化工數(shù)學(xué)數(shù)值分析

1、數(shù)數(shù) 值值 分分 析析(科學(xué)與工程計(jì)算基礎(chǔ))主講：主講：雷雷 秀秀 仁仁華南理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系教材 應(yīng)用數(shù)值分析應(yīng)用數(shù)值分析 鄭咸義等鄭咸義等 編著編著 （華南理工大學(xué)出版（華南理工大學(xué)出版社）社）參考書目參考書目 Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) David Kincaid & Ward Cheney（機(jī)械工業(yè)出版社（機(jī)械工業(yè)出版社) Numerical Analysis (Seventh Edition) Richard L. Burden & J. Douglas

2、 Faires （高等教（高等教育出版社）育出版社） 數(shù)值分析的研究對(duì)象n 數(shù)值分析屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的范疇，是數(shù)學(xué)的一數(shù)值分析屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的范疇，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，也稱為數(shù)值計(jì)算方法、計(jì)算方法、數(shù)值個(gè)分支，也稱為數(shù)值計(jì)算方法、計(jì)算方法、數(shù)值方法等。方法等。n 其其研究對(duì)象研究對(duì)象是求解各種數(shù)學(xué)問題的是求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法數(shù)值方法的的設(shè)計(jì)、分析及其有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和具體實(shí)現(xiàn)的一設(shè)計(jì)、分析及其有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和具體實(shí)現(xiàn)的一門學(xué)科。門學(xué)科。n 它是科學(xué)與工程計(jì)算（它是科學(xué)與工程計(jì)算（科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算）的基礎(chǔ)。）的基礎(chǔ)。 許多科學(xué)與工程實(shí)際問題（如：核武器的研制、導(dǎo)彈的發(fā)射、氣象預(yù)報(bào)等）的解決都離不開科

3、學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算。 目前，理論、試驗(yàn)、計(jì)算計(jì)算已成為人類進(jìn)行科學(xué)活動(dòng)的三大方法。 數(shù)值分析的研究對(duì)象 科學(xué)計(jì)算的過程科學(xué)計(jì)算的過程，是從數(shù)學(xué)模型的提出到上機(jī)，是從數(shù)學(xué)模型的提出到上機(jī)計(jì)算得出結(jié)果的完整過程。（下計(jì)算得出結(jié)果的完整過程。（下圖表明了其中的圖表明了其中的主要步驟主要步驟和和相互關(guān)系相互關(guān)系 ）數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化離散化離散化程序化程序化數(shù)學(xué)模型數(shù)值算法編制程序上機(jī)運(yùn)行輸出結(jié)果實(shí)際問題 數(shù)值分析研究的對(duì)象 數(shù)值分析研究的對(duì)象 n 數(shù)值分析是數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與其他學(xué)科數(shù)值分析是數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與其他學(xué)科交叉交叉的產(chǎn)物的產(chǎn)物。n 本門課程將著重介紹進(jìn)行本門課程將著重介紹進(jìn)行科學(xué)計(jì)算科學(xué)計(jì)算所所必須

4、掌握的一些最基本、最常用的必須掌握的一些最基本、最常用的數(shù)值方數(shù)值方法法（數(shù)值算法），并作相關(guān)分析（數(shù)值算法），并作相關(guān)分析。數(shù)值分析的任務(wù) 對(duì)典型的數(shù)學(xué)問題給出數(shù)值求解方法對(duì)典型的數(shù)學(xué)問題給出數(shù)值求解方法( (近似方法近似方法) )，并對(duì)算法進(jìn)行理論分析，使，并對(duì)算法進(jìn)行理論分析，使得其能夠在計(jì)算機(jī)有效地得以實(shí)現(xiàn)。得其能夠在計(jì)算機(jī)有效地得以實(shí)現(xiàn)。 數(shù)值算法的數(shù)值算法的構(gòu)造構(gòu)造 算法的理論算法的理論分析分析數(shù)值分析的任務(wù) 針對(duì)數(shù)值問題研究可在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行且行之有效行之有效 的計(jì)算公式（數(shù)值算法）。 例：解線性方程組，已有Cramer法則，但不可行。 數(shù)值算法的分析，主要包括誤差分析誤差分析（數(shù)

5、值問題的性態(tài)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差、舍入誤差和穩(wěn)定性、收斂性等）和復(fù)雜性分析復(fù)雜性分析（計(jì)算量、存儲(chǔ)量）。 課程目的 學(xué)習(xí)一些常用的學(xué)習(xí)一些常用的數(shù)值方法數(shù)值方法，掌握，掌握 數(shù)值方法的基本理論，為進(jìn)一步數(shù)值方法的基本理論，為進(jìn)一步 研究和使用更復(fù)雜的數(shù)值算法奠定研究和使用更復(fù)雜的數(shù)值算法奠定 基礎(chǔ)?；A(chǔ)。 初步掌握一種科學(xué)計(jì)算軟件包 （如Matlab）的使用方法。 課程主要內(nèi)容u 插值方法；u 曲線擬合與函數(shù)逼近； 數(shù)值逼近u 數(shù)值積分與數(shù)值微分；u 線性代數(shù)方程組數(shù)值求解的直接法；u 線性代數(shù)方程組數(shù)值求解的迭代法； 數(shù)值代數(shù)u 非線性方程與方程組數(shù)值求解；u 常微分方程數(shù)值求解。 Matl

