理科-數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)

1、理科 - 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 .2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題自主梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫歸納法根據(jù)推理過程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為 _歸納法和 _歸納法2數(shù)學(xué)歸納法設(shè)Pn是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題 _(或_)成立； (2)在假設(shè) _成立的前提下，推出 _也成立，那么可以斷定 Pn 對(duì)一切正整數(shù)成立3數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟(1)(歸納奠基 )證明當(dāng)n 取第一個(gè)值 _時(shí)命題成立(2)( 歸納遞推 ) 假設(shè) _時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)

2、從成立2n0 開始的所有正整數(shù)n 都自我檢測(cè)1用數(shù)學(xué)歸納法證明： “1aa2 an 11an 21a(a1)”在驗(yàn)證 n1 時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A1B1aC1aa2D1aa2a334變式遷移 1(2011 ·金華月考 )用數(shù)學(xué)歸納法證明：nN*, 1111111對(duì)任意的2342n12nn111n22n.探究點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例 2用數(shù)學(xué)歸納法證明： 對(duì)一切大于 1 的自然數(shù)，不等式 111 112n1均成立1 352n1 >25變式遷移 2已知 m 為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x>1 時(shí)， (1x)m1mx.探究點(diǎn)三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例 3 用數(shù)學(xué)

3、歸納法證明：當(dāng) nN*時(shí)，an 1(a1)2n 1 能被 a2a1 整除變式遷移3用數(shù)學(xué)歸 6納法證明：當(dāng)n 為正整數(shù)時(shí)，f(n)32n 28n9 能被 64 整除從特殊到一般的思想例 (14 分)已知等差數(shù)列 an的公差 d 大于 0，且 a2、 a5 是方程 x212x270 的兩根，數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為1Tn，且 Tn12bn.(1)求數(shù)列 an、bn的通項(xiàng)公式；1(2)設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，試比較 bn與 Sn 1 的大小，并說明理由【答題模板】7a2a512解(1)由已知得，又an的公差大于 0，a2a527a >a ，a 3，a 9.da5a2 933 3

4、2，a 1，52251 1(n1)×22n1.2 分an121Tn12bn，b13，當(dāng) n2 時(shí)， Tn 112bn 1， nnn1 1 n 11bn1 ，bTT12b21化簡，得 bn3bn1，4 分 是首項(xiàng)為21，公比為 的等比數(shù)列，bn33122n · n 1n，即 b333n2n1，bn2分n.6a31 2n113n(2)Sn2nn2，Sn 1(n1)2，bn2 .1以下比較 bn與 Sn 1 的大?。寒?dāng)n1時(shí)， 13， 24，1<S2，當(dāng) n2 時(shí)， 1 b2Sb1b129313，S 9，<S ，2b2當(dāng) n3 時(shí)， 1 27，S416，1 <S

5、4，當(dāng) n4 時(shí)， 1b3 2b3b4815152，S25，>S .b841猜想： n4 時(shí)， bn>Sn 1.9 分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n4 時(shí)，已證3k假設(shè)當(dāng) nk*，k4)時(shí)，1>S，即>(k(kNbk 12k1)2.10 分那么， nk113k 13k時(shí)，23 · >3(k1)23k2bk 126k 3(k24k4)2k22k1>(k1)12S(k 1) 1，nk1 時(shí)，1n 1也成立 12分b>S n*，n4時(shí)，1>S都成立由可知 nNbn 1n綜上所述，當(dāng) n1,2,3 時(shí)， 1<Sn1，當(dāng) n4 時(shí)，1>

6、Snbnbn 1.14 分【突破思維障礙】1歸納 猜想 證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律2數(shù)列是定義在 N* 上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決9【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】1嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟書寫，特別是對(duì)初始值的驗(yàn)證不可省略， 有時(shí)要取兩個(gè) (或兩個(gè)以上 )初始值進(jìn)行驗(yàn)證；初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)2在進(jìn)行 nk1 命題證明時(shí)，一定要用nk 時(shí)的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納

