橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程課件（文科）

1、 芳草湖中學(xué) 孫文靜 2014.10.30橢圓定義： 在平面內(nèi) 兩定點距離之和等于常數(shù)（2a） 常數(shù)（2a）焦距（2c）21,FF 平面上到兩個定點 的距離之和為常數(shù)（2a）(大于| |)的點的軌跡叫做橢圓.橢圓的定義要注意以下幾點： 21FF 當(dāng)2a2c時，圖形表示一個橢圓。 當(dāng)2a=2c時，圖形表示線段。 當(dāng)2a2c時，不存在任何圖形。 當(dāng)c=0是，表示一個圓。注意： 提出了問題就要試著解決問題.怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？ 求動點軌跡方程的一般步驟：求動點軌跡方程的一般步驟：1、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；2、設(shè)橢圓上任意一點設(shè)橢圓上任意一點p（x,y）；）；3、列出關(guān)于

2、點、列出關(guān)于點p的的方程方程 ; 4、化方程為最簡形式。、化方程為最簡形式。 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸直線作為坐標(biāo)軸.).)(對稱、對稱、“簡簡潔潔”)xF1F2( (x , y) )0y設(shè)P (x, y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F

3、2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，

4、得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222軸焦點在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特

5、點：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。22221.153xy ，則a ，b ， c ；22222.146xy ，則a ，b ，c ；5346口答：則a ，b ， c ；則a ，b ， c 。 37 169. 322yx6 147. 422yx210334例1.求下列橢圓的焦點坐標(biāo)，a、b、c的值以及焦距。14) 1 (22 yx154)2(22yx1925)3(22yx解(1)橢圓方程具有形式12222byax其中1, 2ba因此31422

6、bac)0 , 3(),0 , 3( 焦距42 a兩焦點坐標(biāo)為22(4)110036xy322 c134)6(22 yx434)5(22 yx,10|21 PFPF如圖:求滿足下列條件的橢圓方程解：橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程為192522yx例2. 求出剛才在實驗中畫出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程8|21FF例例3：已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是（：已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是（-2，0），（），（2，0），并且經(jīng)過點（），并且經(jīng)過點（ , - )，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。2523焦點在哪條坐標(biāo)軸上？焦點在哪條坐標(biāo)軸上

7、？解：因為橢圓的焦點在x軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為只要求出只要求出a、b則可求出橢圓的方程則可求出橢圓的方程0 12222babyax2222)23()225()23()225(2a由橢圓的定義知所以10a又因為c=2，所以b2 2= =a2 2- -c2 2= =10-4=6.因此，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 161022yx你還能用其他的方法求它的方程嗎？哪種方法簡單？你有什么體會？102例例3：已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是（：已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是（-2，0），（），（2，0），并且經(jīng)過點（），并且經(jīng)過點（ , - )，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。2523解法二：因為橢圓的焦點在解

8、法二：因為橢圓的焦點在x軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為0 12222babyax由已知得，由已知得，c=2422ba又由已知得，又由已知得， 1)23()25(2222ba聯(lián)立、解方程組得聯(lián)立、解方程組得6,1022ba因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022yx待定系數(shù)法待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：一種方法：二類方程二類方程:三個意識：三個意識：求美意識，求美意識， 求簡意識，前瞻意識求簡意識，前瞻意識 12222byax0 12222babxay2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡12- ,