高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第37講)不等式綜合問題

1、題目 第六章不等式不等式綜合問題高考要求 1熟練運(yùn)用不等式的知識綜合解決函數(shù)、方程等中的有關(guān)問題2在掌握一次函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)的最值以及在定區(qū)間上的最值問題，學(xué)會變量的轉(zhuǎn)換，掌握：恒正、恒負(fù)、解集為R、解集為空集的實(shí)際含義并且會轉(zhuǎn)化3掌握 “兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)”，并能運(yùn)用此定理解決一些問題4能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，尋找出該數(shù)學(xué)模型中已知量與未知量，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題5通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力在應(yīng)用不等式的基本知識、方法

2、、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識知識點(diǎn)歸納 1兩個(gè)正數(shù)的均值不等式是： 三個(gè)正數(shù)的均值不等式是： n個(gè)正數(shù)的均值不等式是：2兩個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是3. 雙向不等式是：左邊在時(shí)取得等號，右邊在時(shí)取得等號4不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進(jìn)作用在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中諸如集合問題

3、，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明5不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數(shù)學(xué)問題，40作答題型講解 例1 某電腦用戶計(jì)劃使用不超過450元的資金購買單價(jià)分別為60元，70元的單

4、元軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少要買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有（ ）A5種 B 6種 C 7種 D 8種解:設(shè)購買軟件片, 且,磁盤盤, 且,則,即當(dāng)=3時(shí), =2, 或=3 ; 當(dāng)=4時(shí), =2, 或=3 ; 當(dāng)=5時(shí), =2綜上述，共有5種不同的選購方式，故選A例2 已知，求的范圍分析：先利用解含絕對值的不等式的方法及積（商）的符號法則解不等式求出A和B，再利用數(shù)軸表示出A和B，得到時(shí)應(yīng)滿足的條件，從而求出的范圍解： 由：例3 已知某種商品的定價(jià)上漲成（1成即為，成即為），其銷售量便相應(yīng)減少成，按規(guī)定，稅金是從銷售額中按一定的比例繳納，如果這種商品的定價(jià)無論如何變化，從銷

5、售額中扣除稅金后的金額總比漲價(jià)前的銷售額少，試求這時(shí)稅率的取值范圍(精確到01% )注:本小題考查建立函數(shù)關(guān)系式,解不等式的知識,數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,建模能力和解決問題的能力解：設(shè)原定價(jià)為元/件，原銷售量為件，則原銷售額為元，由已知得 式恒成立，<0，解得，故111%<<1,即稅率的取值范圍(111%,100%)例4已知對任意q都有cos2q2msinq2m2恒小于0，求m的取值范圍解法一：設(shè)y= cos2q2msinq2m2=(sinq+m)2+m22m1 1£sinq£1, (1)1£m£1 Þsinq=m時(shí)，y的最大值為m22

6、m1,由m22m1<0,得 1<m<1+Þ1<m£1;(2)m>1 Þsinq=1時(shí)，y的最大值為2<0恒成立；(3)m<1 Þsinq=1時(shí)，y的最大值=4m2<0Þm>1/2與m<1矛盾綜合即得：m (1,+¥)解法二：對任意q都有cos2q2msinq2m2恒小于0，等價(jià)于 sin2q2msinq2m1<0恒成立等價(jià)于2m(sinq+1) < sin2q+1恒成立當(dāng)sinq=1時(shí)，顯然成立；當(dāng)1< sinq£1時(shí)，2m< (sin2q+

7、1)/ (sinq+1) 恒成立 (sin2q+1)/ (sinq+1)22 2m<22 m>1例5若拋物線上總存在關(guān)于直線的異于交點(diǎn)的兩個(gè)對稱點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍 解法一：（對稱曲線相交法）曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為如果拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，則兩曲線與必有不在直線上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖所示)，從而可由： 代入得有兩個(gè)不同的解，解法二：（對稱點(diǎn)法）設(shè)拋物線上存在異于于直線的交點(diǎn)的點(diǎn)，且關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也在拋物線上 則 必有兩組解(1)-(2)得 必有兩個(gè)不同解，有解 從而有 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解即 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解 ， 解法三：（點(diǎn)差法）設(shè)拋物線上以為端點(diǎn)的弦關(guān)于

