第三章空間力系

1、第三章第三章 空間力系空間力系主要內(nèi)容主要內(nèi)容空間匯交力系的合成與平衡；力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩；空間力偶；空間任意力系的簡(jiǎn)化-主矢和主矩；空間任意力系的平很問(wèn)題和平衡方程；物體重心的確定1 1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影、力在直角坐標(biāo)軸上的投影 xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX = FsincosY = FsinsinZ = Fcosxyz X = Fcos Y = Fcos Z = FcosConcurrent force system in space222()()()RxyzFFFF0 xF 0yF 0zF cos(, )xRRFFiFRyRFFjF),cos(RzRFFkF),co

2、s(RiFFRxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF2 2、空間匯交力系的合成與平衡條件：、空間匯交力系的合成與平衡條件：合力的大小合力的大小空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系的平衡方程:求：三根桿所受力。求：三根桿所受力。例：例：P=1000N ,P=1000N ,各桿重不計(jì)。各桿重不計(jì)。0 xF 0yF 0zF 045sin45sinOCOBFF045cos45cos45cosOAOCOBFFF045sin PFOA3 32 2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩The moment of a force about a point or an axis一、一、空間力對(duì)點(diǎn)

3、的矩空間力對(duì)點(diǎn)的矩；3 3）矢量的指向確定了轉(zhuǎn)）矢量的指向確定了轉(zhuǎn)向，按右手法則。向，按右手法則。力對(duì)點(diǎn)的矩為零的條件：力對(duì)點(diǎn)的矩為零的條件：要使要使 | 力對(duì)點(diǎn)的矩采用行列式可得如下形式：力對(duì)點(diǎn)的矩采用行列式可得如下形式：ZYXzyxOkjiFrFM)(= ( y Z - z Y ) + ( z X - x Z ) + ( x Y - y X )二、二、 力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩 度量力對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物度量力對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體的作用效果體的作用效果以門(mén)為例：以門(mén)為例：門(mén)上作用一個(gè)力門(mén)上作用一個(gè)力 F假定門(mén)繞假定門(mén)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)將力將力 F 向向 z 軸和軸和 xy 面分面分解成兩個(gè)分力解成兩個(gè)

4、分力 Fz 和和Fxy，顯然力顯然力 Fxy 使門(mén)繞使門(mén)繞 z 軸軸旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。FxyFzzxyOz力對(duì)軸的矩之定義力對(duì)軸的矩之定義 力對(duì)軸的矩是力使剛體繞力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于該個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于該力在垂直于該軸的平面上的力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)于此平面與該軸的交投影對(duì)于此平面與該軸的交點(diǎn)的矩的大小。逆著坐標(biāo)軸點(diǎn)的矩的大小。逆著坐標(biāo)軸正向看，力使物體繞軸逆時(shí)正向看，力使物體繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。針旋轉(zhuǎn)為正。FFxyFzABh即即 Mz( F ) = M O( Fxy) = Fxy h 力對(duì)軸的矩等于零的情形：力對(duì)軸

5、的矩等于零的情形： 力與軸相交力與軸相交( h = 0 ) 力與軸平行力與軸平行( Fxy = 0 )一句話(huà)一句話(huà): 只要力與軸在同一只要力與軸在同一平面內(nèi)平面內(nèi),力對(duì)軸的矩等于零。力對(duì)軸的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力對(duì)軸的矩之解析表達(dá)式力對(duì)軸的矩之解析表達(dá)式 設(shè)空間中有一個(gè)力 FyxyxOzXYFxyXYZFA(x, y, z)力作用點(diǎn) A（ x，y，z ）; F 在三軸的投影分別為 X，Y，Z ;A(x, y, z)A(x, y, z)根據(jù)合力矩定理，得Mz( F ) = M O( Fxy) = MO( X ) + MO ( Y ) = xY yXXYZXYZ按同類(lèi)方

