高三數(shù)學(xué)集體備課記錄《函數(shù)的單調(diào)性與最值》

1、高三數(shù)學(xué)（理）集體備課記錄課題：函數(shù)的單調(diào)性與最值時間地點2016年9月12日主持人趙純金參與者張澤成、黃翼備課設(shè)想教材分析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念的基礎(chǔ)上所研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)。在研究函數(shù)的值域、定義域、最值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容的研究中也有重要的應(yīng)用。可見，不論在函數(shù)內(nèi)部還是在外部，函數(shù)的單調(diào)性都有重要應(yīng)用，因而在數(shù)學(xué)中具有核心地位。此外函數(shù)單調(diào)性的研究方法也具有典型意義，體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法。這就是，加強“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般。首先借助對函數(shù)圖像的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增、減變化的直觀特征，進(jìn)一

2、步量化，發(fā)現(xiàn)增、減變化數(shù)字特征，從而進(jìn)一步用數(shù)學(xué)符號刻畫。考情分析1.函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用及函數(shù)最值、奇偶性、周期性的應(yīng)用是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，與函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)綜合在考查；2.2017年仍將綜合考查囪數(shù)性質(zhì)，還常常與向量、不等式、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識結(jié)合，進(jìn)行綜合考查。復(fù)習(xí)目標(biāo)知識與能力目標(biāo)：1 .使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；2 .啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認(rèn)識問題和解決問題的能力；3 .進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。情感目標(biāo)：通過對函數(shù)單調(diào)性與最值問題的探究，體會數(shù)學(xué)的奧妙，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)

3、習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的探索精神。思想方法：數(shù)形結(jié)合、分類討論的基本數(shù)學(xué)思想教學(xué)方法探究式教學(xué)與講練結(jié)合。重點難點1 .重點是：增減函數(shù)和最值的形式化定義；2 .難點是：如何從圖像升降的直觀認(rèn)識過渡到函數(shù)增減的數(shù)學(xué)符號語言表述；用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求的函數(shù)在區(qū)間上的最值。教學(xué)策略1 .重視多種教法的有效整合；2 .重視提出問題與解決問題策略指導(dǎo)；3 .重視加強對交匯知識密切聯(lián)系的發(fā)掘；4 .知識加強數(shù)學(xué)實踐能力的培養(yǎng)；5 .注意避免繁瑣的形式化訓(xùn)練；6 .教學(xué)過程體現(xiàn)“實踐一認(rèn)識一實踐”。實施教學(xué)過程一、考點知識自主梳理1 .函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)

4、減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任息兩個自變重的值x1,x2圖象描述當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)自左向右看圖象是上升的當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).4*自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫彳y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.2 .函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件對于任意的xCI

5、,都有f(x)<M(2)存在xoI,使得f(xo)=M對于任意的xCI,都有f(x)>M(4)存在xoI,使得f(xo)=M結(jié)論M為最大值M為最小值思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打或“X”)(1)在增函數(shù)與減函數(shù)定義中，可把“任意兩個自變量”改為“存在兩個自變量”.()(2)對于函數(shù)f(x),xCD,若xi,X2CD且(XiX2)f(Xi)f(X2)>0,則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).()(3)函數(shù)y=f(x)在1,+°°)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,+oo).()(4)函數(shù)y=1的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+8).()x(5)

6、所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()(6)對于函數(shù)y=f(x),若f(1)<f(3),則f(x)為增函數(shù).()二、考點突破與題型探究題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性例1(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+°0)上為增函數(shù)的是()A.y=ln(x+2)B.y=-，x+1C.y=(-)xD.y=x+-2x(2)函數(shù)f(x)=log1(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間是()2A.(0,+8)B.(8,0)C.(2,+oo)D.(8,2)(3)y=x2+2|x|+3的單調(diào)增區(qū)間為.命題點2解析式含參函數(shù)的單調(diào)性例2試討論函數(shù)f(x)=axx- 1(aw。)在(一1,1)上的

7、單調(diào)性.引申探究.一.ax.若本題中的函數(shù)變?yōu)閒(x)=x“(a>0),則f(x)在(一1,1)上的單調(diào)性如何?思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接.題型二函數(shù)的最值x22xa例3已知函數(shù)f(x)=,x1,+oo)a(-oo1.X1(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意xC1,+8),f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.思維升華求函數(shù)最值的常用方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(

8、2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；(3)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點1比較大小，,，一一14I，例4已知函數(shù)f(x)=log2x+-一，若xiC(1,2),X2C(2,+8),則()1 XA.f(xi)<0,f(X2)<0B.f(xi)<0,f(X2)>0C.f(xi)>0,f(X2)<0D.f(xi)>0,f(X2)>0命題點2解不等式例5已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足fi卜(i)的實數(shù)x的取值范圍是()A.(i,i)B.(0,i)C

9、.(i,0)U(0,i)D.(8,-i)U(i,+oo)命題點3求參數(shù)范圍例6(i)如果函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(一8,4)上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是()iA a>- 4B4< a<0D . - -< a< 06(2)已知 f (x) =41,4,fXi-fX2滿足對任息Xi2,都有一XX>0成立，那么a的取值范圍是思維升華函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(i)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫

10、掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a,b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.三、課時小結(jié)答題模板i.確定抽象函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)不等式典例(i2分)函數(shù)f(x)對任意的m»nCR,都有f(mn)=f(m)+f(n)i,并且x>0時,恒有f(x)>i.求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a5)<2.思維點撥

11、(1)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義.應(yīng)該構(gòu)造出f(X2)f(Xi)并與0比較大小(2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號“f”運用單調(diào)性“去掉”是本題的切入點要構(gòu)造出f(M)<f(N)的形式解函數(shù)不等式問題的一般步驟：第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；第五步：(反思)反思回顧查看關(guān)鍵點，易錯點及解題規(guī)范溫馨提醒本題對函數(shù)的單調(diào)性的判斷是一個關(guān)鍵點不會運用條件X>0時，f(X)>1，構(gòu)造不出f(X2)-f(Xi)=f(X2-Xi)-1的形式，便找不到問題的突破口.第二個關(guān)鍵應(yīng)該是將不等式化為f(M)<f(N)的形式解決此類問題的易錯點：忽視了M、N的取值范圍，即忽視了f(X)所在的單調(diào)區(qū)間的約束.方法與技巧1 利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1) 取值；(2)作