非齊次微分方程特解

1、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的求法討論幸克堅(jiān) （遵義師范學(xué)院貴州遵義）摘要：非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)常微分方程中，“二階常系數(shù)線性微分方程”一般是作為一個(gè)單獨(dú)的模塊來(lái)講授。但在一般非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)使用的高等數(shù)學(xué)教材中，特解的介紹常常比較突然和不夠完整，引入不大自然也不易于理解和接受。本文結(jié)合非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的特點(diǎn)就特解的求法進(jìn)行了分析和討論。關(guān)鍵詞： 常系數(shù) 線性 微分方程 特解 討論中圖分類(lèi)號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：E 文章編號(hào)：1009-3583（2004）03-00 XING Ke-jian (Departent of Mathematics,Zunyi Normai College,Zunyi 5630

2、02,China)Abstract: Key words: 一、問(wèn)題的提出“微分方程”中的“常系數(shù)線性微分方程”的求解理論，在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的常微分方程教材中已得到完美的解決，但由于專(zhuān)業(yè)所限，非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中常微分方程不可能系統(tǒng)介紹，往往只是將“二階常系數(shù)線性微分方程”作為一個(gè)單獨(dú)的模塊來(lái)講授。一般是先求出二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，然后，找出非齊次方程：y+py+qy=f(x) （1）的一個(gè)特解，最后按照“疊加原理”將這個(gè)特解與相應(yīng)的齊次方程的通解相加，就得到非齊次方程的通解。這兩個(gè)環(huán)節(jié)比較而言，難點(diǎn)在第二步求特解。雖然非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的高等數(shù)學(xué)側(cè)重于應(yīng)用而不在于推導(dǎo)，但知識(shí)點(diǎn)的介紹和引入

3、也應(yīng)該遵循引入自然和易于理解接受的原則。而非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)使用的不少高等數(shù)學(xué)教材中，特解的引入常常比較突然并且不夠完整，讓學(xué)生無(wú)法理解和接受，也形不成清晰完整的印象。如筆者使用的這本教材中就僅從一個(gè)十分具體的例子：例1、求方程 y+y+y=x+2 (2)y+y =x+2 (3)y =x+2 (4)- 收稿日期：2004-03-作者簡(jiǎn)介：幸克堅(jiān)（1954-），貴州遵義人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，從事數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)史研究的特解來(lái)引出。很突然地用：“我們?cè)O(shè)想方程（2）具有一次式形式的特解： y*=+x；顯然，一次式y(tǒng)*=+x不是方程（3）的解，設(shè)想它的特解為：y*=（+x）x；顯然，（+x）x不是方程（

4、4）的解，設(shè)想它的特解為：y*=（+x）x2”，最后又說(shuō)：“情況是這樣的：方程（2）對(duì)應(yīng)的特征方程無(wú)零根；方程（3）對(duì)應(yīng)的特征方程以零為單根；方程（4）對(duì)應(yīng)的特征方程以零為重根”。之后就依據(jù)這一具體例子，給 “二階常系數(shù)線性微分方程”的整個(gè)求解問(wèn)題作了結(jié)論，顯得比較玄乎和片面。這樣取材和講解，很容易產(chǎn)生疑問(wèn)：用一個(gè)系數(shù)這么簡(jiǎn)單的具體例子能得出可靠的普遍結(jié)論嗎？方程的解的這三種形式是怎么得來(lái)的？除了這三種形式之外是否應(yīng)該還有更多的其它形式？這三種形式與特征方程有無(wú)零根有何必然聯(lián)系？產(chǎn)生疑問(wèn)的結(jié)果，就是學(xué)生不能真正理解和熟練掌握，也無(wú)法形成清晰完整的印象。為了避免這種不良后果，筆者在教學(xué)中針對(duì)非數(shù)

5、學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就特解的求法問(wèn)題進(jìn)行了如下的分析和討論，就較為順暢和易于理解： 二、特解的求法分析討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式為： y+py+qy=f(x) (1)其中y項(xiàng)的系數(shù)為1，p、q為常數(shù)，f(x)為初等函數(shù)。因此， y 、y、y也只能是初等函數(shù)。而且能作為初等函數(shù)的微商或?qū)Ш瘮?shù)出現(xiàn)的最常見(jiàn)的是多項(xiàng)式函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。所以，f(x)=ax+b、f(x)=asinx(或f(x)=acosx)、f(x)=aebx是最簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的情況，我們就著重討論f(x)的這三種形式。（一）首先考慮： y+py+qy=f(x) 中f(x)為一般的非零多項(xiàng)式的情形：設(shè)非零多項(xiàng)式f

