13單因素方差分析

1、 在第八章第二節(jié)中，我們討論了兩個方差相在第八章第二節(jié)中，我們討論了兩個方差相等的正態(tài)總體對均值比較的假設(shè)檢驗問題，而在等的正態(tài)總體對均值比較的假設(shè)檢驗問題，而在實際應(yīng)用中還經(jīng)常需要對有相同方差的多個正態(tài)實際應(yīng)用中還經(jīng)常需要對有相同方差的多個正態(tài)總體均值進行比較的假設(shè)檢驗問題總體均值進行比較的假設(shè)檢驗問題. .方差分析就方差分析就是解決這類問題的有效方法，在實際中有著廣泛是解決這類問題的有效方法，在實際中有著廣泛的應(yīng)用。的應(yīng)用。 我們將要考察的對象的某種特征稱為我們將要考察的對象的某種特征稱為指標(biāo)指標(biāo)，影響指標(biāo)的各種因素稱為影響指標(biāo)的各種因素稱為因子因子，一般將因子控，一般將因子控制在幾個不同

2、的狀態(tài)上，每一個狀態(tài)稱為因子制在幾個不同的狀態(tài)上，每一個狀態(tài)稱為因子的一個的一個水平水平. 若一項試驗中只有一個因子在改變，而其若一項試驗中只有一個因子在改變，而其它的因子保持不變，稱這樣的試驗為它的因子保持不變，稱這樣的試驗為單因素試單因素試驗驗.多于一個因子在改變的的試驗為多于一個因子在改變的的試驗為多因素試驗多因素試驗.這里，我們只討論單因素試驗這里，我們只討論單因素試驗.實例實例1. 對某種型號的電池進行抽查，隨機抽取了來自對某種型號的電池進行抽查，隨機抽取了來自A,B,C三個工廠的產(chǎn)品，測得其壽命（三個工廠的產(chǎn)品，測得其壽命（h )見下表，設(shè)各見下表，設(shè)各工廠所生產(chǎn)的電池的壽命服從有

3、相同方差的正態(tài)分布，工廠所生產(chǎn)的電池的壽命服從有相同方差的正態(tài)分布，問這三個工廠所生產(chǎn)的電池的平均壽命有無顯著差異？問這三個工廠所生產(chǎn)的電池的平均壽命有無顯著差異？電池的壽命（電池的壽命（h）A1A2A33747406060 9586 98 67 92 6910098 試驗的目的是為了考察不同廠家生產(chǎn)的電池平均試驗的目的是為了考察不同廠家生產(chǎn)的電池平均壽命是否有顯著差異。如果有顯著差異，表明生產(chǎn)工壽命是否有顯著差異。如果有顯著差異，表明生產(chǎn)工廠這一因子對電池壽命的影響是顯著的廠這一因子對電池壽命的影響是顯著的.在此實例中，在此實例中，指標(biāo)：指標(biāo)：電池的壽命；電池的壽命；因子：因子： 生產(chǎn)電池的

4、工廠；生產(chǎn)電池的工廠；水平：水平： 工廠工廠A1、A2、A3 在此試驗中，除生產(chǎn)電池的工廠這一因子外，其在此試驗中，除生產(chǎn)電池的工廠這一因子外，其它因子不變，這是一個單因素試驗。它因子不變，這是一個單因素試驗。實例實例2. 為了比較各個工作日進入某一商場的顧客人數(shù)，為了比較各個工作日進入某一商場的顧客人數(shù)，測得各工作日下午測得各工作日下午4時時5時進入商場的顧客人數(shù)如下表，時進入商場的顧客人數(shù)如下表，問各個工作日對顧客人數(shù)有無顯著影響？問各個工作日對顧客人數(shù)有無顯著影響？工作日工作日顧客人數(shù)顧客人數(shù)周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五 86 96 78 66 100 77 102 54 9

5、8 69 91 86 74 82 78 84 78 77 90 84 72 74 84 88 94 102 96 試驗的目的是為了考察不同工作日顧客的人數(shù)是試驗的目的是為了考察不同工作日顧客的人數(shù)是否有顯著差異。如果有顯著差異，表明工作日這一因否有顯著差異。如果有顯著差異，表明工作日這一因子對顧客人數(shù)的影響是顯著的子對顧客人數(shù)的影響是顯著的.在此實例中，在此實例中，指標(biāo)：指標(biāo)：顧客人數(shù)；顧客人數(shù)；因子：因子： 工作日；工作日；水平：水平： 周一、周二、周一、周四、周五周一、周二、周一、周四、周五 在此試驗中，除工作日這一因子外，其它因子不在此試驗中，除工作日這一因子外，其它因子不變，這是一個單

