2012年江蘇省高考數(shù)學試卷解析

1、2012年江蘇省高考數(shù)學試卷解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1已知集合，則 【答案】?！局饕e誤】2,4，1,6。2某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取 名學生【答案】15?！局饕e誤】24,25,20等。3設，（i為虛數(shù)單位），則的值為 【答案】8。【主要錯誤】4，2，-4，5+3i，40/3，6，等。【分析】由得，所以，。4下圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是 【答案】5?！局饕e誤】4，10，1，3，等?！痉治觥扛鶕?jù)流程圖所示的順序

2、，程序的運行過程中變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)k循環(huán)前00第一圈是10第二圈是22第三圈是32第四圈是40第五圈是54第六圈否輸出5 最終輸出結果k=5。5函數(shù)的定義域為 【答案】?！局饕e誤】（0，6），等?！窘馕觥扛鶕?jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，得。6現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構成一個以1為首項，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是 【答案】?！局饕e誤】，?！窘馕觥恳?為首項，-3為公比的等比數(shù)列的10個數(shù)為1，3，9，-27，···其中有5個負數(shù)，1個正數(shù)1計6個數(shù)小于8， 從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，它小于8的概率是

3、。7如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3【答案】6?！局饕e誤】，3，30?！窘馕觥块L方體底面是正方形，中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱錐的體積為。8在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則m的值為 【答案】2?！局饕e誤】-2，5，3，1。【解析】由得。 ，即，解得。9如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是 【答案】?！局饕e誤】，3，-2, ，2，-1，-等20余種?！窘馕觥坑桑?，由矩形的性質，得。 ，。 記之間的夾角為，則。 又點E為BC的中點，。 。本題也可建立以為坐標軸的直角坐標系，求出各點坐標后求解。10設是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上

4、，其中若，則的值為 【答案】-10。【主要錯誤】-2，-3，4，10，5等十余種?！窘馕觥渴嵌x在上且周期為2的函數(shù)，即 又， 聯(lián)立，解得，。11設為銳角，若，則的值為 【答案】，?！局饕e誤】，等30余種?！窘馕觥繛殇J角，即，。 ，。 。 。12在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則K的最大值是 【答案】。【主要錯誤】1，2，等?！窘馕觥繄AC的方程可化為：，圓C的圓心為，半徑為1。由題意，直線上至少存在一點，以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點；存在，使得成立，即。即為點到直線的距離，解得。的最大值是。13已知函數(shù)的值域為，若關

5、于x的不等式的解集為，則實數(shù)c的值為 【答案】9?！局饕e誤】1，2，3，4，7，6，等?！窘馕觥坑芍涤驗?，當時有，即， 。 解得，。不等式的解集為，解得。14已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是 【答案】?！局饕e誤】（0,1），1,+)，(1, 2)， 0,7，1/e，e,(1，e) ，1，2?！窘馕觥織l件可化為：。 設，則題目轉化為：已知滿足，求的取值范圍。 作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設過切點的切線為，則，要使它最小，須。 的最小值在處，為。此時，點在上之間。 當（）對應點時， ， 的最大值在處，為7。 的取值范圍為，即的取值范圍是?！咀ⅰ孔钚≈礶的主要求法： 法一， 。

6、令，導數(shù)法。法二，令，則， ，令，則， 駐點x=1，x>1; x<1 故。二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15在中，已知（1）求證：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。 2分 由正弦定理，得，。2分又，。即。 2分 （2） ，。 2分 ，即。 2分。 由 （1） ，得，解得。 ，。 4分【典型錯誤】（1）由結論分析，而又不按分析法書寫。，即。 AC=sinB，BC=sinA，。誤用余弦定理。(2)典型解法近10種，除用正切公式的兩種方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不償失。解法的優(yōu)化是關

7、鍵。 16如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點 不同于點），且為的中點求證：（1）平面平面； （2）直線平面證明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 3分 又平面，平面。 3分 又平面，平面平面。 2分 （2），為的中點，。 2分 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 2分 又平面平面，直線平面。 2分【典型錯誤】A.概念含混不清由直三棱柱得到是直角三角形。B.思維定勢致錯由和直接得出，忽視了該命題在立體幾何中并不一定成立。C想當然使用條件在第(1)小題證明線面垂直時，不少考生直接根據(jù)圖形的特點將點當作是的中點，從而得到，再由條件得出平面。（一般僅能得7分）17如圖，建

8、立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標（1）求炮的最大射程；（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由解：（1）在中，令，得。 2分 由實際意義和題設條件知， 2分 ，當且僅當時取等號。 炮的最大射程是10千米。 2分（2），炮彈可以擊中目標等價于存在，使成立， 2分即關于的方程有正根。 2分 由得。 2分 此時，（不考慮另一根）。 當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標。 2分【考點】函

9、數(shù)、方程和基本不等式的應用?！镜湫湾e誤】（1）說對稱軸是，得0分。 由直接得，扣2分。 （2）， 所以， （耗費大量時間，僅能得2分）18若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點。已知是實數(shù)，1和-1是函數(shù)的兩個極值點（1）求和的值；（2）設函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點；（3）設，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)【答案】解：（1）由，得。 1和-1是函數(shù)的兩個極值點， ，解得。 2分 （2） 由（1）得， ， ，解得。 2分 當時，；當時， 是的極值點。 2分 當或時， 不是的極值點。 的極值點是2。 2分（3）令，則。先討論關于 的方程 根的情況：當時，由（ 2 ）可知，的兩個不同的根為1 和-2

