二次型與對(duì)稱矩陣有定性

1、例例1 1 f x xxx221212(,)4有有 0稱此二次型稱此二次型對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)應(yīng)的矩陣稱為稱為. .4.3 4.3 二次型與對(duì)稱矩陣的有定性二次型與對(duì)稱矩陣的有定性 014考慮二次型考慮二次型0012(,)x x12xx 12xx 2,R12,xox12(,)f x x22124xx1004A是是正定二次型正定二次型. .2考慮二次型考慮二次型 有有稱此二次型是稱此二次型是相應(yīng)的矩陣相應(yīng)的矩陣稱為稱為半正定矩陣半正定矩陣. .例例2 2 存在存在使得使得22121122(,)2f x xxx xx12(,)f x x212()xx 12xx 2,R1,1o (1,1)f012(,)x

2、x12xx111101111半正定二次型半正定二次型. .3例例3 3 0 0稱此二次型是稱此二次型是相應(yīng)的矩陣相應(yīng)的矩陣為為負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣. .考慮二次型考慮二次型 221212(,)4f x xxx 有有12xx 2,R12,xox12(,)f x x22124xx負(fù)定二次型負(fù)定二次型. .1004A 12(,)x x12xx14 00f x xxx xx 22121122(,)2例例4 4 有有xx 212() 0稱此二次型是稱此二次型是相應(yīng)的矩陣相應(yīng)的矩陣稱為稱為半負(fù)定矩陣半負(fù)定矩陣. .111111半負(fù)定半負(fù)定二次型二次型. .考慮二次型考慮二次型 12(,)x x12xx1112

3、xx 2,R12(,)f x x存在存在使得使得1,1o (1,1)f0 對(duì)于具有對(duì)稱矩陣對(duì)于具有對(duì)稱矩陣A A如果對(duì)任何如果對(duì)任何都有都有則稱二次型則稱二次型 A A稱為稱為正定矩陣正定矩陣是是正定二次型正定二次型定義定義4.4 4.4 的二次型的二次型12(,.,)nf x xx 12(,.,)nx xx111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa12nxxx TX AX (0)TX AX ( (負(fù)定二次型負(fù)定二次型) )( (負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣) )TfX AX 12nxxXx , o 0TX AX 6對(duì)于具有對(duì)稱矩陣對(duì)于具有對(duì)稱矩陣A A 如果對(duì)任如果對(duì)任都有都有則稱二次型則

4、稱二次型 A A稱為稱為半半正定矩陣正定矩陣. .且至少存在一個(gè)且至少存在一個(gè) 使使是是半半正定二次型正定二次型. .定義定義4.4 4.4 的二次型的二次型12(,.,)nf x xx 12(,.,)nx xx111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa12nxxx TX AX 12nxxXx ,nR , o 12nxXxx TX AX0 TfX AX 0TX AX 7對(duì)于具有對(duì)稱矩陣對(duì)于具有對(duì)稱矩陣A A 如果對(duì)任如果對(duì)任都有都有則稱二次型則稱二次型 A A稱為稱為半半負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣. .且至少存在一個(gè)且至少存在一個(gè) 使使是是半半負(fù)定二次型負(fù)定二次型. .定義定義4.4 4.

5、4 的二次型的二次型12(,.,)nf x xx 12(,.,)nx xx111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa12nxxx TX AX 12nxxXx ,nR , o 12nxXxx TX AX0 TfX AX 0TX AX 二次型二次型 有有 有有 且且使得使得TX AX是是正正定的定的,nXRXo 二次型二次型 有有 TX AX是是負(fù)負(fù)定的定的,nXR0TX AX 0TX AX 二次型二次型 TX AX是半是半正正定的定的,nXR0,TX AX ,nXR,Xo ,Xo 0TX AX 二次型二次型 TX AX是半是半負(fù)負(fù)定的定的有有 且且使得使得,nXR,nXR,Xo 0

6、TX AX 0,TX AX 9例例 不是不是 正定的正定的; ;( (半半) )( (半半) )也不是也不是 負(fù)定的負(fù)定的. .此時(shí)此時(shí)稱為稱為不定的不定的. .12(,)f x x221212(,)4f x xxx12(,)f x x12(,)f x x()0,1f4 0 ()1,0f10 二次型二次型10 二次型及其矩陣二次型及其矩陣不具有有定性的二次型不具有有定性的二次型只有對(duì)稱矩陣只有對(duì)稱矩陣矩陣矩陣 談到矩陣為正定、談到矩陣為正定、負(fù)定、負(fù)定、 半正定、半正定、 半負(fù)定半負(fù)定統(tǒng)稱為二次型統(tǒng)稱為二次型負(fù)定、半正定、半負(fù)定負(fù)定、半正定、半負(fù)定. .均已隱含它是對(duì)稱矩陣均已隱含它是對(duì)稱矩陣

