013第十三章動能定理

1、 第十三章動能定理 動能是力學(xué)中的重要概念，是機械運動的另一種度量。當機械運動和其它形式運動如電、熱等相互轉(zhuǎn)化時，用動能來度量機械運動。動能定理建立了質(zhì)點和質(zhì)點系動能的變化與作用力的功之間的關(guān)系，是研究質(zhì)點和質(zhì)點系動力學(xué)的重要依據(jù)。本章介紹動能定理及其應(yīng)用，并將綜合運用動力學(xué)普遍定理分析較復(fù)雜的動力學(xué)問題。§13-1 力的功 §13-2 動能定理例1.質(zhì)點的質(zhì)量為，沿傾角為的斜面向上運動，若質(zhì)點與斜面間的摩擦系數(shù)為，初速度為，求質(zhì)點的速度與路程之間的關(guān)系。并求質(zhì)點停止前經(jīng)過的路程。圖13-15 解：研究對象：質(zhì)點。受力分析：重力，法向約束力和摩擦力。質(zhì)點開始運動時

2、的動能為 經(jīng)過路程后的動能為 作用在質(zhì)點上的力在路程上作的功為 其中是重力的功，是摩擦力的功，法向約束力不作功，由質(zhì)點動能定理可得 所以 這就是質(zhì)點的速度和路程的關(guān)系。令，可得質(zhì)點停止前經(jīng)過的路程: 這就是質(zhì)點停止前經(jīng)過的路程。若用質(zhì)點運動微分方程解此問題，則需先建立運動微分方程，再進行積分，積分上下限由初始條件確定，即 經(jīng)變換有 積分上式，并注意初始條件 得 這與上面應(yīng)用動能定理得到的結(jié)果相同，在力是常數(shù)或力是位置的函數(shù)時，積分形式的動能定理，直接給出了質(zhì)點運動微分方程的第一次積分，得到了速度和位置的關(guān)系。所以，用動能定理解此類問題，比較方便。例2.撞擊試驗機的擺錘質(zhì)量為，擺桿長為，質(zhì)量不計

3、。擺錘在最高位置受微小擾動而下落，不計軸承摩擦，擺錘視為質(zhì)點，求:(1)在任一位置擺錘的速度。(2)桿的約束力及其最大值。(3)桿的內(nèi)力隨角的變化規(guī)律。解：(1)研究對象：擺錘。受力分析：作用在擺錘上的力有重力，約束力。圖13-16擺錘的初始動能為: 擺錘在任一位置時的動能: 作用在擺錘上的力在此運動過程中作的功為: 根據(jù)質(zhì)點動能定理，得 求得擺錘的速度為 (2)為了求擺錘的約束力，可用質(zhì)點運動微分方程的自然坐標式: 將代入上式，得 這就是擺錘在任一位置時受的約束力，結(jié)果表明約束力隨角而變化。顯然，當，即擺錘運動到最低位置時，約束力達到最大值，即，是靜約束力的5倍。例3.掛在吊索上的物體，質(zhì)量

4、為以的速度下降，如吊索的上端突然被卡住，求此后吊索中的最大張力。吊索的質(zhì)量不計，被卡住后的剛度系數(shù)為。解：重物為研究對象，作用力有重力和彈性力。 圖13-17 圖13-18重物的初始動能為 重物運動到最低位置時，吊索變形最大，張力也最大，重物的速度為零，動能為重物的速度由減小到，吊索的變形由原來的靜變形增加到，則彈性力的功為 重力的功為 根據(jù)質(zhì)點的動能定理可得由初始時的平衡條件可得 代入上式并簡化得 所以 吊索的最大變形為，最大張力為 例4.將一質(zhì)量為的質(zhì)點從地球上沿垂直方向拋出，初速度為，不計空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響，求(1)質(zhì)點在地球引力作用下的速度。(2)第二宇宙速度。解：(1)以質(zhì)點為

