《線性系統(tǒng)理論》本科全冊(cè)配套完整教學(xué)課件1

1、線性系統(tǒng)理論本科全冊(cè)線性系統(tǒng)理論本科全冊(cè)配套完整教學(xué)課件配套完整教學(xué)課件1線性系統(tǒng)理論緒 論 0.1 0.1 現(xiàn)代控制理論概述現(xiàn)代控制理論概述 控制理論包括控制理論包括: :古典控制理論、現(xiàn)代控制理論兩大部分。古典控制理論、現(xiàn)代控制理論兩大部分。古典控制理論：古典控制理論：1.1.以單變量線性定常系統(tǒng)為主要研究對(duì)象以單變量線性定常系統(tǒng)為主要研究對(duì)象; ;2.2.以頻率法作為研究控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的方法以頻率法作為研究控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的方法; ;3.3.以各種圖表以各種圖表, ,如如NichlesNichles圖、圖、BodeBode圖、圖、NyquistNyquist曲線、根軌跡、曲線、根軌跡、

2、RouthRouth表等作為系統(tǒng)分析和綜表等作為系統(tǒng)分析和綜合的主要工具合的主要工具。 現(xiàn)代控制理論：現(xiàn)代控制理論： 起源：起源：2020世紀(jì)世紀(jì)6060年代年代 標(biāo)志：標(biāo)志： 用于系統(tǒng)的整個(gè)描述、分析和設(shè)用于系統(tǒng)的整個(gè)描述、分析和設(shè)計(jì)過程的狀態(tài)空間方法；計(jì)過程的狀態(tài)空間方法； 最優(yōu)控制中的最優(yōu)控制中的PontriaginPontriagin極大值極大值原理和原理和BellmanBellman動(dòng)態(tài)規(guī)劃；動(dòng)態(tài)規(guī)劃； 隨機(jī)系統(tǒng)理論中的隨機(jī)系統(tǒng)理論中的KalmanKalman濾波技濾波技術(shù)。術(shù)。 現(xiàn)代控制理論的特點(diǎn)：現(xiàn)代控制理論的特點(diǎn)： 以多變量線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)以多變量線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)為研究

3、對(duì)象；為研究對(duì)象； 以時(shí)域法，特別是以狀態(tài)空間方以時(shí)域法，特別是以狀態(tài)空間方法為主要研究方法；法為主要研究方法； 以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為主要分析手段；以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為主要分析手段； 以計(jì)算機(jī)為主要實(shí)現(xiàn)工具。以計(jì)算機(jī)為主要實(shí)現(xiàn)工具?，F(xiàn)代控制理論研究內(nèi)容與分支現(xiàn)代控制理論研究內(nèi)容與分支 圖0.1.1動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分類圖 控制理論研究對(duì)象是控制理論研究對(duì)象是系統(tǒng)系統(tǒng)，控制是指對(duì)系統(tǒng)的控制，控制是指對(duì)系統(tǒng)的控制線性系統(tǒng)理論概述線性系統(tǒng)理論概述 線性系統(tǒng)理論：線性系統(tǒng)理論：現(xiàn)代控制理論中最基本、最成熟的分支現(xiàn)代控制理論中最基本、最成熟的分支。 線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象：線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象：線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，簡稱：線性系統(tǒng)。

4、當(dāng)動(dòng)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，簡稱：線性系統(tǒng)。當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程具有線性屬性時(shí)，稱相態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程具有線性屬性時(shí)，稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個(gè)基本特征是滿足疊加原線性系統(tǒng)的一個(gè)基本特征是滿足疊加原理。此屬性導(dǎo)致其在數(shù)學(xué)處理上的簡便性。理。此屬性導(dǎo)致其在數(shù)學(xué)處理上的簡便性。1 1221122()()()L cuc uc L uc L u線性系統(tǒng)理論的主要任務(wù) 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立 數(shù)學(xué)模型：變量、參量、常量及它們之間的關(guān)系 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析 定量分析和定性分析 系統(tǒng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)設(shè)計(jì) 系統(tǒng)滿足所規(guī)定的任務(wù)或性能指標(biāo)。線性系統(tǒng)理論的發(fā)展過程 20世紀(jì)世紀(jì)50年代：年

5、代： 古典線性系統(tǒng)理論成熟、完備（外部特性古典線性系統(tǒng)理論成熟、完備（外部特性研究）研究） 20世紀(jì)世紀(jì)60年代：年代： 線性系統(tǒng)理論新發(fā)展：用線性系統(tǒng)理論新發(fā)展：用“內(nèi)部研究內(nèi)部研究”代代替替“外部研究外部研究”建立在狀態(tài)空間法上的線性系統(tǒng)分析和綜建立在狀態(tài)空間法上的線性系統(tǒng)分析和綜合方法通常稱為現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論。合方法通常稱為現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論。線性系統(tǒng)理論的主要學(xué)派 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法 線性系統(tǒng)的幾何理論線性系統(tǒng)的幾何理論 幾何形式的線性代數(shù)幾何形式的線性代數(shù) 線性系統(tǒng)的代數(shù)理論線性系統(tǒng)的代數(shù)理論 變量間的關(guān)系視為代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系變量間的關(guān)系