6、ab 簡(jiǎn)介第一章 緒 論主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：u 一些常用概念；u 數(shù)值算法的復(fù)雜度與穩(wěn)定性。u 數(shù)值計(jì)算中的誤差；u 數(shù)值算法設(shè)計(jì)的若干原則； 1. 1.數(shù)值分析中常用的一些概念數(shù)值分析中常用的一些概念 F 數(shù)值問題F 數(shù)值解F 算法F 計(jì)算量F 病態(tài)問題F 算法數(shù)值穩(wěn)定性 數(shù)值問題、數(shù)值解數(shù)值問題、數(shù)值解 、算法、算法 由一組已知數(shù)據(jù)（輸入數(shù)據(jù)），求出一組結(jié)果數(shù)據(jù)（輸出數(shù)據(jù)），使得這兩組數(shù)據(jù)之間滿足預(yù)先制定的某種關(guān)系的問題，稱為數(shù)值問題數(shù)值問題。 由數(shù)值計(jì)算公式算出的數(shù)值形式的解(通常由計(jì)算機(jī)計(jì)算得到)稱為數(shù)值解數(shù)值解。一般數(shù)值解是近似解。由給定的已知量，經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序

7、，求出所關(guān)心的未知量的數(shù)值解，這樣所構(gòu)成的整個(gè)計(jì)算步驟，稱為數(shù)值算法數(shù)值算法（簡(jiǎn)稱算法算法）。 計(jì)算量計(jì)算量 一個(gè)算法所需要的乘法和除法總次數(shù)乘法和除法總次數(shù)稱為計(jì)算量計(jì)算量。計(jì)算量的單位為flop，表示完成一次浮點(diǎn)數(shù)乘或除法所需要的時(shí)間。算法的計(jì)算量可以衡量算法的優(yōu)劣，因?yàn)樗w現(xiàn)著算法的計(jì)算效率，通常算法的計(jì)算量越小，則算法的計(jì)算效率越高，因而該算法也越好。 由于計(jì)算機(jī)做加減法要比乘除法快得多，故算法的計(jì)算量可以不考慮加減法的時(shí)間。 例: 設(shè)A，分別為1020，2050，5010的矩陣，計(jì)算 D=ABC 就有如下不同的算法和計(jì)算量 算法1：D=(AB)C 計(jì)算量 N1=15000 flop;

8、 算法2：D=A(BC) 計(jì)算量 N2=12000 flop. 病態(tài)問題病態(tài)問題因初始數(shù)據(jù)的微小變化，導(dǎo)致解產(chǎn)生劇烈變化問題稱為病態(tài)問題病態(tài)問題。病態(tài)問題也稱為壞問題，這類問題通常是問題本身固有問題本身固有的。 求解病態(tài)問題應(yīng)該特別注意，因?yàn)閷?shí)際問題的數(shù)據(jù)都是近似的或經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算要對(duì)輸入數(shù)據(jù)做舍入處理，這都引起原始數(shù)據(jù)的擾動(dòng)，若所求解的正好是個(gè)病態(tài)問題，則采用通常算法計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)很隱蔽的錯(cuò)誤，導(dǎo)致不良的后果。病態(tài)問題在函數(shù)計(jì)算、方程求根及方程組求解中都是存在的，它的計(jì)算或求解應(yīng)用專門的方專門的方法法或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為非病態(tài)問題轉(zhuǎn)化為非病態(tài)問題來求解。 例：病態(tài)的方程組考察方程組和 上述方程組盡管只是

9、右端項(xiàng)有微小擾動(dòng)，但解大不相同： 一個(gè)是 ，一個(gè)是 。 這類方程組稱為病態(tài)病態(tài)的。 121221.00012.0001xxxx121221.00012xxxx121xx122,0 xx算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性在計(jì)算過程中產(chǎn)生的舍入誤差能被控制在一定的范圍內(nèi)，且對(duì)最后的結(jié)果影響不大的算法稱為數(shù)值穩(wěn)定算法數(shù)值穩(wěn)定算法。不是數(shù)值穩(wěn)定的算法稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法數(shù)值不穩(wěn)定算法。 數(shù)值不穩(wěn)定算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真，對(duì)數(shù)值不穩(wěn)定的算法常采用轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)值穩(wěn)定的算法來處理 。 2. 2.對(duì)算法所要考慮的問題對(duì)算法所要考慮的問題2 20 09 9. .7 7 1 10 01. 計(jì)算速度。計(jì)算速度。 例如

10、，求解一個(gè)20階線性代數(shù)方程組，若用克萊姆法則要進(jìn)行約 次乘法運(yùn)算，如用每秒1億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要30萬年。而用Gauss消去法只需約3000次乘法運(yùn)算，用普通微機(jī)1秒之內(nèi)便可算出結(jié)果。20209.7109.71021102. 存儲(chǔ)量。存儲(chǔ)量。 大型問題有必要考慮。 3. 收斂性。收斂性。 不收斂的算法無使用價(jià)值。 4. 數(shù)值穩(wěn)定性。數(shù)值穩(wěn)定性。 在大量計(jì)算中，舍入誤差的積累能否控制住，這與算法有關(guān)。3. 3. 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差來源及種類來源及種類 - 模型誤差、參數(shù)誤差、 截?cái)嗾`差、舍入誤差。1. 模型誤差（也稱描述誤差）模型誤差（也稱描述誤差） 模型誤差是在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)

11、，由于忽略了一些次要因素而產(chǎn)生的誤差，它是數(shù)學(xué)建模階段要考慮的誤差，不是計(jì)算方法可以解決的。2. 參數(shù)誤差（也稱觀測(cè)誤差）參數(shù)誤差（也稱觀測(cè)誤差） 測(cè)量已知參數(shù)時(shí)，數(shù)據(jù)帶來的誤差 ，它也不是計(jì)算方法能解決的問題。 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差3. 截?cái)嗾`差（也稱方法誤差）截?cái)嗾`差（也稱方法誤差） 截?cái)嗾`差是對(duì)參與計(jì)算的數(shù)學(xué)公式做簡(jiǎn)化可行處理后所產(chǎn)生的誤差（用有限過程代替無限過程或用容易計(jì)算的方法代替不容易計(jì)算的方法），即數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解與精確解之間數(shù)值解與精確解之間的誤差的誤差，是計(jì)算方法關(guān)注的內(nèi)容。（舉例：P6 sinx = ）4. 舍入誤差（也稱計(jì)算誤差）舍入誤差（也稱計(jì)算誤差） 舍入

