(shù)）; 當響應與激勵處于電路的同一端口時, 則稱為策動點函數(shù); 否則稱為轉移函數(shù)。 根據(jù)響應、 激勵是電

3、壓還是電流, 策動點函數(shù)又可分為策動點阻抗和策動點導納; 轉移函數(shù)又分為轉移電壓比、轉移電流比、轉移阻抗和轉移導納。 FYFYmmjwH)(第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 譬如, 在圖5.1- 1(b)所示的RC電路中, 若以電容電壓 為響應, 以電壓源 為激勵, 其網(wǎng)絡函數(shù)(轉移電壓比)為 H(j) = 可見網(wǎng)絡函數(shù)H(j)是由電路的結構和參數(shù)所決定的, 并且一般是激勵角頻率（或頻率）的復函數(shù)。它反映了電路自身的特性。 顯然, 當激勵的有效值和初相保持不變（即變）, 而頻率改變時, 響應 將隨頻率的改變而變化, 其變化規(guī)律與H(j)的變化規(guī)律一致。也就是說, 響應與激勵頻率的關系決定于網(wǎng)絡

4、函數(shù)與頻率的關系。故網(wǎng)絡函數(shù)又稱為頻率響應函數(shù), 簡稱頻率響應。 CUjwcRjwcRjwcSCUU1111第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 將H(j)、 、 都寫成極坐標的形式, 并代入式(5.1- 2)可得YF)()()()(fyfjjjYwjeFYFeYeejwHjwH由此可得 |H(j)| = FY () = y-f 式中， |H(j)|是H(j)的模, 它是響應相量的模與激勵相量的模之比, 稱為幅度-頻率特性或幅頻響應; ()是H(j)的輻角, 它是響應相量與激勵相量之間的相位差, 稱為相位-頻率特性或相頻響應。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 由式

5、(5.1- 1)、 (5.1- 5)和(5.1- 6)可得, 若激勵相量AKF所對應的正弦量為 f(t) = Fmcos(t+f)則響應相量 所對應的正弦量為 y(t) = Ym cos(t +y) = |H(j)|Fm cost +f +() (5.1- 7) 例 5.1- 1如圖5.1- 1(a)的電路, 若 R = 1k, C = 1 F, 激勵電壓 uS = 10cos0t+10cos20t+10 cos30t (V) 其中角頻率0 =103rad/s, 求電路的響應uC(t)。 解輸入信號uS(t)含有三個不同頻率的正弦量, 分別令其為 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 uS1(t)

6、 = 10cos0t (V) uS2(t) = 10cos20t (V) uS3(t) = 10cos30t (V) 等效為三個電壓源串聯(lián)。 它們各自引起的響應分別用uC1(t)、 uC2(t)和uC3(t)表示, 則根據(jù)疊加定理, 電路在激勵uS(t)作用下的穩(wěn)態(tài)響應為 uC(t) = uC1(t) + uC2 (t) + uC3 (t) 對圖5.1- 1電路, 將電路參數(shù)R = 1k和C = 1F代入式(5.1- 3)得其網(wǎng)絡函數(shù)為第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 H(j) = 對于 =0 = 103rad/s、 =20 = 2103rad/s、 =3 0 = 3103rad/s, 其值分

7、別為 2101jw第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 按式（5.1- 7）可分別求得它們所對應的正弦量。 最后可得圖5.1- 1電路的響應 uC(t) = 7.07 cos(0t-45) +4.47cos(0t -63.4)+3.16cos(3 0t -71.6) (V)由本例也可看出, 激勵作用于電路時, 其不同頻率分量的幅度和相位受到不同的影響, 而正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡函數(shù)恰反映了這一情況。 對于圖5.1- 1(b)的電路, 求式（5.1- 3）的模和相位, 可得其幅頻響應和相頻響應分別為第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象其幅頻響應和相頻響應曲線如圖5.1- 2所示。 由圖可見, 當頻率很低時, |H

8、(j)|1; 當頻率很高時, |H(j)|1。這表明, 對于圖5.1- 1的電路, 當輸出取自電容電壓時, 低頻信號較容易通過, 而高頻信號將受到抑制, 常稱這類電路為低通濾波電路或低通濾波器。 通常將|H(j)|/Hmax 的頻率范圍稱為該電路的通帶; 而將|H(j)|/Hmax 的頻率范圍稱為止帶或阻帶, 二者的邊界頻率稱為截止頻率, 用fC表示, 截止角頻率用C表示。 21212)(11)(wRcjwHjwRcwarctan)(第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象當 =C 時, 電路的輸出功率是最大輸出功率的一半, 因此, C又稱為半功率點頻率。由式(5.1-

