時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

1、1第五章第五章時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗2本章要點本章要點 平穩(wěn)性的定義 平穩(wěn)性的檢驗方法（ADF檢驗） 偽回歸的定義 協(xié)整的定義及檢驗方法（AEG方法） 誤差修正模型的含義及表示形式3第一節(jié)第一節(jié) 隨機過程和平穩(wěn)性原理隨機過程和平穩(wěn)性原理 一、隨機過程 一般稱依賴于參數(shù)時間t的隨機變量集合 為隨機過程。 例如，假設(shè)樣本觀察值y1，y2,yt是來自無窮隨機變量序列y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 的一部分，則這個無窮隨機序列稱為隨機過程。 ty4 隨機過程中有一特殊情況叫白噪音，其定義如下：如果隨機過程服從的分布不隨時間改變，且 ()0tE y（對所有t） 22yv

2、ar()()ttyE y 常數(shù)（對所有t）cov(,)(*)0tstsy yE yy （ ）ts那么，這一隨機過程稱為白噪聲。 5 二、平穩(wěn)性原理 如果一個隨機過程的均值和方差在時間過程上都是常數(shù)，并且在任何兩時期的協(xié)方差值僅依賴于該兩時期間的距離或滯后，而不依賴于計算這個協(xié)方差的實際時間，就稱它為平穩(wěn)的。6 平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)： 均值 （對所有t） 方差 （對所有t） 協(xié)方差 （對所有t） 其中 即滯后k的協(xié)方差或自(身)協(xié)方差， 是 和 ，也就是相隔k期的兩值之間的協(xié)方差。 ()tE y22var()()ttyE y()()ktt kE yyktyt ky7 三、偽回歸現(xiàn)象 將一個隨機游走

3、變量（即非平穩(wěn)數(shù)據(jù)）對另一個隨機游走變量進行回歸可能導(dǎo)致荒謬的結(jié)果，傳統(tǒng)的顯著性檢驗將告知我們變量之間的關(guān)系是不存在的。 有時候時間序列的高度相關(guān)僅僅是因為二者同時隨時間有向上或向下變動的趨勢，并沒有真正的聯(lián)系。這種情況就稱為“偽回歸”（Spurious Regression）。8第二節(jié)第二節(jié) 平穩(wěn)性檢驗的具體方法平穩(wěn)性檢驗的具體方法 一、單位根檢驗 （一）單位根檢驗的基本原理 David Dickey和Wayne Fuller的單位根檢驗（unit root test）即迪基富勒（DF）檢驗，是在對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗中比較經(jīng)常用到的一種方法。9 DF檢驗的基本思想：從考慮如下模型開始：1tt

4、tYYu（5.1） 其中 即前面提到的白噪音（零均值、恒定方差、非自相關(guān)）的隨機誤差項。tu10由式(5.1),我們可以得到：121tttYYu (5.2) 232tttYYu (5.3)TT-1TtttYYu (5.4) 11 依次將式(5.4)(5.3)、(5.2)代入相鄰的上式，并整理，可得：T2TtT12T.tttttYYuuuu （5.5）根據(jù) 值的不同，可以分三種情況考慮：（1）若 1，則當T時， 0，即對序列的沖擊將隨著時間的推移其影響逐漸減弱，此時序列是穩(wěn)定的。T12 （2）若 1，則當T時， ，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響反而是逐漸增大的，很顯然，此時序列是不穩(wěn)定的。

5、（3 ）若 =1，則當T時， =1，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響是不變的，很顯然，序列也是不穩(wěn)定的。 TT13 對于式（5.1），DF檢驗相當于對其系數(shù)的顯著性檢驗，所建立的零假設(shè)是：H0 ： 如果拒絕零假設(shè)，則稱Yt沒有單位根，此時Yt是平穩(wěn)的；如果不能拒絕零假設(shè)，我們就說Yt具有單位根，此時Yt被稱為隨機游走序列（random walk series）是不穩(wěn)定的。 114 方程（5.1）也可以表達成： 11(1)tttttYYuYu （5.6） 其中 = - ， 是一階差分運算因子。此時的零假設(shè)變?yōu)椋篐0： =0。注意到如果不能拒絕H0，則 = 是一個平穩(wěn)序列，即 一階差分后是一個平