5、研究對象，作用在質(zhì)點上的力只有引，由萬有引力定律知 指向地心質(zhì)點初始動能為 運動到處的動能為 在此過程中，引力的功為 根據(jù)動能定理可得 所以質(zhì)點的速度為 結(jié)果表明，上拋初速度一定時，質(zhì)點的速度隨的增加而減小，即愈來愈慢。(2)由速可見，若，為負值，故當增加到某一數(shù)值時，質(zhì)點的速度減小為零，此后質(zhì)點在地球引力作用下落回地面。若，則不多大，甚至當為無窮大時，質(zhì)點的速度也不會減小到零，即質(zhì)點將脫離地球引力場，一去不復(fù)返，所以，即 就是第二宇宙速度。即從地面發(fā)射飛行器，使之脫離地球，進入太陽系，成為人造衛(wèi)星所需的最小速度。質(zhì)點系的動能定理例題講解例1.輸送機的主動輪上作用一不變轉(zhuǎn)矩，被輸送的重物的質(zhì)量

6、為，由靜止開始運動。輪和均視為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為，半徑為，輸送帶的質(zhì)量不計，傾角為，不計阻力，求重物的速度和加速度。圖13-19解：以整個輸送機為研究對象。作用在系統(tǒng)上的主動力有轉(zhuǎn)矩，重物的重力，輪和輪的重力，約束力有、輪軸承的約束力、，、。系統(tǒng)由靜止開始運動，故初始動能為 重物運動距離后，系統(tǒng)的動能為 系統(tǒng)受理想約束，故約束力不作功，主動力的功為 根據(jù)質(zhì)點系動能定理可得: （a）解之得 這就是重物的速度。 將式（a）兩邊同時對時間求導(dǎo)，可得重物的加速度，即 結(jié)果表明，加速度為常數(shù)，即重物作勻加速運動。例2.一不變轉(zhuǎn)矩作用在絞車的鼓輪上，鼓輪視為均質(zhì)圓盤，半徑為，質(zhì)量為。重物質(zhì)量為，沿傾角為的斜

7、面上升，重物與斜面的摩擦系數(shù)為，繩索質(zhì)量不計，系統(tǒng)由靜止開始運動，求鼓輪的角速度和角加速度。圖13-20解：以整個系統(tǒng)為研究對象。作用在系統(tǒng)上的主動力有轉(zhuǎn)矩，重力和，重物與斜面間的摩擦力，故非理想約束。其它約束力都不作功。系統(tǒng)的初始動能 鼓輪轉(zhuǎn)過角后，系統(tǒng)的動能為 主動力及摩擦力的功根據(jù)動能定理可得 （a）解之得 對式（a）兩邊對時間求導(dǎo)可得 在有摩擦力的情況下，已不是理想約束，但把摩擦力視為主動力，計入摩擦力的功，適用于理想約束的動能定理。對于整個系統(tǒng)來說，摩擦力也是內(nèi)力，是成對出現(xiàn)的，但由于作用在斜面上的那個摩擦力不作功，所以此一對大小相等，方向相反，作用線相同的摩擦力，它們作的功之和并不

8、為零。任何機器或機構(gòu)，其傳動副間的滑動摩擦力總是存在的，它們雖然是一對作用力和反作用力，但作的功不能相互抵消，所以滑動摩擦的存在，總是消耗能量的。例3.重物質(zhì)量為，當其下落時，借一無重量且不可伸長的繩子，使鼓輪沿水平軌道滾動而不滑動。已知鼓輪的質(zhì)量為，外輪半徑為，內(nèi)輪半徑為，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為，滑輪的質(zhì)量忽略不計，求重物的加速度。圖13-21解：以整個系統(tǒng)為研究對象。系統(tǒng)受理想約束，主動力有和。系統(tǒng)的初始動能，任一瞬時系統(tǒng)的動能為 其中 ，所以 主動力的功為 根據(jù)動能定理得兩邊對時間求導(dǎo)，并注意到 ，得 （方向向下）與之前的這道題的做法比較，用動能定理解此題比較簡便。這是因為理想約束的約束力不