12、誤差是由于計(jì)算機(jī)只能表示有限位數(shù)字，因而只能取取有限位數(shù)進(jìn)行計(jì)算所得的誤差有限位數(shù)進(jìn)行計(jì)算所得的誤差，它也是計(jì)算方法關(guān)注的內(nèi)容。 （舉例： ）3.141592653 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差的基本概念誤差的基本概念 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 - 近似數(shù) x * 關(guān)于準(zhǔn)確數(shù) x 的絕對(duì)誤差： E(x) = x x *（或E(x *) = x x * ） - 近似數(shù) x * 關(guān)于準(zhǔn)確數(shù) x 的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限：E(x)= x x * - 工程上表示準(zhǔn)確數(shù) x 的范圍： x * x x * + 或 x = x * - 函數(shù)值的絕對(duì)誤差：Ef (x) f (x) E(x) （利用微分中值公式導(dǎo)

13、出） 舉例：f (x) = x3數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差相對(duì)誤差相對(duì)誤差 - 近似數(shù) x * 關(guān)于準(zhǔn)確數(shù) x 的相對(duì)誤差：( )( )( )( )或rr xE xE xE xE xxxxxxxx( )rE xxxx( )( )( )( )( )( )rE f xE xEfffxxf xx- 函數(shù)值的相對(duì)誤差限： - 近似數(shù) x * 關(guān)于準(zhǔn)確數(shù) x 的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限： 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差有效數(shù)字有效數(shù)字 - 用 x * 表示 x 時(shí)準(zhǔn)確準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第 k 位：1102kxx11211221 20.1010 (101010 ),01102mnnnnmnmxx xxxx

14、xx x xxx nm xx 即 其中 = 0 9，且 （最左一位非零字）； 是正整數(shù)，是整數(shù)。- 近似數(shù) x * 具有具有 n 位有效數(shù)字位有效數(shù)字：舉例1113.1415926530.314592653103.14160.31416 103.140.314 10 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系 - n 位有效數(shù)字的近似數(shù) x * 其相對(duì)誤差：11(1)11002( )nrxxEx（最左一位），且 (1)11( )11002(1)nrExxx（最左一位），且 - 相對(duì)誤差為 的近似數(shù) x * 至少具有 n 位有效數(shù)字。注：在未標(biāo)明近似數(shù)的絕對(duì)

15、誤差時(shí)默認(rèn)該近似數(shù)準(zhǔn)確到末位數(shù)字， 從其最左邊的非零數(shù)字起直到最右邊的一位數(shù)字止均為有效數(shù)字。 4. 4. 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)問題數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)問題若干原則若干原則 - 注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)； （例：秦九韶算法)避免兩個(gè)相近的數(shù)相減，減少有效 數(shù)字的損失；（例）使用數(shù)值穩(wěn)定的算法;（例:習(xí)題1.16）小心處理病態(tài)的數(shù)學(xué)問題；復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)題習(xí)題 1.1(3)(4)、1.2、1.3、1.4、 1.6、1.9 (1) 、1.15、1.162.1 插值問題的提出插值問題的提出第二章第二章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法函數(shù)近似計(jì)算的插值法( )iiyf xxf1. 在工程實(shí)際問題中,某些變量

16、之間的函數(shù)關(guān)系是存在的, 但通常不能用式子表示,只能由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到 在一系列離散點(diǎn)上的函數(shù)值. 2( )f x. 有的函數(shù)雖然有表達(dá)式,但比較復(fù)雜, 計(jì)算函數(shù)很 不經(jīng)濟(jì)且不利于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算.( ,)( ).iixfyf x希望通過這些數(shù)據(jù)計(jì)算函數(shù)在其他指定點(diǎn)處的近似值或獲取其他信息,( )( ).P xf x這兩種情況下 都希望用簡(jiǎn)單的函數(shù)來逼近原函數(shù)插值問題的提出插值問題的提出插值插值：已知a, b上的函數(shù)y= f (x)在n+1個(gè)互異點(diǎn)互異點(diǎn)處的函數(shù)值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x求簡(jiǎn)單函數(shù) P (x)，使得( )0,1,( ),*iiP xfin計(jì)算 f (x)可

17、通過計(jì)算 P (x)來近似代替。如下圖所示。yxx0 x1f0f1x2f2xifixi+1fi+1xn-1fn-1xnfnP (x)f(x)一、插值問題一、插值問題的數(shù)學(xué)提法的數(shù)學(xué)提法這就是插值問題, (*)式為插值條件,( )( )P xf x稱函數(shù)為函數(shù)的 插值函數(shù)則稱之為插值多項(xiàng)式為多項(xiàng)式函數(shù)如果,)(xP稱為插值節(jié)點(diǎn)點(diǎn), 2 , 1 , 0,nixi稱為插值區(qū)間區(qū)間,ba個(gè)等分點(diǎn)上若給定如函數(shù)5,0,sinxy 其插值函數(shù)的圖象如圖00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.

18、20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy( )( )f xP x對(duì)于被插函數(shù)和插值函數(shù)ix在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值必然相等( )( )P xf x但在節(jié)點(diǎn)外的值可能就會(huì)偏離( )( )P xf x因此近似代替必然存在著誤差（截?cái)嗾`差）整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞.為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式或有理函數(shù).本章討論的

19、就是(代數(shù)代數(shù))多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值.1. 滿足插值條件的多項(xiàng)式 P(x)是否存在且唯一？2. 若滿足插值條件的P(x)存在,又如何構(gòu)造出P(x);即插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法有哪些？3. 用P(x)代替f(x)的誤差估計(jì)，即截?cái)嗾`差的估計(jì)；對(duì)于多項(xiàng)式插值，我們主要討論以下幾個(gè)問題對(duì)于多項(xiàng)式插值，我們主要討論以下幾個(gè)問題：4. 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無限加密時(shí)，插值函數(shù)是否收斂于 f(x)。二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性( ) , yf xa b設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的代數(shù)插值多項(xiàng)式為nnnxaxaxaaxP2210)(且滿足()0,1,2, ,niiP xfin.ia其中是n+1個(gè)待定的系數(shù)