9、 8a)可知Hmax = 1 , 故由 得 C RC = 1, 故該低通濾波器的截止角頻率 C = (rad/s) 由圖5.1- 2可見, 相頻響應隨的增高, 由零單調地減小到-/2。 在截止頻率處(C) =-/4。 21)(11)(2maxwRcHjwH)/(1sradRC第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 按通帶、 止帶來分類, 可分為低通、 高通、 帶通和帶阻濾波電路, 如圖5.1- 3所示。幅頻響應|H(j)|為常數(shù)的電路稱為全通電路。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象5.2一階電路和二階電路的頻率響應一階電路和二階電路的頻率響應 一階電路和二階電路是常用

10、的兩類重要電路。 它通常是構成高階電路的基本單元模塊。 一、一、 一階電路一階電路 一階電路通常有RC電路和有源RC電路等, 按其頻率響應可分為低通、高通和全通三種類型, 其網(wǎng)絡函數(shù)的典型形式為ccwjwwHjwH0)(第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象cwjwjwHjwH)(ccwjwwjwHjwH0)( 式中, C為截止角頻率; H0、H為常數(shù)。 上節(jié)討論的圖5.1- 1就是一RC低通電路（請參看例5.1- 1）, 其網(wǎng)絡函數(shù) ccwjwwjwH)( 式中, C =1/RC。 上式與式（5.2- 1）相比較可知, H0=1。幅頻特性和相頻特性如圖5.1- 2 所示。 第5章 電路的頻率響應和

11、諧振現(xiàn)象cwjwjwjwH)( RC低通電路被廣泛應用于電子設備的整流電路中, 以濾除整流后電源電壓中的交流分量; 或用于檢波電路中以濾除檢波后的高頻分量。 所以該電路又稱為RC低通濾波電路。 若將圖5.1- 1(b)RC電路的電阻電壓作為響應, 如圖5.2- 1(a)所示, 它就變成了一個高通電路, 不難求出其網(wǎng)絡函數(shù) 式中, C = 1/RC。 上式與式（5.2- 2）相比較可知, H = 1。上式可進一步寫為wwcjwjwjwjwHc11)(第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象該高通電路的幅頻和相頻特性分別為2)(11)(wwjwHcwwcwarctan)(

12、按上式畫出的幅頻和相頻特性曲線如圖5.2- 1(b)所示。 在截止頻率C處, |H(j C)|= ,(C ) = /4 。 C 的頻率范圍為通頻帶; 0 C的頻率范圍為阻帶。 這一電路常用作電子電路放大器級間的RC耦合電路。 二、二、 二階電路二階電路 二階電路有RLC電路、RC電路和RC有源電路等,按頻率21第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 響應可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通等五種類型。這五種典型的二階網(wǎng)絡函數(shù)為 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 式中, 0、Q是與元件參數(shù)有關的常量, 對于不同形式的電路, 其表示式也不相同。 例 5.2- 1 圖5.2- 2(a)是雙RC電路, 如以為

13、激勵, 以為響應, 求電壓比函數(shù) H(j) = ， 并分析其特性。1U12/UU122121)(3)()(33111111UUURCjwRCjwjwRCjwcRjwcRjwcRjwcRjwcR第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象221221)(3)()(331RCjwRCjwjwRCUUU令0=1/RC, Q = 1/3, H0=1/3, 于是上式可寫為 200200)()()(12)(wjwQwjwjwQwHjwHUU與式(5.2- 10)相比較可知, 它是帶通函數(shù)。 將式(5.2- 13a)的分子、 分母同除以j0 / Q, 并稍加整理, 可得帶通函數(shù)的另一種典

14、型形式 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象2000)(112)(wwwwjQHjwHUU其幅頻和相頻特性分別為 20020)(1)(wwwwQHjwH)(arctan)(00wwwwQw 由上式可見, 當=0時, |H(j 0)| = H0。其幅頻、相頻特性曲線如圖5.2- 2(b)所示。 由幅頻特性曲線可知, 幅頻特性的極大值發(fā)生在=0處, 0稱為中心角頻率 。第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 在=0處, Hmax= |H(j 0)|= H0, (0) = 0; 當=和=0處, |H(0)|=|H(j)|= 0, (0) =() = /2。 當|H(j)|下降到其最大值的 倍時, 其所對應的頻

