編碼理論第5章

1、v由霍昆格姆由霍昆格姆Hocquenghem在在1959年，博斯年，博斯Bose和查德胡里和查德胡里Ray-Chaudhuri研究組在研究組在1960年分別提出年分別提出v能夠糾正多個隨機錯誤的循環(huán)碼能夠糾正多個隨機錯誤的循環(huán)碼v糾錯能力強，編譯碼設備不太復雜糾錯能力強，編譯碼設備不太復雜v到目前為止，對于其他線性碼的研究方法，到目前為止，對于其他線性碼的研究方法，都是先構造一個碼，然后找出它的最小距都是先構造一個碼，然后找出它的最小距離，以估計該碼的糾錯能力離，以估計該碼的糾錯能力v對于對于BCH碼，反過來，從先指定這個碼能碼，反過來，從先指定這個碼能糾正多少個隨機錯誤開始進行研究糾正多少個

2、隨機錯誤開始進行研究v本原元：本原元：有限域上存在元素有限域上存在元素a，使得，使得G中的中的每個非零元素都是每個非零元素都是a的某次冪的形式，該的某次冪的形式，該元素元素a稱為本原元稱為本原元v本原元對于構造有限域非常重要本原元對于構造有限域非常重要v有了本原元，通過計算本原元的其他冪次，有了本原元，通過計算本原元的其他冪次，我們就很容易得到這個域上所有其他的元我們就很容易得到這個域上所有其他的元素素v定義：定義：有限域有限域GF(q)上的本原多項式上的本原多項式f(x), ,是是系數(shù)取自系數(shù)取自GF(q)上，以擴域上，以擴域GF(qm)中本中本原元為根的最小多項式原元為根的最小多項式v本原

3、多項式，可以被用來構造擴展域本原多項式，可以被用來構造擴展域v定理：若定理：若b1,b2,.,bq-1是是有限域有限域GF(q)上的所上的所有非零元素，則有非零元素，則xq-1-1= =(x- -b1)(x- -b2)(x- -bq-1)01113xx 110111101456 001111001143010 x1)(3xxxp11111007262524322100 xxxxxxxxxx000001010100011110111101是個本原元是個本原元乘法運算：乘法運算：本原多項式本原多項式選擇本原元選擇本原元因為本原元因為本原元a=x，所以，所以p(a)=0 000011010011v考

4、慮基域考慮基域GF(2)及其擴域及其擴域GF(23)，在擴域上，在擴域上q=8, xq-1-1=x8-1-1=x7-1，將，將x7-1進行因式分進行因式分解，可得到解，可得到x7-1=(x-1)(x3+x+1)(x3+x2+1)v考慮擴域考慮擴域GF(23)上的所有非零元素：上的所有非零元素：1, z, z+1, z2, z2+1, z2+z, z2+z+1，因此，可以得到，因此，可以得到x7-1=(x-1)(x-z)(x-z-1)(x-z2)(x-z2)(x-z2-1)(x-z2-z)(x-z2-z-1)=(x-1)(x-z)(x-z2)(x-z2-z)(x-z-1)(x-z2-1)(x-z

5、2-z-1)vx7-1=(x-1)(x-z)(x-z2)(x-z2-z)(x-z-1)(x-z2-1)(x-z2-z-1)v在在擴域擴域GF(23)上上，可得到，可得到x3+x+1=(x-z)(x-z2)(x-z2-z), x3+x2+1=(x-z-1)(x-z2-1)(x-z2-z-1)v計算計算(x-z)(x-z2)(x-z2-z)=(x2-z2x-zx+z3)(x-z2-z)=x3-z2x2-zx2-z2x2+z4x+z3x-zx2+z3x+z2x+z3x-z5-z4=x3+(z4+z3+z2)x-(z5+z4), 由于在由于在GF(23)上上, z3=z+1, 所以所以z4+z3+z2

6、=z3z+z3+z2=(z+1)z+(z+1) +z2=1, z5+z4=z3(z2+z)=(z+1)z(z+1)=z(z+1)2=z(z2+1)=z3+z=z+1+z=1，故得到，故得到(x-z)(x-z2)(x-z2-z)= x3+x+1v同理可以計算同理可以計算x3+x2+1=(x-z-1)(x-z2-1)(x-z2-z-1)GF(2)上的極小上的極小多項式多項式fi(x)GF(23)上的對上的對應元素應元素bj對應的本原元對應的本原元a的冪次的冪次x-11a0 x3+x+1z, z2, z2+za1 , a2 , a4x3+x2+1z+1, z2+1, z2+z+1a3 , a6 ,