6、穩(wěn)序列，此時我們稱一階單整過程（integrated of order 1）序列，記為I (1)。 tYtY1tYtYtutY15 I (1)過程在金融、經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)中是最普遍的，而I (0)則表示平穩(wěn)時間序列。 從理論與應(yīng)用的角度，DF檢驗的檢驗?zāi)Ｐ陀腥缦碌娜齻€： 11(1)ttttttYYuYYu 即 （5.7）1111(1)ttttttYYuYYu 即 （5.8）121121(1)ttttttYtYuYtYu 即 （5.9）16 其中t是時間或趨勢變量，在每一種形式中，建立的零假設(shè)都是：H0： 或H0： ，即存在一單位根。（5.7 ）和另外兩個回歸模型的差別在于是否包含有常數(shù)（截距）

7、和趨勢項。如果誤差項是自相關(guān)的，就把（5.9）修改如下：101211mttit itiYtYY（5.10） 17 式（5.10）中增加了 的滯后項，建立在式（5.10）基礎(chǔ)上的DF檢驗又被稱為增廣的DF檢驗（augmented Dickey-Fuller，簡記ADF）。ADF檢驗統(tǒng)計量和DF統(tǒng)計量有同樣的漸近分布，使用相同的臨界值。tY18 （二）ADF檢驗?zāi)Ｐ偷拇_定 首先，我們來看如何判斷檢驗?zāi)Ｐ褪欠駪?yīng)該包含常數(shù)項和時間趨勢項。解決這一問題的經(jīng)驗做法是：考察數(shù)據(jù)圖形 其次，我們來看如何判斷滯后項數(shù)m。在實證中，常用的方法有兩種： 19 （1）漸進t檢驗。該種方法是首先選擇一個較大的m值，然后

8、用t檢驗確定系數(shù)是否顯著，如果是顯著的，則選擇滯后項數(shù)為m;如果不顯著，則減少m直到對應(yīng)的系數(shù)值是顯著的。 （2）信息準則。常用的信息準則有AIC信息準則、SC信息準則，一般而言，我們選擇給出了最小信息準則值的m值20 二、非平穩(wěn)性數(shù)據(jù)的處理 一般是通過差分處理來消除數(shù)據(jù)的不平穩(wěn)性。即對時間序列進行差分，然后對差分序列進行回歸。對于金融數(shù)據(jù)做一階差分后，即由總量數(shù)據(jù)變?yōu)樵鲩L率，一般會平穩(wěn)。但這樣會讓我們丟失總量數(shù)據(jù)的長期信息，而這些信息對分析問題來說又是必要的。這就是通常我們所說的時間序列檢驗的兩難問題。21第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)整的概念和檢驗協(xié)整的概念和檢驗 一、協(xié)整的概念和原理 有時雖然兩個變量

9、都是隨機游走的，但它們的某個線形組合卻可能是平穩(wěn)的。在這種情況下，我們稱這兩個變量是協(xié)整的。 比如：變量Xt和Yt是隨機游走的，但變量Zt=Xt+Yt可能是平穩(wěn)的。在這種情況下，我們稱Xt和Yt是協(xié)整的，其中 稱為協(xié)整參數(shù)（cointegrating parameter）。 22 為什么會有協(xié)整關(guān)系存在呢？ 這是因為雖然很多金融、經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)都是不平穩(wěn)的，但它們可能受某些共同因素的影響，從而在時間上表現(xiàn)出共同的趨勢，即變量之間存在一種穩(wěn)定的關(guān)系，它們的變化受到這種關(guān)系的制約，因此它們的某種線性組合可能是平穩(wěn)的，即存在協(xié)整關(guān)系。 23 假如有序列Xt和Yt，一般有如下性質(zhì)存在： (1) 如果

10、Xt I (0)，即Xt是平穩(wěn)序列，則a+bXt也是I (0)； (2) 如果Xt I (1)，這表示Xt只需經(jīng)過一次差分就可變成平穩(wěn)序列。那么a+bXt也是I (1)； (3) 如果Xt和Yt都是I (0)，則aXt+bYt是I (0) ；24 （4）如果Xt I (0)，Yt I (1)，則aXt+bYt是I (1)，即I (1)具有占優(yōu)勢的性質(zhì)。 （5）如果Xt和Yt都是I (1)，則aXt+bYt一般情況下是I (1)，但不保證一定是I (1)。如果該線性組合是I (0)，Xt和Yt就是協(xié)整的，a、b就是協(xié)整參數(shù)。25 二、協(xié)整檢驗的具體方法 （一）EG檢驗和CRDW檢驗 假如Xt和Y

