13.4最短路徑問題 課件

1、 我們把研究關(guān)于我們把研究關(guān)于“兩點之間，線兩點之間，線段最短段最短” “” “垂線段最短垂線段最短”等等問題，問題，稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}. .最短路徑問最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常碰到，今天我們題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常碰到，今天我們就通過幾個實際問題就通過幾個實際問題, ,具體體會如何具體體會如何運用所學(xué)知識選擇最短路徑運用所學(xué)知識選擇最短路徑. .新新 課課 引引 入入第十三章第十三章 軸對稱軸對稱13.413.4課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí)最短路徑問題最短路徑問題問題問題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪

2、名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，請教一個百思不得其解的問題：海倫，請教一個百思不得其解的問題：如圖，牧馬人從如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊 l 處讓處讓馬飲水，然后到馬飲水，然后到B地牧馬人到河邊的什么地方讓馬飲地牧馬人到河邊的什么地方讓馬飲水，可使所走的路徑最短？水，可使所走的路徑最短？ ABl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題” 你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問

3、題嗎？lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 當(dāng)點當(dāng)點C在直線在直線 l 的什么位置時，的什么位置時，AC與與BC的和最?。康暮妥钚?？分析：分析：ABl 如圖，點如圖，點A、B分別是直線分別是直線l異側(cè)的兩個點，異側(cè)的兩個點，如何在如何在 l 上找到一個點，使得這個點到點上找到一個點，使得這個點到點A、點、點B的距離的和最短？的距離的和最短？聯(lián)想：聯(lián)想：兩點之間，線段最短.lABCB（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把左圖）我們能否把左圖A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線兩點轉(zhuǎn)化到直線l 的異側(cè)呢？的異側(cè)呢？ （3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)

4、？）利用什么知識可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：分析：lABClABClABCB 如圖，作點如圖，作點B關(guān)于直線關(guān)于直線 l 的對稱點的對稱點B .當(dāng)點當(dāng)點C在直線在直線 l 的什么位置時，的什么位置時，AC與與CB的和最??？的和最??？ 在連接在連接AB兩點的線中，線段兩點的線中，線段AB最短最短. 因此，因此，線段線段AB與直線與直線 l 的交點的交點C的位置即為所求的位置即為所求.在直線在直線 l 上任取另一點上任取另一點C ，連接連接AC 、BC 、B C 直線直線 l 是點是點B、B的對稱軸，的對稱軸， 點點C、C在對稱軸上，在對稱軸上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在在

5、ABC中，中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC，即即AC+BC最小最小lABCBC證明：如圖證明：如圖.在解決最短路徑問題時，我們通常利用在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為容易解軸對稱變換，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇決的問題，從而作出最短路徑的選擇方法總結(jié)：方法總結(jié)：問題問題1 歸納歸納lABClABCBlABC抽象為數(shù)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知用舊知解決新知聯(lián)想舊知聯(lián)想舊知解決實解決實際問題際問題ABl問題問題2 （造橋選址問題）如圖，（造橋選址問題）如圖，A和和B兩地在同一條兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河

6、的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN橋造在何橋造在何處可使從處可使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短？（假定河的兩最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直岸是平行的直線，橋要與河垂直.） 思考：思考：你能把這個問題轉(zhuǎn)化你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？為數(shù)學(xué)問題嗎？ 如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在在什么情況下最短呢？aBAbMN 由于河寬是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.分析：分析：lABCaBAbMNA 如圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點A，使AA等于河寬，則AA=MN，AM=AN，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N

7、在直線b的什么位置時，AN+NB最??？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決. 如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河寬，連接AB交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：解：另任意造橋MN，連接AM、BN、AN.由平移性質(zhì)可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN.在ANB中，由線段公理知AN+BN AB，AM +MN +BN AM+MN+BN.證明：證明：aBAbMNANM總結(jié)歸納：總結(jié)歸納： 在解決最短路徑問題時，我們在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換，把

8、通常利用軸對稱、平移等變換，把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。題，從而作出最短路徑的選擇。問題問題2 歸納歸納抽象為數(shù)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知用舊知解決新知聯(lián)想舊知聯(lián)想舊知解決實解決實際問題際問題aBAbMNlABCaBAbMNA小結(jié)歸納小結(jié)歸納aBAbMNAlABClABCB軸對稱軸對稱變換變換平移平移變換變換兩點之間，線段最短.1.如圖，直線如圖，直線l是一條河，是一條河，P、Q是是兩個村莊兩個村莊. .欲在欲在l上的某處修建上的某處修建一個水泵站，向一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中兩地供水，現(xiàn)有如下

9、四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應(yīng)用：嘗試應(yīng)用：2.如圖，牧童在如圖，牧童在A處放馬，其家在處放馬，其家在B處，處，A、B到河岸的距離分到河岸的距離分別為別為AC和和BD，且，且AC=BD, ,若點若點A到河岸到河岸CD的中點的距離為的中點的距離為500米，則牧童從米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是是 米米. .ACBD河河10004、如圖所示，、如圖所示，M、N是是ABC邊邊AB與與AC上上兩點，在兩點，在BC邊上

10、求作一點邊上求作一點P，使，使PMN的周的周長最小。長最小。MP本節(jié)課你有什么收獲？本節(jié)課你有什么收獲？學(xué)習(xí)了利用軸對稱解決最短路徑問題學(xué)習(xí)了利用軸對稱解決最短路徑問題感悟和體會轉(zhuǎn)化的思想感悟和體會轉(zhuǎn)化的思想補償提高補償提高如圖，一個旅游船從大橋如圖，一個旅游船從大橋AB 的的P 處前往山處前往山腳下的腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 處，請畫出旅游船的最短路徑處，請畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋思路分析：思路分析：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線，線段段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點點P，Q 在直線在直線BC 的同側(cè)，如何在的同側(cè)，如何在BC上找到上找到一點一點R，使，使PR與與QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋新知新知1運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱解決距離最短問題 運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)，將所求線運用軸對稱及兩點之間線段最短