7、a12= a5v因此得到如下的表格因此得到如下的表格v注意到極小多項式注意到極小多項式f2(x)=x3+x+1的根是的根是a1, a2,a4,極小多項式極小多項式f3(x)= x3+x2+1的根是的根是a3, a6, a5v定理：定理：若若f(x)是系數(shù)取自是系數(shù)取自GF(2)的多項式，令的多項式，令b是是GF(2)擴域擴域中的元素中的元素，若，若b是是f(x)的根，則對的根，則對任意的任意的l0，b2l也是也是f(x)的根的根v注：注：元素元素b2l稱為稱為b的共軛元，以上定理說明若的共軛元，以上定理說明若是是b多項式多項式f(x)的根，則的根，則b的所有共軛元的所有共軛元b2l也是也是f(

8、x)的根的根v例如：例如：a1, a2,a4是共軛的元素，因為它們都是是共軛的元素，因為它們都是極小多項式極小多項式f2(x)=x3+x+1的根的根v下面用生成多項式的根來描述下面用生成多項式的根來描述BCH碼的定義碼的定義v定義：定義：給定任一有限域給定任一有限域GF(q)及其擴域及其擴域GF(qm)，其中其中q是素數(shù)或者素數(shù)冪，是素數(shù)或者素數(shù)冪，m為一個正整數(shù)。若為一個正整數(shù)。若碼元是取自碼元是取自GF(q)上的一個循環(huán)碼，它的生成多上的一個循環(huán)碼，它的生成多項式項式g(x)的根集合的根集合R中含有以下中含有以下2t個連續(xù)根個連續(xù)根bp, bp+1,., bp+2t-1，則由，則由g(x)

9、生成的循環(huán)碼稱為生成的循環(huán)碼稱為q進制進制的的BCH碼，其中碼，其中bGF(qm)是域中的是域中的n階元素，階元素，bp+i GF(qm)(0i2t-1)，p是任意整數(shù)，對于常是任意整數(shù)，對于常見的情況，見的情況， p等于等于0或者或者1。若。若p=1，稱之為狹義，稱之為狹義的的BCH碼。碼。v最低最低公倍式：公倍式：若若f(x)為為a(x)與與b(x)的所有公倍式中的所有公倍式中次數(shù)最低的，并且首項系數(shù)為次數(shù)最低的，并且首項系數(shù)為1，記為，記為LCM(a(x), b(x)v設設fi(x)和和qi分別是分別是bp+i(0i2t-1)的最小多項式和階，的最小多項式和階，則上述則上述BCH碼的生成

10、多項式碼的生成多項式g(x)和碼長和碼長n可分別可分別表示為表示為g(x)=LCM(f0(x), f1(x), f2t-1(x), n=LCM(q0, q1, q2t-1)v本原本原BCH碼的定義：碼的定義：若若g(x)的根中有一個是的根中有一個是GF(qm)的本原元，碼長的本原元，碼長n=qm-1，此時就稱，此時就稱g(x)生生成的成的BCH碼為本原碼為本原BCH碼；否則就稱為非本原碼；否則就稱為非本原BCH碼，其碼長是碼，其碼長是qm-1的因子。的因子。v構造可以糾構造可以糾t個錯誤的個錯誤的BCH碼碼(其其碼長碼長n=qm-1)的生成多項式的步驟如下：的生成多項式的步驟如下：v步驟步驟1

11、：選擇一個階數(shù)為選擇一個階數(shù)為m的本原多項式，的本原多項式，構造擴域構造擴域GF(qm)v步驟步驟2 2：找到對應于找到對應于bi(i=1,p)的極小多項的極小多項式式fi(x)v步驟步驟3 3：能糾能糾t個錯誤的個錯誤的BCHBCH碼的生成多項式碼的生成多項式為為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)v按照上述方法設計的按照上述方法設計的BCHBCH碼至少能糾碼至少能糾t個錯誤，生個錯誤，生成多項式的階數(shù)等于成多項式的階數(shù)等于n-kv定理：定理： 若若BCHBCH碼的生成多項式碼的生成多項式g(x)的根含有的根含有2t個個連續(xù)根，則該碼的最小距離連續(xù)根，則該碼的最小距離d

