第8章數(shù)值積分與數(shù)值微分1

1、第八章第八章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院內(nèi)容提綱內(nèi)容提綱 數(shù)值積分的必要性數(shù)值積分的必要性 求積公式及其代數(shù)精度求積公式及其代數(shù)精度 插值型求積公式插值型求積公式 Newton-Cotes公式及數(shù)值穩(wěn)定性公式及數(shù)值穩(wěn)定性 復(fù)化求積公式及誤差估計(jì)復(fù)化求積公式及誤差估計(jì) 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分 引言引言 數(shù)值積分的必要性數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里，按在微積分里，按Newton-Leibniz公式公式求定積分求定積分( )( )( )( )baI ff x dxF bF abadxxffI)()(

2、實(shí)際問題實(shí)際問題例如函數(shù)例如函數(shù): :2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx 這個(gè)問題就是要求由函數(shù)這個(gè)問題就是要求由函數(shù)484822001 ( )1 (cos )Lfxdxxdx3222xx)322ln(21693216332412222xxxxxxx12345f (x)44.5688.5 這些都說明這些都說明, ,通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限性性, ,因而因而, ,研究關(guān)于積分的數(shù)值方法具有很重要的實(shí)研究關(guān)于積分的數(shù)值方法具有很重要的實(shí)際意義際意義. .求積公式及其代數(shù)精度求積公式及其代數(shù)精度求積公式的概念求積公式的概念積分值積分值 在

3、幾何上可解釋為由在幾何上可解釋為由x=a , x=b , y=0 和和 y = f (x) 所圍成的所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積。積分計(jì)算之所以有困難，就是因?yàn)檫@個(gè)。積分計(jì)算之所以有困難，就是因?yàn)檫@個(gè)曲邊梯形有一條邊曲邊梯形有一條邊 y = f (x)是曲的。是曲的。 ( )( )baI ff x dx 依據(jù)依據(jù)積分中值定理積分中值定理，對(duì)于連續(xù)函數(shù)，對(duì)于連續(xù)函數(shù) f (x) ,在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在一點(diǎn)一點(diǎn), 使得使得( )( )() ( )baI ff x dxba f 稱稱 f ()為區(qū)間為區(qū)間a , b的平均高度的平均高度。問題在于點(diǎn)。問題在于點(diǎn)的具體位置的具體位置一般是不

4、知道的。這樣一般是不知道的。這樣, 只要對(duì)平均高度只要對(duì)平均高度 f ()提供一種提供一種算法算法, 相應(yīng)地便獲得一種相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法數(shù)值求積方法. 如果簡(jiǎn)單地如果簡(jiǎn)單地選取區(qū)間選取區(qū)間a , b的一個(gè)端點(diǎn)或區(qū)間中點(diǎn)的的一個(gè)端點(diǎn)或區(qū)間中點(diǎn)的高度作為平均高度，高度作為平均高度，這樣建立的求積公式分別是這樣建立的求積公式分別是:左矩形公式左矩形公式: I ( f )(b - a) f (a)右矩形公式右矩形公式: I ( f )(b - a) f (b)中矩形公式中矩形公式: I ( f )(b - a) f (a+b)/2一一 梯形公式梯形公式 取積分區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)取積分區(qū)間的兩個(gè)端

5、點(diǎn) a , b 作為插值節(jié)點(diǎn)，則相應(yīng)的作為插值節(jié)點(diǎn)，則相應(yīng)的Lagrange插值公式及其余項(xiàng)分別為：插值公式及其余項(xiàng)分別為：11( )( )( )1( )( )()() ,( )( , )2xbxaLxf af babbaRxfxaxbxa b將將 代入定積分，則有：代入定積分，則有：11( )( )( )f xL xR x111111()( )( )( )( )( )bbaabbTaaI ff x dxLxRx dxLx dxRx dxTR其中其中 稱為稱為梯形公式梯形公式。1 ( )( )2baTf af b余項(xiàng)余項(xiàng)為：為：1( )( )()()2bTafRxxaxb dx由于由于 在在a

6、 , b上不變號(hào)，由積分中值定理，得：上不變號(hào)，由積分中值定理，得：()()xa xb13( )( )()()( ) ,( , )212bTafhRxxaxb dxfa b 其中其中 ，上式稱為，上式稱為梯形公式的余項(xiàng)梯形公式的余項(xiàng)。hba 由此可以看出，梯形公式就是利用由此可以看出，梯形公式就是利用 a , b 兩點(diǎn)高度的加兩點(diǎn)高度的加權(quán)平均值權(quán)平均值 f (a)+ f (b)/2 作為作為平均高度平均高度 f ( )的近似值的近似值。從。從幾何上來看，也就是利用梯形的面積來近似表示曲邊梯形幾何上來看，也就是利用梯形的面積來近似表示曲邊梯形的面積。的面積。例例1：求求10 x d x解：解：

7、11010(01)0.52x d xT二二 Simpson 公式公式22()()()2( )( )()2()222()2( )()21( )( )()() ,( )( , )3!2abxxaxaxbabLxf afabababaabababxxaf babbbaabRxfxaxxbxa b 在積分區(qū)間內(nèi)取三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)：在積分區(qū)間內(nèi)取三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)： ，則相應(yīng)，則相應(yīng)的的Lagrange插值公式及其余項(xiàng)分別為：插值公式及其余項(xiàng)分別為：,()/2,a abb122221()( )( )( )( )( )bbaabbSaaI ff x dxLxRx dxLx dxRx dxSR其中其中12( ) (

8、)4( )62 ( )4( )32babaabSLx dxf aff bhabf aff b將將 代入定積分，則有：代入定積分，則有：22( )( )( )f xLxRx這里這里 ，上式稱為，上式稱為Simpson公式或拋物型公式公式或拋物型公式。() / 2hbaSimpson 公式的余項(xiàng)公式的余項(xiàng)為：為：155(4)(4)21()( )( )( ) ,( , )902880bSabaRRx dxh ffa b 由此可以看出，由此可以看出，Simpson 公式就是利用公式就是利用 a , c = (a+b)/2, b 三點(diǎn)高度的加權(quán)平均值三點(diǎn)高度的加權(quán)平均值 f (a) )+4 f (c)

9、+ f (b)/6 作為作為平均高平均高度度 f ( )的近似值的近似值。從幾何上來看，也就是利用拋物線。從幾何上來看，也就是利用拋物線 y =L 2 (x) 與與x=a , x=b 以及以及 x 軸所圍成的圖形的面積來近似軸所圍成的圖形的面積來近似表示曲邊梯形的面積。表示曲邊梯形的面積。例例2：利用利用Simpson公式求公式求10 x d x解：解：11010(014 1/ 2)0.638076x d xS)()()(0ibaniixfabdxxf三三 代數(shù)精確度代數(shù)精確度 更一般地，取區(qū)間更一般地，取區(qū)間a , b內(nèi)內(nèi)n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 處的高度處的高度 ，通過，通過加權(quán)平均加權(quán)平均的方法近

10、的方法近似地得出平均高度似地得出平均高度 ，這類求積方法稱為這類求積方法稱為機(jī)械求積機(jī)械求積: (0,1,2, )ixin ( )(0,1,2, )if xin( )f 或?qū)懗苫驅(qū)懗? :數(shù)值積分公式數(shù)值積分公式求積系數(shù)求積系數(shù) 求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn) )()(0kbankkxfAdxxf(1)記記)2()()(0knkknxfAfI)3(, )()()()()(0bankkknxfAdxxffIfIfR稱稱(2)(2)為數(shù)值求積公式為數(shù)值求積公式，(3)(3)為求積公式余項(xiàng)為求積公式余項(xiàng)( (誤差誤差) )。構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論解決的問題有：構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論解決的問題有：(