20、012( ),nnP xa a aa即多項(xiàng)式的系數(shù)滿足線性方程組20102000nnaa xa xa xf201 12111nnaa xa xa xf2012nnnnnnaa xa xa xf-(1)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式nnnnnnxxxxxxxxxV212110200111101)(ninijijxxjixx 0定理定理1. 由Cramer法則,線性方程組(1)有唯一解nnnxaxaxaaxP2210)()0,1,2,niiP xfin-(3)-(2),(jixxji若插值節(jié)點(diǎn)則滿足插值條件的次數(shù) n 的插值多項(xiàng)式存在且唯一.雖然線性方程組(1)推出的插

21、值多項(xiàng)式存在且唯一,但通過解但通過解線性方程組線性方程組(1)求插值多項(xiàng)式卻不是好方法求插值多項(xiàng)式卻不是好方法. 2.2 Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式第二章第二章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法函數(shù)近似計(jì)算的插值法若通過求解線性方程組(1)來求解插值多項(xiàng)式 系數(shù) , 不但計(jì)算工作量較大, 且難于得到ia( )nP x的簡(jiǎn)單表達(dá)式.一、一、 代數(shù)多項(xiàng)式的構(gòu)造代數(shù)多項(xiàng)式的構(gòu)造:( )nP x可通過找插值基函數(shù)的方法,得到插值多項(xiàng)式!十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家Lagrange對(duì)以往的插值算法進(jìn)行研究與整理，提出了易于掌握和計(jì)算的統(tǒng)一公式，稱為L(zhǎng)agrange插值公式插值公式。 它的特例是線性插值公式線性插值公

22、式和拋物線插值公式拋物線插值公式。Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式1. 線性插值線性插值 已知兩個(gè)插值點(diǎn)及其函數(shù)值：xx0 x1f(x)f0f1插值節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值求一次多項(xiàng)式1( ),Pxabx使得 11110001)()(fbxaxPfbxaxP 由于方程組的系數(shù)行列式0110110 xxxx所以，按所以，按Gramer法則，有唯一解法則，有唯一解01100110110011xxfxfxxxxfxfa 010110101111xxffxxffb 于是于是,)(01010110011xxxffxxfxfxxP 101001011)(fxxxxfxxxxxP 或或(B-1） 容易驗(yàn)證，過點(diǎn)

23、（容易驗(yàn)證，過點(diǎn)（x0，f0）與（）與（x1，f1）直線方程就是式）直線方程就是式（B-1），如圖），如圖2-3所示。所示。yxx0 x1P1(x)f(x)P1(x)f(x)誤差圖2-32. 拋物線插值拋物線插值 已知三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及其函數(shù)值：f2f1f0f(x)x2x1x0 x求一個(gè)二次多項(xiàng)式22( )P xabxcx使得 222222121112020002)()()(fcxbxaxPfcxbxaxPfcxbxaxP由于該方程組的系數(shù)行列式 。行列式行列式階階eVandermondxxxxxx30111222211200 所以，有唯一解。即滿足這樣條件的二次多項(xiàng)式是唯一確所以，有唯一解。即滿

24、足這樣條件的二次多項(xiàng)式是唯一確定的。定的。滿足上述條件，所以它就是所求的二次多項(xiàng)式滿足上述條件，所以它就是所求的二次多項(xiàng)式。 容易看出2120210121012002010212)()()()()()()(fxxxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxP（B-2）容易驗(yàn)證，容易驗(yàn)證，P2(x)是過點(diǎn)是過點(diǎn)(x0, f0)、(x1, f1)與與(x2, f2)三點(diǎn)的拋物線，三點(diǎn)的拋物線，如圖如圖2-4所示。所示。yxx1x0 x2P2(x)f(x)圖2-4f0f1f23. n 次次Lagrange插值插值已知 n+1 個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及其函數(shù)值：fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x插

25、值節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值求次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式Pn(x) 。2012( )nnnP xaa xa xa x使得 nnnnnnnnnnnnnnnnnfxaxaxaaxPfxaxaxaaxPfxaxaxaaxPfxaxaxaaxP2210222222102112121101002020100)()()()(維的間是的多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空所有次數(shù)不超過n1n根據(jù)線性空間的理論,11nn這個(gè)維線性空間的基也由個(gè)多項(xiàng)式組成并且形式不是唯一的n而任意一個(gè) 次多項(xiàng)式可由基線性表示且在不同的基下有不同的形式01( ),( ),( )1nxxxn設(shè)為上述維線性空間的一個(gè)基線性表示可由次多項(xiàng)式且任意)(,),(),(

26、)(10 xxxxPnnn線性無關(guān)顯然)(,),(),(10 xxxn)()()()(1100 xaxaxaxPnnn的插值函數(shù)為某個(gè)函數(shù)如果)()(xfxPn為插值基函數(shù)則稱)(,),(),(10 xxxnnifxPiin, 2 , 1 , 0)(且滿足插值條件:為插值節(jié)點(diǎn)其中nixi,2 , 1 , 0,()0,1,2,iif xfin上的一組節(jié)點(diǎn)為區(qū)間如果,210babxxxxannjxlnj,2 , 1 ,0),(次多項(xiàng)式我們作一組)()()()()()()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnjiiijixxxx0)()(nj,2 ,

27、 1 ,0010()()()()nniixxxxxxxx1( )nx令)(1jnx則)()()(1110njjjjjjjxxxxxxxxxxn+1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式)()()()()()()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnj,2 , 1 ,0且()jilx10ijijnji,2 , 1 ,0,-(4)線性無關(guān)顯然)(,),(),(),(210 xlxlxlxln)()(11jjnnxxxx從而的插值基函數(shù)作如果用)()(,),(),(),(210 xfyxlxlxlxln則的插值多項(xiàng)式為而,)()(xfxPn)()()()(1100 xla