6、視為代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系 多變量頻域方法多變量頻域方法 頻率域：系統(tǒng)描述、計(jì)算方法來分析及綜合頻率域：系統(tǒng)描述、計(jì)算方法來分析及綜合線性定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)。內(nèi)容安排 第一部分：第一部分： 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：第一章 第二部分：第二部分： 主體內(nèi)容：第二章至第十章主體內(nèi)容：第二章至第十章 第三部分：第三部分： 介紹性內(nèi)容：介紹性內(nèi)容： 離散線性系統(tǒng)理論（第十一章）、魯棒控離散線性系統(tǒng)理論（第十一章）、魯棒控制（第十二章）制（第十二章） 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 主講：張治國 第一章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.11.1線性空間與線性變換線性空間與線性變換1.1.11.1.1線性空間定義線性空間定義在

7、集合上賦予一定的結(jié)構(gòu)或一定的要求在集合上賦予一定的結(jié)構(gòu)或一定的要求, ,這個(gè)集合就稱為一個(gè)特定的空間。這個(gè)集合就稱為一個(gè)特定的空間。定義定義1.1.11.1.1線性空間定義（線性空間定義（1111頁）：頁）：設(shè)設(shè)V V是一個(gè)非空集合是一個(gè)非空集合,P,P是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域例例 1.1.21.1.2 將將mn 個(gè)實(shí)數(shù)排成如下矩陣個(gè)實(shí)數(shù)排成如下矩陣 nmnnmmxxxxxxxxx212222111211用用mnR 表示表示mn 維實(shí)矩陣全體的集合。設(shè)維實(shí)矩陣全體的集合。設(shè) nmnnmmxxxxxxxxxA212222111211， nmnnmmyyyyyyyyyB212222111211則則 也

8、是實(shí)數(shù)域也是實(shí)數(shù)域 R R上的線性空間。因此不難看上的線性空間。因此不難看出，實(shí)數(shù)域上的線性空間的本質(zhì)是指他們內(nèi)部的出，實(shí)數(shù)域上的線性空間的本質(zhì)是指他們內(nèi)部的運(yùn)算具有線性性。運(yùn)算具有線性性。 例例1.1.31.1.3 設(shè)設(shè) 是線性空間，是線性空間， 則不難驗(yàn)證則不難驗(yàn)證 是是 的子空間。它也稱為由的子空間。它也稱為由 構(gòu)成的子空間。構(gòu)成的子空間。mnR VVv RaavvvV,111Vv例例1.1.41.1.4 設(shè)設(shè) 是線性空間是線性空間 是是 的子空間，也稱的子空間，也稱 是由是由 所所生成的子空間生成的子空間 例例1.1.51.1.5 設(shè)設(shè) 是線性空間，顯然是線性空間，顯然 ，那么，那么

9、是是 的子空間，稱為零子空間。的子空間，稱為零子空間。 中中 個(gè)元個(gè)元 或稱為或稱為 中中 的的 個(gè)向量，則個(gè)向量，則maaa,21maaa,21mVmV1VVVV 0 VV01 miRaaavvVlmm, 2 , 1,2211111 1.1.2 線性空間的基和維數(shù)線性空間的基和維數(shù)121 122121212,1,2,0,:0(),mimmmmmu uuVa imaua ua uu uuu uuaaa定義1.1.4:設(shè)是 中的一組向量 可以重復(fù) 如果存在一組不全為0的實(shí)數(shù)使則稱為線性相關(guān) 否則稱為線性無關(guān),此時(shí)必然有:12121 122121212,1,2,5:(),:,mmimmmmmv v

10、vVuv vva imuaua ua uu uuu u uuuu uu定義1.1. 設(shè)是 中一組向量可以重復(fù) 稱向量 是的線性組合 是指有實(shí)數(shù)存在 使由此定義可知 如果線性無關(guān) 而線性相關(guān) 則 為的線性組合.1212126:,dim(.,)nnne eeVe eee eeVnnVVnVV定義1.1.如果向量線性無關(guān)而 中每個(gè)向量均可由它們的線性表示則稱構(gòu)成線性空間 的一組基而基的個(gè)數(shù)稱為 的維數(shù) 記為當(dāng)時(shí) 稱 為有窮維線性空間;當(dāng)時(shí) 稱 為無窮維線性空間.nR例例1.1.61.1.6 在歐氏空間在歐氏空間 中選取個(gè)無關(guān)向量中選取個(gè)無關(guān)向量它們便構(gòu)成它們便構(gòu)成 的一組基。因此，的一組基。因此，

11、也稱為也稱為 維歐維歐氏空間。氏空間。 100,010,00121neeenRnRn1.1.3 線性變換線性變換121211211212111211,(), (),|Im7:,.,.,V VRTVVTT abTaTb TaTaa bVRTVVTTVTvvVVTVTTTVVVTVV定義1.1.設(shè)均為實(shí)數(shù)域 上的線性空間是由 到 的一個(gè)映象 當(dāng) 滿足:時(shí) 稱 為由 到 的線性變換或線性算子稱為的定義域.若令則也是一個(gè)線性空間 它被稱為 的值域空間記為在時(shí) 稱 為 上的線性變換例例1.1.71.1.7 記記 這里這里 表示表示 區(qū)間上一次可微函區(qū)間上一次可微函數(shù)的全體，數(shù)的全體， 表示表示 區(qū)間上連

12、續(xù)函區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體。容易驗(yàn)證數(shù)的全體。容易驗(yàn)證 都是實(shí)數(shù)域都是實(shí)數(shù)域 上的上的線性空間。定義線性空間。定義也不難驗(yàn)證也不難驗(yàn)證 是是 到到 的線性變換，有時(shí)的線性變換，有時(shí)也稱為線性算子或微分算子也稱為線性算子或微分算子。 baCVbaCV,211 baC,1 baC,21, VV ba, ba ,RdtdT T1V2V1 .1 .8,.VNVTNK erTTVN =x | T x =定 義設(shè)為 一 線 性 空 間若是上 的 線 性 變 換 , 構(gòu) 造集 合 :則是的 一 個(gè) 子 空 間稱 為線 性 變 換的 核 空 間 記 為0 , xV例例1.1.81.1.8 令令則則 為為 上的線