7、法1數(shù)學(xué)歸納法：先證明當(dāng) n 取第一個(gè)值 n0 時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng) nk (kN* ，k n0)時(shí)命題成立，并證明當(dāng) nk1 時(shí)命題也成立，那么就證明了這個(gè)命題成立這是因?yàn)榈谝徊绞紫茸C明了 n 取第一個(gè)值 n0 時(shí)，命題成立，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)，至少kn0時(shí)命題成立，由假設(shè)合理推證出 nk1 時(shí)命題也成立，這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán)， 如驗(yàn)證了 n01 成立，又證明了 nk1 也成立，這就一定有 n2 成立， n 2 成立，則 n3 成立， n3 成立，則 n4 也成立，如此反復(fù)以至無窮，對(duì) 10 所有 n n0 的整數(shù)就都成立了2(1)第步驗(yàn)證 nn0 使命題成立時(shí) n0 不一定是

8、1，是使命題成立的最小正整數(shù)(2)第步證明nk1 時(shí)命題也成立的過程中一定要用到歸納遞推，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法(滿分： 75 分)一、選擇題 (每小題 5 分，共 25 分)1用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n 是正奇數(shù)時(shí)， xnyn能被 xy 整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()A假設(shè) nk(kN* )時(shí)命題成立，證明nk1 命題成立B假設(shè) nk(k 是正奇數(shù) )時(shí)命題成立，證明 nk1命題成立C假設(shè) n2k1 (kN* )時(shí)命題成立，證明 nk1命題成立D假設(shè) nk(k 是正奇數(shù) )時(shí)命題成立，證明 nk2命題成立112已知 f(n)11 1 12，則 ()nn1n2n11Af(n)中共有 n 項(xiàng)

9、，當(dāng) n2 時(shí)， f(2)23111Bf(n)中共有 n1 項(xiàng)，當(dāng) n2 時(shí)， f(2)234Cf(n)中共有 n2n 項(xiàng)，當(dāng) n2 時(shí)， f(2)1123Df(n)中共有 n2n1 項(xiàng)，當(dāng) n2 時(shí)，f(2)1213143如果命題 P(n)對(duì) nk 成立，則它對(duì)nk1 也成立，現(xiàn)已知 P(n)對(duì) n4 不成立，則下列結(jié)論正確的是 ()AP(n)對(duì) nN* 成立BP(n)對(duì) n>4 且 nN* 成立CP(n)對(duì) n<4 且 nN* 成立DP(n)對(duì) n4 且 nN*不成立4(2011 日·照模擬 )用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2n4n22，則當(dāng) nk1 時(shí)左端應(yīng)在 nk 的基

10、礎(chǔ)上加上()Ak21B(k1)2k1 4 k1 2C.2D(k21)(k22)(k23) (k1)25(2011 湛·江月考 )已知 f(x)是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)任意的 k，若 f(k) k2 成立，則 f(k1)(k1)2 成立，下列命題成立的是()12A若 f(3)9 成立，且對(duì)于任意的 k1，均有 f(k)k2成立B若 f(4)16 成立，則對(duì)于任意的 k4，均有 f(k)<k2成立C若 f(7)49 成立，則對(duì)于任意的k<7，均有 f(k)<k2成立D若 f(4)25 成立，則對(duì)于任意的 k4，均有 f(k)k2成立二、填空題 (每小題 4

11、 分，共 12 分)6用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 123 n 321n2(nN* )”時(shí)，從 nk 到 n k1 時(shí)，該式左邊應(yīng)添加的代數(shù)式是 _17 (2011 南·京模擬 )用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n11113n2 nn>24的過程中，由 nk推導(dǎo) nk1 時(shí)，不等式的左邊增加的式子是 _8凸 n 邊形有 f(n)條對(duì)角線，凸 n1 邊形有 f(n1)條對(duì)角線，則 f(n 1)f(n)_.三、解答題 (共 38 分)n1119(12 分)用數(shù)學(xué)歸納法證明 121232n 12 n (nN* )13110(12 分)(2011 新·鄉(xiāng)月考 )數(shù)列 an滿足 an>0，S

