哈工大非線性作業(yè)

1、非線性控制課程作業(yè)2015秋季學期姓 名：學 號： 15S004001專 業(yè)： 控制科學與工程哈爾濱工業(yè)大學2016年1月作業(yè)一1. 動態(tài)系統(tǒng)：系統(tǒng)狀態(tài)隨時間而變化的系統(tǒng)或者按確定性規(guī)律隨時間演化的系統(tǒng)，稱為動態(tài)系統(tǒng)。動態(tài)系統(tǒng)是數學上的一個概念，是一種固定的規(guī)則，它描述一個給定空間（如某個物理系統(tǒng)的狀態(tài)空間）中所有點隨時間的變化情況。在動力系統(tǒng)中有所謂狀態(tài)的概念，狀態(tài)是一組可以被確定下來的實數。狀態(tài)的微小變動對應這組實數的微小變動。動力系統(tǒng)的演化規(guī)則是一組函數的固定規(guī)則，它描述未來狀態(tài)如何依賴于當前狀態(tài)的。這種規(guī)則是確定性的，即對于給定的時間間隔內，從現在的狀態(tài)只能演化出一個未來的狀態(tài)。其特點

2、是: （1）系統(tǒng)的狀態(tài)變量是時間函數,即其狀態(tài)變量隨時間而變化； （2）系統(tǒng)狀況由其狀態(tài)變量隨時間變化的信息來來描述； （3）狀態(tài)變量的持續(xù)性。 數學描述形式：一般的，動態(tài)系統(tǒng)表示為一個元組，其中表示一個從到的映射，用表示，稱為“演變函數”，表示了系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律。其中， 表示了集合中點的變化，這種變化依據于變量，稱為狀態(tài)空間。代表系統(tǒng)的初始狀態(tài)，當初始狀態(tài)固定時，就變?yōu)榱说暮瘮担瘮到涍^代表的狀態(tài)點。動態(tài)系統(tǒng)也常用微分方程來描述，設系統(tǒng)狀態(tài)向量為，則有一下數學描述：式中x為狀態(tài)變量矢量，t為時間，f為確定性矢量函數，這個微分方程即動態(tài)系統(tǒng)的數學描述形式。 對微分動力系統(tǒng)的研究從理論上

3、揭示了系統(tǒng)的許多基本性質。如對系統(tǒng)吸引子的研究說明了系統(tǒng)終態(tài)，即定常狀態(tài)的種類（非平衡態(tài)）。又如對系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的研究和相空間拓撲結構對參量依賴關系的研究都對系統(tǒng)的設計具有重要指導意義。不用微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)模型中最簡單的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。 靜態(tài)系統(tǒng)：與動態(tài)系統(tǒng)相對，系統(tǒng)狀態(tài)不隨時間變化的系統(tǒng)稱為靜態(tài)系統(tǒng)。系統(tǒng)中各個狀態(tài)的量之間都有著已經固定的關系并且保持不變，動態(tài)系統(tǒng)的每一個平衡點都是一個靜態(tài)系統(tǒng)。 數學描述：用微分方程來描述靜態(tài)系統(tǒng)，類比動態(tài)系統(tǒng)，可以有以下數學描述其中表示了系統(tǒng)中各個狀態(tài)變量之間的關系，即滿足這樣的關系時靜態(tài)系統(tǒng)才能成立。 2.系統(tǒng)的齊次性和疊加性

4、是不是獨立的兩個性質？如果一個系統(tǒng)具有疊加性，是否可以推斷出該系統(tǒng)一定滿足齊次性？寫出你對該問題的理解。 二者是獨立的，二者只在有理數范圍內等效；這個問題本身屬于群論范疇，盡管直觀上講，二者有一定關聯(lián)?？梢宰C明在有理數域內, 如果已知系統(tǒng)具有疊加性, 那么它一定同時具有齊次性。 （1）在整數范圍內證明，當由疊加性可以得到 即滿足齊次性：當顯然成立;當時由可加性，由上面堆出的結論可知簡言之，式子最后可以分解為a個T(r)相加，即為a倍T(r)。此時可加性與齊次性表述了同一條規(guī)則。將這一結論推廣，可加性可以推出對于有理數的齊次性， （2）在有理數范圍內證明 由于有理數總可以寫成分數形式，其中，由(

