12指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

1、第12次課 指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)目標(biāo)1、理解有理指數(shù)冪的含義，掌握冪的運(yùn)算；2、理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)。 二、能力目標(biāo) 在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。通過對(duì)公式的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。通過歸納總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和歸納的能力。 三、情感目標(biāo)通過實(shí)例和圖象的直觀，讓學(xué)生體會(huì)建立和研究一個(gè)函數(shù)模型的基本過程和方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用具體的函數(shù)模型解決一些實(shí)際問題?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】 1、指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，并能靈活解題； 2、換底公式的靈活運(yùn)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】利用指數(shù)對(duì)數(shù)相關(guān)概念熟練

2、解決題目。【考點(diǎn)分析】高考題中，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)題低檔、高檔難度都有，且填空、解答題齊全；低檔難度題一般涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，高檔難度題一般涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。本輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算以及指數(shù)式對(duì)數(shù)式的綜合運(yùn)用。熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，有助于提高分析問題和解決問題的能力。考試要求是：1、理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；2、理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)?！局R(shí)梳理】（一）指數(shù)1、根式（1）概念：若（），則稱x為a的n次方根，“”是方根的記號(hào)。（2）a的n次方根的性質(zhì)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的奇次方根是0；正

3、數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對(duì)值相等符號(hào)相反的數(shù)，0的偶次方根是0，負(fù)數(shù)沒有偶次方根。 n為奇數(shù)，=a； n為偶數(shù)，=|a|=2、有理數(shù)指數(shù)冪（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義： （注：無意義） ； （2）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ； ； （二）對(duì)數(shù) 1、對(duì)數(shù)的基本概念（1）一般地，如果（）的次冪等于，就是，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)，式子叫做對(duì)數(shù)式（2）常用對(duì)數(shù)：，記作； 自然對(duì)數(shù)（e=2.71828），記作.（3）指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系：（，且，）（4）對(duì)數(shù)恒等式：2、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即； （2）1的對(duì)數(shù)是零，即； （3）底的對(duì)數(shù)等于1，即3、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) （1

4、）如果a0，a1，M0，N0，那么； ；（2）換底公式： 推論： ； ； 【典型例題】題型一、根式的化簡、指數(shù)冪的運(yùn)算例題1：化簡 （1） ； （2） . （3） ； （4） 【解析】（1）； （2）； （3）=； （4）【點(diǎn)評(píng)】不注意n的奇偶性對(duì)式子的值的影響，是導(dǎo)致問題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會(huì)用，活用本題易錯(cuò)的是第（3）題，往往忽視a與2大小的討論，造成錯(cuò)解；第（4）題中，n為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)等于一個(gè)正值，所以要先判斷的符號(hào)。例題2：計(jì)算 （1）； （2）··； 【解析】（1）原式；（2）3··=3·3·3&

5、#183;3=3=32=9【點(diǎn)評(píng)】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算。題型一變式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的運(yùn)算變式1：化簡（1）； （2）. 【解析】（1）原式 （2）原式【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)指數(shù)冪的綜合運(yùn)算能力，在指數(shù)運(yùn)算中,一定要注意運(yùn)算順序和靈活運(yùn)用乘法公式.變式2：若，則_ . 【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算的逆運(yùn)算以及整體思想的運(yùn)用，將、看作一個(gè)整體，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。題型二、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算例題1：填空（1）_ _； （2） ； （3）_ _； （4）_ _；（5） 【解析】（1）；（2）

6、；（3）；（4）；（5）【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行同底數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)要注意公式的運(yùn)用，等公式在運(yùn)用時(shí)要注意系數(shù)為1，如系數(shù)不是1，可用公式將系數(shù)化為1，再進(jìn)行計(jì)算；題（1）中要注意運(yùn)算的順序，從里到外依次運(yùn)算；對(duì)數(shù)運(yùn)算是基于底數(shù)一致的情況下，底數(shù)不同時(shí)用換底公式使底數(shù)一致。例題2：若，則（ ） 【解析】選A。因?yàn)椤军c(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)數(shù)式運(yùn)算的逆運(yùn)算以及整體思想的運(yùn)用，將看作一個(gè)整體，通過將原式的化簡，得到關(guān)于的一個(gè)代數(shù)式，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。題型二變式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)用變式1：計(jì)算 【解析】【點(diǎn)評(píng)】在計(jì)算過程中常出現(xiàn)公式的誤用，要注意正確運(yùn)用；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、合并同類項(xiàng)