13、性變換，易知上的線性變換，易知是是 的核空間，即的核空間，即 00:, 2 , 1,12121xxxxTRniRxxxxVnninTV niRxxxNin,3,2,02TKerTN 顯然，若向量顯然，若向量 構(gòu)成構(gòu)成 的一組基，的一組基，則由上述基的定義可知，對(duì)所有則由上述基的定義可知，對(duì)所有 ，均可以，均可以惟一表成惟一表成我們稱我們稱 為關(guān)于基為關(guān)于基 的坐標(biāo)。若的坐標(biāo)。若向量向量 構(gòu)成構(gòu)成 的另一組基，則有的另一組基，則有 neee,21nRnRu nnnnaaaeeeeaeaeau21212211 TTnTTaaa21neee,21 neee,21nR nnnnRPPeeeeee ,2

14、121而對(duì)任意而對(duì)任意 ，有，有由此可知由此可知 我們稱我們稱 為基為基 和基和基 之間的坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換。容易驗(yàn)證，坐標(biāo)變換也是變換。容易驗(yàn)證，坐標(biāo)變換也是 上的線性變換。上的線性變換。nRv nnnnvvveeevvveeev21212121 nnvvvPvvv2121neee,21 neee,21PV1.2 矩陣代數(shù)中的幾個(gè)結(jié)果矩陣代數(shù)中的幾個(gè)結(jié)果1.2.1 矩陣必秩的條件矩陣必秩的條件定義定義1.2.11.2.1 矩陣矩陣 列秩列秩: :矩陣中列向量的最大線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)；矩陣中列向量的最大線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)； 行秩行秩: :矩陣中行向量的最大線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)。矩陣中行向量的最大線性無

15、關(guān)組的個(gè)數(shù)。 矩陣的行秩與列秩相等。矩陣的行秩與列秩相等。 矩陣矩陣A A的行秩和列秩稱為矩陣的行秩和列秩稱為矩陣A A的秩。的秩。m nijAaR,0,0.,01.2.1,1.2.1.2.21.2.Q.,0.,m nijmTmn mn mAaRARAARAARQRA QQAQAT定理設(shè)則矩陣 行降秩的充要條件是存在向量滿足矩陣 列降秩的充要條件是存在向量滿足定理設(shè)且則矩陣 降秩的充要條件是矩陣 列降秩矩陣秩的充要條件是矩陣,=滿正定,1.2.2 Vendermonde Vendermonde矩陣與友矩陣矩陣與友矩陣 VendermondeVendermonde矩陣及基性質(zhì)矩陣及基性質(zhì)111,

16、1,2,:innninPVendermonde12n12n設(shè)為一組復(fù)數(shù),定義:111P=矩陣 稱為矩陣1111(),1,2,1,2,()( ),1,2,1).,(1.2jii j nijjjiijjiijj iininijtzf zt zin i-1i引理1.2.1 推論 矩陣 可逆的充要條件det(P)=Vender是互異.引理1.2.2 設(shè)互異,則的第行第列元素 由多項(xiàng)式展開式?jīng)Q定,即moP:ndePT=友矩陣及其性質(zhì)友矩陣及其性質(zhì)1110011,( )det()0101n nnnncnARD ssIAsasa saAaaaA設(shè)其特征多項(xiàng)式為定義矩陣 為矩陣 的友矩陣.21112,1,2,

17、 ,1,2, ,1(,1.2.31.2.2,)n nciiciTniiiin ncnARinAinApARAPdingPP 引理 設(shè)矩陣具有互異特征值則其友矩陣亦以為特征值,且與 相對(duì)應(yīng)的特征向量為推論 設(shè)矩陣具有互異特征值Venderm,o則n有其d中 矩陣 為e矩陣.0102010010,/1:/100001000010ncaaaaaaaaA命題1.2.2 具有互異特征值的矩陣與其友矩陣是相似的.定理1.2.3 友矩陣可逆的充要條件是且1.2.3 Cayley-Hamilton定理與化零多項(xiàng)式定理與化零多項(xiàng)式121201212012,1.2.,( )( )0(), ,3.nnnnnnnnm

18、nnD sAD AasasaaAaAa Imn AAAA I n nnnn nAR D(s)=s 凱萊哈密頓定理 設(shè)為矩陣的特征多項(xiàng)式 則記 AA由凱萊哈密頓定理可得:命題 設(shè)則對(duì)于一切均可表示為的線性組合R1.2.3.1.,( )( )0,( ),1.2.4,( )(:)(),(;2.)nn nTTTTnn nTTTRARsf sz f AzzAzARARf szAAf sp s sz p AAA 定義 設(shè)如果關(guān)于 的多項(xiàng)式滿足則稱其是相對(duì) 的化零多項(xiàng)式階次最低的首一的相對(duì) 的化零多項(xiàng)式稱為相對(duì)的極小多項(xiàng)式命題 設(shè)相對(duì) 的0z0z為極小多項(xiàng)式為其零點(diǎn) 則為矩陣 的特征值當(dāng)記時(shí)為矩陣 的屬于的