11、 i ) 確定求積系數(shù)確定求積系數(shù) A k 和求積節(jié)點(diǎn)和求積節(jié)點(diǎn) xk ；(ii)求積公式的誤差估計(jì)和收斂性求積公式的誤差估計(jì)和收斂性 為了構(gòu)造形如式為了構(gòu)造形如式(2)(2)的求積公式的求積公式, ,需要提供一種需要提供一種判定求積判定求積方法精度高低準(zhǔn)則方法精度高低準(zhǔn)則定義定義1： 稱求積公式稱求積公式(2)具有具有m 次代數(shù)精度次代數(shù)精度,如果它滿足如下如果它滿足如下兩個(gè)條件兩個(gè)條件: (i) 對(duì)所有次數(shù)對(duì)所有次數(shù) m 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式 , 有有 (ii) 存在存在 m +1 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 , 使得使得)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR)(1xPm0)()()(111m

12、nmmPIPIPR注：定義注：定義1中的條件中的條件 (i) , (ii) 等價(jià)于等價(jià)于：1(i)()()()0,(0)(ii)()0kkknmR xI xIxkmR xTh1：對(duì)給定的對(duì)給定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn) , 總存在總存在求積系數(shù)求積系數(shù) , 使得求積公式使得求積公式(1)至少具有至少具有n 次次代數(shù)精度代數(shù)精度.01, , nxxxa b(0,1, )iA in證：證：設(shè)求積公式設(shè)求積公式(1)對(duì)對(duì) 均準(zhǔn)確成立均準(zhǔn)確成立, 則有則有2( )1, ,nf xx xx0122001111001121nnnnnnnnnnAAAbabaA xA xA xbaA xA xA xn上式為

13、關(guān)于上式為關(guān)于 的線性方程組的線性方程組, 其系數(shù)矩陣為范德其系數(shù)矩陣為范德蒙行列式蒙行列式. 由條件知其值不為零由條件知其值不為零. 故存在唯一解故存在唯一解, 由此知求積由此知求積公式公式(1)至少具有至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度.01,nAAA代數(shù)精確作為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造求積公式代數(shù)精確作為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造求積公式待定系數(shù)法待定系數(shù)法 依次取依次取 分別代入求積公式，檢分別代入求積公式，檢驗(yàn)驗(yàn)I n ( f )是否等于是否等于I ( f )。若對(duì)。若對(duì) 均有均有 ，但當(dāng)，但當(dāng) 代入時(shí)，代入時(shí)， ，則，則其代數(shù)精度便為其代數(shù)精度便為m 次的。次的。2( )1, ,mf xx xx2( )1, ,mf x

14、x xx( )( )nI fIf1( )mf xx( )( )nI fIf例例3：討論討論梯形公式梯形公式的代數(shù)精確度的代數(shù)精確度解：解：1 ( )( )( )2( )1, ( ),( )( )nnbaTf af bIff xI fba IfbaI f取22222332233( ), ( )()/2,( )()()/2( );2( ), ( )()/3,( )()()/3( );2nnf xx I fbabaIfabbaI ff xxI fbabaIfabbaI f取而故故T1的代數(shù)精度為的代數(shù)精度為1次。次。例例4：討論討論 Simpson 公式公式的代數(shù)精確度的代數(shù)精確度解：解：1 ( )

15、( )4 ()( )62( )1, ( ),( )( )nnbaabSf af bfIff xI fba IfbaI f取取2222( ), ( )()/2,( )(4)()/2( );62nf xx I fbabaabIfabbaI f 取取2332223334433344( ), ( )()/3,( )(4)()/3( );62( ), ( )()/4,( )(4)()/4( );62nnf xxI fbabaabIfabbaI ff xxI fbabaabIfabbaI f取取45544444455( ), ( )()/5,( )(4)6244() ()/5( );24nf xxI fb