7、等，要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式，如、等。變式2：，則 .【解析】。因?yàn)閯t【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)式與代數(shù)式間的互換，；同時(shí)用到換底公式。題型三、解指數(shù)式、對(duì)數(shù)式方程例題1：已知，則（ ） 2 4 8 32【解析】選B。原方程化為，解得，所以選B?！军c(diǎn)評(píng)】在解底數(shù)是未知數(shù)的對(duì)數(shù)方程時(shí)，常常把對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，變?yōu)槌Ｒ姷姆匠淘龠M(jìn)行解方程計(jì)算；解得情況要注意討論取值。例題2：已知 ，求的值 ； ，求的值?！窘馕觥?解：原方程為，x2=2，解得x=或x=.經(jīng)檢驗(yàn)，x=是原方程的解，x=不合題意，舍去. 解：原方程化為，解得x=1或x= 6經(jīng)檢驗(yàn)，x=1或x= 6是原方程的解【點(diǎn)評(píng)】在解真數(shù)是

8、未知數(shù)的對(duì)數(shù)方程時(shí)，常常把常數(shù)項(xiàng)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)式，可用轉(zhuǎn)化，常用，；解得的結(jié)果一定要進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否滿足條件，再進(jìn)行取舍。題型三變式、類一元二次方程變式：解方程：（1）； （2）【解析】（1）解：原方程為6×3-x27=0，(3-x3)(3-x9)=0.3-x30，由3-x9=0得3-x=32.故x=2是原方程的解.（2）解：原方程為lg2(x10)3lg(x10)4=0，lg(x10)4lg(x10)1=0.由lg(x10)=4，得x10=10000，x=9990；由lg(x10)=1，得x10=0.1，x=9.9， 檢驗(yàn)知： x=9990和9.9都是原方程的解. 【點(diǎn)評(píng)】解類一

9、元二次方程時(shí)要注意運(yùn)用整體的思想，例如題（1），把看成未知數(shù)，解得的一元二次方程的跟等于，再進(jìn)行解方程的最終結(jié)果；解得的結(jié)果一定要進(jìn)行檢驗(yàn)?！痉椒ㄅc技巧總結(jié)】（一）在進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算的方法及步驟為： 根式運(yùn)算時(shí)，常轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，再由里往外依次進(jìn)行； 有分式的把轉(zhuǎn)化為負(fù)數(shù)指數(shù)冪； 底數(shù)盡量化為一致； 四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序。（二）對(duì)數(shù)運(yùn)算應(yīng)注意： 對(duì)數(shù)運(yùn)算是基于底數(shù)一致的情況下，底數(shù)不同時(shí)用換底公式使底數(shù)一致；對(duì)數(shù)式的運(yùn)算一般都

10、是運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)換底公式，注意幾個(gè)常用的結(jié)論： （底真互換，對(duì)數(shù)互倒） 常數(shù)化對(duì)數(shù)式時(shí)，用轉(zhuǎn)化，常用，【鞏固練習(xí)】1、下列各式中正確的是( ) A. =a B. = C. a 0=1 D. =.2、設(shè)，則的值為 3、若= a-1，則a的取值范圍為 4、 方程的解_ _； 方程的解_ _ 5、計(jì)算 （1）()÷； （2）log62log63log6276、已知，求的值【課后作業(yè)】1、下列各式中成立的一項(xiàng) （ ） A B C D 2、的值等于 ( ) A2 B2 C2 D13、已知alog32，那么log382log36用a表示為( ) Aa2 B5a2 C3a(1a)2 D3

11、aa214、化簡(a0）的結(jié)果是_. 5、設(shè)5x=4，5y=2，則52x-y=_ _ 6、方程的解_ _；方程的解_ _；7、計(jì)算 （1） （2）8、設(shè)、為正數(shù)，且，求證：【拓展訓(xùn)練】1、（2009湖南卷文）的值為 （ ） A B C D 2、（2010遼寧文數(shù)10）設(shè)，且，則A、 B、10 C、20 D、1003、（2010四川理數(shù)3）2log510log50.25A、0 B、1 C、2 D、4【參考答案】1、鞏固練習(xí)答案1、； 2、1； 3、； 4、 2； 5、（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5=5-5=5-5=-5；（2）原式log6log69log63log6(××3)log62.6、，；所以：根據(jù)題意取正，所以：2、課后作業(yè)答案1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、 3； 7、（1）原式=()+()+(0.062 5