12、2t+1vd=2t+1稱為該碼的設計距離，稱為該碼的設計距離，v注意：注意：一旦固定一旦固定n和和t，就可以得到該，就可以得到該BCHBCH碼的生碼的生成多項式，信息位的長度成多項式，信息位的長度k可以由生成多項式的可以由生成多項式的階數(shù)得到。階數(shù)得到。v當當n不變的情況下，較大的不變的情況下，較大的t，就會使得，就會使得k較?。惠^?。患慈哂喽雀?，可以糾更多的錯誤即冗余度高，可以糾更多的錯誤v下面給出具體的例子連詳細闡述如何在由下面給出具體的例子連詳細闡述如何在由GF(2)生成的擴域生成的擴域GF(24)上構造上構造BCH碼的碼的生成多項式生成多項式v考慮本原多項式考慮本原多項式p(z)=z4

13、+z+1，本原元，本原元a=z，a的冪次可以生成的冪次可以生成GF(24)上的所有非零元上的所有非零元素。素。va的冪次，的冪次， GF(24)上的所有非零元素，以上的所有非零元素，以及對應的極小多項式，具體見下頁的表格及對應的極小多項式，具體見下頁的表格 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polymials Minimal GF(16) of Elements of Powers153431434231323423123423112210234394283437234236225442343342241xxxzxxzzxxxxzzzx

14、xzzzxxzzxxxxzzxxzxxzzxxxxzzxxzzxxzxxxxzxxzxxzv如果想要構造可以糾一個錯誤的如果想要構造可以糾一個錯誤的BCH碼的生成碼的生成多項式，即多項式，即t=1，碼長，碼長n=15vBCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)v根據(jù)上頁的表格來獲得極小多項式根據(jù)上頁的表格來獲得極小多項式f1(x)和和f2(x)v因此得到如下的可以糾正一個錯誤的因此得到如下的可以糾正一個錯誤的BCH碼的碼的生成多項式生成多項式g(x)=LCM(f1(x), f2(x)= LCM(x4+x+1, x4+x+1)=x4+x+1v

15、deg(g(x)=4，n-k=4，k=11, 這樣就得到了一這樣就得到了一個可以糾一個錯誤的個可以糾一個錯誤的BCH(15,11)碼，該碼的設碼，該碼的設計距離計距離d=2t+1=3v可以計算出該碼的最小距離也是可以計算出該碼的最小距離也是3，即該碼的設，即該碼的設計距離等于該碼的最小距離計距離等于該碼的最小距離v如果想要構造可以糾兩個錯誤的如果想要構造可以糾兩個錯誤的BCH碼的生成碼的生成多項式，即多項式，即t=2，碼長，碼長n=15vBCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)= LCM(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x

16、)v根據(jù)根據(jù)15頁的表格來獲得極小多項式頁的表格來獲得極小多項式f1(x)-f4(x)v于是得到于是得到g(x)=LCM(f1(x), f2(x) , f3(x), f4(x)= LCM(x4+x+1, x4+x+1, x4+x3+x2+x+1, x4+x +1)=(x4+x+1)(x4+x3+ x2+x+1)=x8+x7+x6+x4+1vdeg(g(x)=8，n-k=8，k=7, 這樣就得到了一這樣就得到了一個可以糾一個錯誤的個可以糾一個錯誤的BCH(15,7)碼，該碼的設計碼，該碼的設計距離距離d=2t+1=5v可以計算出該碼的最小距離也是可以計算出該碼的最小距離也是5v如果想要構造可以糾

17、如果想要構造可以糾3個錯誤的個錯誤的BCH碼的生成多碼的生成多項式，即項式，即t=3，碼長，碼長n=15vBCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)= LCM(f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x), f6(x)v根據(jù)根據(jù)15頁的表格來獲得極小多項式頁的表格來獲得極小多項式f1(x)-f6(x)v于是得到于是得到g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f6(x)= (x4+x+1)(x4+x3+ x2+x+1)(x2+x+1)=x10+x8+x5+x4+ x2+x+1vdeg(g(x)=10，n-k=10，

18、k=5, 這樣就得到了這樣就得到了一個可以糾一個錯誤的一個可以糾一個錯誤的BCH(15,5)碼，該碼的設碼，該碼的設計距離計距離d=2t+1=7v可以計算出該碼的最小距離也是可以計算出該碼的最小距離也是7v如果想要構造可以糾如果想要構造可以糾4個錯誤的個錯誤的BCH碼的生成多項式，碼的生成多項式，即即t=4，碼長，碼長n=15vBCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)= LCM(f1(x), f2(x), f8(x)v根據(jù)根據(jù)15頁的表格來獲得極小多項式頁的表格來獲得極小多項式f1(x)-f6(x)v于是得到于是得到g(x)=LCM(f1