8、直線對稱，且以為中點(diǎn)是拋物線（即）內(nèi)的點(diǎn) 從而有由 (1)-(2)得 由從而有例6 大樓共有n層，現(xiàn)每層指派一人，共n個(gè)人集中到第k層開會 試問如何確定k，能使各位參加會議人員上、下樓梯所走路程總和最??？（假設(shè)相鄰兩層樓梯長都一樣）解：設(shè)相鄰兩層樓梯長為a ，則問題轉(zhuǎn)化為下列和式S的最小值的探求：S = S（k) = a 1 +2 +3 + ××× + (k1) + a 1 +2 + ××× + （n k ) = a k 2 (n +1) k + (n 2 + n) 目標(biāo)函數(shù)S（k)為 k的二次函數(shù)，且a > 0 ，故當(dāng)n為奇數(shù)

9、時(shí)，取k = ，S最?。划?dāng)為n偶數(shù)時(shí)，取k = 或 ，S最小 例7 已知三條拋物線中至少有一條與軸有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：用反證法，假設(shè)三條拋物線中沒有一條與軸有交點(diǎn)，則三條拋物線中至少一條與軸有交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為：例8 已知函數(shù)（1）求證：函數(shù)上是增函數(shù) （2）若上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 （3）若函數(shù)上的值域是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）當(dāng)用定義或?qū)?shù)證明單調(diào)性均可（2）上恒成立設(shè)上恒成立可證單調(diào)增 故的取值范圍為（3）的定義域?yàn)楫?dāng)上單調(diào)增 故有兩個(gè)不相等的正根m，n，當(dāng)時(shí)，可證上是減函數(shù)綜上所述，a的取值范圍為例9設(shè)關(guān)于x的方程2x2ax2=0的兩根為、（），函數(shù)（）求f

10、()·f ()的值；（）證明f (x)是，上的增函數(shù)；（）當(dāng)a為何值時(shí)，f (x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最小？解：（）由題意知，·1，22，f ()·f ()（）證明：當(dāng)x時(shí)， 、是方程2x2ax2=0的兩根， 當(dāng)x時(shí)，恒有2x2ax20，0，又不是常函數(shù)，是，上的增函數(shù)（）f (x)在區(qū)間，上的最大值f ()0，最小值f ()0，又| f ()·f () |4，f ()f ()| f ()| f ()|當(dāng)且僅當(dāng)| f ()| f ()|2時(shí)取“”號，此時(shí)f ()2，f ()2 由（1）、（2）得 ，a0為所求小結(jié)：1把不等式作為一種工具，應(yīng)用于

11、其他課題之中，表現(xiàn)為不等式的解法的應(yīng)用，求函數(shù)的定義域,值域，單調(diào)區(qū)間，討論函數(shù)的單調(diào)性，討論一元二次方程的實(shí)根的分布規(guī)律等2應(yīng)用不等式的知識解題的關(guān)鍵是建立不等量關(guān)系；其建立的途徑有：（1）利用幾何意義；（2）利用判別式；（3）利用變量的有界性；（4）利用函數(shù)的單調(diào)性和利用均值不等式3在應(yīng)用均值不等式時(shí)，應(yīng)注意它的使用條件；有時(shí)需對式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，構(gòu)造為定理所需的形式4重要不等式的功能在于和積互化，要注意三個(gè)條件：一正、二定、三相等的檢驗(yàn)在運(yùn)用過程中，要注意創(chuàng)造特殊的環(huán)境：學(xué)生練習(xí) 1某工廠年產(chǎn)值第二年比第一年增長百分率為p1,第三年比第二年增長的百分率為p2,第四年比第三年增長的百分率

