自控原理課件自動控制

1、第第3 3章章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論(根軌跡、頻率特性方法根軌跡、頻率特性方法)系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)輸入輸入-輸出模型：輸出模型：零初始條件，線性定常系統(tǒng)零初始條件，線性定常系統(tǒng)平面圖解方法，難以推廣到多輸入平面圖解方法，難以推廣到多輸入-多輸出系統(tǒng)多輸出系統(tǒng)揭示給定系統(tǒng)輸入揭示給定系統(tǒng)輸入-輸出的關(guān)系，不能提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的有關(guān)信息輸出的關(guān)系，不能提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的有關(guān)信息在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時，手段受到局限，僅靠系統(tǒng)的輸出反饋不能到設(shè)計(jì)要求在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時，手段受到局限，僅靠系統(tǒng)的輸出反饋不能到設(shè)計(jì)要求 在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采用

2、矩陣表示法可在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力工具。以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力工具。狀態(tài)狀態(tài)：動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。：動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。3.1 3.1 狀態(tài)與狀態(tài)空間狀態(tài)與狀態(tài)空間已知已知t0 時狀態(tài)，時狀態(tài)，tt0 時的輸入，可確定時的輸入，可確定tt0 時任一變量的運(yùn)動狀況。時任一變量的運(yùn)動狀況。被 控 過 程muuu21nxxx,21lyyy21狀態(tài)變量、狀態(tài)向量和狀態(tài)空間狀態(tài)變量、狀態(tài)向量和狀態(tài)空間狀態(tài)變量狀態(tài)變量 確定動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組

3、獨(dú)立變量確定動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組獨(dú)立變量 。)(,),(1txtxn狀態(tài)向量狀態(tài)向量 如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n n個狀態(tài)變量，那么狀個狀態(tài)變量，那么狀態(tài)向量定義為態(tài)向量定義為X(t)X(t)。 Tntxtxtx)(),(),(t)x21 狀態(tài)空間狀態(tài)空間 所有所有n維狀態(tài)向量的全體便構(gòu)成了實(shí)數(shù)域上的維狀態(tài)向量的全體便構(gòu)成了實(shí)數(shù)域上的n維狀態(tài)空間。維狀態(tài)空間。 對于確定的某個時刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個點(diǎn)，狀態(tài)隨時間對于確定的某個時刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個點(diǎn)，狀態(tài)隨時間的變化過程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。的變化過程，構(gòu)成了狀態(tài)空

4、間中的一條軌跡。輸入向量與輸出向量輸入向量與輸出向量輸入向量輸入向量將系統(tǒng)的各輸入量看成一個列向量：將系統(tǒng)的各輸入量看成一個列向量：Tmtututut)(,)(),()(u21 稱為系統(tǒng)輸入向量。稱為系統(tǒng)輸入向量。輸出向量輸出向量將系統(tǒng)的各輸出量看成一個列向量：將系統(tǒng)的各輸出量看成一個列向量：Tltytytyt)(,)(),()(y21 幾點(diǎn)說幾點(diǎn)說 明明n狀態(tài)變量的獨(dú)立性。狀態(tài)變量的獨(dú)立性。n由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動態(tài)由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動態(tài)方程也都不是唯一的。但是，用獨(dú)立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該方程也都不是唯一的。但是，用

5、獨(dú)立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。n動態(tài)方程對于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個動態(tài)方程對于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。 例例 試確定圖試確定圖8-5中（中（a）、（）、（b）所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。圖）所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。圖中中u、i分別是是輸入電壓和輸入電流，分別是是輸入電壓和輸入電流，y為輸出電壓，為輸出電壓，xi為電容為電容器電壓或電感器電流。器電壓或電感器電流。x3解解 并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都

6、是獨(dú)立變量。對圖并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨(dú)立變量。對圖8-5（a），不失一般性，假定電容器初始電壓值均為），不失一般性，假定電容器初始電壓值均為0，有，有321xxx 3322xcxc 321xxx 23221xccxx 因此，只有一個變量是獨(dú)立的，狀態(tài)變量只能選其中一個，即用其因此，只有一個變量是獨(dú)立的，狀態(tài)變量只能選其中一個，即用其中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實(shí)際上，三中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實(shí)際上，三個串并聯(lián)的電容可以等效為一個電容。個串并聯(lián)的電容可以等效為一個電容。 對圖（對圖（b b） x x1 1 = = x x