19、左特征向.量1.2.4 豫解矩陣與豫解矩陣與Leverrier算法算法11()()()(.)( )()sIAAadj sIAsIAD sLeverrierD sadj sIA矩陣稱為 的豫解矩陣:算法為求解和的遞推算法120121011,0,11.2(),14,.,2nnnnn kn kn knnn kn kaaaRRR sRRRAaI Ratr RAaknk nn-1n-2n-1n-2D(s)=sss adj(sI-A)定=ss理 記有( )()1.( )/(2.5.),m sadj sIAD sm sA定理 設(shè)為中所有元素的首一最大公約式 則為矩陣 的最小多項(xiàng)式10120121231132

20、211( )( )( )(1.2.3):( )( )1:nkkknnnnnnnnnP sAD sp ssasa sap ssasa sapssaps-1-1An(sI-A) (sI推論 設(shè) 為 階方陣,則其豫解矩陣具有下述表達(dá)式其中-A)1.3 1.3 多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式矩陣( )( )( ) .,ijijm nm nA saassA ssm nRs如果階矩陣的所有元素均為變量 的實(shí)數(shù)多項(xiàng)式,則稱為一個(gè)關(guān)于 的階實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式矩陣 其全體記為1.3.1 基本概念基本概念1110( )( ),1,2,0( ),.:,llllm nilmnA sA sAsA sAsAARilAlA s一個(gè)階的多項(xiàng)

21、式矩陣具有下述一般表示其中均為定常的實(shí)矩陣 在的條件下 代表了的次數(shù)( ),( )( ).( ) ,1.3.1()(,( )( )1.m nm nA sRsrrrA srankA srA sRs rmnA srA srr定義1.3.1 對(duì)于如果至少有一個(gè) 級(jí)子式不恒等于零 而所有的 級(jí)以上子式恒等于零 則稱 為多項(xiàng)式的秩 記為命題 設(shè)為不大于 或的正數(shù),則的秩為 的充要條件是中有 個(gè)列 行 線性獨(dú)立,而其任何個(gè)列行 均線性相關(guān)1.1.3. ,( )( ).( )( )det( )2( )m nRsA sA sadjA sA sA sA s 定義1.3.2 如果多項(xiàng)式矩陣均為可逆的,則必有是一個(gè)

22、不為零的常數(shù)這樣的多項(xiàng)式矩陣稱為幺矩陣命題 多項(xiàng)式方陣為幺矩陣的充要條件是逆存在且仍sde為多項(xiàng)t 式矩陣.1.3.2 1.3.2 初等變換初等變換多項(xiàng)式的初等行多項(xiàng)式的初等行(列列)變換變換,是指下列三種典型是指下列三種典型操作操作:矩陣的兩行矩陣的兩行(或兩列或兩列)互換位置互換位置;矩陣的某一行矩陣的某一行(或某一列或某一列)乘以非零的常數(shù)乘以非零的常數(shù)C;矩陣的某一行矩陣的某一行(或某一列或某一列)加上另一行加上另一行(或列或列)的的(s)倍倍, (s)為一個(gè)多項(xiàng)式。為一個(gè)多項(xiàng)式。1.3.3( ).)(A sA s命題 多項(xiàng)式方陣幺矩陣的充要條件是可表示成一系列初選行或列 變換矩陣之積

23、為1.3.3 Smith1.3.3 Smith標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型定義定義1.3.31.3.3 如果可以用一系列初選變換將多項(xiàng)如果可以用一系列初選變換將多項(xiàng) 式方陣式方陣A(s)A(s)化為多項(xiàng)式矩陣化為多項(xiàng)式矩陣B(s),B(s),則稱多項(xiàng)式則稱多項(xiàng)式A(s)A(s)和和B(s)B(s)互相等價(jià)?；ハ嗟葍r(jià)。 等價(jià)是多項(xiàng)式矩陣之間的一種關(guān)系，有下等價(jià)是多項(xiàng)式矩陣之間的一種關(guān)系，有下述三個(gè)性質(zhì)：述三個(gè)性質(zhì)：反身性，每一個(gè)多項(xiàng)式矩陣均與自身等價(jià)；反身性，每一個(gè)多項(xiàng)式矩陣均與自身等價(jià)；對(duì)稱性，對(duì)稱性， A(s)A(s)等價(jià)等價(jià)B(s)B(s)， B(s) B(s) 等價(jià)等價(jià)A(s)A(s)；傳遞性，傳遞性，

24、A(s)A(s)等價(jià)等價(jià)B(s)B(s)， B(s) B(s) 等價(jià)等價(jià)C(s)C(s)， A(s)A(s)等價(jià)等價(jià)C(s)C(s) 。 ,( )0( )( )000000( ),1,2,( ),( )(1,2,1)1 3 1. .sssss irssjrm n12crij+1j A(s) R r=rankA(s)min m令則等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)型其中是不為零的首一多項(xiàng)式且可被,nA(s)SmithddA整除(s)=ddd定理d,1.3.4nB nn r ARR ranksI-A Bn, sCP(s)Q(s)命設(shè)為數(shù)字矩陣且條件:成立,則存在適當(dāng)和幺矩陣和滿P(s)A-sI BQ(s)=:題 足0 I

25、:.0000( )( ),( )( )P sG s Q sH s nnr (A-sI BSmith)A-sIBI E(s)=II ranksI-A Bn, sCE(s)0IG(s) E(s)=H(化為標(biāo)準(zhǔn)型第一步:組成增廣矩陣第二步 在條件下將化為形算法1.3.1s式第三步 取*即為所求)1.41.4有理分式矩陣及其互質(zhì)分解有理分式矩陣及其互質(zhì)分解11( ),( )( )( )( )( )( )( )( )ijsnrW swssW sW sN s DsW sLs H s如果一個(gè)與變量 相關(guān)的的矩陣其每一元均為變量 的有理分式,則稱為一個(gè)有理分式矩陣.任何一個(gè)有理分式 矩陣總可以表示成:稱為右分