28、xlaxlaxPnnn為待定參數(shù)、其中naaa10)(inxPnifxfii, 2 , 1 , 0)(令即njijjxla0)(nifi, 2 , 1 , 0由(4)式,可得nifaii, 2 , 1 , 0為記為項(xiàng)式為插值基函數(shù)的插值多以上在節(jié)點(diǎn)于是)(), 1 , 0()(,), 1 , 0()(,xLnixlnixxfynji0011( )( )( )( )nnnL xlx fl x flx f)(xljnjiiijixxxx0)()(其中-(6)-(5)(5)( )( )nL xyf xLagrange稱式為的插值多項(xiàng)式( ) (0,1, )jlxinnLagrange稱(6)式為 次

29、插值基函數(shù)0( )( )( )nnnkkkP xL xlxf其中其中11( )( )()()nknkkxlxxxx 這個(gè)改寫了的Lagrange插值公式插值公式，在許多理論分析中是比較有用的。Lagrange插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式:例1:15)225(,13)169(,12)144()(fffxf滿足已知.)175(,)(的近似值并求插值多項(xiàng)式的二次作fLagrangexf解:225,169,144210 xxx設(shè))(0 xl插值基函數(shù)為的二次則Lagrangexf)()()(201021xxxxxxxx2025)225)(169(xx)(1xl)()(210120 xxxx

30、xxxx1400)225)(144(xx)(2xl)()(120210 xxxxxxxx4536)169)(144(xx01212,13,15fff插值多項(xiàng)式為的二次因此Lagrangexf)(20 01 12 2( )( )( )( )L xf lxf l xf lx且)175(f)175(2L)175(15)175(13)175(12210lll73158230.13在例在例1中中,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)169和和225,也可以作插值也可以作插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式,即即1次次Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式,有兩個(gè)插值基函數(shù)有兩個(gè)插值基函數(shù),也就是也就是Lagrange線性插值

31、線性插值.Lagrange線性插值基函數(shù)(一次插值)為L(zhǎng)agrange線性插值多項(xiàng)式為0101,x xff節(jié)點(diǎn)函數(shù)值101xxxx0( )lx1( )l x010 xxxx10011( )( )( )L xlx fl x f1001xxfxx0110 xxfxx例2.).175(1fLagrange中的線性插值多項(xiàng)式求例用之間與在由于插值點(diǎn)22516917521xxx解:為插值節(jié)點(diǎn)與因此取22516921xx)(1xl212xxxx56225x)(2xl121xxxx56169xLagrange插值基函數(shù)為L(zhǎng)agrange線性插值多項(xiàng)式為11 12 2( )( )( )L xf l xf lx

32、5622513x5616915x)175(f5622517513561691751571285214.13所以二、插值余項(xiàng)二、插值余項(xiàng)插值的從上節(jié)可知Lagrangexfy)(,0( )( )nnjjjL xlx f滿足nixfxLiin, 1 , 0)()(,bax但)()(xfxLn不會(huì)完全成立因此, 插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差, 那么我們?cè)鯓庸烙?jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？1( )( )( ),( )( )( )( )( )nninnnRxf xL xxRxf xL xK xx設(shè)則 為其零點(diǎn)，可設(shè)1( )( )( )( )nnf xL xK xx01( )( )( )( )( )nntf tL tK

33、xt若引入輔助函數(shù))(x則有0的區(qū)分與注意xt)(ix且)()()(1ininxxKxR0即個(gè)零點(diǎn)上至少有在區(qū)間若令因此,2,)(,nbatxxi,0)(xni, 1 , 0nixi, 2 , 1 , 0,0)(1( )( ),( ),( )nnL xxf xt由于和為多項(xiàng)式 因此若可微 則也可微1( )( )( )( )nnf xL xK xx1()()( )()ininif xL xK xx則成立根據(jù)Rolle定理,個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間1),()(nbat再由Rolle定理,個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間nbat),()( 依此類推階導(dǎo)數(shù)為零的使得內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)在區(qū)間1)(,),(ntba0)()1

34、(n)()1(tn1()()()( )()nntf tL tK xt(1)(1)(1)1( )( )( )( )nnnnnftLtK xt由于)!1()()()1(nfxKn)()()(1xxKxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截?cái)嗾`差的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式稱xPxRnn(1)(1)(1)(1)1( )( )( )( )( )nnnnnnfLK x因此)!1()()()1(nxKfn0即定理定理1.0( ) , 1,( )( ) , , , , , ,nniif xa bnLxf xa bnxa bxa b 設(shè)在區(qū)間上階可微為在上的 次插值多項(xiàng)式 插值節(jié)點(diǎn)為則有( )nRx

35、(1)1( )( )(1)!nnfxn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依賴于Lagrange型余項(xiàng)型余項(xiàng)n=1:n=2:|)(|max)1(1xfMnbxan|)(|)(|011niinnxxxN設(shè)|)(|xRn則)()!1()(1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn插值基函數(shù)的性質(zhì)插值基函數(shù)的性質(zhì)(1)10(1)00:( )( )( )1( )( )( )(1)!( )1,1(1,2, )( )0,( )1( )1nnnniininiiinniif xLxRxl x ffxnf xfinl xfl x 插值基函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì):證明取則及故Lagrange插值算法特點(diǎn)插

36、值算法特點(diǎn)&局限性局限性 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：公式簡(jiǎn)潔公式簡(jiǎn)潔, 理論分析方便理論分析方便 直觀；直觀； 對(duì)稱；對(duì)稱；容易編程上機(jī)等。容易編程上機(jī)等。 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大 每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的所有每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的所有 系數(shù)都得重算；系數(shù)都得重算；計(jì)算量為計(jì)算量為 。 222nn下一節(jié)提出的下一節(jié)提出的Newton插值法插值法就克服了上述缺點(diǎn)。就克服了上述缺點(diǎn)。羅爾(Rolle)定理補(bǔ)充資料補(bǔ)充資料-01 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)