7、2 2，因此兩者相關(guān)，電路只有兩個變量是獨(dú)立的，因此兩者相關(guān)，電路只有兩個變量是獨(dú)立的，即（即（x x1 1和和x x3 3）或）或( (x x2 2和和x x3 3) )，可以任用其中一組變量如（，可以任用其中一組變量如（x x2 2，x x3 3）作為狀態(tài)）作為狀態(tài)變量。變量。13232xcccx13223xcccx例例3.1 3.1 RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量2( )( )x ti t dt)()(1titx11211RxxxeLLCL 則有則有21xx11010 xxReLCLL寫成寫成

8、21)()(xCtcty10Cx輸出輸出11100 xxRLLeLC寫成寫成)()(1titx21( )( )xti t dtC若選另一組狀態(tài)變量若選另一組狀態(tài)變量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 則有則有3.2 狀態(tài)方程和輸出方程狀態(tài)方程和輸出方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程用一組一階微分方程描述系統(tǒng)狀態(tài)之間以及輸入和狀態(tài)之間的動態(tài)關(guān)系。用一組一階微分方程描述系統(tǒng)狀態(tài)之間以及輸入和狀態(tài)之間的動態(tài)關(guān)系。 ),(),(, 121., 1211.11mnnnnmnuuxxxfxdtdxuuxxxfxdtdx；，；，向量表達(dá)形式向量表達(dá)形式( )( ), ( )ttt.xf xu線性定常系統(tǒng)狀

9、態(tài)方程線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程 mnmnnnnnnmmnnmmnnububxaxaxububxaxaxububxaxax1111.212121212.111111111.( )( )( )tttxAxBu nnnnnnaaaaaaaaa212212111211A nmnnmmbbbbbbbbb212212111211B系統(tǒng)輸出方程系統(tǒng)輸出方程輸出方程輸出方程 描述系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)和輸入量之間相互關(guān)系的代數(shù)方程。描述系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)和輸入量之間相互關(guān)系的代數(shù)方程。 ),(),(, 121, 12111mnllmnuuxxxgyuuxxxgy；，；，)(u),(x(g)(yttt 線性定常系統(tǒng)的輸出方

10、程線性定常系統(tǒng)的輸出方程 mlmlnlnllmmnnmmnnududxcxcyududxcxcyududxcxcy1111212121212111111111)(Du)(Cxytt lnllnnccccccccc212212111211C lmllmmddddddddd212212111211D線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間模型線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間模型( )( )( )( )( )( )ttttttxAxBuyCxDu )D,C,B,A( DCBA3.3 狀態(tài)空間模型與輸入狀態(tài)空間模型與輸入-輸出模型之間的關(guān)系輸出模型之間的關(guān)系3.3.1 由狀態(tài)空間模型推導(dǎo)輸入由狀態(tài)空間模型推導(dǎo)輸入-輸出模型輸出模型

11、)(Du)(Cx)(y)(Bu)(Ax)(x.tttttt )(D)(C)()(B)(A)(sUsXsYsUsXssX)()()(1sBUAsIsX DBAsICsG 1)()(系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入-輸出關(guān)系輸出關(guān)系(傳遞函數(shù)傳遞函數(shù))唯一性唯一性對于非奇異矩陣對于非奇異矩陣P(即即det(P)0)時時n 階方陣 A 是非奇異方陣的充要條件是 A 可逆且行列式不等于0。Px x構(gòu)成系統(tǒng)的新的狀態(tài)向量構(gòu)成系統(tǒng)的新的狀態(tài)向量DuxCPDuCxyPBuXPAPBu)P(AxxP x11. DDCPCPBBPAPA ,11 )(uD)( xC)(y)(uB)( xA)( x.tttttt狀態(tài)方程的非唯一性

12、狀態(tài)方程的非唯一性1( )G sC(sIA) BD DBAsICP 1111111)(DPBA)P(sICPDPB)PAP(sICP系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入- -輸出關(guān)系輸出關(guān)系( (傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)) )具有唯一性具有唯一性例：考察狀態(tài)變量線性變換例：考察狀態(tài)變量線性變換0100001061161 Ab設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。3210| det 01611606116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss特征方程的根為特征方程的根為-1、-2和和-3。矩陣。矩陣A的特征值也為的特征值也為-1、-2和和-3。兩者是一樣