15、率稱為截止頻率, 用fC1、fC2表示, 其角頻率分別用C1、C2表示。 根據(jù)式(5.2- 14)，由第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象由上式可解得1)21(2120101QQffwwcc1)21(2120202QQffwwcc C1C2的頻率范圍(相應地fC1ffC2)為通帶, C2 (相應地f fC2 )均為阻帶。 通帶的寬度稱為帶通電路的帶寬或通頻帶。它可用角頻率表示, 也可用頻率表示(請注意, 二者單位不同, 且勿混淆), 都記為B, 即 B =C2-C1= B = fC2-fC1 =)/(0sradQw)(0ZHQf第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 對于本例, 將Q=1/3, 0=1/

16、(RC)代入式（5.2- 18）（5.2- 20a）, 得C1=0.3/(RC), C2 = 3.3/(RC), B = 3/(RC) （rad/s)或B = 3f0 (Hz) (式中f0 = 1/(2RC)。 例 5.2- 2圖5.2- 3(a)的雙T電路是一個帶阻電路。如以 為激勵, 以 為響應, 求電壓比函數(shù) H(j) = , 并分析其頻率特性。 2U12/UU解 經過運算可求得其網(wǎng)絡函數(shù)2002202)()(12)(wwQwjjwwjwHjwHUU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 式中, 0= 1/(RC), H= 1, Q = 1/4 。上式分子、 分

17、母同除以(j)2+20, 并稍加整理, 可得2002)(11)(wwwwQjHjwH其幅頻和相頻特性分別為2002)(11)(wwwwQHjwH第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象)(1arctan)(00wwwwQw 由上式可知, H是=（或= 0）時|H(j)|的值。 其幅頻和相頻特性曲線如圖5.2- 3(b)所示。由圖可見, 在中心角頻率 = 0處, |H(j0)| = 0, (0) = /2 。 0常稱為陷波角頻率。在=和= 0處, |H(j0)| = |H(j)| = j =1, (0) =() = 0。該電路常用作高頻陷波電路。 在|H(j)|/Hmax= 處所對應的頻率稱為截止頻率,

18、 由式（5.2- 22）可求得截止角頻率為21第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象1)21(2120101QQffwwcc1)21(2120201QQffwwcc C1C2的頻率范圍(相應地fC1ffC2)為阻帶, C2 (相應地f fC2 )均為通帶。 阻帶的寬度稱為帶阻電路的帶寬或阻頻帶(可用角頻率或頻率表示), 都記為B, 即 B = C2 - C1 = (rad/s)或 B = fC2 - fC1= (Hz)Qw0Qf0第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 將式(5.2- 18)、 (5.2- 19)、 (5.2- 20)與式(5.2- 24)、 (5.2- 25)、 (5.2- 26)比較,

19、 可見計算二階帶通電路和帶阻電路的截止頻率及帶寬的公式是相同的。 從上述討論可看出, 盡管我們是以具體電路為例進行分析的, 但所得結果對具有相同網(wǎng)絡函數(shù)的電路也適用。 例 5.2- 3圖5.2- 4是一種有源RC電路, 求網(wǎng)絡函數(shù)H(j) = 。 解 由圖可列出節(jié)點a的節(jié)點方程為 1/2UU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 將以上二式代入式(5.2- 27)消去 , 就可得到網(wǎng)絡函數(shù) 322543121)(12YAYYYYYYYAYUUaU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 通過適當?shù)卮钆涓鲗Ъ{（選電阻或電容）, 就可得到不同類型的網(wǎng)絡函數(shù)。 也就是說, 圖5.2

20、- 4的電路可實現(xiàn)多種類型的濾波電路。 譬如, 當Y1 =Y2 = 1/R , Y3 = Y5 = jC, Y4 = 0時所構成的電路, 其網(wǎng)絡函數(shù)為式(5.2- 8), 是低通濾波電路; 當Y1 =Y2 = jC, Y3 = Y5 = 1/R, Y4 = 0時所構成的電路, 其網(wǎng)絡函數(shù)為式(5.2- 9), 是高通濾波電路; 當Y1 = Y3 = Y5 = 1/R, Y2 = Y4 = jC時所構成的電路, 其網(wǎng)絡函數(shù)為式(5.2- 10), 是帶通濾波電路。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象5.3串聯(lián)諧振電路串聯(lián)諧振電路 諧振現(xiàn)象是正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種特定的工作狀態(tài)。 諧振電路由于其良好的選