6、因素試驗。變，這是一個單因素試驗。 設(shè)在單因素試驗中，影響指標(biāo)的因子設(shè)在單因素試驗中，影響指標(biāo)的因子A 有有 s 個個水平水平A1， A2 ，As ，將每個水平，將每個水平Aj下要考察的下要考察的指標(biāo)作為一個總體稱為部分總體，仍記為指標(biāo)作為一個總體稱為部分總體，仍記為Aj ，則共，則共有有s個總體，假設(shè)個總體，假設(shè)2）部分總體的方差都相等，即：）部分總體的方差都相等，即：222221s s,21其中其中和和 都是未知參數(shù)。都是未知參數(shù)。21）每個部分總體都服從正態(tài)分布，即：）每個部分總體都服從正態(tài)分布，即：，),(2jjjNAsj, 2 , 1 3）不同的部分總體下的樣本是相互獨立的。）不同的

7、部分總體下的樣本是相互獨立的。，jnjjjXXX21在水平在水平Aj下進行下進行nj次獨立試驗，得樣本次獨立試驗，得樣本，),(2NXjij則則記記 稱其為隨機誤差，則稱其為隨機誤差，則，jijijX ), 0(2Nij由此得：由此得： sjNnixijjijjij, 2 , 1), 0(, 2 , 12各個隨機誤差各個隨機誤差 相互獨立，相互獨立， 和和 未知未知. .s,212ij對每個水平對每個水平Aj下的樣本下的樣本 引進統(tǒng)計量：引進統(tǒng)計量： ，jnjjjXXX21樣本和：樣本和：樣本均值：樣本均值：， jniijjXT1 jniijjjXnX11jjTn 1將單因素試驗的數(shù)據(jù)列表如下

8、：將單因素試驗的數(shù)據(jù)列表如下：樣本總均值：樣本總均值： sjniijjXnX111 sjjjXnn11T.1 T.2 T.s樣本和樣本和T.j x11 x12 x1s x21 x22 x2s xn11 xn22 xnss樣樣本本值值 A1 A2 As部分總體部分總體1 x2 xsx 樣本均值樣本均值jx （1）檢驗假設(shè)：）檢驗假設(shè)：sH 210：sH，：211不全相等不全相等. .（2）求出未知參數(shù)）求出未知參數(shù) 和和 的估計量的估計量s,212根據(jù)樣本提供的信息，根據(jù)樣本提供的信息， 單因素方差分析法是將樣本全部偏差的單因素方差分析法是將樣本全部偏差的平方和分解成兩個平方和，通過這兩個平方平

9、方和分解成兩個平方和，通過這兩個平方和之間的比較，導(dǎo)出假設(shè)檢驗的統(tǒng)計量和拒和之間的比較，導(dǎo)出假設(shè)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域絕域.總平方和：總平方和：效應(yīng)（組間）平方和：效應(yīng)（組間）平方和： sjniijTjXXS112)( sjnijAjXXS112)( sjjjXXn12)( SA反映了在每個水平下的樣本均值與樣本總均值反映了在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因子的差異，它是由因子A 取不同水平引起的，所以，稱取不同水平引起的，所以，稱SA是因子是因子A的效應(yīng)（組間）平方和的效應(yīng)（組間）平方和.誤差（組內(nèi)）平方和：誤差（組內(nèi)）平方和： sjnijijEjXXS112)(平方和分解公式

10、：平方和分解公式：EATSSS SE 表示在每個水平下的樣本值與該水平下的樣本表示在每個水平下的樣本值與該水平下的樣本均值的差異，它是由隨機誤差引起的，所以，稱均值的差異，它是由隨機誤差引起的，所以，稱SE是是誤差（組內(nèi)）平方和誤差（組內(nèi)）平方和. sjniijTjXXS112)( sjnijjijjXXXX112)(（） sjnijjijjjijjXXXXXXXX1122)(2)(（）（）)(2)(11112112XXXXXXXXjsjnijijsjnijsjnijijjjj （）（）)(11XXXXjsjnijijj （）又又0 sjnijijjjXXXX11)()( sjniniijji

11、jjjjXnXXX111)1()( sjniniijjjijjjjXnnXXX1111)(EATSSS 所以所以即：即：總平方和總平方和=效應(yīng)（組間）平方和效應(yīng)（組間）平方和+誤差（組內(nèi)）平方和誤差（組內(nèi)）平方和在單因素方差分析的模型下，在單因素方差分析的模型下，（2）SA 和和 SE 相互獨立。相互獨立。（3）sH 210：為真時，為真時，,122）（ sSA）（122 nST定理：定理：）（snSE 22（1）由定理（由定理（1），有），有，）（snSEE 22snSEE 即即.22的無偏估計的無偏估計是是snSE ), 1()/()1/(snsFsnSsSFEA 結(jié)合定理結(jié)合定理(1)(