12、為p3,若p1+p2+p3=m,m為常數(shù)，則年平均增長率p的最大值為( B )A B C D2如果一輛汽車每天行駛的路程比原來多19千米，那么在8天之內(nèi)它的行程就超過2200千米；如果它每天行程比原來少12千米，那么它行駛同樣的路程就得花9天多的時(shí)間，這輛汽車原來每天行程的千米數(shù)x滿足：（ D ）A259<x<260 B258<x<260 C257<x<260 D256<x<2603已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足且，則的最大值是（ ） A B C D 解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D4已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù)是減函數(shù)若p或q為真命題，p

13、且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa1Ba<2C1<a<2Da1或a2解：命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時(shí)，若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題若p為真，q為假時(shí)，無解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1<a<2，故選C5軸截面周長為1的圓柱的體積的最大值為 （p/216);6若關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (¥,8);7正數(shù)x,y滿足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值(利用(x+2y)(1/x+1/y)=3+x/y+

14、2y/x³3+2,可以得到x+2y³3/2+)8 解關(guān)于的不等式0分析：本題主要復(fù)習(xí)分式不等式的解法、分類討論的思想及利用序軸標(biāo)根法解不等式的基本步驟本題的關(guān)鍵是對分母分解因式，將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為和比較與及3的大小，定出分類方法解：原不等式化為：當(dāng)時(shí)，由圖1知不等式的解集為 當(dāng)當(dāng)9 解關(guān)于的不等式分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關(guān)系，對含參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，還可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰解：設(shè)，原不等式化為，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖

15、象故（1）當(dāng)（2）（3）當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為）；當(dāng)時(shí)，解集為時(shí)，解集為10數(shù)列由下列條件確定：（1）證明：對于,（2）證明：對于證明：（1）（2）當(dāng)時(shí)，=11已知數(shù)列中，b1=1，點(diǎn)P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上）求數(shù)列）設(shè)的前n項(xiàng)和為Bn, 試比較）設(shè)Tn=分析：本題主要復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)、求和及不等式的有關(guān)知識略解：） )Bn=1+3+5+(2n-1)=n2 )Tn= -得又12一輪船行駛時(shí)，單位時(shí)間的燃料費(fèi)與其速度的立方成正比，若輪船的速度為每小時(shí)10 km 時(shí)，燃料費(fèi)為每小時(shí)35元，其余費(fèi)用不隨速度而變化，每小時(shí)為560元，求輪船速度為多少時(shí)，輪

16、船行每千米的費(fèi)用最少？ （20km/小時(shí)，42元/千米） 解：設(shè)輪船的燃料費(fèi)u與速度v之間的關(guān)系是:u=kv3,由已知，v=10時(shí)，u=35, 35=k´103 Þk=7/200;輪船行駛1千米的費(fèi)用y=u´1/v+560´1/v =7v2/200+560/v=7v2/200+280/v+280/v³=42 (元）；等號條件：7v2/200=280/v Þv=20(km/h)13汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故責(zé)任人的一個(gè)重要因素在一個(gè)限速40千米/小時(shí)

17、以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時(shí)剎車，但還是相碰了，事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略大于12米，乙車的剎車距離略大于10米，又知甲、乙兩種車的剎車距離S與車速x（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：S甲=01x+001x2; S乙=005x+0005x2 問：超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰？解：由12<01x+001x2 Þx>30 (km/h); 10<005x+0005x2 Þx>40 (km/h);可見乙車超速主要責(zé)任人是乙14某廠制定2000年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，已有如下數(shù)據(jù)：生產(chǎn)此產(chǎn)品的現(xiàn)有工人人數(shù)為400人，每個(gè)工人的年工時(shí)為2200小時(shí)，預(yù)測下一年的銷售量在10萬到17萬箱之間，每箱需用料10千克，目前存料1000噸，今年另需用1400噸，到2000年底可補(bǔ)充2000噸，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)確定2000年可能的生產(chǎn)量，并根據(jù)產(chǎn)量確定生產(chǎn)人數(shù)解：由勞動(dòng)力因素可得4x