7、. .才有對(duì)應(yīng)的二次型才有對(duì)應(yīng)的二次型, ,及其矩陣及其矩陣的的及其矩陣及其矩陣稱為稱為不定的不定的. .有定性有定性. .故只有對(duì)稱故只有對(duì)稱才談的上才談的上正定、正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定負(fù)定、半正定、半負(fù)定, ,的正定、的正定、11它對(duì)應(yīng)的二次型它對(duì)應(yīng)的二次型對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A A為為正定正定矩陣矩陣它對(duì)應(yīng)的二次型它對(duì)應(yīng)的二次型對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A A為負(fù)為負(fù)定定矩陣矩陣它對(duì)應(yīng)的二次型它對(duì)應(yīng)的二次型對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A A為為半正定半正定矩陣矩陣它對(duì)應(yīng)的二次型它對(duì)應(yīng)的二次型對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A A為為半負(fù)定半負(fù)定矩陣矩陣為為正定正定二次型二次型為為負(fù)定負(fù)定二次型二次型為為半正定半正定二次型二次

8、型為為半負(fù)定半負(fù)定二次型二次型TX AXTX AXTX AXTX AX12例例 對(duì)任何對(duì)任何故二次型故二次型為正定二次型為正定二次型. .為正定矩陣為正定矩陣. .12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 12nxxXx , o 12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 0 12(,.,)nf x xx 12nddd當(dāng)當(dāng)10d ,時(shí)，時(shí)，2212212.nnd xxdd x 對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)應(yīng)的矩陣20d ,.0nd ,如如為正定二次型為正定二次型. .故單位矩陣故單位矩陣E E為正定矩陣為正定矩陣. .12(,.,)nf x xx 22212.

9、nxxx 22212.nxxx 12(,.,)nx xx11112nxxx TXXE 14例例 對(duì)任何對(duì)任何故二次型故二次型為負(fù)定二次型為負(fù)定二次型. .為負(fù)定矩陣為負(fù)定矩陣. .12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 12nxxXx , o 12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 0 12(,.,)nf x xx 12nddd當(dāng)當(dāng)20d ,時(shí)，時(shí)，2212212.nnd xxdd x 對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)應(yīng)的矩陣10d ,.0nd ,15如如為負(fù)定二次型為負(fù)定二次型. .故故為負(fù)定矩陣為負(fù)定矩陣. .12(,.,)nf x xx 22212.n

10、xxx 22212.nxxx12(,.,)nx xx111 12nxxx ()TXXE E 16例例 對(duì)任何對(duì)任何故二次型故二次型為半正定二次型為半正定二次型. .為半正定矩陣為半正定矩陣. .12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 12nxxXx 12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 0 12(,.,)nf x xx 當(dāng)當(dāng)10d ,時(shí)，時(shí)，2212212.nnd xxdd x 對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)應(yīng)的矩陣且至少有一個(gè)且至少有一個(gè)0id 100i , o01( ,., ., )0f 212201.0inddd 0 20d ,.0nd ,，17如

11、如為半正定二次型為半正定二次型. .為半正定矩陣為半正定矩陣. .123(,)f x xx 22212203nxxx 22212203nxxx 123(,)x xx203123xxx20318例例 對(duì)任何對(duì)任何故二次型故二次型為半負(fù)定二次型為半負(fù)定二次型. .為半負(fù)定矩陣為半負(fù)定矩陣. .12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 12nxxXx 12(,.,)nf x xx 2212212.nnd xxdd x 0 12(,.,)nf x xx 當(dāng)當(dāng)10d ,時(shí)，時(shí)，2212212.nnd xxdd x 對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)應(yīng)的矩陣且至少有一個(gè)且至少有一個(gè)0id 100i ,

12、 o01( ,., ., )0f 212201.0inddd 0 20d ,.0nd ,，19如如為半負(fù)定二次型為半負(fù)定二次型. .為半負(fù)定矩陣為半負(fù)定矩陣. .123(,)f x xx 22212203nxxx 22212203nxxx 123(,)x xx203 123xxx203 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣12ndDdd 為正定矩陣為正定矩陣定理定理4.64.6的充要條件是的充要條件是10d ,20d ,.0nd ,如果如果A A正定正定, ,證明思路：證明思路： 12nyyYy A A正定正定, , 0 則則B B也正定也正定. .C C可逆可逆. .要證要證定理定理 4.5 4.5 設(shè)設(shè)A A