12、n2(an1an)，求 S1，S2，猜想 Sn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明1111(14 分)(2011 鄭·州月考 )已知函數(shù) f(x)x2e|x|(其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) )(1)判斷 f(x)的奇偶性；(2)在(， 0)上求函數(shù) f(x)的極值；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x>0 時(shí)，對(duì)任意正整數(shù) n 都有 f(1x)<n！·x2 n.1439 數(shù)學(xué)歸納法自主梳理1一般結(jié)論完全不完全2.(1)P1P0(2)PkPk 13(1)n0 (n0N* ) (2)nk (kn0，kN* ) nk1自我檢測(cè)1C當(dāng) n1 時(shí)左端有 n2 項(xiàng)，左端1aa2.2B 由 n2 成

13、立，根據(jù)遞推關(guān)系 “P(n)對(duì)于 nk時(shí)成立，則它對(duì) nk2 也成立 ”，可以推出 n4 時(shí)成立，再推出 n6 時(shí)成立， ，依次類推， P(n)對(duì)所有正偶數(shù) n成立 ”3D當(dāng) n2 時(shí)，中間的式子11111112.23212344C當(dāng) n1 時(shí)， 21121；15當(dāng) n2 時(shí)， 22<221；當(dāng) n3 時(shí)， 23<321；當(dāng) n4 時(shí)， 24<421.而當(dāng) n5 時(shí)， 25>521，n05.5A假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)，原式能被 9 整除，即 k3(k1)3(k2)3 能被 9 整除當(dāng) nk1 時(shí)， (k1)3(k2)3(k3)3 為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將 (k3)3 展

14、開，讓其出現(xiàn) k3 即可 課堂活動(dòng)區(qū)例 1 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題， 關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律： 等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由 nk 到 nk1 時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)證明 設(shè) f(n) 1·n 2·(n 1) 3·(n 2) (n 1) ·2n·1.(1)當(dāng) n1 時(shí)，左邊 1，右邊 1，等式成立；(2)假設(shè)當(dāng) nk (k1 且 kN* )時(shí)等式成立，即 1 ·k2 ·(k1)3 ·(k2)(k1) 2·k·116k(k1)(k2)，則當(dāng) nk

15、1 時(shí)，f(k1)1·(k1)2(k1)13(k1)2 (k1)1 ·2(k 1) ·1 f(k) 1 2 3 k(k1)1611 6k(k1)(k2)2(k1)(k11) 1 6(k1)(k2)(k3)由(1)(2)可知當(dāng) nN* 時(shí)等式都成立111左邊 1 右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng) nk (k1，kN* )時(shí)，等式成立，即1111112342k12k111.k1k22k則當(dāng) nk1 時(shí)，111111 1123 42k12k2k12k2111112kk1k22k1 2k21111k11 k12 2k2k111k12k211 1 11，k11k122k2k12

16、k117即當(dāng) nk1 時(shí)，等式也成立，所以由 (1)(2)知對(duì)任意的 nN*等式都成立例 2解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，從nk 到 nk1 的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等證明 (1)當(dāng) n2 時(shí)，左邊 114533；右邊 2 .左邊>右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng) nk (k2，且 kN* )時(shí)不等式成立，1112k1即 13 15 12k1 >2.則當(dāng) nk1 時(shí)，111113 15 12k1 12 k1 1>2k1 2k22k24k28k42·2k12 2k12 2k1>4k28k32k3 2k12 k1 12

17、.22k12 2k1當(dāng) nk1 時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1 的自然數(shù) n，不等式都成立變式遷移 2證明(1)當(dāng) m1 時(shí)，原不等式成立；18當(dāng) m2 時(shí)，左邊 12xx2，右邊 12x，因?yàn)?x20，所以左邊 右邊，原不等式成立；(2)假設(shè)當(dāng) mk(k2，k N* )時(shí)，不等式成立，即(1 x)k1kx，則當(dāng) mk1 時(shí)，x>1，1x>0.于是在不等式 (1x)k1kx 兩邊同時(shí)乘以 1x 得，(1x)k·(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx2 1(k1)x.所以 (1x)k 1 1(k1)x，即當(dāng) mk1 時(shí)，不等式也成立綜合 (1)(2)知