37、值相等，即內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即 f(a) = f(b) ，那么在那么在(a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) （a b），使得函數(shù)），使得函數(shù)f(x)在該在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：( )0 f。Rolle定理的定理的幾何意義幾何意義是：如果連續(xù)曲線是：如果連續(xù)曲線 y = f(x)的弧的弧 上上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)軸的切線且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等（相等（ f(a) = f(b) ） ，那么這弧，那么這弧 上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)C處的處的切線平行于切線平行于 x 軸（見圖軸（見圖-A）。）。BA BA 圖圖-A

38、ABCabyx （1）Lagrange中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x) 在封閉區(qū)間在封閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，那么在內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) （a 7時(shí)時(shí),舍入誤差亦會(huì)增大舍入誤差亦會(huì)增大.可知可知, Runge現(xiàn)象是由現(xiàn)象是由f(x)的高階導(dǎo)數(shù)無界所致的高階導(dǎo)數(shù)無界所致.)()!()()()()()(xwnfxLxfxRnnnn1 考考慮慮01i1 (x) a,b , (1) ( ) , ;() (2) (x) , 0,1) ( ) ( ) niffffxxC a bx xinf xkxf x定義:設(shè)是定義在區(qū)間

39、 上的函數(shù)，在結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為若函數(shù) （ ）滿足連續(xù)在子區(qū)間（上是的 次插值多項(xiàng)式。則稱 （ ）是在 , a bk上的分段次插值多項(xiàng)式。分段分段低次低次插值插值二、分段線性Lagrange插值,ix設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為,0,1,ifin函數(shù)值為,11kkkkxxxx形成一個(gè)插值區(qū)間任取兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造Lagrange線性插值1,2 , 1 ,0,1nixxhiiiiihhmax1. 分段線性插值的構(gòu)造11kkkkxxfxx11kkkkxxfxx1, 1 , 0nk-(1)-(2)( )kx顯然,當(dāng) 時(shí)1,kkkxxx 或者通過分段插值基函數(shù) 的線性組合來表示 :0 ( )niil x( )x( )x

40、0( )( ) ,niiixl x f , xa b其中0( )lx 101,xxxx01,xx x01,xx x( )il x 11,iiixxxx1,iixxx1 ,iixx x( )nlx 11,nnnxxxx1,nnxxx1,nnxxx0,11,iiixxxx0,11,iixxx0,且0( )1niil x-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-

41、101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81( )yx分段線性插值的圖象( ,) ,0,1,iix yin實(shí)際上是連接點(diǎn)的一條折線也稱折線插值,如右圖曲線的光滑性較差在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn) 但如果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量減小步長(zhǎng),會(huì)改善插值效果0lim ( )hx)(xf上連續(xù)在若,)(baxf因此則)()!1()(1)1(xnfnn由第二節(jié)定理1可知,n次Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為)()()(xPxfxRnn( )x那么分段線性插值的余項(xiàng)為1( )( )( )R xf xx)(2)

42、(1 kkxxxxf有關(guān)與且xxxxkk,1|)(|1xR| )( |max| )(|max2111 kkxxxbxaxxxxxfkk224121hM 2281hM2. 分段線性插值的誤差估計(jì)2121 f(x)C , ,(),(0,1, ), ( ) (ab), , h |f(x)- (x)|max |( ) | (6.5.1)8 iini iii na bf xyinxy l xxxa bfx 定理 設(shè)且（ ）則對(duì)任意有其中11 hmax()iii nxx 三、分段三次Hermite插值( ) , ,0,1,iif xa bxf in設(shè)函數(shù)在上的節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值為,0,1,iixf in 在

43、節(jié)點(diǎn) 上的導(dǎo)數(shù)值為1, 1 ,0,1nkxxkk對(duì)任意兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)可構(gòu)造兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式( )( )( )( )( )3011011( )( )( )( )( )kkkkkkkkkHxfxfxfxfx,1kkxxx1, 1 ,0nk插值基函數(shù)為Hermitexxxxkkkk)(),(),(),()(1)(0)(1)(0)()(0 xk)()(1xk)()(0 xk)()(1xk1121kkkxxxx21kkkxxxxkxx 211kkkxxxx21kkkxxxx1kxxkkkxxxx121211kkkxxxx其中我們稱( )331( )( ) ,0,1,1kkkHxHxxxx

44、kn 為分段三次Hermite插值多項(xiàng)式，其余項(xiàng)為)()(! 4)(max)(max)(212)4(10)(3103kknkknkxxxxfxRxR212104)()(max! 41kknkxxxxxxxMkk例2.21( )1f xx設(shè)函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值,比較幾種插值.我們分別用分段二次、三次Lagrange插值和分段兩點(diǎn)三次Hermite插值作比較解:44221104384)4)(max! 4hMxxMkknk)(3xR即 f(x)0.80000 0.307690.137930.075470.04160 H3(x) 0.81250 0.30750 0.13750 0.07537

45、0.04159 x0.51.52.53.54.8 R3(x)=f(x)-H3(x)-0.01250000000000 0.00019230769231 0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455 L2(x)0.875000.32500 0.12500 0.072060.04087 L3(x)0.800000.325000.133820.074430.04269分段低次插值的特點(diǎn)分段低次插值的特點(diǎn):計(jì)算較容易計(jì)算較容易可以解決可以解決Runge現(xiàn)象現(xiàn)象,可保證收斂性可保證收斂性但插值多項(xiàng)式分段但插值多項(xiàng)式分段插值曲線在節(jié)點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn)插值