21、頻特性, 在通信與電子技術中得到廣泛應用。 通常的諧振電路由電感、電容和電阻組成。按照電路的組成形式可分為串聯(lián)諧振電路、并聯(lián)諧振電路和雙調諧回路。 本節(jié)和下節(jié)分別討論串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路發(fā)生諧振的條件、 諧振時的特點以及諧振電路的頻率響應。 一、 RLC串聯(lián)諧振 圖5.3- 1是由r、L、C組成的串聯(lián)電路, 其電源是角頻率為(頻率為f)的正弦電壓源, 設電源電壓相量為 , 其初相為零。 SU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象圖5.3- 1串聯(lián)回路的總阻抗Z = r+jX = rXjareXrtan22式中電抗 X =L - wc1串聯(lián)電路中的電流相量 rxjarSeXrUZSUItan22第5章

22、電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象其模和相角分別為22XrUSIrwcwL1arctan 由以上關系可以看出, 在電路參數(shù)r、 L、 C一定的條件下, 當激勵信號的角頻率變化時, 感抗L隨增高而增大, 容抗1/(C) 隨增高而減小。 所以總電抗 X =L-1/(C) 也隨頻率而變化, 圖5.3- 2畫出了感抗、 容抗、 總電抗X和阻抗的模值|Z|隨角頻率變化的情況。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 由圖可見, 當頻率較低時, L1/(C), 電抗為正值, 電路呈感性。因而電流 落后于電壓 , 其相量關系如圖5.3 - 3(c)所示。 SU

23、SUSUSU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 當回路電抗等于零, 電流 與電源電壓 同相時, 稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。 這時的頻率稱為串聯(lián)諧振頻率, 用f0表示, 相應的角頻率用0表示。 由式(5.3- 2), 電路發(fā)生串聯(lián)諧振時, 有 X = 0 L- = 0故得諧振角頻率0及諧振頻率f0分別為 0 = f0 =LC1LC21第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 由上式可知, 電路的諧振頻率僅由回路元件參數(shù)L和C決定, 而與激勵無關, 但僅當激勵源的頻率等于電路的諧振頻率時, 電路才發(fā)生諧振現(xiàn)象。諧振反映了電路的固有性質。 除改變激勵頻率使電路發(fā)生諧振外, 實際中，

24、 經常通過改變電容或電感參數(shù)使電路對某個所需頻率發(fā)生諧振, 這種操作稱為調諧。譬如,收音機選擇電臺就是一種常見的調諧操作。 當rLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時, 電抗X = 0, 故阻抗為純阻性, 且等于r, 阻抗模最小。 若諧振時的阻抗用Z0表示, 則有 Z0 = r (5.3- 6)第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 諧振時, 0=1/ , 此時的感抗與容抗數(shù)值相等, 其值稱為諧振電路的特性阻抗, 用表示, 即 =0L= (5.3- 7) 可見， 特性阻抗是一個僅由電路參數(shù)決定的量。 在工程中, 通常用電路的特性阻抗與回路的電阻r的比值來表征諧振電路的性質, 此比值稱為串聯(lián)諧振電路的品質因數(shù), 用品

25、質因數(shù)和無功功率符號相同， 注意不要混淆。 Q表示, 即 它是一個無量綱的量。 其含義稍后說明。 CLrcrwrLwrQ1100LC第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象rZSSUUI00 此時, 電流 與 同相, 并且I0達到最大值。 諧振時, 各元件電壓分別為 0ISU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 可見, 諧振時, 電感電壓和電容電壓的模值相等, 均為激勵電壓的Q倍, 即UL0 = UC0 = QUS, 但相位相反，故相互抵消(參看圖5.3- 3(b)。 這時, 激勵電壓US全部加到電阻r上, 電阻電壓Ur達到最大值。實際中的串聯(lián)諧振電路, 通常r, Q值可達幾十到幾百。 因此諧振時電感和電

26、容上的電壓值可達激勵電壓的幾十到幾百倍, 所以, 串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。在通信和電子技術中, 傳輸?shù)碾妷盒盘柡苋? 利用電壓諧振現(xiàn)象可獲得較高的電壓, 但在電力工程中, 這種高壓有時會使電容器或電感線圈的絕緣被擊穿而造成損害, 因此常常要避免諧振情況或接近諧振情況的發(fā)生。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 二、二、 品質因數(shù)品質因數(shù) 品質因數(shù)Q通?？啥x為, 在正弦穩(wěn)態(tài)條件下, 元件或諧振電路儲能的最大值與其在一個周期內所消耗能量之比的2倍, 即 Q =2 首先討論電感線圈和電容器的品質因數(shù)。 當考慮電感線圈的能量損耗時, 其電路模型如圖5.3- 4(a)所示。如果通過它的電流 i = I c