5、1)中推出的結論知在有理數范圍存在，故齊次性與可加性在有理數范圍內等效。但在無理數范圍內及復數范圍內該結論不一定成立，反例如下： （3）雖然實際中存在很多不同時滿足齊次性與可加性的例子，但大多數非線性系統(tǒng)是同時不滿足二者。具有齊次性的非線性映射，只能在不滿足可加性的無理數集中去尋找。如果不要求為連續(xù)函數，定義抽象函數如下例，即為一個滿足齊次性而不滿足可加性的系統(tǒng)： （x為有理數） （x為無理數） 即為滿足齊次性對數乘封閉 而不滿足可加性的實例。 （4）設為復數，若系統(tǒng)滿足其中，則可以推導出齊次性，但是一般的線性系統(tǒng)不滿足這個性質。若變量與常數都可在復數域取值，由于復數運算的特殊性，疊加性與齊次

6、性之間不一定等價。比如當k為復數時， ，齊次性不成立但是疊加性仍然成立。3. 狀態(tài)空間表達式如下，Simulink仿真比較線性、非線性模型。 線性系統(tǒng)Simulink仿真模型（藍色曲線） 非線性系統(tǒng)Simulink仿真模型（紅色曲線） （1）對于初值，兩種系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如下兩圖所示：X1 X2當角度很小時，兩系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡基本是相同的。（2）對于初值，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如下：X1 X2當初始角度偏大時，近似的模型與實際模型的狀態(tài)軌跡出現了偏差。對于初值，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如下：X1 X2當單擺初始狀態(tài)水平放置時，兩個系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡相差比較大。（4） 對于初值，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如下：X1 X2 當偏角大于

7、直角，兩系統(tǒng)軌跡相差很大，實際系統(tǒng)的軌跡已經能夠看出不完全符合正弦規(guī)律。作業(yè)二1. 對兩種穩(wěn)定性的理解。 假設f是n維連續(xù)向量場。這樣可以保證對于每個初始狀態(tài)x0，都有至少一個經典解x(t)。 (1)Lyapunov穩(wěn)定性針對平衡位置定義：系統(tǒng)對任意選定實數 ，都存在 ，使得當 時，從任意初態(tài)出發(fā)都滿足 ，便可以確定 為平衡點，且此時稱這個平衡點在Lyapunov意義下穩(wěn)定。若平衡點為零點，則。實質即在一定條件下可以滿足是系統(tǒng)響應有界，系統(tǒng)響應 存在邊界 ，而根據邊界即可確定出初始狀態(tài)所在超球域。初值的選取取決于對系統(tǒng)狀態(tài)范圍的限定，通過限定初值范圍保證系統(tǒng)狀態(tài)在要求范圍之內。 (2)Lagr

8、ange穩(wěn)定性也叫解的一致有界性，從Lagrange穩(wěn)定性中只能得到狀態(tài)在時刻之后是有界的。即給定，我們總可以找到一個，當時，有。2. 解對初值具有連續(xù)依賴性與不穩(wěn)定性的理解。解對初值的連續(xù)依賴性是指，對于非線性系統(tǒng)，假設為定義在上的唯一解，滿足初始條件, 對于任意給定的，存在使得對于，上述方程在上存在滿足初始條件的唯一解，且。由于連續(xù)依賴性定義在上，即使是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，在一個已知時間范圍內也是存在解的，只要滿足在確定時間點上的解關于初值連續(xù)變化就說明解對初值有連續(xù)依賴性。因此對初值的連續(xù)依賴性與系統(tǒng)不穩(wěn)定不矛盾。即解對初值的連續(xù)依賴性與系統(tǒng)是否穩(wěn)定無關，具有不穩(wěn)定的解的系統(tǒng)也可以對初值具有穩(wěn)