11、t都是I (1)，如何檢驗它們之間是否存在協(xié)整關(guān)系，我們可以遵循以下思路： 首先用OLS對協(xié)整回歸方程 進行估計。 然后，檢驗殘差 是否是平穩(wěn)的。因為如果Xt和Yt沒有協(xié)整關(guān)系，那么它們的任一線性組合都是非平穩(wěn)的，殘差 也將是非平穩(wěn)的。tetetttyx26 檢驗 是否平穩(wěn)可以采用前文提到的單位根檢驗，但需要注意的是，此時的臨界值不能再用(A)DF檢驗的臨界值，而是要用恩格爾和格蘭杰（Engle and Granger）提供的臨界值，故這種協(xié)整檢驗又稱為（擴展的）恩格爾格蘭杰檢驗(簡記(A)EG檢驗）。 te27 此外，也可以用協(xié)整回歸的Durbin-Watson統(tǒng)計檢驗（Cointegrat

12、ion regression Durbin-Watson test,簡記CRDW）進行。CRDW檢驗構(gòu)造的統(tǒng)計量是： 212()( )ttteeDWe對應(yīng)的零假設(shè)是：DW=028 若 是隨機游走的，則 的數(shù)學(xué)期望為0，所以Durbin-Watson統(tǒng)計量應(yīng)接近于0，即不能拒絕零假設(shè)；如果拒絕零假設(shè)，我們就可以認為變量間存在協(xié)整關(guān)系。 上述兩種方法存在如下的缺點： （1）CRDW檢驗對于帶常數(shù)項或時間趨勢加上常數(shù)項的隨機游走是不適合的，因此這一檢驗一般僅作為大致判斷是否存在協(xié)整的標準。 （2）對于EG檢驗，它主要有如下的缺點：te1()ttee29 當一個系統(tǒng)中有兩個以上的變量時，除非我們知道該

13、系統(tǒng)中存在的協(xié)整關(guān)系的個數(shù)，否則是很難用EG法來估計和檢驗的。因此，一般而言，EG檢驗僅適用于包含兩個變量、即存在單一協(xié)整關(guān)系的系統(tǒng)。 仿真試驗結(jié)果表明，即使在樣本長度為100時，協(xié)整向量的OLS估計仍然是有偏的，這將會導(dǎo)致犯第二類錯誤的可能性增加，因此在小樣本下EG檢驗結(jié)論是不可靠的。30 （二）Johansen協(xié)整檢驗。 （1）Johansen協(xié)整檢驗的基本思想 其基本思想是基于VAR模型將一個求極大似然函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一個求特征根和對應(yīng)的特征向量的問題。 下面我們簡要介紹一下Johansen協(xié)整檢驗的基本思想和內(nèi)容： 31 對于如下的包含g個變量，k階滯后項的VAR模型：t1t-12t-

14、2kt-ktyy +y +.y +u（5.11）假定所有的g個變量都是I(1)即一階單整過程。其中，yt、yt-1yt-k為g1列向量，12k為gg系數(shù)矩陣， 為白噪音過程的隨機誤差項組成的g1列向量。 tu32 對式5.11做適當?shù)淖儞Q，可以得到如下的以VECM形式表示的模型： tt-k1t-12t-2k-1t-(k-1)tyy +y +y +.y+u （5.12）其中 ，Ig為g階單位矩陣，kigj 1()I iijgj 1()I 33 我們所感興趣的是 系數(shù)矩陣，它可以看作是一個代表變量間長期關(guān)系的系數(shù)矩陣。因為在長期達到均衡時，式5.12所有的差分變量都是零向量， 中隨機誤差項的期望值

15、為零，因此我們有 =0，表示的是長期均衡時變量間的關(guān)系。tut-ky34 對變量之間協(xié)整關(guān)系的檢驗可以通過計算 系數(shù)矩陣的秩及特征值來判斷。將 系數(shù)矩陣的特征值按照從大到小的順序排列，即： 。如果變量間不存在協(xié)整關(guān)系（即長期關(guān)系），則的秩就為零 。12g.35 Johansen協(xié)整檢驗有兩個檢驗統(tǒng)計量： 跡檢驗統(tǒng)計量 ： ，其中r為假設(shè)的協(xié)整關(guān)系的個數(shù)， 為 的第i個特征值的估計值（下同）。對應(yīng)的零假設(shè)是：H0：協(xié)整關(guān)系個數(shù)小于等于r；被擇假設(shè)：H1：協(xié)整關(guān)系個數(shù)大于r。 最大特征值檢驗統(tǒng)計量 ： 對應(yīng)的零假設(shè)：H0：協(xié)整關(guān)系個數(shù)等于r；相應(yīng)的被擇假設(shè)：H1:協(xié)整關(guān)系個數(shù)為r+1。traceg

