2010年全國高中數學聯合競賽

1、2010年全國高中數學聯合競賽一試試題參考答案及評分標準（B卷）說明：1. 評閱試卷時，請依據本評分標準. 填空題只設8分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、11小題5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1. 函數的值域是 .解：易知的定義域是，且在上是增函數，從而可知的值域為.2. 已知函數的最小值為，則實數的取值范圍是 .解：令，則原函數化為，即.由 ， ，

2、及 知 即 （1）當時（1）總成立；對；對.從而可知 .3. 雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內部（不含邊界）整點（縱橫坐標均為整數的點）的個數是 9800 .解：由對稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內部的整點的個數為，從而在軸上方區(qū)域內部整點的個數為 .又軸上有98個整點，所以所求整點的個數為 .4. 已知是公差不為的等差數列，是等比數列，其中，且存在常數使得對每一個正整數都有，則 .解：設的公差為的公比為，則 （1） ， （2）（1）代入（2）得，求得.從而有 對一切正整數都成立，即 對一切正整數都成立.從而 ， 求得 ， .5. 函數 在區(qū)間上的最大值為

3、8，則它在這個區(qū)間上的最小值是 .解：令則原函數化為,在上是遞增的.當時，,，所以 ；當時，所以 .綜上在上的最小值為.6. 兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是 .解：同時投擲兩顆骰子點數和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為.7. 正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,則 .解一：如圖，以所在直線為軸，線段中點為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.設正三棱柱的棱長為2，則，從而，.設分別與平面、平面垂直的向量是、，則由此可設 ，所以，即.所以 .解二：如圖， .設與交于點 則 .從而平面 .過在平面上

4、作,垂足為.連結,則為二面角的平面角.設,則易求得.在直角中，,即 .又 .8. 方程滿足的正整數解（x,y,z）的個數是 336675 . 解：首先易知的正整數解的個數為 .把滿足的正整數解分為三類：（1）均相等的正整數解的個數顯然為1；（2）中有且僅有2個相等的正整數解的個數，易知為1003； (3)設兩兩均不相等的正整數解為.易知 ， ， .從而滿足的正整數解的個數為 .二、解答題（本題滿分56分）9.（本小題滿分16分）已知函數，當時，試求的最大值.解一： 由 得 （4分） . （8分） 所以 ， . （12分）又易知當（為常數）滿足題設條件，所以最大值為.（16分）解二：. 設，則當

5、時，. 設 ，則. （4分）容易知道當時，. （8分）從而當時， ， 即 ，從而 ,，由 知. （12分）又易知當（為常數）滿足題設條件，所以最大值為. （16分）10.（本小題滿分20分）已知拋物線上的兩個動點，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值. 解一：設線段的中點為，則 ， .線段的垂直平分線的方程是 . （1）易知是（1）的一個解，所以線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為. （5分）由（1）知直線的方程為 ，即 . （2）（2）代入得 ，即 .（3）依題意，是方程（3）的兩個實根，且，所以 , . . 定點到線段的距離 . （10分） . （15分）當且僅當，即

6、,或時等號成立. 所以面積的最大值為. （20分）解二：同解一，線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為. （5分） 設，則 的絕對值, （10分） , , （15分） 當且僅當且，即 ,或時等號成立. 所以面積的最大值是. （20分）11.（本小題滿分20分）數列滿足.求證: . （1）證明：由 知 ， . （2）所以 即 . （5分）從而 .所以（1）等價于 ，即 . （3） （10分）由 及 知 .當時 ， ，即時，（3）成立.設時，（3）成立，即 .當時，由（2）知 ； （15分）又由（2）及 知 均為整數，從而由 有 即 ，所以 ，即（3）對也成立.所以（3）對的正整數都成立，即

7、（1）對的正整數都成立. （20分）2010年全國高中數學聯合競賽加試試題參考答案及評分標準（B卷）說明：1. 評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增加其他中間檔次。一、（本題滿分40分）如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點（不是邊BC的中點），D是線段AK延長線上一點，直線BD與AC交于點N，直線CD與AB交于點M求證：若OKMN，則A，B，D，C四點共圓證明：用反證法若A，B，D，C不四點共圓，設三角形ABC的外接圓與AD交于點E，連接BE

8、并延長交直線AN于點Q，連接CE并延長交直線AM于點P，連接PQ因為P的冪（關于O）K的冪（關于O） ，同理 ，所以 ，故 （10分）由題設，OKMN，所以PQMN，于是 由梅內勞斯（Menelaus）定理，得， 由，可得， （30分）所以，故DMN DCB，于是，所以BCMN，故OKBC，即K為BC的中點，矛盾！從而四點共圓. （40分）注1：“P的冪（關于O）K的冪（關于O）”的證明：延長PK至點F，使得， 則P，E，F，A四點共圓，故，從而E，C，F，K四點共圓，于是， -，得 P的冪（關于O）K的冪（關于O） 注2：若點E在線段AD的延長線上，完全類似二、（本題滿分40分）設k是給定的

9、正整數，記，證明：存在正整數m，使得為一個整數這里，表示不小于實數x的最小整數，例如：，證明：記表示正整數n所含的2的冪次則當時，為整數下面我們對用數學歸納法當時，k為奇數，為偶數，此時為整數 （10分)假設命題對成立對于，設k的二進制表示具有形式，這里，或者1， （20分)于是 ， 這里顯然中所含的2的冪次為故由歸納假設知，經過f的v次迭代得到整數，由知，是一個整數，這就完成了歸納證明 （40分）三、（本題滿分50分）給定整數，設正實數滿足，記求證： 證明：由知，對，有 （10分）注意到當時，有，于是對，有 ， （30分）故 （50分）四、（本題滿分50分）一種密碼鎖的密碼設置是在正n邊形的

10、每個頂點處賦值0和1兩個數中的一個，同時在每個頂點處涂染紅、藍兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個頂點的數字或顏色中至少有一個相同問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設置？解：對于該種密碼鎖的一種密碼設置，如果相鄰兩個頂點上所賦值的數字不同，在它們所在的邊上標上a，如果顏色不同，則標上b，如果數字和顏色都相同，則標上c于是對于給定的點上的設置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點上的設置為了使得最終回到時的設置與初始時相同，標有a和b的邊都是偶數條所以這種密碼鎖的所有不同的密碼設置方法數等于在邊上標記a，b，c，使得標有a和b的邊都是偶數條的方法數的4倍 （20分）設標有a的邊有條，標有b的邊有條，選取條邊標記a的有種方法，在余下的邊中取出條邊標記b的有種方法，其余的邊標記c由乘法原理，此時共有種標記方法對i，j求和，密碼鎖的所有不