9、定性。如存在。3.該系統(tǒng)平衡點唯一，因為如果有除了原點的另一平衡點，那么若取初值，根據平衡點的定義，與條件不符。但不能說平衡點0是漸進穩(wěn)定的，狀態(tài)收斂，但是并不一定符合Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，即對于任意的不一定能夠找到一個，當時，有，直觀上說，就是在狀態(tài)收斂的過程中可能出現先發(fā)散再收斂的現象，雖然最后狀態(tài)收斂但不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。作業(yè)三1.根據平衡點定義可得解得或近似線性化方法：由于，在平衡點附近有近似線性系統(tǒng)：線性近似系統(tǒng)矩陣，由于易知該平衡點穩(wěn)定。在平衡點附近，首先進行坐標變換則對于系統(tǒng)狀態(tài)，有下式成立： 由于，在平衡點附近有近似線性系統(tǒng)近似系統(tǒng)矩陣，當時平衡點是穩(wěn)定的，否則平衡

10、點是不穩(wěn)定的。在平衡點，同理可以得到近似系統(tǒng)矩陣，當時平衡點是穩(wěn)定的，否則平衡點是不穩(wěn)定的。Lyapunov直接方法： 對于平衡點，取，則，對于平衡點附近的區(qū)域，有成立，因此平衡點是穩(wěn)定的。由于是在平衡點鄰域內的，當時，可以得到，即系統(tǒng)在平衡點是漸進穩(wěn)定的。討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以解出系統(tǒng)的相應為，解得，通過，解的形式可以很明顯的看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即但該平衡點并不是全局漸進穩(wěn)定的，由于該系統(tǒng)平衡點不唯一。對于平衡點，用類似的方法可以得到結果。平衡點也不是全局漸進穩(wěn)定。取，2. 不可以，該系統(tǒng)狀態(tài)的范圍為實數域，也就是說復數不可能成為系統(tǒng)狀態(tài)， 不是系統(tǒng)合理的平衡點，又因在實數范圍內，因此該系統(tǒng)平衡

11、點只有。3.取，則易知全局正定，則有考慮的極值，首先找到駐點，得到駐點為，檢驗，可以得出駐點處二元函數取極大值，由于函數全局可導，只有一個駐點，說明函數最大值為0，當且僅當時取得最大值，因此可以得出<0，又因為為徑向無界函數，所以該系統(tǒng)全局漸進穩(wěn)定。作業(yè)四1.對于集合，若，即，可以得到，因此為系統(tǒng)的一個平衡點，因此為不變集。對于區(qū)域，取，定義，可以得到在內，又存在任意接近原點的點，由Chetaev定理可知該平衡點不穩(wěn)定。對于集合，對于系統(tǒng)，當時，解得該系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡為，狀態(tài)軌跡滿足，因此對于該系統(tǒng)，集合是一不變集。選取，可知該不變集是穩(wěn)定的。2.將代入系統(tǒng)得，令，則由于對稱正定，則若，只

12、有，根據LaSalle定理，可以得出中最大不變集為，其中，以因此中任意點為初值，系統(tǒng)解都趨向于0，可以得出系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。作業(yè)五1.充分性：二階連續(xù)可導，根據微分中值定理，存在介于0和的，使得，由于，有因此，其中，顯然滿足，由連續(xù)性可知如下極限存在：，如果系統(tǒng)（2）是指數穩(wěn)定的則有，因此對于給定的正定矩陣，Lyapunov方程有正定對稱解。取系統(tǒng)（1）的Lyapunov函數為，則由極限定義可知，對于給定的，存在，使得，則選取，則，因此系統(tǒng)（1）是指數穩(wěn)定的。必要性：由充分性證明過程得，,其中，對，有，由于系統(tǒng)（1）是指數穩(wěn)定，即存在，使得所以存在正定對稱矩陣，使得，則，又由于存在，使得，由于，故，故有故可令，則，由于，故半負定，所以半負定，系統(tǒng)（2）指數穩(wěn)定。作業(yè)六，系統(tǒng)可以看作輸入，輸出為的系統(tǒng)，由KYP引理證明過程可知，取，由于嚴格正定，則有，由于，故徑向無界系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)系統(tǒng)全局指數穩(wěn)定。作業(yè)七1.（1）看做微分型則而因此（2）（3）