高中數(shù)學立體幾何教學研究

1、高中數(shù)學“立體幾何”教學研究一 . “立體幾何”的知識能力結(jié)構(gòu)高中的立體幾何是按照從局部到整體的方式呈現(xiàn)的，在必修2中，先從對空間幾何體的整體認識入手，主通過直觀感知、操作確認，獲得空間幾何體的性質(zhì)，此后，在空間幾何體的點、直線和平面的學習中，充分利用對模型的觀察，發(fā)現(xiàn)幾何體的幾何性質(zhì)并通過簡單的“推理”得到一些直線和平面平行、垂直的幾何性質(zhì)，從微觀上為進一步深入研究空間幾何體做了必要的準備.在選修2-1中，首先引入空間向量，在必修2的基礎(chǔ)上完善了幾何論證的理論基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上對空間幾何體進行了深入的研究.首先安排的是對空間幾何體的整體認識，要求發(fā)展學生的空間想像能力，幾何直觀能力，而沒有對演

2、繹推理做出要求.在“空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系”的研究中，以長方體為模型，通過說理（歸納出判定定理，不證明）或簡單推理進行論證（歸納并論證明性質(zhì)定理），在“空間向量與立體幾何”的學習中，又以幾何直觀、邏輯推理與向量運算相結(jié)合，完善了空間幾何推理論證的理論基礎(chǔ)，并對空間幾何中較難的問題進行證明.可見在立體幾何這三部分中，把空間想像能力，邏輯推理能力，適當分開，有所側(cè)重地、分階段地進行培養(yǎng)，這一編排有助于發(fā)展學生的空間觀念、培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力，同時降低學習立體幾何的門檻，同時體現(xiàn)了讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展的課標理念.二. “立體幾何”教學內(nèi)容的重點、難點1.重點：

3、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征：柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征的概括；空間幾何體的三視圖與直觀圖：幾何體的三視圖和直觀圖的畫法；空間幾何體的表面積與體積：了解柱、錐、臺、球的表面積與體積的計算公式；空間點、直線、平面的位置關(guān)系：空間直線、平面的位置關(guān)系；直線、平面平行的判定及其性質(zhì)：判定定理和性質(zhì)定理的歸納；直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)：判定定理和性質(zhì)定理的歸納.2.難點：空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的概括：柱、錐、臺球的結(jié)構(gòu)特征的概括；空間幾何體的三視圖與直觀圖：識別三視圖所表示的幾何體；空間點、直線、平面的位置關(guān)系：三種語言的轉(zhuǎn)化；直線、平面平行的判定及其性質(zhì)：性質(zhì)定理的證明；直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)：性質(zhì)定理

4、的證明.三空間幾何體的教學要與空間想象能力培養(yǎng)緊密結(jié)合空間幾何體的教學要注意加強幾何直觀與空間想象能力的培養(yǎng)，在立體幾何的入門階段，建立空間觀念，培養(yǎng)空間想象能力是學習的一個難點，要注重培養(yǎng)空間想象能力的途徑，例如：注重模型的作用，讓學生動手進行模型制作，培養(yǎng)利用模型解決問題的意識與方法.培養(yǎng)學生的畫幾何圖形能力，畫圖不是描字模（只模仿），而是要邊畫邊思考所畫圖與實際幾何體的對應關(guān)系.空間想象不是簡單的觀察、空想，應與概念思辨相結(jié)合（前面已經(jīng)談到）.發(fā)揮三視圖與直觀圖培養(yǎng)空間想象能力的作用，利用空間幾何體的三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化過程，可以使學生認識到：空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化有利于分析和表示較為

5、復雜的空間圖形；變換觀察視角對空間幾何體進行觀察可以更容易理解較為復雜的空間圖形，把握空間圖形中元素之間的關(guān)系.四加強對概念、定理的理解與把握的教學用圖形輔助理解概念、定理和性質(zhì)例如，我們可以按照推理的類別，用圖形刻畫幾何元素的關(guān)系，可以避免死記硬背文字和符號的機械式學習，更容易理解公理、定理、性質(zhì)等的幾何本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題圖形中的元素關(guān)系關(guān)系.讓學生對照圖形敘述相關(guān)定理或性質(zhì)，特別要求對定理或性質(zhì)的使用條件加以說明.例如，用圖形表示平行關(guān)系例如，用圖形表示垂直關(guān)系強化證明的言必有據(jù)所謂“言必有據(jù)”，是指每一步推理的根據(jù)（即三段論推理的大前提）必須是課本中給出的公理、定義、定理，不可以自造理由，不

6、可以隨意將習題的結(jié)論作為根據(jù)，不可以把平面幾何結(jié)論在立體幾何中不加證明地隨意使用.不僅在文字語言和符號語言的推理中，要言必有據(jù)，在幾何作圖中也是如此，因為幾何作圖是幾何推理的特珠形式.立體幾何作圖也必須步步有據(jù).梳理推理依據(jù)例如，從確定平行、垂直關(guān)系梳理推理依據(jù)（如圖），在解決問題時由圖形中尋找依據(jù).把推理依據(jù)轉(zhuǎn)化為系列圖形納入立體幾何的學習中，用圖形歸納立體幾何知識，串聯(lián)立體幾何推理的思路，形成對圖思考，以圖交流，使得邏輯推理與幾何直觀有機整合，提高了學生的空間想象能力和推理論證能力.五. 總結(jié)課程標準與高考對“立體幾何初步專題”的要求課程標準對“立體幾何初步專題”的要求（1）空間幾何體利用

7、實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）制作模型，會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖.通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.完成實習作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴格要求）.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.（2）點、線、面之間的位置關(guān)系借助長方體模型，在直

8、觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：平面外一條

9、直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直.通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行.兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行.垂直于同一個平面的兩條直線平行.兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.高考對“立體幾何初步專題”的要求（1）空間幾何

10、體認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴格要求）.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.（2）點、直線、平面之間的位置關(guān)系理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.公理1：如果一條直

11、線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi).公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理.如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