27、ost電感的儲能為周期內消耗的能量儲能的最大值2第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 其最大儲能為LI2。 一周期內線圈電阻r所消耗的能量為I2rT = I2r/f(式中T為周期, f 為頻率)。 根據(jù)定義式(5.3- 11), 電感線圈的品質因數(shù) Q = 2 當考慮電容器的能量損耗時, 其電路模型如圖5.3- 4(b)所示。 如果電容的端電壓 u = U cos trwLrflrTILI2222第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 當用電感線圈與電容器組成串聯(lián)諧振電路時, 通常, 電容器的損耗較電感線圈的損耗小得很多, 可以忽略不計, 這時的串聯(lián)諧振電路如圖5.3-

28、4(c)所示。 下面討論該諧振電路的能量關系。 設諧振時電路中的電流為 i0 =twIrswUruSs000cos2cos2則電感的瞬時儲能為 wL0 = twLILI022020cos21 諧振時電容電壓的振幅為 , 其相位落后于電流/2, 于是電容電壓為 )/(200cwI第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象twtwcwtwcwuc000000sin2sin2)2cos(2電容瞬時儲能為 wC0= 式(5.3- 15)、 (5.3- 16)表明, 電感與電容元件儲能的最大值相等。 串聯(lián)諧振電路諧振時總的瞬時儲能w0等于兩個儲能元件的瞬時儲能之和, 即 諧振電路中任意時刻t的電磁能量恒為常數(shù)，說

29、明電路諧振時與激勵源之間確實無能量交換。只是電容與電感之間存在電磁能量的相互交換。 twCWIctwCUcucc02200022020sin)(sin212020000cCLCULIwww第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 諧振時, 電路中只有電阻r消耗能量, 一周期內電阻r所消耗的能量為I20rT0=I20r/f0。 根據(jù)定義式(5.3- 11), 諧振電路諧振時的品質因數(shù) Q = 2 比較式(5.3- 18)和式(5.3- 8), 可看出二者相同。 由此可見, 諧振電路的Q值實質上描述了諧振時電路的儲能和耗能之比。必須指出, 諧振電路的品質因數(shù)僅在諧振時才有意義, 在失諧情況下, 式(5.3

30、- 18)不再適用。 這就是說, 計算電路Q值時應該用諧振角頻率0。 rcwrLwrLfrTILI0000202012第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 三、三、 頻率響應頻率響應 前面討論了串聯(lián)諧振電路諧振時的特點, 這里進一步研究串聯(lián)諧振電路電流的頻率特性。 圖5.3- 1電路中的電流為 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象式中H0 = 1/r。 因此, 電路電流的頻率響應為 200200)()()()(wjwQwjwjwQwHSjwHUI 與式(5.2- 10)或(5.2- 13)比較可見, 它是一個帶通函數(shù)。 其幅頻和相頻特性分別如式(5.2- 14)和(5.2- 15)所示； 截止頻率如式

31、(5.2- 18)和(5.2- 19)所示; 通頻帶寬B如式(5.2- 20)所示。把Q = 0L/r 代入式(5.2- 20a), 可得串聯(lián)諧振電路的帶寬(用角頻率表示)/(0sradLrQwB第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 為了討論方便, 不失一般性, 我們以為橫坐標, |H(j)|/H0 和()為縱坐標畫出Q取不同值時的幅頻和相頻特性曲線, 常稱為諧振電路的諧振曲線, 如圖5.3- 5(a)和(b)所示。 由圖(5.3- 5a)可見, 諧振電路對頻率具有選擇性, 其Q值越高, 幅頻曲線越尖銳, 電路對偏離諧振頻率的信號的抑制能力越強, 電路的選擇性越好。所以在電子線路中常用諧振電路從許

32、多不同頻率的各種信號中選擇所需要的信號?？墒? 實際信號都占有一定的頻帶寬度, 由于通頻帶寬度與Q成反比, 所以Q過高, 電路帶寬則過窄, 這樣將會過多地削弱所需信號中的主要頻率分量, 從而引起嚴重失真。 譬如廣播電臺的信號占有一定的頻帶寬度, 收音機中為選擇某個電臺信號所用的諧振電路應同時具備兩方面功能: 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 一方面從減小信號失真的角度出發(fā), 要求電路通頻帶范圍內的特性曲線盡可能平坦些, 以使信號通過回路后各頻率分量的幅度相對值變化不大, 為此希望電路的Q值低些較好; 另一方面從抑制臨近電臺信號的角度出發(fā), 要求電路對不需要的信號