26、解 或 稱為左分解11( ),( ),( ), ( )( )( )( )( ) ( ),( )( ) ( )( )( ) ( ),( )(.)( )( )(:)( )( ).r rr rW s N s D s L sH sU sRRN sN s U s D sD s U sL sV s L s H sV s H sN s DsLs H s設(shè)和如上所 sV(s)s W(s)= 述和為幺命題1.4.1模陣,令則和 W(s)成立=1.4.1 互質(zhì)多項(xiàng)式矩陣互質(zhì)多項(xiàng)式矩陣( ) , ( ) ( ),:1.4. ( )( ) ( )( )( )(1(,)m nm pp nA sRs B sRsC sRs

27、A sB s C sB sA sA sB s設(shè)和如果它們?nèi)咧g存在關(guān)系 則稱為的左因子定義為的 右倍式.222222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1.( )( )( )( )( )(4)( ) ( ).,(.)2:A sA sB sA sA sB sA sA sD sA sA sA sA sA sA sB sD sB s Z sZ s111111設(shè)和為兩個(gè)同行數(shù)的多項(xiàng)式矩陣如果多項(xiàng)式矩陣同為和的左公因子,則稱為和的左公因子.如果多項(xiàng)式矩陣是和的左公因子,且同時(shí)是和的所有左公因子的右倍式 即對(duì)于和的任意左公因子均有滿足 的多項(xiàng)式矩陣 定義2( )( ),.(

28、 )D sA sA s1存在 則稱是和的最大左公因子121222,( ) ,( ) ()(1)(.4)(,.)( ),()3.m nm nmn nn rA sRsA sRsnnmA sA sSmithIA sA sARBRsIAB 1211 0ranksI-A B設(shè)如果的標(biāo)準(zhǔn)型為則稱和左互質(zhì). 由命題1.3.4知,當(dāng)條件式n, s定滿足時(shí) 有義C和 互質(zhì) 1212222( ) ( ) ,( )( ),.( )( )( )( )( ) ( ) :( )(:1)(;2.).(;3m nm nnmnmmA sRsA sRsrank A sA smA sA sA sA sm mB sRsB sRsA

29、s B sA s B sI12111121122 設(shè) 和且則下述三個(gè)條件等價(jià)和左互質(zhì)和的的最大左公因定 子為幺模陣存理1.4.1在滿 和足12122( ) ,( ) ( )(),( )( )(1.4.3)0mnmnnA sRsA sRsA smmnSmithA sIA sA s12121設(shè)如果矩陣定的標(biāo)準(zhǔn)型為則稱和 義 右互質(zhì).121222( ) ,( ) ( )( )( )( ).( )( )( ) ( ) ( )( ):1.;2:)3.(;mnmnn mn mA sRsA sRsA sranknA sA sA sA sA sm mB sRsB sRsB s A sB s A sI12121

30、1121122 設(shè)且則下述三個(gè)條件等價(jià)和右互質(zhì)和的的最 大右公因子為幺模陣存在定理1.4.和1滿足( ) ,( ) ,( )( )( )( ),:( )n rr rN sRs D sRsD sN sD sN srankrsCD s 和右互質(zhì)的充要條件是設(shè)定理1 .4且.2非奇異 則1.4.2 有理分式矩陣的互質(zhì)分解有理分式矩陣的互質(zhì)分解1111( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(,1.4.4,.)sW sN s DsW sLs H sN sD sW sN s DsW sL sH sW sLs H sW sn r設(shè)且具有

31、分解式和式當(dāng)和右互 W(s) R質(zhì)時(shí) 式稱為的右互質(zhì)分解左定。當(dāng)和互質(zhì)時(shí) 式稱為的左互質(zhì)分解義1111221212111122121( ),1.( )( )( )( )( )( ),( )( ) ( ),( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ),( )( )( ):21.4.3,).:(n rW sRN s DsNs DsW sU sD sD s U s N sNs U sLs H sLs HsW sV sL sV s L s H sV給定和同時(shí)為的右質(zhì)分解的充要條件是存在幺模矩陣使得和同時(shí)為的左質(zhì)分解的充要條件是存在幺模矩陣使得 定理 則 2( )( )s Hs1()sIAB

32、1.4.3 矩陣的右既約分解111,.1.3.4,.:,( )(),( )( )( )()( )( )nnnrARBRWssIABnrsIABnsCWsWsWssIABNs Ds 設(shè)為 兩 數(shù) 字 矩 陣 則為 一 個(gè)的 有 理 分 式 矩 陣由 命 題知 在 條 件下 上 式 本 身 即 為的 一 個(gè) 左 互 質(zhì) 分 解考 慮的 右 既 約 分 解 (下 式 的 求 解 rank )111 11 22 12 21 12 1()()()()()()()()0()()()()()()(),().1 .4 .:1,:nrrrWssIABNsDsPsQsPssIABQsIQsQsQsQsQsQsQs

33、RsQsRsN右 既 約 分 解 式的 求 取 :第 一 步 : 利 用 算 法求 取 幺 模 矩 陣和滿 足第 二 步將 幺 模 1 . 3 . 1 陣做 如 下 分 塊其 中第 三 步算取 法1 12 111()(),()()()()()()()()sQsDsQsNsDsWssIABNsDs則滿 足 右 既 約 分 解 式與。11:,( )( )( )1.4( )( )( )1.;2.2()( )( )sIABnsCN sD sN sD sD sW ssIABN s Ds 和滿足 rank1.4在式成立的條件下,由算法給出的多項(xiàng)式命下述條件與右互矩質(zhì)滿秩;3題 .陣.式1成立。1.5 Jo