16、traceii=r+1=-Tln(1-)imaxmaxr+1(r,r+1)=-Tln(1-)36 首先看 ， 跡檢驗實際上是一個聯(lián)合檢驗： ，因為當 時， 也為零，且在 范圍內(nèi)， 越大， 越小， 越大。如果 大于臨界值，則拒絕零假設(shè)，說明存在的協(xié)整個數(shù)大于r，這時應(yīng)繼續(xù)檢驗新的零假設(shè)：協(xié)整關(guān)系個數(shù)小于等于r+1直至 小于臨界值。 tracer+1r+2g=0.=i=0iln(1- )i0 1iiln(1- )tracetracetrace37 再來看 。當 大于臨界值時，我們拒絕協(xié)整關(guān)系個數(shù)等于r的原假設(shè)，然后繼續(xù)檢驗新的假設(shè)：協(xié)整關(guān)系個數(shù)為r+1，直到 小于臨界值 。maxmaxmaxnJo

17、hansen協(xié)整檢驗的臨界值已由Johansen給出。在實際應(yīng)用中，上述兩個檢驗可以同時使用，一般而言，兩種檢驗給出的結(jié)果是相同的，但也可能會給出不同的結(jié)論。 38 （2）Johansen協(xié)整檢驗?zāi)Ｐ托问降拇_定。 Johansen協(xié)整檢驗方程形式的確定包括兩部分：一是確定VECM模型和 是否應(yīng)包含常數(shù)項和時間趨勢項；二是確定滯后項數(shù)（即k值）。 對于前者，我們可以根據(jù)變量的數(shù)據(jù)圖形來檢驗（同ADF檢驗）；對于后者，我們可以利用前面ADF檢驗中提到的漸進t檢驗和信息準則法。t-ky39 （3）如何在Eviews軟件中做Johansen協(xié)整檢驗 下面我們通過一個例子說明如何在Eviews軟件中做J

18、ohansen協(xié)整檢驗。 例5.1：對我國貨幣政策傳導(dǎo)機制信貸渠道的實證檢驗 40 利用我國的數(shù)據(jù)對信貸渠道進行實證分析，來看變量之間是否存在長期穩(wěn)定的關(guān)系，即協(xié)整關(guān)系。我們以貨幣供應(yīng)量M1和M2作為貨幣政策的起始變量，以金融機構(gòu)貸款余額(DEBT)表示信貸量，以其作為中間變量，以GDP和零售物價指數(shù)（CPI）作為貨幣政策的效果變量。 41 1、對原始數(shù)據(jù)進行適當?shù)奶幚恚缂竟?jié)調(diào)整、對數(shù)化等。 2、對變量進行平穩(wěn)性檢驗。 3、如果變量水平值是不平穩(wěn)的，我們就要對它的一階差分進行平穩(wěn)性檢驗 。 4、進行協(xié)整檢驗 ，并進行濟濟學(xué)意義上的分析。42第四節(jié)第四節(jié) 誤差修正模型誤差修正模型 Engle和

19、Granger于1987年提出了誤差修正模型的完整定義并加以推廣。 假設(shè)Yt和Xt之間的長期關(guān)系式為： 1ttYK X（5.13） 式中，K和 為估計常量。例如，Y可以是商品的需求量，X則是價格。 就是Y對X的長期彈性。 1143 對式（5.13）兩邊取對數(shù)可得： 所以當y不處在均衡值的時候，等式兩邊就會有一個差額存在，即 （5.15） 來衡量兩個變量之間的偏離程度。當X、Y處于均衡的時候，這時誤差值為零。*101lnlnlntttYKXxt 或 y（5.14）我們用小寫字母表示對數(shù)，其中 =ln(K)。但是這種均衡情況在經(jīng)濟體系中是很少存在的。 *0*01ttyx44 由于X和Y通常處于非均

20、衡狀態(tài)，可以建立一個包含X和Y滯后項的短期或非均衡關(guān)系，假設(shè)采取如下形式： 01211tttttyb bx bxy 01 （5.16）（5.16）式是基礎(chǔ)的形式，只包括一階滯后項，說明對于變量X的變化，變量Y需要一段時間進行調(diào)整。45 在對（5.16）進行估計的時候，其中的變量可能是不平穩(wěn)的，不能運用OLS估計，否則將出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。對此，重新進行轉(zhuǎn)化。兩邊分別減去yt-1 ：得 并進一步進行變化： 即， （5.18）101211(1)tttttty yb bx bxy （5.17）1011111211(1)ttttttttyyb bx bxbxbxy 011211()tttttybb xbb