6、(x)的次數(shù)為n，并設(shè)y*為（1）的解。因?yàn)椋?）式右邊為非零多項(xiàng)式，所以左邊也必為非零多項(xiàng)式，而初等函數(shù)中有且僅有多項(xiàng)式函數(shù)的微商才為多項(xiàng)式，所以y*也必為非零多項(xiàng)式：不失一般，設(shè)y*=g(x)，并設(shè)g(x)的次數(shù)為m。下面分別根據(jù)（1）中系數(shù)情況來(lái)討論m與n之間的關(guān)系：根據(jù) y+py+qy=f(x) 中系數(shù)有下列三種不同情況：1） 當(dāng)q0時(shí)(1)為： y+py+qy=f(x)。此時(shí)，方程右邊f(xié)(x)的次數(shù)為n，將y*=g(x)代入左邊，由于y*的次數(shù)為m，y*的次數(shù)為m1，y*的次數(shù)為m2，所以，方程左邊的次數(shù)為maxm，m1，m2= m，應(yīng)與方程右邊f(xié)(x)的次數(shù)n相等。即： m=n；2

7、） 當(dāng)q=0而p0時(shí)(1)為： y+py =f(x)。此時(shí)，方程右邊f(xié)(x)的次數(shù)也為n，將y*=g(x)代入左邊后方程左邊的次數(shù)為maxm1，m2= m1，所以有： m1=n，即m=n+1；3） 當(dāng)p=q=0時(shí)(1)為： y=f(x)。此時(shí)，方程右邊f(xié)(x)的次數(shù)仍為n，將y*=g(x)代入左邊后方程左邊的次數(shù)為m2，此時(shí)即： m2=n，即m=n+2；這就是（1）中f(x)為一般的非零多項(xiàng)式時(shí)得出的特解y*與f(x)次數(shù)關(guān)系的一般性結(jié)論?，F(xiàn)在來(lái)討論f(x)為一次多項(xiàng)式時(shí)即f(x)=ax+b解的情況：仍設(shè)y*=g(x)為（1）的特解：1） 當(dāng)q0時(shí)(1)為： y+py+qy=ax+b，由上面的

8、分析，y*=g(x)的次數(shù)m=n=1，故可設(shè)y*=g(x)為一次多項(xiàng)式g(x)=+x，將y*=g(x) =+x代入（1）式得： （+x）+p（+x）+q（+x）=ax+b即 ： p+q+qx=ax+b比較系數(shù)得： = ， = = 所以，（1）特解為： y*=+x2）當(dāng)q=0而p0時(shí)(1)為： y+py = ax+b，由上面的分析，y*=g(x)的次數(shù)m=n+1=1+1=2， 故可設(shè)g(x)為二次多項(xiàng)式g(x)=（+x）x （注：為什么不設(shè)為一般的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c？這種設(shè)法與設(shè)為一般的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c有無(wú)本質(zhì)上的區(qū)別？可留給學(xué)生自己思考和推算。）將y*=g(x) =（+x）x

9、即y*=x+x2代入（1）式得： （x+x2）+p（x+x2）=ax+b即： 2+ p+ 2px=ax+b比較系數(shù)得： =， = = 所以，（1）特解為： y*=（+x）x 3）p=q=0時(shí)(1)為： y= ax+b，由上面的分析，y*=g(x)的次數(shù)m=n+2=1+2=3，故可設(shè)g(x)為三次多項(xiàng)式g(x)=（+x）x2，（注：為什么不設(shè)為一般的三次四項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d？這種設(shè)法與設(shè)為一般的三次四項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d有無(wú)本質(zhì)上的區(qū)別？仍可留給學(xué)生自己思考和推算。）將y*=g(x) =（+x）x2即y*=x2+x3代入（1）式得： （x2+x3）=ax+b即： 2+ 6x=a

10、x+b比較系數(shù)得： =， = 所以，（1）特解為： y*=（+x）x2以上就是y+py+qy=f(x) 中f(x)=ax+b即f(x)為一次多項(xiàng)式時(shí)，根據(jù)特征方程的“零”根的三種情況，有如下結(jié)論：1） 當(dāng)q0時(shí)方程為 y+py+qy= ax+b，=0不是特征方程的根， 特解為一次多項(xiàng)式：+x；2） 當(dāng)q=0而p0時(shí)方程為 y+py = ax+b，=0是特征方程的單根，特解為二次多項(xiàng)式：（+x）x；3） 當(dāng)p=q=0時(shí)方程為 y= ax+b， =0是特征方程的重根， 特解為三次多項(xiàng)式：（+x）x2；并且，特解中待定系數(shù)、可以由原方程的系數(shù)p、q、a、b唯一確定。（二）其次考慮： y+py+qy=

11、f(x) 中f(x)=asinx(或f(x)=acosx)的情形： 即： y+py+qy= asinx （不失一般，取f(x)=asinx即可）因?yàn)閺?fù)角“x”的正、余弦函數(shù)的微商（或?qū)?shù)）仍然是復(fù)角“x”的正、余弦函數(shù)，并且y、y與y中sinx與cosx總是交替出現(xiàn)的。因此，要使方程y+py+qy= asinx的特解y*代入原方程后等式成立，y*應(yīng)該形如：y*= cosx+sinx 將y*= cosx+sinx代入原方程得：（cosx+sinx）+p（cosx+sinx）+q（cosx+sinx）= asinx 求導(dǎo)整理得：2cosx2sinxpsinx+ pcosx+ qcosx+ qsin