9、作功，故在動能方程中不包含未知的約束力。而用剛體的平面運動微分方程解此題，約束力都包含在方程中。方程中包含未知約束力，不僅演算較繁，而且當未知數(shù)多于方程數(shù)時，還要將系統(tǒng)拆開，考慮幾個甚至多個研究對象，以尋求足夠的獨立方程。所以對于具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，一般都用動能定理確理確定其運動。例4.汽車連同車輪的總質(zhì)量為，每個車輪的質(zhì)量為，半徑為，對輪心的回轉(zhuǎn)半徑為。在主動輪上作用有主動力矩，空氣阻力與汽車速度的平方成正比，即，車輪軸承的總摩擦力矩為，不計滾動摩擦，求汽車的極限速度。圖13-22解：以汽車為研究對象，作用在汽車上的外力有汽車的重力，空氣阻力，前后輪的摩擦力、和法向約束力、，作用在

10、汽車上的內(nèi)力有驅(qū)動力矩和摩擦力矩。系統(tǒng)的動能為 式中，所以有 由于作用力中包含有變力，故應(yīng)用微分形式的動能定理 其中外力的元功為 內(nèi)力的元功為 所以 等式兩邊同除以微小時間間隔，并注意到，得 這是汽車的運動微分方程，且有 顯然加速度隨速度增加而減小。當汽車加速度減小為零時，速度達到極值稱為極限速度，即 所以 顯然汽車達到極限速度時，系統(tǒng)所有內(nèi)力和外力作功之和必為零，即來自于汽車發(fā)動機的驅(qū)動力矩之功完全消耗于空氣阻力和摩擦阻力，系統(tǒng)的動能不能再繼續(xù)增加，汽車以極限速度作勻速運動。例5如圖所示，均質(zhì)桿長為，重為，均質(zhì)圓盤半徑為，重為，與桿在處鉸接，初瞬時桿水平，桿與圓盤均靜止。求桿與水平線成角時桿

11、的角速度與角加速度，以及處的反力。圖13-23解：先以圓盤為研究對象，受力如圖所示，由相對質(zhì)心的動量矩定理或剛體平面運動微分方程，有 故得圓盤的角速度常量，因圓盤開始靜止，即，所以在運動過程中，圓盤始終作平動。再以圓盤與桿一起為研究對象，任一位置受力分析如圖，則系統(tǒng)的初動能 角位置時系統(tǒng)動能 由水平位置運動至角位置過程中只有重力、作功，有 根據(jù)動能定理有 （1）可得 將式（1）兩邊對時間求導(dǎo)，得 其中，代入上式可得 求處反力可應(yīng)用質(zhì)心運動定理，即有 式中，代入上式，即可求得，（略）。§13-3勢力場勢能機械能守恒定理機械能守恒定理例題講解例1.如圖所示，桿長度為，質(zhì)量為，輪及輪的半徑

12、均為，質(zhì)量均為，圓形槽道的半徑為，初瞬時靜止，且，求運動至?xí)r軌道作用在輪子上的摩擦力。圖13-27解：取輪、輪及桿組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)只受有重力，約束力及內(nèi)力均不作功，故系統(tǒng)機械能守恒。由圖示的幾何關(guān)系有，桿作定軸轉(zhuǎn)動，輪及輪作平面運動，則，為輪子的角速度，即，則任一位置時系統(tǒng)的動能可寫為 取初瞬時位置，即為系統(tǒng)的零勢能位置，則在位置時系統(tǒng)具有的重力勢能為根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒常量，有 由初始條件，即時，代入上式可得，所以可得 將上式兩邊對時間求導(dǎo)可得 當時，所以有。再取輪為研究對象，受力分析如圖，列剛體平面運動微分方程有 所以即軌道作用于輪上的摩擦力為零。例2.均質(zhì)細桿長為，質(zhì)量為，上端