33、各頻率成分能提供足夠大的衰減, 為此又希望電路的Q值越高越好。因此, 實際設計中, 必須根據(jù)需要來選擇適當?shù)腝值以兼顧這兩方面的要求。 例 5.3- 1一串聯(lián)諧振電路, L = 50 H, C = 200pF, 回路品質因數(shù)Q = 50, 電源電壓 US= 1 mV。求電路的諧振頻率、諧振時回路中的電流I0和電容上的電壓UC0以及帶寬B。 解 由式(5.3- 5)可求得電路的諧振頻率第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象ZMHLCf59. 11059. 1102001050212161260 為求出諧振時的電流, 可先求出回路的損耗電阻r。 由式( 5.3- 8)可得 101020010505011

34、126CLQr所以諧振時的電流 I0 = mArUS1 . 010103諧振時電容電壓 UC0 = QUS = 5010-3 = 50mV為電源電壓US的50倍。 電路的帶寬 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象5.4 并聯(lián)諧振電路并聯(lián)諧振電路 串聯(lián)諧振電路僅適用于信號源內阻較小的情況, 如果信號源內阻較大, 將使電路Q值過低, 以至電路的選擇性變差。這時, 為了獲得較好的選頻特性, 常采用并聯(lián)諧振電路。 一、一、 GCL并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振 圖5.4- 1是GCL并聯(lián)諧振電路, 它是圖5.3- 1 rLC串聯(lián)諧振電路的對偶電路, 因此它的一些結果都可由串聯(lián)諧振電路對偶地得出。 對此, 下面將作簡略的

35、討論。 圖5.4- 1并聯(lián)諧振電路的總導納為 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 Y= G+jB=G+j 式中電導 G = 1/R。 當電納 B = 0 時, 電路的端電壓 與激勵 同相, 稱為并聯(lián)諧振。 這時的頻率稱為并聯(lián)諧振頻率, 用f0表示, 角頻率用0表示。于是在并聯(lián)諧振時有可得諧振角頻率0和頻率f0 分別為 0 = f0 = 在并聯(lián)諧振時, 由于B = 0, 故諧振導納 Y0 = G =UsILCcwB10LC1LC21R1第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象這時導納為最小值, 且為電阻性, 而諧振阻抗 Z0 = 為最大值, 且為電阻性。 諧振時, 感納 1

36、/0 L與容納0 C相等, 因而感抗0 L和容抗1/ 0 C也相等, 稱為諧振電路的特性阻抗, 即 =0L= 并聯(lián)諧振電路的品質因數(shù)(見式5.3- 13)為 Q = 諧振時, 回路的端電壓RGY1110CLcw01LwRCRwGcw000第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象為最大值。 這時各支路電流分別為 可見, 并聯(lián)諧振時, 電容電流 和電感電流的模值都等于QIS, 但相位相反, 故相互抵消（參見圖5.4- 2(b)）。 根據(jù)這一特點, 并聯(lián)諧振也稱為電流諧振。這時電源電流 全部通過電導G, 電導電流IG達最大值。 0CISIQ第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 在不同頻率時, 各支路電流與電壓的

37、相量關系如圖5.4- 2所示。由圖可見, 當0時, C0時, C1/(L) , 電納B為正值, 電路呈電容性, 電壓 落后于電流 , 如圖5.4- 2(c)所示。 對并聯(lián)諧振電路, 我們常研究以端電壓 為輸出的頻率響應。 對圖5.4- 1的諧振電路, 其端電壓為USIUSIUSIU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象)1(11)1(000LCwwwwGcwjsGwLwcjGsYsIIIU20020000)()()()(1wjwQwjwSjwQwHwwwwjQSRII式中H0 = R = 1 / G 。因此, 其電壓的頻率響應為H(j) = 200200)()()(w

38、jwQwjwjwQwHSIU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 可見， 式 (5.4- 10) 與式 (5.3- 20)形式相同, 也是帶通函數(shù)。 其幅頻和相頻特性曲線與圖5.3- 5(a)(b)的曲線完全相同。 截止頻率的表示式仍為式 (5.2- 18) 和 (5.2- 19); 通頻帶寬B的表示式為式(5.2- 20)。 把Q = 0C/G 代入式(5.2- 20a), 可得并聯(lián)諧振電路的帶寬(用角頻率表示) )/(10sradRCCGQwB 二、二、 實用的簡單并聯(lián)諧振電路實用的簡單并聯(lián)諧振電路 電子技術中實用的并聯(lián)諧振電路常具有圖5.4- 3的形式, 其中r是電感線圈的損耗電阻, 一般電

39、容的損耗很小, 這里忽略不計。 通常, 諧振電路的Q值較高(Q1), 并且工作于諧振頻率附近, 這時圖5.4- 3的電路可等效為圖5.4- 1的簡單并聯(lián)諧振電路。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象)(12222wLrwLwcjwLrrjwcjwLrY當回路的品質因數(shù)Q較高, 即r2(L)2 時, 上式的分母中r2可以略去, 于是得電路的導納為)1()1()(2wLwcjGwLwcjwLrY在諧振頻率附近, 即0, 上式中電導 LCrLwrwLrRG202)()(1第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 式(5.4- 12)正是圖5.4- 1電路的總導納(見式5.4- 1)。 這表明, 圖5.4- 1

40、的電路與圖5.4- 3的電路, 在諧振頻率附近, 且Q值較高時是相互等效的。 在相互變換時, L和C不變, 串聯(lián)于回路中的電阻r(如圖5.4- 4(a), 可以變換為并聯(lián)于回路兩端的電阻R(電導G), 如圖5.4- 4(b)所示; 同樣地, 并聯(lián)于回路兩端的電阻R, 也可變換為串聯(lián)于回路中的電阻r。 由式(5.4 - 13), 它們的相互變換的關系為CrLR CRLr 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象圖5.4- 4(a)和(b)電路的品質因數(shù)的計算公式分別為 crwrLWCLrrQ0011LwRCRWLCRRQ00 由式(5.4- 14)和式(5.4- 15)還

41、可以看出, 并聯(lián)于回路兩端的電阻R越大, 相當于串聯(lián)于回路中的電阻r越小, 從而Q值越高; 反之, R越小, 相當于r越大, 從而Q值越低。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 例 5.4- 1圖5.4- 5是某放大器的簡化電路, 其中電源電壓US = 12 V, 內阻RS = 60k; 并聯(lián)諧振電路的L = 54H, C = 90 pF, r = 9; 電路的負載是阻容并聯(lián)電路, 其中RL= 60k, CL = 10pF。 如整個電路已對電源頻率諧振, 求諧振頻率f0、RL兩端的電壓和整個電路的有載品質因數(shù)QL。 解 將電壓源 與RS相串聯(lián)的支路變換為電流源與電

42、阻并聯(lián)的電路, 將諧振電路變換為GCL并聯(lián)電路, 于是得出圖5.4- 5電路的等效電路， 如圖5.4- 6(a)所示。然后，將有關元件并聯(lián), 得圖5.4- 6(b)的電路。 圖中GS= 1/RS, GL = 1/RL。 由于 C = C+CL = 90+10 = 100pF 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象故并聯(lián)電路的諧振阻抗 41260010691010010541rCLGRmARSSSUI2 . 01060123圖 5.4- 6(b)中, 總電導 G=GS+G0+GL = SRRRLS50105111電阻KGR201根據(jù)圖5.

43、4- 6(b)， 可求得電路的諧振頻率第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象MHZCLf17. 210100105421211260R的端電壓也就是RL兩端的電壓 U = ISR= 0.210-320103 = 4V 由式(5.4- 15), 可得整個電路的有載品質因數(shù)2 .2710541010010206123LCRQL 三、三、 復雜并聯(lián)諧振電路復雜并聯(lián)諧振電路 在電子技術中, 除使用簡單的串聯(lián)或并聯(lián)諧振電路外, 還常采用雙電感或雙電容的并聯(lián)諧振電路, 如圖5.4- 7(a)和(b)所示(圖中損耗電阻未畫出)。第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 考慮損耗電阻的雙電感

44、和雙電容電路可歸納為圖5.4- 7(c)所示的一般形式。 統(tǒng)稱為復雜并聯(lián)諧振電路。 圖5.4- 7(c)電路的總導納 221111jXrjXrY1111222221212222211XrXrjXrXr 如果回路的Q值較高, 即有r21X21, r22X22, 則上式分母中的r21和r22均可以略去, 得總導納為第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象jBGXXjXrXrY121222211電路發(fā)生諧振時, 電納等于零, 即011201020102010XXXXXXB 式中X10、X20分別為諧振時支路1和支路2的電抗, 由上式有 X10+X20 = 0 (5.4- 17

45、) 即電路發(fā)生并聯(lián)諧振時, 總電抗近似等于零。 對于圖5.4- 7(a)的雙電感電路, 如果L1與L2間的互感M = 0, 則第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 0L1+0L2 -010cw 可解得并聯(lián)諧振頻率f0和角頻率0分別為LCw10LCf210 式中L = L1+L2 是回路的總電感。 如果L1與L2之間的互感為M, 則總電感 L = L1 + L2 +2M。 對于圖5.4- 8(b)的雙電容電路, 可求得其諧振頻率的表達式與式(5.4- 18)相同, 只是式中C(C = C1C2/(C1+C2)是回路中C1與C2串聯(lián)后的總電容。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 順便指出, 對于圖5.

46、4- 8(a)的雙電感電路, 支路2中L2與C也能發(fā)生串聯(lián)諧振。 若M = 0, 其諧振角頻率令為03, 則 03 = 由于L20（0為并聯(lián)諧振角頻率）; 對于圖5.4 - 8(b)的雙電容電路, 支路2中C2和L也能發(fā)生串聯(lián)諧振, 其諧振角頻率 01 = 由于C2C(C=C1 C2 /(C1 + C2), 所以010。 由式(5.4- 17)可知, 當諧振時X10 = - X20, 即支路1的電抗與支路2的電抗大小相等,符號相反。CL2121LC第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 雙電感或雙電容并聯(lián)諧振電路, 實際是將電感或電容一分為二, 將信號源或/和負載接在一部分電感或電容上, 以便使電路

47、匹配。 當回路Q值較高, 計算諧振頻率附近的各量值時, 在工程上常使用功率平衡的觀點進行近似計算, 實踐表明用這種方法在Q較高時是足夠準確的。 設回路總電感或總電容的端電壓為 , 支路1的端電壓為 , 如圖5.4 - 8(a)和(b)所示。 在LC回路中， 由于回路電流 , 因而可以近似地認為：對于圖(a), L1的端電壓與L2的端電壓同相, 從而 與 也同相; 對于圖(b), C1的端電壓與C2的端電壓同相, 從而 與 也同相。我們將有效值U1與U之比定義為變換系數(shù), 或接入系數(shù), 用m表示, 即0I10I20I1UU1UU1UU第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象UUm1 由于流過L1和L2(

48、或C1和C2)的是同一電流 , 因而上式也可寫為0I同性質的總阻抗回路中與1010XXm 對于圖5.4- 8(a)的雙電感電路, 如L1與L2之間的互感M = 0, 則根據(jù)上式有LLLLwwLm1211)(第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 式中L = L1+L2+2M(一般L1和L2的繞向相同, 其同名端如圖5.4- 8(a)所示)。如L1與L2為全耦合, L2為N1匝, L2為N2匝, 線圈總匝數(shù)N = N1+ N2, 則 m = NN1對于圖5.4- 8(b)的雙電容電路, 其變換系數(shù) 1111ccwcwcm2121ccccc第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象若LC回路兩端的諧振阻抗（見式5

49、.4- 13）為 CrLz 0 式中r為LC回路的總電阻(如支路1的電阻為r1, 支路2的電阻為r2, 則 r = r1+r2); 并設從支路1的端口向內視入的諧振阻抗為Z0m, 如圖5.4- 8所示, 則二者吸收的功率應該相等, 即0221ZUZUOm于是得CrLmZUUZom2021第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 實際上, 將諧振條件B = 0, X10 = -X20代入式(5.4- 16)也可得到以上相同的結果。 式(5.4- 28)給我們以啟示, 為了使回路諧振阻抗與信號源內阻（或負載）相匹配, 我們可以不改變諧振回路的元件參數(shù)值, 而通過變換系數(shù)m來實現(xiàn)。 如圖5.4- 9(a)和(b)的電路, 電阻r（它可能是電源內阻或負載電阻）接在電感L的抽頭或電容C1上, 設其接入系數(shù)（變換系數(shù)）為m。我們試圖將圖(a)或圖(b)的電阻r變換到LC回路的兩端, 如圖5.4- 9(c)所示。 第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應和諧振現(xiàn)象 圖5.4- 9(a)或(b)中, 在諧振時, 電阻r吸收的功率為U21/r, 圖(c)中電阻r吸收的功率為U2/r, 二者應該相等, 于是有由此可得 顯然, 如果想