電磁場與電磁波(第三版之)矢量分析

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 標量場和矢量場標量場和矢量場1.4 標量場的梯度標量場的梯度1.2 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度1.3 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度 1.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1.1 1.1 標量場和矢量場標量場和矢量場 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個標量函數(shù)標量函數(shù), ,其值隨空間坐標的變化而變化，有時還可其值隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標量場。隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標量場。例如例如, ,在直角坐標下在直角坐標下, , 標量場標量場2225( , , ) (1)(2)xyzux y zxyz 如溫度場如

2、溫度場, ,電位場電位場, ,高度場等。高度場等。矢量場矢量場2232( , )1xyzx y zxyzxzx yAeee如速度場如速度場, ,電場、磁場等。電場、磁場等。 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù)矢量函數(shù), ,其大小和方向隨空間坐標的變化而變化，其大小和方向隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。1.2 1.2 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度一、通量一、通量 矢量場的通量 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 dsAS 定義矢量定義矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S 的面積分的面積分dSAS為為矢量

3、矢量 A A 穿過有向曲面穿過有向曲面S 的通量的通量二、散度二、散度10divlimdsAAS直角坐標系中散度的計算公式直角坐標系中散度的計算公式div xyzyxzAAAAA 如果包圍點如果包圍點P 的閉合面的閉合面S 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 以任意方式縮小為點以任意方式縮小為點P 時時, , 通量與通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場A A 在在P 點的散度。即點的散度。即三、散度的物理意義三、散度的物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性。散度代表矢量場的通量源的分布特性。 A A = = 0 (0 (無源無源） 在矢量場中，若在矢量場中，若

4、A= 0，稱之為有源場，稱之為有源場， 稱為稱為( (通量通量) )源密度；若矢量源密度；若矢量場中處處場中處處 A=0，稱之為無源場。，稱之為無源場。 矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數(shù)。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數(shù)。 = = 0 (0 (正源正源) ) A A = = 0 (0 (負負源源) ) A A四、高斯定理四、高斯定理( (散度定理散度定理) )10divlimdSAAS0divlimdSAASn1=-n2n1n2111divdSAAS222divdSAAS)divdVAdSAS高斯定理高斯定理ddiv ddSvv ASAA 對于有限大體積對于有限大體積 ，可將其

5、按如圖可將其按如圖方式進行分割，對每一小體積元有方式進行分割，對每一小體積元有式中式中S為為 的外表面的外表面 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域 中場中場A與邊界與邊界S上上的場的場A之間的關系。之間的關系。1.3 1.3 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度一、環(huán)流一、環(huán)流定義矢量場定義矢量場A沿空間有向閉合曲線沿空間有向閉合曲線C的積分的積分 dcAl為為A的的環(huán)流環(huán)流二、旋度二、旋度1. 1. 環(huán)流密度環(huán)流密度 過點過點P 作一微小曲面作一微小曲面S,它的邊界曲線記為它的邊界曲線記為C,面的法線方與曲線繞向成右手面的法線方與曲線繞向成右手螺旋關系。當螺旋關系。當S 收縮至收縮至P 點附近點

6、附近時時, ,存在極限存在極限0dlimcSSlSSn 環(huán)流的計算ACP 該極限值與該極限值與S 的形狀無關，但與的形狀無關，但與S的方向的方向n 有關。稱為有關。稱為矢量場矢量場 A A 在在P 點沿點沿n 方向的方向的環(huán)流密度環(huán)流密度2. 2. 旋度旋度 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用用 表示表示rot A它與環(huán)流密度的關系為它與環(huán)流密度的關系為0dlimro tcnSeSlA在直角坐標系下在直角坐標系下rotxyzxyzxyzAAA AAeee三、旋度的物理意義三、旋度的物理意義

7、矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。 點點P的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。 點點P的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。四、斯托克斯定理四、斯托克斯定理d() dc lAASd() dSl AASl0dlimro tcnSSlAe由旋度的定義由旋度的定義 對于有限大面積對于有限大面積S，可將其按如圖方可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有式進行分割，對每一小面積元有c)() dS ASdclA斯托克斯定理斯托克斯定理11d() dc lAAS22d() dc lAAS

8、1.4 1.4 標量場的梯度標量場的梯度一、一、 方向性導數(shù)與梯度方向性導數(shù)與梯度,uxyzc等值面等值面：標量場中量值相等的點構(gòu)成的面：標量場中量值相等的點構(gòu)成的面。方向性導數(shù)方向性導數(shù) 考慮標量場中兩個等值面考慮標量場中兩個等值面,uuu 00limlimuuuuuuuPMPMl uPNleMuu ne梯度梯度 由方向性導數(shù)的定義可知：沿等值由方向性導數(shù)的定義可知：沿等值面法線面法線 的方向性導數(shù)最大的方向性導數(shù)最大。ne故故gradnuuen標量場標量場 在在P點的梯度是一個矢量點的梯度是一個矢量大?。鹤畲蠓较蛐詫?shù)大?。鹤畲蠓较蛐詫?shù)方向：最大方向性導數(shù)所在的方向方向：最大方向性導數(shù)所

9、在的方向, , ,u x y z為標量場為標量場 在在P點沿點沿 方向的方向的方向方向性導數(shù)。性導數(shù)。其大小與方向其大小與方向 有關有關。le, , ,u x y zle 定義標量函數(shù)定義標量函數(shù) 沿給定方向沿給定方向 的變化率的變化率。le( , , )u x y z可得可得gradluu elgradgradgradxyzuu exuu eyuu ez在直角坐標系中梯度的計算公式在直角坐標系中梯度的計算公式gradxyzuuuueeeuxyz 1.5 1.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度散度、旋度及及邊界條件邊界條件惟一地確定。惟一地確定。已知已知矢量矢量A