46、曲線在節(jié)點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)尖點(diǎn),不可導(dǎo)不可導(dǎo) 習(xí)題習(xí)題 2.12.4、2.62.11、 2.13 、2.15、 2.20(1) 復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)題第二章第二章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法函數(shù)近似計(jì)算的插值法 2.6 樣條函數(shù)及三次樣條插值樣條函數(shù)及三次樣條插值 2.6 三次樣條插值三次樣條插值樣條樣條:是 指飛機(jī)或輪船等的制造過程中為描繪出光滑的外形曲線(放樣)所用的工具.樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線在拼接處,不僅函數(shù)是連續(xù)的,且一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的1946年,Schoenberg將樣條引入數(shù)學(xué),即所謂的樣條函數(shù)一、三次樣條插值函數(shù)定義定義1. 的一個(gè)分割為區(qū)間,10babxxxan:,)(

47、上滿足條件在區(qū)間如果函數(shù)baxS,)(,)(),(),()1(2baCxSbaxSxSxS 即上連續(xù)都在區(qū)間上都是三次多項(xiàng)式在每個(gè)小區(qū)間,)()2(1kkxxxS上的三次樣條函數(shù)為區(qū)間則稱,)(baxS處的函數(shù)值為在節(jié)點(diǎn)如果函數(shù)nxxxxf,)()3(10njyxfjj, 1 , 0,)(滿足而三次樣條函數(shù))(xSnjyxSjj, 1 , 0,)(上的三次樣條插值函數(shù)在為則稱,)()(baxfxS-(1)二、三次樣條插值構(gòu)造法 三轉(zhuǎn)角方法處的函數(shù)值為在節(jié)點(diǎn)如果函數(shù)nxxxxf,)(10njyxfjj, 1 , 0,)(的一個(gè)分割為區(qū)間,10babxxxan則其必滿足的三次樣條插值函數(shù)是如果,)

48、()(xfxSnjyxSjj, 1 , 0,)(1, 1,)()(limnjmxSxSjjxxj1, 1),()(lim njxSxSjxxj1, 1,)()(limnjyxSxSjjxxj-(2)條件個(gè)共要滿足上述四組)24()(nxS即然是分段函數(shù)上必在,)(baxS,)(,)(,)(11211100nnnxxxxSxxxxSxxxxS)(xS滿足三次樣條插值多項(xiàng)式兩點(diǎn)上的是,)(,)(1kkkxxxSjjkyxS)()(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk 1,2 , 1nk個(gè)條件共24 n

49、1,; 1, 2 , 1 , 0kkjnk-(3)-(4)個(gè)待定的系數(shù)應(yīng)有式上的三次樣條插值多項(xiàng)是4,)(1kkkxxxS個(gè)待定的系數(shù)必須確定即要確定nxS4)(少兩個(gè)條件并且我們不能只對(duì)插值函數(shù)在中間節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行限制也要對(duì)插值多項(xiàng)式在兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類第一類(一階一階)邊界條件邊界條件:00)(fxSnnfxS)(第二類第二類(二階二階)邊界條件邊界條件:00)(fxS nnfxS )(第三類第三類(周期周期)邊界條件邊界條件:()()001()()ppnnSxSx2 , 1 ,0p-(5)-(6)-(7)加上任何一類邊界條件(至少兩個(gè))后個(gè)好也是個(gè)待定的系數(shù)

50、的條件正必須確定確定nnxS44)(一般使用第一、二類邊界條件,即jjkyxS)()(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk 1,2 , 1nk1,; 1, 1 , 0kkjnk1,2 , 1nk1,2 , 1nkkm00)(fxSnnfxS)(-(8)00)(fxS nnfxS )(或常用第二類邊界條件.njmxSjj, 1 ,0,)(設(shè))(,)(1xSxxxfkkk上的三次插值多項(xiàng)式在小區(qū)間逐個(gè)求插值多項(xiàng)式上的兩點(diǎn)三次表示為將HermitexxxSkkk,)(1)(xSk)()()()()()(

51、11)(0)(11)(0)(3xmxmxyxyxHkkkkkkkkk11121kkkkxxxxy21kkkxxxxkkxxm211kkkxxxx21kkkxxxx11kkxxmkkkkxxxxy121211kkkxxxx-(9)kkkkkkyxxhxxhxS213)()(2)(1231)()(2kkkkkyxxhxxhkkkkmxxhxx212)()(1221)()(kkkkmxxhxx加以整理后可得并整理后得求二階導(dǎo)數(shù)對(duì),)(xSk)()2(6)(131kkkkkkyyhxxxxS kkkkmhxxx21426121246kkkkmhxxx-(10)-(11)1, 1 ,01nkxxhkkk

52、，令)(lim)(lim1xSxSkxxkxxkk 1,2 , 1nk由條件)(limxSkxxk )(612kkkyyhkkmh412kkmh)(lim1xSkxxk )(6121kkkyyh112kkmhkkmh14由于以上兩式相等,得11111)11(21kkkkkkkmhmhhmh)(321121kkkkkkhyyhyy1, 1nk個(gè)未知量個(gè)方程共個(gè)1,1nn得并加以整理除上式的兩邊用,111kkhh112kkkkkmmmkg1kkkkhhh11kkkkhhh)(3111kkkkkkkkkhyyhyyg1, 1nk-(12)1, 1nk個(gè)未知量個(gè)方程共個(gè)1,1nn(12)式稱為基本方程

53、組其中：如果問題要求滿足第一類(一階)邊界條件:00)(fxSnnfxS)(-(5)00fmnnfm-(5)基本方程組(12)化為n-1階方程組0112112fgmmkkkkkkgmmm1122, 3 ,2nknnnnnnfgmm111212-(13)即將(13)式化為矩陣形式222222122433221nnn12321nnmmmmmnnnnfggggfg11232011-(14)這是一個(gè)三對(duì)角方程組如果問題要求滿足第二類(二階自然)邊界條件:00)(fxS nnfxS )(時(shí)，稱為自然邊界條件00 nff由(11)式,可知)()2(6)(013001000yyhxxxxS 02010042