13、靠在光滑的墻上，下端以鉸鏈和圓柱體的中心相連。圓柱體質(zhì)量為，半徑為，放在粗糙的地面上，自圖示位置由靜止開始滾動，滾動阻力可不計。如果初瞬時桿與水平線的夾角，求此瞬時點的加速度。圖13-28解：取圓柱和桿組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖所示。在作用于系統(tǒng)上所有力當中，顯然只有重力作功。故該系統(tǒng)在運動中機械能守恒。以經(jīng)過圓柱體中心的水平面為勢能的零位置。則在圖示位置桿的重力勢能為 因圓柱體和桿皆作平面運動，在圖示位置它們的速度瞬心分別為點和點，則系統(tǒng)的動能為 根據(jù)機械能守恒定理 常量得 將上式兩端對時間求導(dǎo)，得 上式中 ，代入上式并注意到初瞬時，可得 注：本題亦可用微分形式的動能定理求解。例3.試用

14、機械能守恒定律計算第二宇宙速度。解：設(shè)飛行器質(zhì)量為，視為質(zhì)點。發(fā)射后在地球引力場中運動，不計空氣阻力，則飛行器的機械能保持不變。飛行器在任一位置時，受地球的引力為 其機械能為（選無窮遠處為引力勢能的零勢能位置）圖13-29 其中是地球半徑，是飛行器到地心的距離。設(shè)飛行器在地面的發(fā)射速度為，則械械能為 飛行器要能脫離地球引力場，成為人造衛(wèi)星，必須滿足條件，因為在無窮遠處，地球引力趨于零，飛行器速度稍大于零，即可脫離地球引力場，成為人造衛(wèi)星。顯然，應(yīng)用條件，進行計算，即可求得從地面發(fā)射所需之最小初速度，即第二宇宙速度。根據(jù)上述條件可知飛行器在無窮遠處的機械能為零。根據(jù)機械能守恒定律可得 從而可算得

15、 這就是第二宇宙速度。第二宇宙速度在前面的例4中已用動能定理計算過。在此重算之目的在于通過對比，常握動能定理和機械能守恒定律的內(nèi)在聯(lián)系，掌握機械能守恒定律解題的方法和特點。對于在勢力場中運動的自由質(zhì)點和質(zhì)點系，或受有理想約束的非自由質(zhì)點和質(zhì)點系，用機械能守恒定律確定其運動，十分簡便。用機械能守恒定律解題，關(guān)鍵在于正確計算勢能，故必須正確理解勢能的概念，熟練常握重力、彈性力及萬有引力勢能的計算。計算勢能時要特別注意基準點的選擇。§13-4功率 功率方程 機械效率功率 功率方程 機械效率例題講解 例1.車床電動機的功率，主軸的最低轉(zhuǎn)速，傳動系統(tǒng)中損耗的功率是輸入功率的，或工件的直徑，求切

16、削力。圖13-30解：車床正常運轉(zhuǎn)時主軸是等角速度轉(zhuǎn)動，故系統(tǒng)動能不隨時間變化，即。根據(jù)功率方程可得 其中輸入功率，損耗功率，故用于切削工件的功率為 又 故切削力 例2.皮帶輸送機的速度，輸送量，高度，損耗功率為輸入功率的，求輸入功率。圖13-31解：輸送帶在時間內(nèi)輸送的質(zhì)量為。以皮帶上被輸送的材料為研究對象（包括將要進入輸送帶的質(zhì)量）。經(jīng)時間，輸送帶將質(zhì)量的材料以速度拋出，同時又有質(zhì)量的材料從靜止狀態(tài)進入輸送帶。由于拋出質(zhì)量速度的大小未改變，而進入質(zhì)量的速度由零增加到，故在時間內(nèi)，系統(tǒng)動能的增量為 動能對時間的導(dǎo)數(shù)為 根據(jù)功率方程 得 其中是工作用的功率，用于在時間內(nèi)將質(zhì)量的材料提高，即 是

