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1、(三)線段的度量和比較知識強化一、知識概述1、兩點之間的所有連線中,線段最短簡單說成兩點之間線段最短.2、兩點之間線段的長度,叫做這兩點間的距離線段的長度可用有刻度的直尺測量3、線段大小的比較方法(1)疊合法如比較線段AB、CD的大小,可將線段AB、CD移到同一條射線上,使它們的端點A、C都與射線的端點重合,再由點B與點D的位置關系,就可得出線段AB和CD的三種大小關系(2)度量法先用刻度尺量每條線段的長度,再按照長度比較它們的大小線段的大小關系和它們長度的大小關系是一致的表示方法:用幾何語言表述兩線段比較可能出現的三種結果若兩線段為線段AB、線段CD,如上圖,則分別有如下結論:AB<C

2、D、AB=CD、AB>CD4、線段的中點如果點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM,那么點M叫做線段AB的中點,類似地,線段有三等分點、四等分點等如圖所示,若點M是線段AB的中點,則AM=BM=AB或AB=2AM=2BM5、求線段長度通常有三種方法:逐步計算求線段的值;用字母代換求線段的值;構造方程求線段的值6、直線、射線、線段之間的聯系與區(qū)別二、典例講解例1、(1)如圖,A、B是河流l兩旁的兩個村莊,若在河流l上建一個水廠,使它到兩個村莊鋪設的供水管道最短,請你在l上標出點C的位置,并說明理由(2)一個圓柱形的柱子,一只螞蟻由柱子的一條高AB的最底端B點沿側面轉圈爬到頂端A點,問小

3、螞蟻怎么走路線最短?答案:(1)解:連接AB交l于C,則點C就是所求作的點理由是:兩點之間,線段最短.(2)解:如圖,先將圓柱側面展開,螞蟻應沿著BA爬行,路線最短例2、(1)C是線段AB的中點,D是線段BC上一點,則下列說法不正確的是()ACD=ACBDBCCD=ADBCD(2)如果點B在線段AC上,那么下列表達式中:,AB=BC,AC=2AB,ABBC=AC能表示B是線段AC的中點的有()A1個B2個C3個D4個(3)已知線段AB=10cm,PAPB=20cm,下列說法正確的是()A點P不能在直線AB上B點P只能在直線AB上C點P只能在線段AB的延長線上D點P不能在線段AB上解析:(1)由

4、線段的中點性質知A、B、C都是正確的,D不正確.(2)因為點B在線段AC上,所以,AB=BC,AC=2AB表示B是AC的中點,只有AB+BC不能確定B是AC的中點(3)若P在線段AB上,則PAPB=AB10cm,點P可以在線段AB的延長線上或BA的延長線上,所以選D.答案:(1)D(2)C(3)D例3、如圖所示,C是線段AB的中點,D是線段CB的中點,BD2cm,求AD的長分析:因為ADACCD,而ACBC,CDDB,BCCDDB,所以ADBCDB2DBDB6cm另外也可以用ADABDB來解,AB2BC,BC2DB,所以AD4DBDB6cm解:因為D是CB的中點,所以CB2BD又因為BD2cm

5、,所以CB4cm又C是AB的中點,所以AB2CB8cm所以ADABBD826(cm)答:AD的長是6cm例4、已知線段AB=8cm,在直線AB上有一點C,且BC=4cm,M是線段AC的中點,求線段AM的長.分析:本題是一道無附圖問題,由題意知道 A、 B、 C 三點共線,但未明確C點是在線段 AB 上,還是在 AB 的延長線上,所以要分兩種情況來討論,運用這種方法時,要考慮到有可能出現的情形,不能漏掉任何一種,通過畫出正確的圖形得到正確的答案本題關鍵是求出 AM 的長 . 解:(1)當點C在線段AB上時,如圖(1) M是AC的中點, AM=AC. 又 AC=ABBC ,AB=8cm,BC=4c

6、m AM=(ABBC)=(84)=2cm(2)當點 C 在線段 AB 的延長線上時,如圖(2) M是AC 的中點, AM=AC. 又 AC=ABBC ,AB=8cm,BC=4cm AM=(ABBC)=(84)=6cm. 即線段AM 的長度為2cm或6cm. 課外拓展例1、如圖,C是線段AB上的一點,D是線段CB的中點,已知圖中所有線段長度之和為23,線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數,則線段AC的長度為_.解:圖中共有六條線段,即AC、AD、AB、CD、CB、DB,又因為D是CB的中點,所以CD=DB,CB=2CD,AB=AC2CD,AD=ACCD,由題可得:ACADABCDCBDB=23,即ACACCDAC2CDCD2CDCD=23,也即3AC7CD=23,所以因為AC是正整數,所以CD=2,也即237CD=9時,能被3整除;所以AC=3.故填3.例2、(2008年全國數學競賽海南預賽)如圖,點A、B、C順次在直線l上,點M是線段AC的中點,點N是線段BC的中點若想求出MN的長度,那么只需條件()A. AB12B. BC4C. AM5 D. CN2分析:因為點M是AC的中點,所以AMMCAC

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