13、的。兩者是一樣的。20112233111123149xxxxxx如果對系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為如果對系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為考察求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值?？疾烨笞儞Q后系統(tǒng)的特征方程和特征值。21111132 50 512334114911 50 5.,. PPPP代入代入根據(jù)題意求變換矩陣根據(jù)題意求變換矩陣1100020003PA P113130 PB11uXPA P XPb 2211223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51 xxxxxxu3212361160| ()()()sssssss - -

14、1 1I I P P A AP P特征方程為特征值為特征值為-1-1，-2-2，-3-3，與變換前結(jié)果相同。，與變換前結(jié)果相同?？傻每傻?.3.2 由傳遞函數(shù)模型建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)模型建立狀態(tài)空間模型-系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)(1) 虛擬輸出法虛擬輸出法012201)(asasabsbsG 求系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)求系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn))()(012201sUasasabsbsY 引入虛擬輸出量引入虛擬輸出量)(1)(0122sUasasasY )()()()()()()(010122sYbsYsbsYsUsYasYsasYsa )()()()()()()(0)1(10)1(1)2(2tyb

15、tybtytutyatyatya選取系統(tǒng)的狀態(tài)為：選取系統(tǒng)的狀態(tài)為：)()(),()()1(21tytxtytx )()()()(1)()()()()(21102221120221txbtxbtytuatxaatxaatxtxtx 01010DCBA1022120bbaaaaa(2) 部分分式法部分分式法 將傳遞函數(shù)以部分分式展開，將一個高階系統(tǒng)等效為將傳遞函數(shù)以部分分式展開，將一個高階系統(tǒng)等效為多個低階系統(tǒng)并聯(lián)，以便建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。多個低階系統(tǒng)并聯(lián)，以便建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。(A) 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)互異的情形傳遞函數(shù)的極點(diǎn)互異的情形 niiipscdsG1)( d:分子的分子的m次項(xiàng)

16、系數(shù)與分母的次項(xiàng)系數(shù)與分母的n次項(xiàng)系數(shù)之比，當(dāng)次項(xiàng)系數(shù)之比，當(dāng)mn時，時，d=0)()(limsGpscipsii iniipssUcsdUsY )()()(1iipssUsX )()()()()(sUspXssXii niiiiiitdutxctytuxptx1)()()()()( dccppnn111010DCBA對角線規(guī)范型對角線規(guī)范型(B) 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為重根情形傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為重根情形022013)()(pscpscpscdsGggniii )()(101203psccpspscdggniii )()()()()()(01203psccpssUpssUcsdUsYggniii )(

17、)()()()()()()()()()()()()(33221123332022101tdutxctxctxctxctytutxpxtxtxpxtutxpxtxtxpxnnggnnn012011lim()( ),1,2(1)!igiispdcspG siids nipssUsXii, 3,)()( 02)()(pssUsX 021)()(pssXsX dccccppppnggn3213001000100010000001DCBA約當(dāng)約當(dāng)(Jordan)規(guī)范型規(guī)范型325)3)(2)(5() 1(30)()(321sksksksssssRsY330210520sss111-20-1030-3-2

18、-5s/1s/1s/11x2x3xrxx111300020005xy301020)(sR)(sY例：例： 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，求狀態(tài)方程已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，求狀態(tài)方程)5)(3()2(3894)()(223sssssssRsY513121)2(4)()(2sssssRsYs/111s/1s/13x-3)(sR)(sY-54x-11s/11x2x-2-214-1rxx111053212xy1114例：例： 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)(極點(diǎn)為重根情形極點(diǎn)為重根情形)，求狀態(tài)方程，求狀態(tài)方程21234( )( )21( )21( )31( )5xsx ssxssxssx ss3.4 3.4 由

19、高階微分方程建狀態(tài)方程由高階微分方程建狀態(tài)方程31(1) (1) 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)uyayayayaynnnnn001)2(2)1(1)( 選選n n個狀態(tài)變量為個狀態(tài)變量為 有有 )1(21,nnyxyxyx12231011211nnnnnxxxxxxxa xa xaxuyx 得到狀態(tài)方程得到狀態(tài)方程 cxybuAxx32121012100100000100,10000010nnnxxxAbcxxaaaa 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 例：試求下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程例：試求下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程222yyyu常微分方程描述的系統(tǒng)常微分方程描