54、6mhxxx120100246mhxxx)(60120yyh004mh102mh0f )(6)(1211 nnnnnyyhxS112nnmhnnmh14nf -(15)-(16)整理后得的方程式是關(guān)于,)16)(15(110nnmmmm0000110232fhhyymm nnnnnnnfhhyymm 23211110gng-(17)-(18)與基本方程組(12)聯(lián)合,并化為矩陣形式,得212222121132211nnnnmmmmm1210nnggggg1210-(19)(19)式與(14)一樣,都是三對(duì)角方程組,并且都嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)可以使用追趕法求解,并且解是唯一的對(duì)于問題要求滿足第三類(周期

55、)邊界條件請(qǐng)同學(xué)們自己思考現(xiàn)在回到現(xiàn)在回到(10)式式后解出式或通過nmmm,)19()14(10式代入將)10(,10nmmm)()(,),(),(110 xSxSxSxSn三次樣條插值函數(shù)從而得到便可得到思考：5 , 5112xxy函數(shù)使用不同的插值方法于定理定理 . 次樣條插值函數(shù)，滿足任意邊界條件的三為節(jié)點(diǎn)是以設(shè),), 1 ,0()(,)(2nkxxSbaCxfk,min,max,10101iniiniiiihhhxxh設(shè)時(shí)則當(dāng) ch)()(,)()(xfxfbaxSxS和上一致收斂到在和最后，給出一個(gè)有用的結(jié)論則有且若,)(4baCxf)(|)()(|max4)()(kkkbxaho

56、xSxf2 , 1k 復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)題 習(xí)題習(xí)題 2.26、2.27第三章第三章 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法 / /函數(shù)平方逼近初步函數(shù)平方逼近初步曲線擬合問題曲線擬合問題: (建立試驗(yàn)數(shù)據(jù)的模型) 在實(shí)際應(yīng)用中，往往并不需要曲線通過給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而只要求用曲線(函數(shù))近似代替給定的列表函數(shù)時(shí)，其 誤差在某種度量意義下最小。函數(shù)逼近問題函數(shù)逼近問題: (連續(xù)函數(shù)的逼近) 在實(shí)際應(yīng)用中常需為解析式子比較復(fù)雜的函數(shù)尋找一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來近似代替它，并要求其誤差在某種度量意義下最小。可統(tǒng)稱為最佳逼近問題最佳逼近問題 3.1 擬合與逼近問題擬合與逼近問題插值法是使用插值多項(xiàng)式來逼近未知或復(fù)雜函數(shù)

57、的，它要求插值函數(shù)與被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相同 ，而在其他點(diǎn)上沒有要求。在非插值節(jié)點(diǎn)上有時(shí)函數(shù)值會(huì)相差很大。若要求在被插函數(shù)的定義區(qū)間上都有較好的近似，就是最佳逼近問題。必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么是最佳逼近. 最佳一致逼近最佳一致逼近是在函數(shù)空間 M中選 P(x) 滿足 但由于絕對(duì)值函數(shù)不宜進(jìn)行分析運(yùn)算，常替之以來討論，于是最佳逼近問題變?yōu)樽罴哑椒奖平鼏栴} 這即為連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近.對(duì)于離散的問題，最佳平方逼近問題為:就是常說的曲線擬合的最小二乘法. (*)min)()(maxxpxfbxamin)()()(2dxxxpxfbamin)()(20 xpxfiimii二二. 預(yù)備知識(shí)

58、預(yù)備知識(shí)K,(u,v),:(1) (u, u)0, (u, u)=0u=0;(2) (u, v)=(u, v);(3) ( u, v)= (u, v), K;(4) (u+v, w)=(u, w)+(v, w), wX,(u, v) u v X設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間,若對(duì) u,vX,有 中一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng) 記為其滿足且則 稱為 與的內(nèi)積; 而定義了內(nèi)積的線性空間 稱為內(nèi)積空間.內(nèi)積內(nèi)積:常采用的內(nèi)積與范數(shù)常采用的內(nèi)積與范數(shù)n12121. Rxyx(,)y(,)iiiTnTnx yx xxy yyni=1向量空間上的內(nèi)積:( , )=212: x(x,x)niiix由內(nèi)積定義范數(shù)（滿足三個(gè)條件）

59、范數(shù)2. , :, , ,( , )( ) ( );( , )( ) ( ) ( ),( ).babaC a bf gC a bf gf x g x dxf gx f x g x dxx 連續(xù)函數(shù)空間 上的內(nèi)積設(shè) 定義內(nèi)積:及加權(quán)內(nèi)積為權(quán)函數(shù)1122222:( , )( )( )baff fx fx dx范數(shù)0123.1.1, , ,(Gram)nC a b 定理設(shè)由他們的內(nèi)積構(gòu)成的矩陣 稱矩陣G ),(),(),(01000n),(),(),(11101n),(),(),(10nnnn012G,.n 則 非奇異的充分必要條件是:線性無關(guān) 1.正交函數(shù)族與正交多項(xiàng)式 定義1 若f(x),g(x

60、)Ca,b, (x)為a,b上的權(quán)函數(shù) 且滿足: 則稱f(x)與g(x)在a,b上帶權(quán)(x)正交正交。 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式 若函數(shù)族 0(x), 1(x), , n(x), 滿足關(guān)系 則稱k(x)是a,b上帶權(quán)(x)的正交函數(shù)族正交函數(shù)族。 例如，三角函數(shù)族 1 ,cosx , sinx , cos2x , sin2x , 就是在區(qū)間 -, 上的正交函數(shù)族。 定義2 設(shè) n(x) 是a,b上首項(xiàng)系數(shù) an0 的 n次多項(xiàng)式,(x)為a,b上權(quán)函數(shù)，如果多項(xiàng)式序列 滿足關(guān)系式: 則稱為多項(xiàng)式序列 為在a,b上帶權(quán)(x)正正交交，稱n(x)為a,b上帶權(quán)(x)的n次正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式。 只要給定區(qū)間a,b及權(quán)函數(shù)(