6、法求得其他兩式：M x ( F ) = y Z z Y M y ( F ) = z Xx Z三、三、 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的關(guān)系 力對(duì)點(diǎn)的矩矢量可以寫(xiě)成：力對(duì)點(diǎn)的矩矢量可以寫(xiě)成：可得可得 MO( F ) x = M x ( F ) MO( F ) y = M y ( F ) MO( F ) z = M z ( F ) MO( F ) = MO( F )x i + MO( F )y j + MO( F )z k = (yZ zY) i + (zX xZ) j + (xY yX) k 而而 M x ( F ) = yZ zY M y ( F ) = zX xZ M z

7、 ( F ) = xY yX 如果力對(duì)通過(guò)如果力對(duì)通過(guò)O點(diǎn)的直角坐標(biāo)軸點(diǎn)的直角坐標(biāo)軸 x、y、z 的矩的矩是已知的，則力對(duì)點(diǎn)是已知的，則力對(duì)點(diǎn)O的矩的大小和方向余弦為：的矩的大小和方向余弦為：222)()()()(FFFFMzyxOMMM)()(cosFMFOxM)()(cosFMFOyM)()(cosFMFOzM手柄手柄 ABCE 在平面在平面 Axy內(nèi)，在內(nèi)，在D 處作用處作用一個(gè)力一個(gè)力F，它垂直，它垂直y軸，偏離鉛垂線(xiàn)的角度為軸，偏離鉛垂線(xiàn)的角度為，若，若CD = a，BCx軸，軸，CE y軸，軸，AB = BC = l。求力求力F對(duì)對(duì)x、y和和z三軸的矩三軸的矩。例例 3-3-1 1

8、：CDEAxzyFB由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：CDEAxzyB解法解法1 1 將力將力F沿坐標(biāo)沿坐標(biāo)軸分解為軸分解為Fx 和和Fz。FxFzM x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosM y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosM z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sinFxFzFxFz解法解法2 2直接套用力對(duì)直接套用力對(duì)軸之矩的解析表軸之矩的解析表達(dá)式：達(dá)式：力在力在 x、y、z軸的投影為軸的投影為X

9、= F sin Y = 0Z = - F cos CDEAxzyBFxFzM x( F ) = yZ zY = ( l + a )(- Fcos) - 0 = - F( l + a )cosM y ( F ) = zX xZ = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - FlcosM z ( F ) = xY yX = 0 - ( l + a ) ( Fsin) = -F( l + a )sin圖中力F 的大小為10kN，求的力 F 在 x、y、z三坐標(biāo)軸的投影，以及對(duì)三坐標(biāo)軸的矩和對(duì)O點(diǎn)的矩。(長(zhǎng)度單位為m)OxyzA(4,9,5)534例3-2: Fijk解：1、先求F的三個(gè)方向余弦

10、2545434),cos(222iF215435),cos(222jF2535433),cos(222kFF F2、求力的投影（F = 10kN）OxyzA(4,9,5)534Fijk)kN(2410254),cos(iFFX)kN(251021),cos(jFFY)kN(2310253),cos(kFFZF F254),cos(iF;255),cos(jF253),cos(kF已算得：3、求力對(duì)軸的矩OxyzA(4,9,5)534FijkF Fm)(kN252)25(5239)(zYyZMxFm)(kN232234)24(5)(xZzXMyFm)(kN216)24(9)25(4)(yXxYM

11、zF已算得：(kN)24X(kN)25Y(kN)23Z（求力對(duì)軸的矩也完全可以先將力（求力對(duì)軸的矩也完全可以先將力 F F 分解為三個(gè)分力，再由分解為三個(gè)分力，再由合力矩定理分別求出力對(duì)軸的矩合力矩定理分別求出力對(duì)軸的矩）4、求力F對(duì)O點(diǎn)的矩由 MO (F ) = M x i + M y j + M z k 得：kjiFM216232252)(O也可以按如下方法求解：)(26.89)(222mkNMMMMzyxOF82. 0)()(,cos(FMFMiOxOM51. 0)()(,cos(FMFMjOyOM25. 0)()(,cos(FMFMkOzOM二、圖示正立方體的邊長(zhǎng)為0.5m，沿對(duì)角線(xiàn)H