16、abaabIfabbaababbaI f而而故故S1的代數(shù)精度為的代數(shù)精度為3 次。次。例例5：確定下面求積公式的待定參數(shù)確定下面求積公式的待定參數(shù), 使其代數(shù)精度盡量高使其代數(shù)精度盡量高, 指指出代數(shù)精度的次數(shù)出代數(shù)精度的次數(shù), 并求出余項(xiàng)中的常數(shù)并求出余項(xiàng)中的常數(shù) k .10120( )(0)(1)(0)( )(0,1)f x dxA fA fA fk f解：解：分別令分別令 ，代入求積公式，得：，代入求積公式，得：2( )1, ,f xx x011201211012111/2,3361/3211( )(0)(1)(0)336AAAAAAAf x dxfff，解解得得故故A該求積公式的代數(shù)

17、精度至少為該求積公式的代數(shù)精度至少為2。令。令 分別代入公分別代入公式的左右兩端，則式的左右兩端，則3( )f xx左端左端1143右端右端故該求積公式的代數(shù)精度為故該求積公式的代數(shù)精度為2 2。3( )f xx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，代入積分等式：時(shí)，代入積分等式：10211( )(0)(1)(0)( )336f x dxfffk f則得：則得： ，所以，所以 。113!43k172k 因此余項(xiàng)因此余項(xiàng)1( )( ),(0,1)72R ff 解：解：分別令分別令 ，代入求積公式，得：，代入求積公式，得：2( )1, ,f xx x01202021223022140,332/3( ) ()4(0)( )3h

18、hAAAhA hA hAAh AhA hA hhhf x dxfhff h，解解得得故故例例6：確定下面求積公式的待定參數(shù)確定下面求積公式的待定參數(shù), 使其代數(shù)精度盡量高使其代數(shù)精度盡量高, 并并指出代數(shù)精度的次數(shù)指出代數(shù)精度的次數(shù).012( )()(0)( )hhf x dxA fhA fA f h3( )f xx代入求積公式可得：左端代入求積公式可得：左端= =右端右端552/52/3hh求積公式不精確成立，故該求積公式的代數(shù)精度為求積公式不精確成立，故該求積公式的代數(shù)精度為3 次。次。該求積公式的代數(shù)精度至少為該求積公式的代數(shù)精度至少為2。令。令 分別代入公分別代入公式的左右兩端，則左端

19、式的左右兩端，則左端=0=右端，求積公式精確成立；再取右端，求積公式精確成立；再取3( )f xx四四 插值型求積公式插值型求積公式 njjjnxfxlxL0)()()(,0,1,2,ixin 在積分區(qū)間在積分區(qū)間a , b 上上取取 n +1 個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)作作 f (x)的的 n 次代數(shù)插值多項(xiàng)式次代數(shù)插值多項(xiàng)式（Lagrange 插值多項(xiàng)式）插值多項(xiàng)式）:)()()(xRxLxfnn則有則有(1)1( )( )( )(1)!nnnfRxwxn插值余項(xiàng)：插值余項(xiàng)：于是有于是有0( )( )( )( )()( )bbbnnaaanbbjjnaajf x dxLx dxRx dxlx dx f

20、xRx dx 取取 babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak(4)0()()nbikaikiikxxAdxxx由由節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 決定決定,與與 f (x) 無關(guān)無關(guān).(5)稱稱 (4) 式為插值型求積公式式為插值型求積公式,其中其中求積系數(shù)求積系數(shù) A k 由由(5) 式確定式確定.誤差誤差0(1)0( )()( )( )()()(1)!nbbnkknaaknnbxkakRff x dxA f xf xLx dxfxxdxn當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)等距等距時(shí)，即：時(shí)，即：,0,1,.,ibaxaih hinn令：令： , 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí), , 于是于是xath , xa b0, tn11