18、，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立例 3 解題導(dǎo)引 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題， 由 k 過渡到 k1 時(shí)常使用 “配湊法 ” 在證明 nk1 成立時(shí)，先將 nk1 時(shí)的原式進(jìn)行分拆、重組或者添加項(xiàng)等方式進(jìn)行整理，最終將其變成一個(gè)或多個(gè)部分的和， 其中每個(gè)部分都能被約定的數(shù) (或式子 )整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得 nk1 時(shí)也成立證明 (1)當(dāng) n1 時(shí)，a2(a1)a2a1 能被 a2a1 整除(2)假設(shè)當(dāng) nk (k1 且 kN* )時(shí)，ak 1(a 1)2k1 能被 a2a1 整除，則當(dāng) nk1 時(shí)，19ak 2(a 1)2k1a·ak1(a1)2(a1)2k

19、 1 a·ak 1 a·(a1)2k 1(a2a1)(a1)2k 1 aak 1 (a1)2k 1(a2a1)(a1)2k 1，由假設(shè)可知 aak1(a1)2k 1能被 a2a1 整除，ak 2(a1)2k 1 也能被 a2a1 整除，即 nk1 時(shí)命題也成立綜合 (1)(2)知，對(duì)任意的 nN*命題都成立變式遷移 3證明(1)當(dāng) n1 時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng) nk (k1，kN* )時(shí)，f(k)32k 28k9 能被 64 整除則當(dāng) nk1 時(shí)，32(k 1) 28(k1)99(32k 28k9)9 ·8k9 ·98(k1)

20、99(32k28k9)64(k1)即 f(k1)9f(k)64(k1)nk1 時(shí)命題也成立*綜合 (1)(2)可知，對(duì)任意的nN ，命題都成立1DA 、B、C 中， k1 不一定表示奇數(shù)，只有D中 k 為奇數(shù)， k2 為奇數(shù) 2D3D 由題意可知， P(n)對(duì) n3 不成立 (否則 P(n)對(duì)20n4 也成立 )同理可推 P(n)對(duì) n2，n1 也不成立 4D 當(dāng)nk 時(shí)，左端 123 k2，當(dāng) nk1 時(shí)，左端 123k2(k21)(k1)2，當(dāng) nk1 時(shí)，左端應(yīng)在 nk 的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5Df(4)25>42，k4，均有 f(k)k2.僅有 D

21、 選項(xiàng)符合題意 62k1解析當(dāng)nk1 時(shí)，左邊 12k(k1)k21，從 nk 到 nk1 時(shí)，應(yīng)添加的代數(shù)式為 (k1)k 2k1.17. 2k1 2k2解析不等式的左邊增加的式子是11 1 1.2k12k2 k12k1 2k28n1解析f(4)f(3)2，f(5)f(4)3，f(6)f(5)4，f(n1)f(n)n1.9證明11(1)當(dāng) n1 時(shí)，左邊 1 ，右邊 ，221213132122，命題成立 (2 分)215當(dāng) n2 時(shí)，左邊 122；右邊222，1115分 <，命題成立(4)2<12342(2)假設(shè)當(dāng) nk(k2，kN* )時(shí)命題成立，k1111即 12<12

22、32k<2k，(6 分)則當(dāng) nk1 時(shí)，111111k123 2k2k12k22k2k >122k·1 k1.(8 分)2k 112又1111111k1 k<2 322k12k22k2k2k 112·k2(k1)，2即 nk1 時(shí)，命題也成立 (10 分)由(1)(2)可知，命題對(duì)所有 nN* 都成立 (12 分)10解a >0，S >0，nn由 S11)，變形整理得2(aS 1，121a11取正根得 S 1.121(a2 1 )及 a2S2S1S21 得由 S2a22211)，S2 (S212S21變形整理得2S2，取正根得 S 2.22同理可求得 S3.由此猜想 S n.(4 分)3n用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng) n1 時(shí)，上面已求出S11，結(jié)論成立(6 分)(2)假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)，結(jié)論成立，即 S k.k那么，當(dāng) nk1 時(shí)，1111Sk 12(ak 1ak 1)2(Sk 1SkSk 1Sk)112(Sk 1 k)S kk 12整理得 Sk 1k1，取正根得 Sk1故當(dāng) nk1 時(shí)，結(jié)論成立 (11 分)由(1)、(2)可知，對(duì)一切 nN*，Snk1.n都成立(12 分)11(1)解函數(shù) f(x)定義域?yàn)?xR|x0且 f(x)1-11 -1f(x)，-