12、x= asinx 比較系數(shù)得： （q2）+ p=0 （q2）p= a所以當(dāng)p0且q20時(shí)，特解中待定系數(shù)、可以由原方程的系數(shù)p、q、a、通過(guò)關(guān)系式： = =唯一確定。而p=0與q2=0正好與：（±i）2+p（±i）+q=0 等價(jià)，即 ±i 是特征方程：2+p+q=0 的根所以，當(dāng)±i 不是特征方程 2+p+q=0 的根時(shí)，原方程的特解由原方程的系數(shù)p、q、a、通過(guò)上式唯一確定。但當(dāng)±i 是特征方程： 2+p+q=0 的根時(shí)，p=0與q2=0，此時(shí)，若再設(shè)： y*= cosx+sinx將無(wú)法確定 、之值?？紤]到這一結(jié)果正好是由 “cosx+sin

13、x”及其微商導(dǎo)致的，故可參照f(shuō)(x)為一次多項(xiàng)式時(shí)的情形，考慮設(shè)： y*= （cosx+sinx）x則： （y*）= （cosx+sinx）x）=（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）（y*）=（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）=（2cosx 2sinx）x+2（sinx+cosx）代入原方程得： y*+ p y*+ q y*=（2cosx 2sinx）x+2（sinx+cosx）+ p（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）+ q（cosx+sinx）x） = asinx比較系數(shù)得：（2cosx 2sinx）+ p（sinx+cosx）+ q（cosx+sin

14、x）=02+ p = ap+2=0因±i是特征方程2+p+q=0 的根，所以p=0與q2=0，于是前面一式中的、可以為任意值，而由后二式解得： = = 所以，當(dāng)±i 是特征方程：2+p+q=0 的根時(shí)，、可由原方程的系數(shù)通過(guò)上式得出。綜上所述，對(duì)于：y+py+qy= asinx 形式的非齊次方程，其特解為：1） 當(dāng)±i 不是特征方程 2+p+q=0 的根時(shí)，則原方程的特解是：y*= cosx+sinx，其中、由原方程的系數(shù)p、q、a、通過(guò) ： = = 唯一確定。2） 當(dāng)±i 是特征方程：2+p+q=0 的根時(shí)，原方程的特解是：y*= （cosx+sinx

15、）x，其中、可由原方程的系數(shù)通過(guò)： = = 唯一確定。而對(duì)于： y+py+qy= bcosx 形式的方程，可以類(lèi)似地討論，這里就不贅述了。（三）最后考慮： y+py+qy=f(x) 中f(x)=aebx 即 y+py+qy=aebx的情形： 由于ebx的各階微商及其原函數(shù)均為ebx的常數(shù)倍，所以，方程y+py+qy=aebx 的特解也應(yīng)該形如： y*=ebx將其代入原方程求導(dǎo)整理得： b2ebx+ pbebx+ qebx= aebx因?yàn)?ebx0，所以由上式得： （b2+ pb + q）= a所以，當(dāng) b2+ pb + q0，即 b 不是特征方程： 2+p+q=0 的根時(shí)， =方程的特解為：

16、y*=ebx=ebx而當(dāng)b2+ pb + q=0，即b是特征方程2+p+q=0的根時(shí)，由此式不能確定的值，但若仍參照f(shuō)(x)為一次多項(xiàng)式時(shí)的情形，考慮設(shè)： y*=xebx 代入原方程求導(dǎo)整理得： （b2+ pb + q）xebx+(2b+ p)ebx= aebx兩邊約去（ ebx0）并比較系數(shù)得： b2+ pb + q=0 且 (2b+ p)=a前一式說(shuō)明b是特征方程： 2+p+q=0 的根，于是，在2b+ p0，即b只是特征方程 2+p+q=0的單根，而不是重根的情況下有： = 即原方程的特解為：y*=xebx = xebx在2b+ p=0，即b是特征方程2+p+q=0的重根的情況下，由上式無(wú)法確定之值，但也參照f(shuō)(x)為多項(xiàng)式時(shí)的情形，可考慮設(shè) y*=x2ebx 代入原方程求導(dǎo)整理得：y*+p y*+q y*=2ebx+（4b+2p）xebx+（ b2+ pb + q）x2ebx=a ebx 即：2=a ， = 即原方程的特解為：y*=x2ebx = x2ebx綜上所述，在f(x)=aebx的情況下：1） 若b 不是特征方程 2+p+q=0 的根，則特解為： y*=ebx=ebx2） 若b 是特征方程 2+p+q=0