21、1( )()(1)(2)()nnnxathht tttn10111()()()()()()!( 1)()!( 1)!()!nkkkkkkkknnn kn knxxxxxxxxxxxh knkh knk 所以所以110( )( )()()( 1)(1)(1)(1)()!()!bbnkkaaknkn knxAlx dxdxxxxht ttktktn dtknk記記( )0( 1)(1)(1)(1)()!()!n knnkhCt ttktktn dtknkn則則( )()nkkAba C故故(4)式可寫成式可寫成 ( )0( )()()nbnkkakf x dxbaCf x稱為稱為Newton-Co

22、tes求積公式求積公式. 稱為稱為Cotes系數(shù)系數(shù). ()nkC注注: 當(dāng)當(dāng)n=1和和n=2時(shí)時(shí), Newton-Cotes公式分別為前面介紹的公式分別為前面介紹的梯梯形公式形公式和和Simpson公式公式. 當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)時(shí), Newton-Cotes公式也稱公式也稱Cotes公式公式, 為：為： 01234()( )7 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf x上述三種公式是實(shí)際中最常用的求積公式上述三種公式是實(shí)際中最常用的求積公式. Cotes系數(shù)的性質(zhì)：系數(shù)的性質(zhì)：Prop1: Cotes系數(shù)之和為系數(shù)之和為1, 即即()01nnk

23、kCProp2: Cotes系數(shù)具有對(duì)稱性系數(shù)具有對(duì)稱性, 即即()()nnknkCCNewton-Cotes 求積公式的代數(shù)精度：求積公式的代數(shù)精度：(1)0() ()(1)!nnbxkakfR fxxdxnNewton-Cotes 求積公式的余項(xiàng)求積公式的余項(xiàng)如果如果 f (x)為次數(shù)不高于為次數(shù)不高于n 的代數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)多項(xiàng)式, 則則結(jié)論結(jié)論: 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), Newton-Cotes 公式具有公式具有n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度; 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), Newton-Cotes 公式具有公式具有n+1次代數(shù)精度次代數(shù)精度.即即Newton-Cotes 公式至少具有公式至少具

24、有n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 事實(shí)上事實(shí)上, 令令 , 則則(1)( )0 0nnfRf1( )nf xx(1)( )(1)!nfnx a th (1)111 ( )( )( )(1)!bbnnnnaaRffx dxx dxn 20(1)()nnht ttn dt2nk2220(1)(2 )kkht ttk dt(奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分) 因此因此 n 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), N-C 公式具有公式具有n+1次代數(shù)精度次代數(shù)精度.t u k 22()(1)(1) (1)()0kkkhuk ukuu uuk duSimpson 公式的余項(xiàng)：公式的余項(xiàng)：155(4)(4)21(

25、)( )( )( ) ,( , )902880bSabaRRx dxh ffa b 證：證：作作 f (x)的的Hermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 H3(x), 使之滿足使之滿足:3333( )( ),()(),22( )( ),()()22ababHaf aHfababHbf bHf則則H3(x)為次數(shù)不超過為次數(shù)不超過3的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式, 且且(4)23( )( )( )()() ()4!2fabf xHxxaxxb3333( )( )4()( )62 ( )4 ()( )( )62bababaabHx dxH aHH bbaabf aff bf x dx且余項(xiàng)為且余項(xiàng)為(利用利用

26、積分中值定理積分中值定理)23(4)2(4)255(4)(4) ( )( )1( )()() ()4!2( )()() ()4!2()( )( )288090bababaRff xHx dxabfxaxxb dxfabxaxxb dxbahff 由于由于Simpson公式有三次代數(shù)精度公式有三次代數(shù)精度, 故故Newton-Cotes 求積公式余項(xiàng)定理：求積公式余項(xiàng)定理：定理定理2 2：設(shè)等距插值節(jié)點(diǎn)距離為設(shè)等距插值節(jié)點(diǎn)距離為 ， 有求積公式有求積公式()/hban( )bnnaILx dx(1) 若若n 為偶數(shù)，為偶數(shù)， ，則存在，則存在 ，使，使2( ) , nf xCa b( , )a b3(2)20( )( )(1)(2)