12、D作用一力F1，沿棱邊BC作用一力F2，在BCHE面上作用一力偶。已知：力偶矩M=10Ncm，F(xiàn)1=F2=100N，求力系對(duì)各軸的矩。(10分) mN75.1445sin)()()(2121MaFaFMMMMxxxFFFmN36.3545sin)()()(121aFMMMyyyFFFmN36.8545sin)()()(2121aFaFMMMzzzFFFArBrBArFrFrrFrFr)F(M)F(M)F,F(MBABABAOOO)(FdBAFr就是力偶矩的大小。可見(jiàn)，與矩心無(wú)關(guān)。就是力偶矩的大小?？梢?jiàn)，與矩心無(wú)關(guān)。如圖力偶對(duì)如圖力偶對(duì)O O點(diǎn)的矩為：點(diǎn)的矩為：3 33 3 空間力偶空間力偶Sy

13、stem of force couples in space一、力偶矩以矢量表示：力偶矩矢一、力偶矩以矢量表示：力偶矩矢 方位與作用面法方向方位方位與作用面法方向方位 n n 同。同。指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則。手螺旋法則。二、空間力偶等效定理：二、空間力偶等效定理：（2）力偶作用面可平行移動(dòng)而不改變力偶對(duì)剛體的效應(yīng)。只）力偶作用面可平行移動(dòng)而不改變力偶對(duì)剛體的效應(yīng)。只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對(duì)剛體的作用效果不變。平行的任一平面，對(duì)剛體的作用效果不變。（1）只要保

14、持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移）只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變。剛體的作用效果不變。= 力偶矩矢相等的力偶等效，即力偶矩矢是空間力偶作力偶矩矢相等的力偶等效，即力偶矩矢是空間力偶作用效果的唯一量度。用效果的唯一量度。三、空間力偶系的合成與平衡條件：三、空間力偶系的合成與平衡條件：M1 + M2 + + M n = rBAF1 + rBAF2 + + rBAFn = rBA( F1 + F2 + + Fn ) = rBAR = M1F1F2F2FnFnF

15、RR證：證： 設(shè)有設(shè)有n 個(gè)力偶，總可得到兩個(gè)匯個(gè)力偶，總可得到兩個(gè)匯交力系，匯交點(diǎn)分別為交力系，匯交點(diǎn)分別為 A 和和 B。222()()()xixiyizMMMMMMixcosMMiycosMMizcos,xixyiyzizMMMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦：合力偶矩矢的大小和方向余弦：例：例：, ,x y z求：工件所受合力偶矩在軸上的投影求：工件所受合力偶矩在軸上的投影. .在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆5 5個(gè)孔，每個(gè)孔所受切削力偶矩均個(gè)孔，每個(gè)孔所受切削力偶矩均為為80Nm80Nm。mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1

16、 .19345cos45cos541MMMMMizz000 xyzMMM有有0M 空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 圓盤(pán)面圓盤(pán)面O O1 1垂直于垂直于z z軸，軸，求求: :軸承軸承A,BA,B處的約束力。處的約束力。例例F F1 1=3N=3N，F(xiàn) F2 2=5N=5N，圓盤(pán)面圓盤(pán)面O O2 2垂直于垂直于x x軸，軸，AB AB =800mm,=800mm,兩圓盤(pán)半徑均為兩圓盤(pán)半徑均為200mm200mm，解：解：0 xM08004002mmmmAzFF0zM08004001mmmmAxFF例例不計(jì)正方體和直桿自

17、重。不計(jì)正方體和直桿自重。求：求：正方體正方體平衡時(shí)，平衡時(shí)，12,F F力力 的關(guān)系和兩根桿受力。的關(guān)系和兩根桿受力。正方體上作用兩個(gè)力偶正方體上作用兩個(gè)力偶1122(,),(,),F FF FCD2A E解：兩桿為二力桿，解：兩桿為二力桿，取正方體，取正方體，畫(huà)受力圖建坐標(biāo)系如圖畫(huà)受力圖建坐標(biāo)系如圖b b以矢量表示力偶，如圖以矢量表示力偶，如圖c c0 xM 0yM 解得解得12MM設(shè)正方體邊長(zhǎng)為設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a ,a ,有有1122MF aMF a12F F322AMFa2212ABFFFF045cos31MM045sin32MMReduction of a force system i