34、rdan1.5 Jordan分解分解1,:,.n nn nJordanARJ VCVAVJVVAJAJordan矩陣的分解是指下述事實(shí)設(shè)則存在矩陣可逆,滿足:其中為矩陣 的特征向量矩陣為矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)型,1.5.1 特征值的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)特征值的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)1212(,)(,)1,1, 2,1:,;.iujijliiiiqiiijiippiijiiiJordanJdiag JJJJdiag JJJJjqAJAJordanqA一 個(gè)矩 陣 的 一 般 形 式 為其 中為 矩 陣的 特 征 值為 矩 陣的 與特 征相 關(guān) 聯(lián) 的塊稱 為 矩 陣的 特 征 值的 幾 何 重 數(shù)矩陣某特征值的

35、幾何重?cái)?shù)矩陣某特征值的幾何重?cái)?shù): : 矩陣的矩陣的JordanJordan標(biāo)準(zhǔn)型與該特征值標(biāo)準(zhǔn)型與該特征值相關(guān)聯(lián)的相關(guān)聯(lián)的JordanJordan塊的個(gè)數(shù)塊的個(gè)數(shù). .矩陣某特征值的代數(shù)重?cái)?shù)矩陣某特征值的代數(shù)重?cái)?shù): : 矩陣的矩陣的JordanJordan標(biāo)準(zhǔn)型與該特征值標(biāo)準(zhǔn)型與該特征值相關(guān)所有的相關(guān)所有的JordanJordan塊的階數(shù)之和塊的階數(shù)之和. .1.5.1iin nii1i2iqlii=1則 A設(shè)其矩陣的結(jié)構(gòu)如上述.R,Jordan =max ppp,i=1,2, ,l f(s)=(s-) 記為矩陣A的最小多項(xiàng)式 推論1.5.1 循環(huán)矩陣的特征多項(xiàng)式與其最小命題多項(xiàng)式等同.1.5

36、.2 廣義特征向量鏈廣義特征向量鏈1212(,)(1.5.2)(,)(1.5.3)1,1,2,(1.5.4)1iujijliiiiqiiijiippAJordanJJdiag J JJJdiag JJJJjq 當(dāng)矩陣 的標(biāo) 準(zhǔn)型 具有式我們可對(duì)應(yīng)地將特征向量矩陣V按列做如下分塊121212(1.5.9)iijliiiiqpijijijijVVVVVVVVVvvv iiijijVAiVJordanJ矩陣 是與矩陣 的第 個(gè)特征值 對(duì)應(yīng)部分,其子塊是與塊相對(duì)應(yīng)部分.12121110)0).)0:ijijijpijijijiijiijiijijppiijijkkiijijijvvvAijpAI vA

37、I vvAI vvAI vvv( (1.5.12)( ( 上式中列向量稱為矩陣 的第 個(gè)特征 的第 組廣義特征向量鏈為該組特征向量鏈的長度 廣義特征向量鏈 , (1.5的定義式.13)1,2,1,2,1,2,ijikpjaq il 234121000100001100,111(1.5,1)1:2.23CnnnnAknnnnk 對(duì)于友矩陣若是其幾何重?cái)?shù)為和代數(shù)重?cái)?shù)為的特征值則屬于的廣義特征向量鏈為 命題(1)(2)()(1)21n knnnn kkk k 其中 (1.5.14) : 1.5.3 Jordan1.5.3 Jordan分解的求取分解的求取),),)1.5.1,1,2,il 12li分

38、解的求取1.利用初等變換化矩陣為對(duì)角型2.將的對(duì)角線上的元素分解成互不相同 的一次因式方冪的 Jordan( I-A)(s);乘積;3.列出的對(duì)角線上的所有互異一次因子則算法 ( s)即為(s) ( -矩陣A的互異( -( -特征值;12),1,2,),;iiiiqAilpppAJordanJJordan iiiiiiii( -(s)qq ( -4.找出每個(gè)一次因子在的對(duì) 角線上出現(xiàn)的(s)q 次數(shù)則 為 的特征 值 的幾何重?cái)?shù);5.按的順序 找出一次因子在的對(duì)角 q線上出現(xiàn) 的冪 次它們即為 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型 中與 相關(guān)的 個(gè)子塊 的價(jià)次 1212,1,2,1,2,(,)(1.5.2)(,)(1

39、.5.3)1,1,2,6(1.5.4)1.iujijiijiliiiiqiiijiipplq pjq ilJdiag J JJJdiag JJJJjqJordani 根據(jù)的值 和式寫出 矩陣 列的A標(biāo)準(zhǔn)型;11,2,1,2, ,)0,)0,1,2,1,2,1,2.:,ijijijiijppijijijipijijijqilvAIvAIvvjq ilvvjqii ( (1.5.15) 7.對(duì)于每個(gè)和求解向量滿足并使得線性無關(guān) 然后取 1211212,1,2, ,)1,2,),1,.2,;8ijijijijijppijijppijijiijijipijijijii ilvAI vvAI vjqvA

40、I vqvvvjqiiii( (1.5.16)( 對(duì)于每個(gè)按公式 求出第 個(gè)特征值 的 組廣義i特征向量鏈 ,1,2,1,2,1,2,(1.5.7)(1. .99).5kijijivkpjqilA基于上步中獲得的和式構(gòu)成矩陣 的特 征向量矩陣10.計(jì)算和并通過驗(yàn)證是否成立 V;AVVJ,檢驗(yàn) 結(jié)果的AV=VJ正確性.1.6 1.6 廣義廣義SylvesterSylvester矩陣矩陣,;,.,:,;n nn rn nr nAVBWVFARBRVCWCFnJordanWCBWSylvesterAVVFC 其中:為 價(jià)的矩陣當(dāng)取定陣 并令則上 (1.6.1) 式化為常 (1規(guī).的矩陣方程6.2)1