17、損耗功率，已知，所以輸入功率 §13-5動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用前面各章節(jié)講述了用于研究質(zhì)點或質(zhì)點系的運動變化與所受力之間關(guān)系的動量定理、動量矩定理及動能定理。但每一定理只反映了這種關(guān)系的一個方面，這些定理既有共性，又各有其特殊性。例如，動量定理和動量矩定理都既反映速度大小的變化，也反映速度方向的變化，而動能定理只反映速度大小的變化。動量定理和動量矩定理涉及所有外力（包括約束力），卻與內(nèi)力無關(guān)，而動能定理則涉及所有作功的力（不論是內(nèi)力、外力）等都是特殊性的反映。前面各章節(jié)中的例題，有的可用不同的定理求解，這是它們共性的表現(xiàn)，而有的只能用某一定理求解，則是各自特殊性的表現(xiàn)。一般來說，在求

18、解具體問題時，根據(jù)質(zhì)點系的受力情況、約束情況、給定的條件及要求的未知量，就可判定應(yīng)用某一定理求解最為簡捷。只用某一定理，往往不能求得問題的全部解答。例如，應(yīng)用動能定理可以方便地求出物體在兩個位置的速度大小的變化，但一般不能確定速度的方向，也不能確定中間的運動過程，因為不考慮不作功的約束力，自然也就不能用來求那些約束力。有些問題需要同時使用兩個或三個定理才能求解全部解答。因此，我們必須對各定理較透徹的了解，弄清楚什么樣的問題宜用什么定理求解，再進一步常握各定理的綜合應(yīng)用。動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用例題講解例1.、輪質(zhì)量均為，半徑為、視為均質(zhì)圓柱體。重物質(zhì)量為，三角塊質(zhì)量為，傾角為，固結(jié)于地面。輪在斜

19、面上作無滑動滾動。求（1）重物的加速度。（2）三角塊受地面的約束力。（3）、輪間繩索的張力。（4）輪與斜面間的摩擦力。圖13-32解：（1）求重物的加速度。以整個系統(tǒng)為研究對象。系統(tǒng)中重物作平動，輪作定軸轉(zhuǎn)動，輪作平面運動。作用在系統(tǒng)上的主動力有重力、和約束力、。由于三角塊固定不動，故、不作功。系統(tǒng)內(nèi)其他各物體均受理想約束。根據(jù)動能定理得式中，上式可簡化為 等式兩邊各項對時間求導(dǎo)，并考慮到，可求得重物的加速度為 結(jié)果表明，當時，輪才能由靜止向上滾動，重物向下作勻加速度運動。（2）求約束力、仍以整個系統(tǒng)為研究對象。重物和輪質(zhì)心加速度已求出，故可用質(zhì)心運動定理求約束力、。根據(jù)質(zhì)心運動定理可得 所以

20、 （3）求張力和摩擦力以輪為研究對象。作用在其上的力有重力，繩索的張力，斜面的法向約束力和摩擦力。輪作平面運動，輪心的加速度已求出，根據(jù)滾動無滑動條件，則可求出輪的角加速度，即根據(jù)剛體平面運動微分方程可得 由此可求出 應(yīng)該注意，此時斜面的摩擦力是一種約束力，它決定于輪子的運動和作用在輪子上的其他力，而與接觸面的物理條件無關(guān)，即。滾動無滑動時，一般，否則就要產(chǎn)生相對滑動。求繩索中張力，亦可用輪和重物組成的系統(tǒng)作為研究對象，用動量矩定理求解。受力情況如圖（c），根據(jù)動量矩定理得 即 其中 ，故張力為 要注意由于考慮了滑輪的質(zhì)量，所以滑輪兩邊繩子的張力是不相等的。下邊繩索張力。例2.原長、具有彈簧常數(shù)的彈性軟繩，一端固定于一光滑水平面上點，另一端系有一重的小球。開始時，把軟繩拉長，并給予小球與軟繩相垂直的初速度，如圖所示。求當軟繩恢復(fù)到原長時，小球的速度的大小以及與軟繩間的夾角。圖13-33解：因水平面的約束反力不作功，故小球處于