18、n space to a given point 一空間匯交力系與一空間力偶系一空間匯交力系與一空間力偶系 等效代替一空間任意力系等效代替一空間任意力系一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一力和一個(gè)力偶?？臻g任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一力和一個(gè)力偶。主矢作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心主矢作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心O O；這個(gè)力偶的矩矢等于；這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩矢。該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩矢。 主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)；主矩一般情況下與簡(jiǎn)化中主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)；主矩一般情況下與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。心的位置有關(guān)。nii1FRniiOO1)(FMM222)()

19、()(ZYXRRZRYRX/),cos(;/),cos(;/),cos(kRjRiR222)()()(FFFzyxOMMMMOzOOyOOxOMMMMFkMMFjMMFiM/ )(),cos(;/ )(),cos(;/ )(),cos(有效推進(jìn)力有效推進(jìn)力RxFRyF有效升力有效升力RzF側(cè)向力側(cè)向力OxM滾轉(zhuǎn)力矩滾轉(zhuǎn)力矩飛機(jī)繞飛機(jī)繞x x軸滾轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)OyM偏航力矩偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎飛機(jī)轉(zhuǎn)彎OzM俯仰力矩俯仰力矩飛機(jī)仰頭飛機(jī)仰頭1 1、空間力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶、空間力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶主矢R R = 0；主矩M MO 0 主矩與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。2 2、空間力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力、空間力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力

20、合力矩定理合力矩定理 主矢R R 0；主矩M MO = 0 合力的作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心。 主矢R R 0；主矩M MO 0且M MO R R RRRR”RRR”RR”RR” MO( R ) = MO(F )將上式向任意軸投影（如將上式向任意軸投影（如 z 軸）得：軸）得：Mz ( R ) = M z( F )3 3、空間力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情形、空間力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情形 主矢R 0；主矩MO 0且MO ROOOORRRRMOMOMOMO右螺旋左螺旋 力螺旋就是由一個(gè)力和一個(gè)力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶作用面。 力螺旋的力作用線(xiàn)稱(chēng)為力螺旋的中心軸。 力螺旋由兩個(gè)力學(xué)基本要素組成，不能進(jìn)一步合

21、成主矢R 0；主矩MO 0且MO與R即不平行也不正交 。 M”O(jiān) = MO sin；MO = MO cos MO和R組成力螺旋，其中心軸距O點(diǎn)的距離為：OOOMOM”O(jiān)MOMOMOMOMORMRdOO sinM4 4、空間力系簡(jiǎn)化為平衡的情形、空間力系簡(jiǎn)化為平衡的情形 主矢R = 0；主矩M O = 0空間力系平衡的充分必要條件：空間力系平衡的充分必要條件： 所有力在三個(gè)坐標(biāo)軸中的每一個(gè)軸上的投影的代數(shù)和所有力在三個(gè)坐標(biāo)軸中的每一個(gè)軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也為等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也為零。零。 除了上述的基本方程，還有所謂的除了上

22、述的基本方程，還有所謂的 4 力矩、力矩、5力矩和力矩和 6 力矩式。力矩式。0)(; 0)(; 0)(0; 0; 0FFFzyxMMMZYXEquilibrium equations of a force system in space and their applications 幾種特殊情形平衡規(guī)律幾種特殊情形平衡規(guī)律匯交力系匯交力系所有的力矩方程恒等于所有的力矩方程恒等于0 匯交力系有三個(gè)平衡方程：匯交力系有三個(gè)平衡方程： X = 0，Y= 0，Z = 0平行力系（假定力的作用線(xiàn)平行平行力系（假定力的作用線(xiàn)平行 z z 軸）軸） X0，Y0 ，Mz 0 平行力系有三個(gè)平衡方程：平行力系

23、有三個(gè)平衡方程： Z = 0，M x = 0 ，M y = 0平面一般力系（假定力的作用面為平面一般力系（假定力的作用面為OxyOxy面）面） Z0 ，Mx 0 ，My 0 平面一般力系有三個(gè)平衡方程：平面一般力系有三個(gè)平衡方程： X = 0，Y= 0，M z = 0約束反力未知量約 束 類(lèi) 型AFAAFAzFAyA徑向軸承徑向軸承 圓柱鉸鏈圓柱鉸鏈 鐵軌鐵軌 蝶鉸鏈蝶鉸鏈約束反力未知量約 束 類(lèi) 型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形鉸鏈球形鉸鏈止推軸承止推軸承導(dǎo)向軸承導(dǎo)向軸承萬(wàn)向接頭萬(wàn)向接頭約束反力未知量約 束 類(lèi) 型AFAyFAxFAzMAyMAz

24、MAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy帶有銷(xiāo)子的夾板帶有銷(xiāo)子的夾板導(dǎo)導(dǎo) 軌軌空間的固定端支座空間的固定端支座 空間任意力系的平衡方程有六個(gè)，所以對(duì)于空間任空間任意力系的平衡方程有六個(gè)，所以對(duì)于空間任意力系作用下平衡的物體，只能求解六個(gè)未知量。意力系作用下平衡的物體，只能求解六個(gè)未知量。本節(jié)基本目的：本節(jié)基本目的：受力分析受力分析 平衡方程的建立平衡方程的建立 解題技巧解題技巧圖示三輪小車(chē)，自重圖示三輪小車(chē)，自重 P = 8kN，作用，作用于點(diǎn)于點(diǎn) E，載荷，載荷 P1 = 10N，作用于點(diǎn)，作用于點(diǎn) C。求小車(chē)靜止。求小車(chē)靜止時(shí)地面對(duì)車(chē)輪的反力時(shí)地面對(duì)車(chē)輪的反力

25、。例例 P1PFBFAFD解：解：以小車(chē)為研究對(duì)象，受力分析如圖以小車(chē)為研究對(duì)象，受力分析如圖FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0. 2mACP10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0. 2mACFBFDFBFDFBFDFBFDPOM x (F) = 0，2FD 1.2P 0.2P1 = 0 FD = 5.8kNM y (F) = 0，1.2FB 0.8P1 0.6P + 0.6FD = 0 FB = 7.8kNZ = 0， FA + FB + FD P1 P = 0 FA = 4.4kN適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)軸對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算非常重要。適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)軸對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算非常重

26、要。FAFAFAFA選取坐標(biāo)軸如圖選取坐標(biāo)軸如圖水平均質(zhì)板重水平均質(zhì)板重P，6根直桿用球鉸將板和根直桿用球鉸將板和地面連接，結(jié)構(gòu)如圖。求由板重引起得各桿內(nèi)力。地面連接，結(jié)構(gòu)如圖。求由板重引起得各桿內(nèi)力。例例解： 給各桿編號(hào)受力分析，假定各桿均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6MAB = 0026aSaP26PSMAE = 0S5 = 0MAC = 0S4 = 0MBF = 0S1 = 0MEG = 0S3 = 0MFG = 0022bSbP22PS PaBHbADCFGE0R0R0OM0OM0OM0OM0OMOMR OMR /

27、角成與OMR主矢主矢主主 矩矩最終結(jié)果最終結(jié)果說(shuō)說(shuō) 明明空間任意力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果空間任意力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果1. 1. 重心的概念及其坐標(biāo)公式重心的概念及其坐標(biāo)公式 重力是一個(gè)分布力系，可足夠精確地視為空間重力是一個(gè)分布力系，可足夠精確地視為空間平行力系。一般所謂重力，就是空間平行力系的合平行力系。一般所謂重力，就是空間平行力系的合力。力。 可以證明不變形的物體（剛體）在地表面無(wú)論可以證明不變形的物體（剛體）在地表面無(wú)論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線(xiàn)都通過(guò)此怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線(xiàn)都通過(guò)此物體上的一個(gè)確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為物體的物體上的一個(gè)確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為物體的重心重心Th

28、e center of gravity of an objectViMiC推導(dǎo)物體重心的坐標(biāo)公式推導(dǎo)物體重心的坐標(biāo)公式若將物體分割為許多小體積，每個(gè)小塊體積為若將物體分割為許多小體積，每個(gè)小塊體積為V Vi i，所受重力為，所受重力為P Pi i，則整個(gè)物體的重量為，則整個(gè)物體的重量為P P = = P Pi iPPiyizixizCxCyCxzyO根據(jù)合力矩定理，根據(jù)合力矩定理，對(duì)對(duì) x x 軸取矩，有軸取矩，有-P yP yC C = -(= -(P P1 1y y1 1 + + P P2 2y y2 2 + + + + P Pn ny yn n) = -) = -P Pi i y yi

29、i對(duì)對(duì)y y軸取矩，有軸取矩，有P P x xC C = (= (P P1 1x x1 1 + + P P2 2x x2 2 + + + + P Pn nx xn n) = ) = P Pi i x xi i為了求坐標(biāo)為了求坐標(biāo)z zC C，將物體連同直角坐將物體連同直角坐標(biāo)系標(biāo)系 Oxyz Oxyz 一起繞一起繞 x x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9090對(duì)有對(duì)有 x x 軸取矩，有軸取矩，有P zP zC C = (= (P P1 1z z1 1 + + P P2 2z z2 2 + + + + P Pn nz zn n) = ) = P Pi i z zi iViMiCPPiyizixizC

30、xCyCxzyOxzyOViMiCPiPzizC重心的坐標(biāo)公式重心的坐標(biāo)公式: :niiniiiCniiniiiCniiniiiCPzPzPyPyPxPx111111體積的重心體積的重心若物體均質(zhì)，單位體積的重量為若物體均質(zhì)，單位體積的重量為= =常量，以常量，以V Vi i 表示微小體積，物體總體積為表示微小體積，物體總體積為 V V=V Vi i 。 將將P Pi i = = V Vi i 代入重心公式，得代入重心公式，得VVzVVzzVVyVVyyVVxVVxxiiiiiCiiiiiCiiiiiC上式的極限為上式的極限為VzdVzVydVyVxdVxVCVCVC,體積重心與比重?zé)o關(guān)，只與

31、物體的體積有關(guān)體積重心與比重?zé)o關(guān)，只與物體的體積有關(guān)面積的重心面積的重心 工程中常采用薄殼結(jié)構(gòu)，其厚度與其表面積工程中常采用薄殼結(jié)構(gòu)，其厚度與其表面積S S相比是很相比是很小的，若薄殼均質(zhì)等厚的，則重心公式為小的，若薄殼均質(zhì)等厚的，則重心公式為PPiyizixizCxCyCxzyOCdsSSzSSzzSSySSyySSxSSxxiiiiiCiiiiiCiiiiiC線(xiàn)段的重心線(xiàn)段的重心 如果物體是均質(zhì)等截面的細(xì)長(zhǎng)線(xiàn)段，其截面尺寸與如果物體是均質(zhì)等截面的細(xì)長(zhǎng)線(xiàn)段，其截面尺寸與其長(zhǎng)度其長(zhǎng)度 l l 相比是很小的，則重心公式為相比是很小的，則重心公式為llzllzzllyllyyllxllxxiiii

32、iCiiiiiCiiiiiCyizixizCxCyCxzyOPPiC2.2.確定重心的常用方法確定重心的常用方法 當(dāng)物體具有對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)面或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí)，它當(dāng)物體具有對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)面或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí)，它的重心一定在對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)面或?qū)ΨQ(chēng)中心上。的重心一定在對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)面或?qū)ΨQ(chēng)中心上。 對(duì)于幾何形狀較復(fù)雜的均質(zhì)物體，往往采用對(duì)于幾何形狀較復(fù)雜的均質(zhì)物體，往往采用分割法分割法和和負(fù)面積法負(fù)面積法例例求：其重心坐求：其重心坐標(biāo)標(biāo)均質(zhì)等厚均質(zhì)等厚Z Z字型薄板如圖所示。字型薄板如圖所示。解解: :分為三個(gè)小矩形，分為三個(gè)小矩形，mm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211A

33、AAyAyAyAAyAyiiC例例等厚均質(zhì)偏心塊的等厚均質(zhì)偏心塊的解：用負(fù)面積法，解：用負(fù)面積法，12344(),033Rrbyyy 222123,() ,22AR Ar bArmmmmmm13,17,100brRmm01.40321332211AAAyAyAyAyC3. 3. 確定重心的常用實(shí)驗(yàn)方法確定重心的常用實(shí)驗(yàn)方法 實(shí)驗(yàn)方法多種多樣，但最常見(jiàn)的是實(shí)驗(yàn)方法多種多樣，但最常見(jiàn)的是。C C C C稱(chēng)重法稱(chēng)重法 為了確定具有對(duì)稱(chēng)為了確定具有對(duì)稱(chēng)軸的圖示連桿的重軸的圖示連桿的重心心x xC C，線(xiàn)先稱(chēng)出連，線(xiàn)先稱(chēng)出連桿重量桿重量 P P 。 然后將其一端支承于然后將其一端支承于 A A 點(diǎn)，另一

34、端放在磅稱(chēng)點(diǎn)，另一端放在磅稱(chēng) B B上，測(cè)得上，測(cè)得兩點(diǎn)的水平距離兩點(diǎn)的水平距離 l l 及及 B B 處的約束反力處的約束反力F FB B , , 假定為假定為 G ,G ,由由M MA A( ( F F ) = 0 ) = 0 ， P xP xC C F FB B l l = 0 = 0lPGPlFxBc本本 章章 小小 結(jié)結(jié)1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影 X = FsincosY = FsinsinZ = FcosXiZiYiFixyzxyzXiZiYiFi X = Fcos Y = Fcos Z = Fcos2、力對(duì)點(diǎn)的矩的計(jì)算ZYXzyxOkjiFrFM)(= (yZ zY) i + (

35、zX xZ) j + (xY yX) k3、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系M O( F ) x = M x ( F )M O( F ) y = M y ( F )M O( F ) z = M z ( F )4、合力矩定理Mo( R ) = Mo(F )即：將上式向任意軸投影（如 z 軸）得： Mz ( R ) = M z( F )5、空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一個(gè)大小和方向等于該力系的主矢，作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心的力和一個(gè)力偶。nii1FRniiOO1)( FMM6、空間任意力系平衡方程的基本形式0)(; 0)(; 0)(0; 0; 0FFFzyxMMMZYX幾種特殊情形平衡規(guī)律匯交力系匯交力系

36、X = 0，Y= 0，Z = 0平行力系平行力系（假定力的作用線(xiàn)平行（假定力的作用線(xiàn)平行 z 軸）軸） Z = 0，M x = 0 ，M y = 0平面一般力系平面一般力系（假定力的作用面為（假定力的作用面為Oxy面）面） X = 0，Y= 0，M z = 0力偶系力偶系 M x = 0 ，M y = 0，M z = 07、不變形的物體（剛體）在地表面無(wú)論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線(xiàn)都通過(guò)此物體上的一個(gè)確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為物體的重心的坐標(biāo)公式niiniiiCniiniiiCniiniiiCPzPzPyPyPxPx111111在圖中，皮帶的拉力在圖中，皮帶的拉力 F2 = 2F1，曲柄上，曲柄上作用有鉛垂力作用有鉛垂力 F = 2000N。 已知皮帶輪的直徑已知皮帶輪的直徑 D = 400mm，曲柄長(zhǎng)，曲柄長(zhǎng)R = 300mm，= 30 ，=60 。求求皮帶拉力和軸承反力。皮帶拉力和