41、.6.1 求解問題與假設(shè)條件求解問題與假設(shè)條件,n nn rARBRnJordanFVWAVBWVF已知定常以及價(jià)矩陣求矩陣 和的解析表達(dá)式.,如果一種解析解包含了方程的一切解,便稱該解 析解為完全的.12121212,).,:.:,iiiiiiiiiqiiiqiiiiiqnCsIA BA BJordanFnisqqJordanFFFpppsmpppmmmn假設(shè)對(duì)于任何矩陣行滿秩能控條件假設(shè):矩陣 含有個(gè)互異特征值 其A1:第 個(gè)特征值 的幾何重?cái)?shù)為 且與其相關(guān)聯(lián)的個(gè)塊s ( A2 的價(jià)數(shù)分別為從 而特征值 的代 數(shù)重?cái)?shù)為且應(yīng)有此假設(shè)稱為 矩.FJordan陣 的結(jié)構(gòu)條件1.6.2 完全解析解

42、之一完全解析解之一011, 2( ),1.60( ),1,2,;1,2, ;1,2, ( )( ).1,:( )( )0,kkijijiijkkijijkijijiBA AvfQ svwP s vfC kpjq inP sQ sP s sIAB Q sI定理 (1.6.1) 設(shè)矩陣 列滿秩 且假設(shè)成立則方程的一切解可由下式給出:其中為一組任意選取的參數(shù)向量和為滿 足的幺模陣.1.6.3 完全解析解之二完全解析解之二1011,1,2( )1( )( )(1)!,1,2,;1,2,;1,1.6.2, ( )( ):,2kkkiijijkijijkkkiijijkrijijiiBA AN svfdf

43、fD swP s vkdsfCkpjq inN sD s設(shè)矩陣 滿秩 且定假設(shè)成立 則矩陣方程的一切解可由下式給出:其中為任意選取的參數(shù)理 (1.6.1) 和向量為(1.6.15)滿足右既約分解式的多項(xiàng)式模陣.例例1.6.1 1.6.1 設(shè)設(shè)則由算法則由算法1.4.1 1.4.1 易得易得從而由定理從而由定理1.6.21.6.2易得，以該組矩陣構(gòu)成的廣義易得，以該組矩陣構(gòu)成的廣義sylvestersylvester矩陣方程的完全解析通解為矩陣方程的完全解析通解為 300010011,011000,100100010FBA 110,100012sssDssN 1212111111113111fN

44、fNfNdsdfNV 1212111111113111fDfDfDdsdfDW如果特別取如果特別取可得該方程的一組特解為可得該方程的一組特解為 TTfff10,01211121111 931020,010311101WV2.1線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述2.1.1單變量情形的簡單回顧( )(1)110( )(1)110111011101110( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0:nnnnmmmmmmmnnnnnnytayta y ta y tb utbutb u tb u tb sbsb sbY sG sU ssasa sasasa sa 特特征征方方程程 12121

45、1111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ):()rmrrrrmmmmrruuuyyyy sgs u sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u s 多多輸輸入入多多輸輸出出線線性性定定常常系系統(tǒng)統(tǒng)輸輸入入輸輸出出系系統(tǒng)統(tǒng)滿滿足足疊疊加加原原理理 線線性性11111 ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )lim( )lim( ):( )( )rmmmrssy sgsgsy sG s u sysgs

46、gsG sG sG sG s 其其向向量量方方程程的的形形式式為為零零陣陣或或 非非零零常常數(shù)數(shù)矩矩 陣陣傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)矩矩陣陣為為嚴(yán)嚴(yán)格格真真的的或或真真的的. .當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)為為真真的的或或嚴(yán)嚴(yán)格格真真的的, ,它它才才是是物物理理上上可可以以 實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)的的. . 2.2.12.2.1狀態(tài)與狀態(tài)空間狀態(tài)與狀態(tài)空間 定義定義2.2.1 完全地表征系統(tǒng)時(shí)間域行為的一完全地表征系統(tǒng)時(shí)間域行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量組稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)。組個(gè)最小內(nèi)部變量組稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)。組成這個(gè)變量組的變量成這個(gè)變量組的變量 10( )( ),( )nxtx tttxt 12( ),( ),( )nx t

47、x txt稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其中 00,ttt 為初始時(shí)刻。由狀態(tài)變量構(gòu)成的列向量 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，簡稱為狀態(tài)。狀態(tài)向量取值的向量空間稱為狀態(tài)空間。命題2.2.1 一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的任意選取的兩個(gè)狀態(tài)變量組之間為線性非奇異變換的關(guān)系。1.狀態(tài)變量組可以完全表征系統(tǒng)行為;2.狀態(tài)變量組的最小性體現(xiàn);3.狀態(tài)變量組在數(shù)學(xué)上的特征體現(xiàn);4.狀態(tài)變量組包含了系統(tǒng)的物理特征.11110110111(,; )(,; )( , , ),( , , ),( , , )nrnnnrnnxfxxuu tttxfxxuu txf x u tttxufx u txuf x u txu (2.2.6) (2.2.6)

48、 動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)系系統(tǒng)統(tǒng)一一階階非非線線性性時(shí)時(shí)變變微微分分方方程程組組: :簡簡化化為為向向量量方方程程形形式式: :其其中中 ( (: :2.2.7)2.2.7)( , , )nfx u t (2.2.8) (2.2.8)111111111(,; )(,; )( , , )( , , ), ( , , )( ,:, )nrmmnrmnmygxxuu tygxxuu tyg x u tyugx u tyug x u tyugx u t 連連續(xù)續(xù)動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)系系統(tǒng)統(tǒng)的的輸輸出出方方程程向向量量方方程程的的形形式式其其中中 (2.2.9) (2.2.9) (2.2.10) (2.2.10) (2.2.