20、述的系統(tǒng)12222122xxxxxu 1122220102xxuxx 狀態(tài)方程為狀態(tài)方程為取狀態(tài)變量取狀態(tài)變量12,xy xy 輸出方程輸出方程1210 xyx系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖（2) 2) 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)n n，為了避免在狀態(tài)方程中出，為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量：現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量：ububububyayayayaynnnnnnnnn01)1(1)(01)2(1)1(1)( 1011;2,3 ,iiixy huxx

21、h uin h0,h1,h2,hn-1為待定常數(shù)為待定常數(shù) 系統(tǒng)輸出方程：系統(tǒng)輸出方程：uhxy01 36 uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnnnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112)3(1)2(0)2(2212102231011201 uhxxuhxxuhxxnnn11232121 為為(n-1)個狀態(tài)方程個狀態(tài)方程uhuhuhyxnnnnn1)1(1)(0)( (1)(2)1110( )(1)( )(1)110011()nnnnnnnnnnnayaya ya yb ubub ub uh uh uhu uhahaha

22、habuhahahahbuhahahbuhahbuhbxaxaxaxaxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()()()(00112211001322111)2(021122)1(0111)(01122110 令上式中令上式中u的各階倒數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為零，確定待定常數(shù)的各階倒數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為零，確定待定常數(shù)0011221100132211102112201110hahahahabhhahahabhhahabhhabhbhnnnnnnnnnnnnnnnn uhxaxaxaxaxnnnnnn 1122110 1210100001000010Anaaaa nnhhhh121b 001c 0d

23、h uyduxA xbxA xbC xC x例：求解二階微分方程的狀態(tài)空間表達(dá)式例：求解二階微分方程的狀態(tài)空間表達(dá)式uuTyyy 22狀態(tài)變量：狀態(tài)變量：uhuhyuhxxuhyx1011201 uhxxuhxy12101 uhuhyx 102 uhuhuuTyy 102)2( uhhuhhTuhxx)21()2(2102100212 Thh100uTxxx)21(22122 21212210121210 xxyuTTxxxx3.5 基于狀態(tài)空間模型求解線性定常系統(tǒng)基于狀態(tài)空間模型求解線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程的解3.5.1 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的零輸入響應(yīng)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的

24、零輸入響應(yīng))(Cx)(y)(Bu)(Ax)(xttttt )(Ax)(xtt (A) 冪級數(shù)法冪級數(shù)法2012( )kkttttxbbbb1122( )kkttktxbbb1212012 2()kkkktkttttbbbA bbbb 010323021201bA!1Ab1bbA61Ab31bbA21Ab21bAbbkkkkk)0(xb0 )0(x)A!1A21AI ()(x22 kktkttt)0()()()(xetxtaxtxat 022A!1A!1A21AIkkkkkAttktktte)0(x)(xAtet 矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣tetA A )(B) 拉普拉斯變

25、換法拉普拉斯變換法)()(ttAxAxx x )0()()()0()()()0()()(1x xA AI IX Xx xX XA AI Ix xAXAXX X sssssss)0()()(11x xA AI Ix x sLt)(11 A AI IA AsLet狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1) 022!1!121kkkkkAttktktteA AA AA AA AI I I IA A 0)0(eA AA A A AA AA A)()()(ttteedtdtt )()()(111tteettt A AA A)()()(21)(212121tteeettttttA AA AA A

26、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(2)102021()()()211020() ()()A ttA ttA tt tt tteee tt )()()(kteettktktkkA AA A )()()(1122ttttx xx x 3.5.2 線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解)()()()()(tttttCxCxy yBuBuAxAxx x )()()(tttBuBuAxAxx x )()()(tettettBuBuAxAxx xA AA A )()(tetedtdttBuBux xA AA A 方程兩邊同時在方程兩邊同時在0，t內(nèi)積分內(nèi)積分 ttttte