10、 ，是奇函數(shù)，的兩個不同的根為-1和2。2分當時， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當時， ，于是是單調增函數(shù)，從而。此時在無實根。 當時，于是是單調增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內有唯一實根。同理，在（一2 ，一I ）內有唯一實根。 當時，于是是單調減兩數(shù)。又， ，的圖象不間斷，在（一1，1 ）內有唯一實根。因此，當時，有兩個不同的根滿足；當 時有三個不同的根，滿足。3分現(xiàn)考慮函數(shù)的零點：( i ）當時，有兩個根，滿足。而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點。( ）當時，有三個不同的根，滿足。而有三個不同的根，故有9 個零點。綜上所述，當時，函數(shù)

11、有5 個零點；當時，函數(shù)有9 個零點。 3分【典型錯誤】（2） ， ，解得。 所以，極值點為1，-2。 （丟分情況嚴重）19如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設知，由點在橢圓上，得，。由點在橢圓上，得2分橢圓的方程為。 2分（2）由（1）得，又，設、的方程分別為，。2分。同理，。（i） 由得，解 2分得=2。，直線的斜率為。 2分（ii） 證明：，即。 。由點在橢圓上知，。同理。由得， 4分。 是

12、定值。 2分【考點】橢圓的性質，直線方程，兩點間的距離公式?！镜湫蜖顩r】（1）根據(jù)橢圓的性質和已知和都在橢圓上列式求解。計算錯誤嚴重。 （2）（）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解。 含參式子的運算能力低。十幾種方法中，利用直線的參數(shù)方程、橢圓的極坐標方程相對簡單些，但最簡單的莫過于向量法：設，則，由，得。又，故，而，得，于是，。所以，。（）平幾知識欠缺，解答情況很差。20已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，（1）設，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，且是等比數(shù)列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。（2），。（）設等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，當時，

13、與（）矛盾。 若則，當時，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項相同，與矛盾。 。 ?！究键c】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質，基本不等式，反證法?！镜湫蜖顩r】（1）寫出而不知道給出結論。 寫出了，不能進行下一步的變換。 根據(jù)前三項成等差，說明結論，不給分。 羅列幾個條件下結論，不給分。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。憑感覺下結論。第（1）小題：32%得滿分；5.4%得3分；62%得零分.在解決這個問題的過程中，約有40%的學生沒有做（時間不夠），在做這一問的學生中，主要錯誤有：沒有明確的證等差數(shù)列的方法，只是將

14、兩個條件輪流代換；計算能力差，在代換過程中，出現(xiàn)了錯誤；做成了，導致錯誤.第（2）小題：沒有學生全對，主要得分包括：猜對答案2分；由利用累乘得出，2分；得出的范圍，3分.數(shù)學(附加題)21選做題本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4 - 1：幾何證明選講 如圖，是圓的直徑，為圓上位于異側的兩點，連結并延長至點，使，連結求證：證明：連接。 是圓的直徑，（直徑所對的圓周角是直角）。 （垂直的定義）。 又，是線段的中垂線（線段的中垂線定義）。 （線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等）。 （等腰

15、三角形等邊對等角的性質）。 又為圓上位于異側的兩點， （同弧所對圓周角相等）。 （等量代換）?！究键c】圓周角定理，線段垂直平分線的判定和性質，等腰三角形的性質?！窘馕觥恳C，就得找一個中間量代換，一方面考慮到是同弧所對圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質得到。從而得證。 本題還可連接，利用三角形中位線來求證。B選修4 - 2：矩陣與變換 已知矩陣的逆矩陣，求矩陣的特征值 解：，。 ，。 矩陣的特征多項式為。 令，解得矩陣的特征值?！究键c】矩陣的運算，矩陣的特征值?！窘馕觥坑删仃嚨哪婢仃嚕鶕?jù)定義可求出矩

16、陣，從而求出矩陣的特征值。C選修4 - 4：坐標系與參數(shù)方程在極坐標中，已知圓經過點，圓心為直線與極軸的交點，求圓的極坐標方程【答案】解：圓圓心為直線與極軸的交點，在中令，得。 圓的圓心坐標為（1，0）。 圓經過點，圓的半徑為。 圓經過極點。圓的極坐標方程為。【考點】直線和圓的極坐標方程。【解析】根據(jù)圓圓心為直線與極軸的交點求出的圓心坐標；根據(jù)圓經過點求出圓的半徑。從而得到圓的極坐標方程。D選修4 - 5：不等式選講 已知實數(shù)x，y滿足：求證：【答案】證明：， 由題設。 【考點】絕對值不等式的基本知識。【解析】根據(jù)絕對值不等式的性質求證?！颈刈鲱}】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在

17、答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22設為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，；當兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學期望【答案】解：（1）若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的一個，過任意1個頂點恰有3條棱， 共有對相交棱。 。 （2）若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對， ，。 隨機變量的分布列是：01 其數(shù)學期望。 【考點】概率分布、數(shù)學期望等基礎知識?！窘馕觥浚?）求出兩條棱相交時相交棱的對數(shù)，即可由概率公式求得概率。 （2）求出兩條棱平行且距離為的共有6對，即可求出，從而求出（兩條棱平行且距離為1和兩條棱異面），因此得到隨機變量的分布列，求出其數(shù)學期望。23設集合