高三數(shù)學(xué)(理科)綜合內(nèi)切球和外接球問(wèn)題(附習(xí)題)

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題一、有關(guān)外接球的問(wèn)題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱(chēng)這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱(chēng)為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例1若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為解析：球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，再計(jì)算半徑.故表面積為27n.例2一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體積為4向12、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例3（2007年天津高考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上

2、的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為解析：體對(duì)角線正好為球的直徑。長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為J14,故球的表面積為14n.例4、已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積為A. 16二B 20nC 24nD 32 n1解析：長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,43.求多面體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例5.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同91I x - - ,2h = 3.一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為6x=3,9巾326xh,解設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為X,高為h，則有J4rd3，正六棱柱的底面圓的半徑2,球心到底面的

3、距離2.，外接球的半徑R=r2d2=122.2小結(jié)本題是運(yùn)用公式R=r+d求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）1、構(gòu)造正方體例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為J3,則其外接球的表面積是解把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為由的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.則有（2*2=（而十（而十（而=9R2924 .故表面積S = 4江R = 9江.小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為a、b、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直222徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則有2R=Va+b+c.出現(xiàn)“

4、墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體。例6.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為J2,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為A. 3 二B. 4二D. 6 二5解析：聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，如圖2,四面體滿(mǎn)足條件，由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1,體對(duì)角線為J3,從而外接球的直徑也為3例7（2006年山東高考題）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=600,E為AB的中點(diǎn)，將MDE與ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,則三棱奉|P-DCE的外接球的體積為（C4 .3nA. 27,6JTB. 2C. 6n8,6nD. 24解析：（

5、如圖3）AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1即三棱錐P-DCE為正四面體,至此，這與例6就完全相同了DA _L 平面 ABC例8（2008年浙江高考題）已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D,ABIBC,DA=AB=BC=®則球O的體積等于解析：DA=AB=BC=J3,則此長(zhǎng)方體為正方體，所以CD長(zhǎng)即為外接球的直徑，禾IJ9一31用直角三角形解出CD=3.故球O的體積等于2.（如圖4）2、構(gòu)造長(zhǎng)方體例9.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，AB_L平面BCD,BC_LDC,若AB=6,AC=2而,AD=8,則球的體積是解析：構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是AD為球的直徑（如圖5）D三.尋求軸

6、截面圓半徑法例4正四棱錐S -ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 短，點(diǎn)、S、在同一球面上，則此球的體積為解球心O必在SO1所在的直線上.4Ase的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 AASC 中，由 SA=SC = V5, AC =2,得3 2 2 AC 2 .4 二球=.故3 .AASC是以AC為斜邊的RtAAC12是外接圓的半徑，也是外接球的半徑A B、C、D 都五.確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B -AC -D則四面體ABCD的外接球的體積為（C ）125125125125nkJinA.

7、 12B. 9C. 6D. 3解 點(diǎn)0到四面體的四個(gè)頂點(diǎn) A、B、C、D的距離相等，即點(diǎn)0為5、,4一3125 R = OA = - V 球=-R R = 江四面體的外接球的球心，2 .故36P【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB1BC且尸，pB=5PC=百，4c=10,求球。的體積。解：+回,=10，所以知=+所以戶(hù)W戶(hù)CcR=-AC=5取斜邊的中點(diǎn)°,即為該四面體的外接球的球心2所以該外接球的體積為500開(kāi)1.（陜西理？6）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（A.乎B.SC.1答案B1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn).-3122.

8、直三柱ABC-ABiCi的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,NBAC=120©,則此球的表面積等于解:在AABC中AB=AC=2,/BAC=120、可得BC=2j3,由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O',球心為O,在RTAOBO'中，易得球半徑R=J5,2故此球的表面積為4二R=20二.3 .正三棱柱ABC-ABG內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為冗，則正三棱柱的體積為.答案84 .表面積為2J3的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為3答案A2Ji32.2ji398M等=2向知,a =1,則此球的直徑為5 .已知

9、正方體外接球的體積是V2,故選32元，3A。那么正方體的棱長(zhǎng)等于（A.2 22,3B.34,2C.34,3D.3答案 D6 . （ 2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為C. 1 ： 3 . 3D. 1 ： 9【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形，所以由答案C7. （2008海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為答案38. （2007天津理？12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為答案14冗2 cm的球

10、面上。如果正四9. （2007全國(guó)H理？15）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為棱柱的底面邊長(zhǎng)為 1 cm,那么該棱柱的表面積為cm2.10. （2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF ,則此正六棱錐的側(cè)面積是P。I*AFB答案 6,711. （遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中 三角形（正四面體的截面）的面積是 答案212. （2009棗莊一模）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 （ ）A.C.3 二16 二B. 2nD.以上都不對(duì)213.（吉林省吉林市2008屆上期末）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為則它的外接球的表面積為（D.A.8nB.2兀C.4兀3答案C1.（20