27、teete000)()0()()()(BuBux xx xBuBux xA AA AA AA A- ttteeet0)()0()(BuBux xx xA AA AA A ttteee0)()0(BuBux xA AA AA A tttee0)()()0(BuBux xA AA Adtttt)()()0()()(0BuBux xx x 考慮更一般的初始時刻考慮更一般的初始時刻tt0時，時，000( )()( )()( )tttttttdx xx xBuBu線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程系統(tǒng)零輸入狀態(tài)轉(zhuǎn)移系統(tǒng)零輸入狀態(tài)轉(zhuǎn)移系統(tǒng)零狀態(tài)之狀態(tài)轉(zhuǎn)移系統(tǒng)零狀態(tài)之狀態(tài)轉(zhuǎn)移00( )( )(

28、 )()( )ttttdyCyCxCxC BuBu000-( )()( )()( )tttt tttdyCyCxCxCBuBu3.5.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法(1) (1) 根據(jù)根據(jù)e eAtAt的定義計(jì)算的定義計(jì)算 022!1!121)(kkkkkAttktkttetA AA AA AA AI I開放形式開放形式的表達(dá)式，常用于計(jì)算機(jī)求解近似值。手工計(jì)算繁瑣而困難的表達(dá)式，常用于計(jì)算機(jī)求解近似值。手工計(jì)算繁瑣而困難例：例：線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程 21213210 xxxx計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 3210A A解解 kkAttkt

29、tetA AA AA AI I!121)(22 ! 232103210100122tt 32323232252731373267231ttttttttttt(2) (2) 應(yīng)用拉普拉斯變換法計(jì)算應(yīng)用拉普拉斯變換法計(jì)算)()(11 A AI IA AsLett1)()( A AI Iss)()(1sLt 級數(shù)的級數(shù)的閉合形式閉合形式的表達(dá)式，的表達(dá)式，例：例：線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程 21213210 xxxx計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A AI IA AI IA AI I ssadjs)()(1321321321)(11 ssssadjsssA AI I )2)

30、(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3213)2)(1(1ssssssssssssss 2211221221112112)(1sssssssssA AI I tttttttteeeeeeee22222222)()(11 A AI IsLt 中，劃去元素中，劃去元素aij所在的第所在的第i行與第行與第j列，剩下的元素按照原來次序組成列，剩下的元素按照原來次序組成的的(n-1)階行列式稱為元素階行列式稱為元素aij的的余子式余子式，Mij nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A AA A代數(shù)余子式代數(shù)余子式AijijjiijMA )1(伴隨矩陣伴隨矩陣 nnnnnnTn

31、nnnnnAAAAAAAAAAAAAAAAAAadj212221212111212222111211A A伴隨矩陣概念復(fù)習(xí)伴隨矩陣概念復(fù)習(xí)(3) (3) 應(yīng)用凱萊應(yīng)用凱萊- -哈密頓哈密頓(Calay-Hamilton)(Calay-Hamilton)定理計(jì)算定理計(jì)算對于對于nn系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A，其，其特征方程特征方程為：為：det0IAIA1+110( )0nnnaaa1 110nnnaaa1+110()0nnnaaaAAAAAAAA1 110nnnaaaAAAAAAAn是是An-1,A,I的線性組合的線性組合11210nnnnaaa AAAAAA121211212100()nnnnnnn

32、aaaaaaaaAAAAAAI2121212311010()()()nnnnnnnnnaaaaaa aaaaAAAIAn+1也也是是An-1,A,I的線性組合的線性組合01( )!tn nntetnAA= 2 2112!n ntttnIAAA1011( )( )( )nntttIAA1110nnnaaa AAAAAA1 110nnnaaa11210nnnnaaa 2121212311010()()()nnnnnnnnnaaaaaa aaaa01!tn nnetn=2 21112!n ntttn1011( )( )( )nnttt ( ),0,1,(1)jtjn為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。應(yīng)用凱萊應(yīng)用凱萊- -哈密頓哈密頓( (CalayCalay-Hamilton)-Hamilton)定理，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定理，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1011( )( )( )tnnetttAIAA中的方陣中的方陣A用特征值用特征值i轉(zhuǎn)換，根據(jù)線性方程組確定系數(shù)。轉(zhuǎn)換，根據(jù)線性方程組確定系數(shù)。(1) 如果如果A的特征值互異的特征值互異 1011( )( )( )1,2,itninietttin1221011121122