12、2)(3)，有，有 sjniijTjXXS112)(記記， jniijjXT1 sjniijjXT11 sjjT1化簡得化簡得21121 TnXsjniijj sjnijAjXXS112)(ATESSS 21211 TnTnsjjj（1）提出統(tǒng)計假設(shè)）提出統(tǒng)計假設(shè)sH 210：sH，：211不全相等不全相等. .（2）取假設(shè)統(tǒng)計量）取假設(shè)統(tǒng)計量)/()1/(snSsSFEA （3）拒絕域：）拒絕域：), 1(snsFFW 如果組間差異比組內(nèi)差異大得多，則說明如果組間差異比組內(nèi)差異大得多，則說明各水平間有顯著差異，各水平間有顯著差異，H0不真。不真。（1）提出統(tǒng)計假設(shè)）提出統(tǒng)計假設(shè)sH 210：

13、sH，：211不全相等不全相等. .（2）編制單因素試驗數(shù)據(jù)表）編制單因素試驗數(shù)據(jù)表（3）根據(jù)數(shù)據(jù)表計算）根據(jù)數(shù)據(jù)表計算， T， sjniijjx112EATSSS,（4）填制單因素方差分析表）填制單因素方差分析表單因素方差分析表單因素方差分析表n-1ST總和總和SA/s-1SE/ n-ss-1 n-sSASE因子因子A隨機誤差隨機誤差臨界值臨界值F值值均方均方自由度自由度平方和平方和方差來源方差來源)/()1/(snSsSEA ), 1(snsF （5）檢驗，若）檢驗，若)/()1/(snSsSEA ，), 1(snsF 否則接受否則接受H0 ，認(rèn)為因子，認(rèn)為因子A對指標(biāo)沒有顯著影響對指標(biāo)沒

14、有顯著影響.則拒絕則拒絕H0，例例1. 在顯著性水平在顯著性水平=0.01下，用單因素方差分析法判斷下，用單因素方差分析法判斷實例實例1中，三個工廠所生產(chǎn)的電池的平均壽命有無顯著中，三個工廠所生產(chǎn)的電池的平均壽命有無顯著差異？差異？解：解：提出統(tǒng)計假設(shè)提出統(tǒng)計假設(shè)3210H ：3211H，：不全相等不全相等. .編制單因素試驗數(shù)據(jù)表編制單因素試驗數(shù)據(jù)表18446 37 60 69 47 86 100 40 67 98 60 92 95 98 樣本樣本和和樣樣本本值值 樣本樣本均值均值 A1 A2 A3部分部分總體總體13 n T，364321 nnn sjjT1949 21121 Tnxsjn

15、iijjTS sjniijjx11275721 6444 49826783 894284 AS21211 TnTnsjjj2222949131267314986118441 216042846444 ATESSS 單因素方差分析表單因素方差分析表總和總和因子因子A隨機誤差隨機誤差臨界值臨界值F值值均方均方自由度自由度平方和平方和方差來源方差來源所以拒絕所以拒絕H0，)10, 2(01. 0F4284221606444101221422169167. 956. 7 9167. 9 f因為因為,56. 7 認(rèn)為三個工廠所生產(chǎn)的電池的平均壽命有顯著差異認(rèn)為三個工廠所生產(chǎn)的電池的平均壽命有顯著差異.1

16、22的的無無偏偏估估計計是是）（snSE 前面已說明：前面已說明：又又）（）（ jniijjjXEnXE11，j 所以所以sjXjj, 2 , 12 的無偏估計，的無偏估計，是是）（可以證明，可以證明，.,的最小二乘估計的最小二乘估計也是也是對于每個對于每個jjXj 例例2. 試驗試驗4種不同的農(nóng)藥，觀察它們的殺蟲率有無明顯種不同的農(nóng)藥，觀察它們的殺蟲率有無明顯的不同，試驗結(jié)果如下表所示的不同，試驗結(jié)果如下表所示:部分總體部分總體A1A2A3A4樣樣本本值值87.485.080.290.588.587.394.756.262.455.048.21）在顯著性水平）在顯著性水平=0.01下，問下，

17、問4種農(nóng)藥的殺蟲率的種農(nóng)藥的殺蟲率的均值是否有明顯不同？均值是否有明顯不同？2）分別求）分別求4種不同農(nóng)藥的殺種不同農(nóng)藥的殺蟲率的均值和方差的估計值。蟲率的均值和方差的估計值。解：解：編制單因素試驗數(shù)據(jù)表編制單因素試驗數(shù)據(jù)表252.6 87.4 90.5 56.2 55.0 85.0 88.5 62.4 48.2 80.2 87.3 94.7 樣本和樣本和樣樣本本值值樣本均值樣本均值 A1 A2 A3 A4部分總體部分總體84.236190.2559.3118.6103.251.6(1)提出統(tǒng)計假設(shè)提出統(tǒng)計假設(shè)43210H ：43211H，：不全相等不全相等. .，11 n T，22434321 nnnn sjjT1，4 .835 21121 TnxsjniijjTS sjniijjx11212.66308 2873.2863 21211 TnTnSsjjjA222224 .8351112 .103216 .11821361416 .25231 4373.2762 ATESSS 4373.2762