49、11) (2.2.11)0( , , ),( , , )xf x u tttyg x u t 系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間描描述述由由狀狀態(tài)態(tài)方方程程和和輸輸出出方方程程組組成成: : 00( )( ) ,:( )( )( ),( ),( ),( ):,:,xA t xB t u ttyC t xD t uA tB t C tD txAxu ttyxu T TT T都都是是與與時(shí)時(shí)間間無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)矩矩陣陣線線性性系系 L (2.2.12) L (2.2.12)統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間描描述述的的一一般般形形 L L 式式 那那么么 系系統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為定定 (2.2 (2.2常常的的果果:

50、 :如如.13).13)定義2.2.2 對(duì)于系統(tǒng)nrank sIABn的 為系統(tǒng)的輸入解耦零點(diǎn)； 稱滿足 nsIAranknC 的 為系統(tǒng)的輸出解耦零點(diǎn)； 稱滿足稱滿足 min, nsIABranknr mCD 的 為系統(tǒng)的傳輸零點(diǎn)。sss0,:xAx u ttyx u T TL L ( (2 2. .2 2. .1 13 3) )2Ru，輸出變量取為電阻的端電壓 。例2.2.1 考查圖2.2.2所示的簡單電路，電路各組成元件的參數(shù)值未已知，輸入變量取為電壓源( )e t 和流經(jīng)電感的電流iL作為電路的 狀態(tài)變量。第二步：列出原始電路方程 運(yùn)用電路定律，可列出圖中左、右兩個(gè)回路的 電路方程為第

51、一步：確定狀態(tài)變量 根據(jù)電路理論可知，此電路最多有2個(gè)線性無關(guān) 的變量；因此，可選取獨(dú)立儲(chǔ)能元件的變量，即 電容端電壓 cu12()( )LLLCLCCdii R iiLe tdtdiuR iLdt ，所以可將上述方程改寫為只包含未知變量和Li CCiCdudtcuLi11( ) CLLdudiR CLR ie tdtdt考慮到規(guī)定為狀態(tài)變量，并有和的方程組和cu2 CLCdudiR CLudtdt112121211( )()()() CCLduRuie tdtRR CRR CRR CCdudtLdidt1122121212( )()()() LCLdiRR RRuie tdtL RRL RR

52、L RR第三步：導(dǎo)出狀態(tài)方程 首先，以和 為待定變量求解上述聯(lián)立方程，得到進(jìn)而，將其表為向量方程的形式，就導(dǎo)出了此電路的狀態(tài)方程1121212211212121211()()()( )()()() CCLLRuRR CuRR CRR Ce tRRR RiiL RRL RRL RR 2122222121212( ) CRCCLduRR RRuR iR Cuie tdtRRRRRR21222121212( ) CRLuRR RRue tRRRRRRi第四步：導(dǎo)出輸出方程 根據(jù)電路的關(guān)系式，有 將其改寫后即可得到此電路的輸出方程 2.3.1 2.3.1 兩種描述形式的比較兩種描述形式的比較 1.1.

53、使用的數(shù)學(xué)方法不同使用的數(shù)學(xué)方法不同; ; 2.2.對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng): :用系統(tǒng)辨識(shí)方法容易用系統(tǒng)辨識(shí)方法容易系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù), ,而辨識(shí)系統(tǒng)完整的狀而辨識(shí)系統(tǒng)完整的狀態(tài)方程各測量方程有時(shí)做不到態(tài)方程各測量方程有時(shí)做不到; ; 3.3.傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論實(shí)現(xiàn)分析傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論實(shí)現(xiàn)分析和綜合的基礎(chǔ)和綜合的基礎(chǔ), ,狀態(tài)空間方法是現(xiàn)代控狀態(tài)空間方法是現(xiàn)代控制理論中系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。制理論中系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。 傳遞函數(shù)僅描述輸入傳遞函數(shù)僅描述輸入- -輸出關(guān)系（外部輸出關(guān)系（外部特性）。特性）。 ，由點(diǎn)A到點(diǎn)B之間平行板電容的兩端電壓為例2.3.1 對(duì)于圖2.3.1所示的

54、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的輸入電流為( )I t( )y t1( )x t2( )x t3( )x t1( )( ) y tx t，輸出電壓為 。由點(diǎn)C到D之間平行板電容的兩端電壓為流經(jīng)電阻電感的電流為。顯然，。由Kirchhoff電流定律得出12( )( )( )x tx tI t 33( )( )( )x tx tI t 122( )( )( )x tx tx t 再由Kirchhoff電壓定律得112233( )( )0101( )110( )0( )0011( )( ) x tx tx tx tI tx tx t 123( )( )100( )( ) x ty tx tx t2(1)(1)0sss于是得到系統(tǒng)得狀態(tài)方程和量測方程為由此看出，它是一個(gè)三階系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)的特征方程為另一方面，我們?nèi)菀浊蟮迷撓到y(tǒng)得傳遞函數(shù)為21( )1 sG sss它所代表得是一個(gè)穩(wěn)定得二階系