21、 xy 46 并進一步進行變化：1011111211(1)ttttttttyyb bx bxbxbxy ，即： 011211()tttttybb xbb xy （5.18）在這里 。我們對上式進行重新整理，得到： (1)47 在這里 。我們對上式進行重新整理，得到： 01111()tttttybb xyx （5.19） 其中定義新變量1=（b1+b2）/ ，并進一步進行變換得到： 11011()tttttybxyx （5.20）其中定義第二個新變量0=b0/ 。 (1)48 根據(jù)式（5.20），Y的當前變化決定于X的變換以及前期的非均衡程度，也就是說前期的誤差項對當期的Y值進行調(diào)整。所以（5.

22、20）就是一階誤差修正模型，也是最簡單的形式。 表示系統(tǒng)對均衡狀態(tài)的偏離程度，可以稱之為“均衡誤差”。 在模型（5.20）中， 描述了對均衡關(guān)系偏離的一種長期調(diào)解。這樣在誤差修正模型中，長期調(diào)節(jié)和短期調(diào)節(jié)的過程同樣被考慮進去。因而，誤差修正模型的優(yōu)點在于它提供了解釋長期關(guān)系和短期調(diào)節(jié)的途徑。11011tttyx1011ttyx49 當 且 的時候，后者意味著 比均衡值高出太多。由于 ，那么 ，因此 。換句話說，如果 高于均衡值水平，那么在下一個時間段， 會開始下降，誤差值就會被慢慢修正，這就是所說的誤差修正模型。當 ，則是完全相反的情況，整個機制是相同的。 0tx10t1ty010t0ty1t

23、y1ty10t50 誤差修正模型包含了長期和短期的信息。長期的信息包含在 項里，因為仍然是長期乘數(shù)，且誤差項來自x和y的回歸方程。短期信息一部分顯示在均衡誤差項中，即當y處于非均衡狀態(tài)時，在下一期里會由于誤差項的調(diào)整慢慢向均衡值靠攏；另一部分信息來自Xt，解釋變量的概括。這一項表明，當x發(fā)生變化，y也會相應(yīng)的發(fā)生變化。 1t51第五節(jié)第五節(jié) 因果檢驗因果檢驗 因果關(guān)系檢驗主要有兩種：格蘭杰（Granger）因果檢驗和希姆斯（Sims）檢驗 一、格蘭杰因果檢驗 該理論的基本思想是：變量x和y，如果x的變化引起了y的變化，x的變化應(yīng)當發(fā)生在y的變化之前。即如果說“x是引起y變化的原因”，則必須滿足

24、兩個條件： 52 第一，x應(yīng)該有助于預(yù)測y，即在y關(guān)于y的過去值的回歸中，添加x的過去值作為獨立變量應(yīng)當顯著的增加回歸的解釋能力。 第二，y不應(yīng)當有助于預(yù)測x，其原因是如果x有助于預(yù)測y，y也有助于預(yù)測x，則很可能存在一個或幾個其他的變量，它們既是引起x變化的原因，也是引起y變化的原因。53 要檢驗這兩個條件是否成立，我們需要檢驗一個變量對預(yù)測另一個變量沒有幫助的原假設(shè)。首先，檢驗“x不是引起y變化的原因”的原假設(shè)，對下列兩個回歸模型進行估計： 無假設(shè)條件回歸： 有假設(shè)條件回歸：11mmitiititiiYYX （5.21）1mititiYY （5.22）54 然后用各回歸的殘差平方和計算F統(tǒng)計值，檢驗系數(shù)1，2，m是否同時顯著的不為0。如果是這樣，我們就拒絕“x不是引起y變化的原因”的原假設(shè)。 55 其中F統(tǒng)計值的構(gòu)成為：()()RURURRSSRSSFNKq RSS （5.23）其中 和 分別為有限制條件回歸和無限制條件回歸的殘差平方和；N是觀察個數(shù)；K是無限制條件回歸參數(shù)個數(shù)；q是參數(shù)限制個數(shù)。該統(tǒng)計量服從F(q, N-K)分布。RRSSURRSS56 顯然，如果F統(tǒng)計值大于臨界值，我們就拒絕原假設(shè)，得到x是引起y變化的原因。反之，接受原假設(shè)。 接下來，檢驗“y不是引起x變化的原因”的原假設(shè)，做同樣的回歸估