13、B B由由A AB B 知，知，,TBC ACTY BY0 TY BY()TYY TC AC()TTY C A()CYTX AX ()TCYXo o 設(shè)設(shè)111212122212.nnnnnnccccccCccc 只需證只需證XCY 令令o 111212122212.nnnnnnccccccccc 12nyyy22如果如果A A正定正定, ,證證 111212122212.nnnnnnccccccCccc 12nyyy12nyyYy 111212122212.nnnnnnccccccccc 12nyyy111212122212.nnnnnnccccccccc由由C C可逆，可逆，方程組方程組0

14、C 只有零解只有零解. . A A正定正定, , 0 所以矩陣所以矩陣B B正定正定. .則則B B也正定也正定. .C C可逆可逆. .000 X 000 定理定理 4.5 4.5 設(shè)設(shè)A AB B由由A AB B 知，知，,TBC ACTY BY()TYY TC AC()TTY C A()CYTX AX ()TCYXo o 設(shè)設(shè)令令2312,.,()nf x xx12.(,)nx xx nnnnnnaaaaaaaaa.21222211121112nxxx 給定二次型給定二次型設(shè)該二次型設(shè)該二次型111212122212.nnnnnnccccccccc12nyyy12nxxx12(,.,)n

15、g yyy化為化為: :若若12(,.,)ny yy 111212122212.nnnnnnbbbbbbbbb 12nyyy A C B XCY 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)非退化非退化TXXA TYYB 正定，正定，12,.,()nf x xx則則12(,.,)ng yyy也正定也正定. .線性替換線性替換TC AC矩陣或二次型為正定矩陣或二次型為正定準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 2 定理定理4.7 4.7 準(zhǔn)則準(zhǔn)則4 4 準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 1正正定定 ndddD21120,0,.,0ndddA A與單位矩陣與單位矩陣E E合同合同. .A A的特征值都大于零的特征值都大于零定理定理4.84.8準(zhǔn)則準(zhǔn)則3 3 f f 的正慣性指標(biāo)為的

16、正慣性指標(biāo)為n n以下給出幾個(gè)以下給出幾個(gè)作為判別準(zhǔn)則作為判別準(zhǔn)則. . 存在存在可逆矩陣可逆矩陣C,C, 使得使得TC ECTC C矩陣矩陣A A為正定矩陣為正定矩陣n n元二次型元二次型f f 正定正定 矩陣矩陣A A為正定矩陣為正定矩陣的的充分必要充分必要條件條件, ,A 準(zhǔn)則準(zhǔn)則5 5 111213121222323132333123.nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAaaaa 111Aa 11122122aaaa111213212223313233aaaaaaaaaA定義定義4.54.5稱為矩陣稱為矩陣A A的的順序主子式順序主子式. .A A的順序主子式都大于零的順序主子式

17、都大于零. . ( (定理定理4.9)4.9)矩陣矩陣A A為正定矩陣為正定矩陣的充分必要的充分必要 條件是條件是3A .2A nA 例例 111)13A 11A 21113AAA正定正定2221231231213232)(,)22242f x xxxxxx xx xx x 解解 A12A 22111A 3A 1114 該二次型不正定該二次型不正定. .221211221100042124 00 0 2111212111212 0判別下列矩陣或二次型判別下列矩陣或二次型是否正定是否正定 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為例例 取何值時(shí)取何值時(shí), ,222123123121323(,)2246

18、f x xxxxxx xx xx x 解解 11A 2A 3A 1125 時(shí)，時(shí)，A12 1133220011014 5 1114 以下二次型為正定以下二次型為正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：1112011212323 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)二次型正定二次型正定. . 矩陣矩陣A A負(fù)定負(fù)定12nxxXx都有都有0TX AX 證證12nxxXox都有都有()TXXATX AX0 矩陣矩陣( (A)A)正定正定. .故判斷一個(gè)矩陣是否負(fù)定故判斷一個(gè)矩陣是否負(fù)定, ,負(fù)定的判別：負(fù)定的判別：可以轉(zhuǎn)化為判斷它的可以轉(zhuǎn)化為判斷它的是否正定是否正定. .矩陣矩陣 正定正定. .()AA A負(fù)定負(fù)定

19、o負(fù)矩陣負(fù)矩陣11122122aaaa 111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA.321333323122322211131211111213212223313233aaaaaaaaa111213121222323132333123.nnnnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa負(fù)定負(fù)定正定正定11aA A的順序主子式的順序主子式負(fù)正負(fù)正相間相間. .111221220,aaaa 1112132122233132330,aaaaaaaaa 110,a .A A的奇數(shù)階順序主子式的奇數(shù)階順序主子式 均小于零均小于零, ,偶數(shù)階順序主子式偶數(shù)階順序主子式均大于零均大于零. .0000.( 1)nA 03011122122aaaa 111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa