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文檔簡介

1、 三角形五大模型 【專題知識點概述】本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過的有關(guān)平面幾何方面的知識,旨在提高學(xué)生對該部分知識的綜合運用能力。重點模型重溫一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等;兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比;如右圖夾在一組平行線之間的等積變形,如右圖;反之,如果,則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形);三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;兩個平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比二、等分點結(jié)論(“鳥頭定理”)如圖,三角形AED占三角

2、形ABC面積的×= 三、任意四邊形中的比例關(guān)系 (“蝴蝶定理”) S1S2=S4S3 或者S1×S3=S2×S4 AOOC=(S1+S2)(S4+S3)梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ; S的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)2模型四:相似三角形性質(zhì)如何判斷相似(1)相似的基本概念:兩個三角形對應(yīng)邊城比例,對應(yīng)角相等。(2)判斷相似的方法:兩個三角形若有兩個角對應(yīng)相等則這兩個三角形相似;兩個三角形若有兩條邊對應(yīng)成比例,且這兩組對應(yīng)邊所夾的角相等則兩個三角形相似。 ; S1S2=a2A2 模型五:燕尾定理SABG:SAG

3、CSBGE:SGECBE:EC;SBGA:SBGCSAGF:SGFCAF:FC;SAGC:SBCGSADG:SDGBAD:DB;【重點難點解析】1. 模型一與其他知識混雜的各種復(fù)雜變形2. 在紛繁復(fù)雜的圖形中如何辨識“鳥頭”【競賽考點挖掘】1. 三角形面積等高成比2. “鳥頭定理”3. “蝴蝶定理”【習(xí)題精講】【例1】(難度等級 )如圖,長方形ABCD的面積是56平方厘米,點E、F、G分別是長方形ABCD邊上的中點,H為AD邊上的任意一點,求陰影部分的面積.【例2】(難度等級 )如右圖,ABFE和CDEF都是矩形,AB的長是4厘米,BC的長是3厘米,那么圖中陰影部分的面積是_平方厘米【例3】(

4、難度等級 )如圖,在三角形ABC中,BC=8 厘米,AD=6厘米,E、F分別為AB和AC的中點,那么三角形EBF的面積是多少平方厘米?【例4】(難度等級 )如圖,在面積為1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中點,延長CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和?!纠?】(難度等級 )如右圖BE=BC,CD=AC,那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的幾分之幾?【例6】(難度等級 )如圖所示,四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形,請你證明它們的面積相等【例7】(難度等級 )如圖,在長方形ABCD中,Y是BD的中點,Z是DY的中點,如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角

5、形ZCY的面積【例8】(難度等級 )如圖,正方形ABCD的邊長為4厘米,EF和BC平行, ECH的面積是7平方厘米,求EG的長?!纠?0】(難度等級 )如圖已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的邊長為10厘米,那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米? 【例11】(難度等級 )如圖,一個長方形被切成8塊,其中三塊的面積分別為12,23,32,則圖中陰影部分的面積為?【例12】(難度等級 )如圖,平行四邊形ABCD周長為75厘米,以BC為底時高是14厘米;以CD為底時高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。【例13】(難度等級 )如右圖,正方形ABCD的邊長為6厘米,A

6、BE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,求三角形AEF的面積.【例14】(難度等級 )如圖,三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾?【例15】(難度等級 )某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線AC、BD分成四個部分,AOB面積為1平方千米,BOC面積為2平方千米,COD的面積為3平方千米,公園陸地的面積是6.92平方千米,求人工湖的面積是多少平方千米?【例16】(難度等級 )圖中是一個正方形,其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問:陰影部分的面積是多少平方厘米?【作業(yè)】1. 如圖,三角形中,三角形ADE的面積是20平方厘米

7、,三角形的面積是多少?2. 如右圖所示,在長方形內(nèi)畫出一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13,35,49那么圖中陰影部分的面積是多少?3. 右圖是由大、小兩個正方形組成的,小正方形的邊長是4厘米, 求三角形ABC的面積。4. 如圖,平行四邊形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四邊形ABCD的面積是2, 求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比. 5. 如圖,在ABC中,延長BD=AB,CE=BC,F(xiàn)是AC的中點,若ABC的面積是2,則DEF的面積是多少?【例1】(難度等級 )如圖,長方形ABCD的面積是56平方厘米,點E、F、G分別是長方形ABCD邊上的中

8、點,H為AD邊上的任意一點,求陰影部分的面積.【分析與解】 如右圖,連接BH、HC,由E、F、G分別為AB、BC、CD三邊的中點有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S1=S2,S3=S4,S5=S6,而陰影部分面積=S2+S3+S6,空白部分面積=S1+S4+S5.所以陰影部分面積與空白部分面積相等,均為長方形的一半,即陰影部分面積為28.【例2】(難度等級 )如右圖,ABFE和CDEF都是矩形,AB的長是4厘米,BC的長是3厘米,那么圖中陰影部分的面積是_平方厘米【分析與解】 上排4個陰影三角形的高都等于BF,底邊之和恰好為AB,他們的面積之和為;下排4個三角形的高都等于CF,底邊之和

9、恰好為CD,他們的面積之和為.所以陰影部分面積為:(平方厘米).【例3】(難度等級 )如圖,在三角形ABC中,BC=8 厘米,AD=6厘米,E、F分別為AB和AC的中點,那么三角形EBF的面積是多少平方厘米?【分析與解】首先,平方厘米,而F是AC中點,所以.又E是AB中點,所以平方厘米. 【例4】(難度等級 )如圖,在面積為1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中點,延長CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和?!痉治雠c解】 連接DE,于是三角形AEF的面積=三角形EFD的面積,所求被轉(zhuǎn)化為三角形EDC的面積。因為F是AD中點,所以三角形AEC的面積和三角形EDC的面積相

10、等,設(shè)SBDE為1份,則SAEC=SEDC為3份 因此SABC一共7份,每份面積為 所以SEDC占3份為?!纠?】(難度等級 )如右圖BE=BC,CD=AC,那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的幾分之幾?【分析與解】 上圖中,三角形AEC與三角形ABC的高相等,而BE=BC,于是EC=BC, 又由于三角形AED與三角形AEC的高相等,而CD=AC,于是AD=AC, 所以,三角形AED的面積=×三角形AEC的面積=××三角形ABC的面積 =×三角形ABC的面積 【例6】(難度等級 )如圖所示,四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形,請你證明它們的面積

11、相等【分析與解】連接BE顯然有,所以【例7】(難度等級 )如圖,在長方形ABCD中,Y是BD的中點,Z是DY的中點,如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY的面積【分析與解】平方厘米因為Y是BD中點,Z是DY中點,所以【例8】(難度等級 )如圖,正方形ABCD的邊長為4厘米,EF和BC平行, ECH的面積是7平方厘米,求EG的長?!痉治雠c解】×EG×AE +×EG×EB = 7平方厘米即×EG×AB=7平方厘米;EG=3.5厘米【例10】(難度等級 )如圖已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的邊長為10厘米

12、,那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米? 【分析與解】 連接CF由ABCD和CEFG都是正方形有所以.由平行線間距離相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高所以【例11】(難度等級 )如圖,一個長方形被切成8塊,其中三塊的面積分別為12,23,32,則圖中陰影部分的面積為?【分析與解】 如右圖,已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12 x=67.【例12】(難度等級 )如圖,平行四邊形ABCD周長為75厘米,以BC為底時高是14厘米;以CD為底時高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積?!痉治雠c解】BC×14=CD×16,BC:CD=16:

13、14,BC+CD=,BC=×=20ABCD面積=14×20=280(平方厘米)【例13】(難度等級 )如右圖,正方形ABCD的邊長為6厘米,ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,求三角形AEF的面積.【分析與解】因為ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,所以四邊形AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形面積的三分之一,也就是: 在ABE中,因為AB6.所以BE4,同理DF4,因此CECF2,ECF的面積為2×2÷22所以(平方厘米)【例14】(難度等級 )如圖,三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分,BD=DC=4,BE=3

14、,AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾?【分析與解】由BD=DC有;由,有.由鳥頭定理有,故.【例15】(難度等級 )某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線AC、BD分成四個部分,AOB面積為1平方千米,BOC面積為2平方千米,COD的面積為3平方千米,公園陸地的面積是6.92平方千米,求人工湖的面積是多少平方千米?【分析與解】由任意四邊形的蝴蝶定理有所以平方千米,故公園總面積為平方千米,人工湖面積為平方千米【例16】(難度等級 )圖中是一個正方形,其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問:陰影部分的面積是多少平方厘米?【分析與解】 如下圖所示,為了方便所敘,將某些點標(biāo)上字母,并連接BG設(shè)AEG的面積為x,顯然EBG、BFG、FCG的面積均為x,則ABF的面積為3x,即,那么正方形內(nèi)空白部分的面積為. 所以原題中陰影部分面積為 (平方厘米)【作業(yè)】1. 如圖,三角形中,三角形ADE的面積是20平方厘米,三角形的面積是多少?【答案】1202. 如右圖所示,在長方形內(nèi)畫出一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13,

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