19、(x), f2(x), f8(x)= (x4+x+1)(x4+x3+ x2+x+1)(x2+x+1) (x4+x3+1)= x14+x13+x12+x11+x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1vdeg(g(x)=14，n-k=14，k=1, 這樣就得到了一個可以這樣就得到了一個可以糾一個錯誤的糾一個錯誤的BCH(15,1)碼，該碼的設計距離碼，該碼的設計距離d=2t+1=9v實際上該碼的最小距離是實際上該碼的最小距離是15，設計距離和最小距離不相，設計距離和最小距離不相等，實際上該碼能糾正等，實際上該碼能糾正(15-1)/2=7個隨機錯誤個隨機錯誤v對于對于t=5,6

20、,7，碼長，碼長n=15，只能得到，只能得到t=4一一樣的多項式樣的多項式vGF(16)上只有上只有15個非零元素，因此最多只個非零元素，因此最多只能有能有15個極小多項式，最多到個極小多項式，最多到t=7，對于，對于t=8，需要，需要f16(x)，在，在GF(16)上不存在上不存在f16(x)v如果要糾正更多的錯誤，就需要增加擴域如果要糾正更多的錯誤，就需要增加擴域的元素的個數(shù)的元素的個數(shù)v下面給出另一個具體的例子連詳細闡述如下面給出另一個具體的例子連詳細闡述如何在由何在由GF(4)生成的擴域生成的擴域GF(24)上構造上構造BCH碼的生成多項式碼的生成多項式v考慮本原多項式考慮本原多項式p

21、(z)=z2+z+1， GF(4)上的上的所有元素為所有元素為1,2,3,4，本原元，本原元a=z，a的冪的冪次可以生成次可以生成GF(24)上的所有非零元素。上的所有非零元素。va的冪次，的冪次， GF(24)上的所有非零元素，以上的所有非零元素，以及對應的極小多項式，具體見下頁的表格及對應的極小多項式，具體見下頁的表格 1 1 33 3z3 22 1z2 13 1z3 33 z3 3 3 12 2z2 3 3 22 3z2 12 z2 2 2 2 1 13 23 3 2 2 Polymials Minimal GF(16) of Elements of Powers152142132122

22、111029282726524232221xxxxxxxxxxxxxxzxxxxxxxzxxzxxzxxzv如果如果t=1，碼長，碼長n=15v根據(jù)上頁的表格來獲得極小多項式根據(jù)上頁的表格來獲得極小多項式vBCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)=LCM(f1(x), f2(x)= LCM(x2+x+2, x2+x+3)=(x2+x+2)(x2+x+3)=x4+x+1vdeg(g(x)=4，n-k=4，k=11, 這樣在這樣在GF(4)上上就得到了一個可以糾一個錯誤的就得到了一個可以糾一個錯誤的BCH(15,11)碼，碼，該碼的設計距離該

23、碼的設計距離d=2t+1=3v可以計算出該碼的最小距離也是可以計算出該碼的最小距離也是3，即該碼的設，即該碼的設計距離等于該碼的最小距離計距離等于該碼的最小距離v該碼將該碼將11個個4進制的符號轉換成進制的符號轉換成15個個4進制的符進制的符號，因為號，因為1個個4進制的符號等價于進制的符號等價于2比特，所以實比特，所以實際上該碼的編碼過程有際上該碼的編碼過程有22個輸入，個輸入，30個輸出個輸出v如果如果t=2，碼長，碼長n=15v根據(jù)根據(jù)22頁的表格來獲得極小多項式頁的表格來獲得極小多項式vBCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)=L

24、CM(f1(x), f2(x), f4(x)= LCM(x2+x+2, x2+x+3, x2+3x+1, x2+x+2)=(x2+x+2)(x2+x+3)(x2 +3x+1)=x6+3x5+x4+x3+2x2+2x+1vdeg(g(x)=6，n-k=6，k=9, 這樣在這樣在GF(4)上就得到了一個可以糾上就得到了一個可以糾2個錯誤的個錯誤的BCH(15,9)碼碼v如果如果t=3，碼長，碼長n=15v根據(jù)根據(jù)22頁的表格來獲得極小多項式頁的表格來獲得極小多項式vBCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)=LCM(f1(x), f2(x),

25、f6(x)= LCM(x2+x+2, x2+x+3, x2+3x+1, x2+x+2)=(x2+x+2)(x2+x+3)(x2 +3x+1)(x+2)(x2+2x+1)=x9+3x8+3x7+2x6+x5+2x4+x+2vdeg(g(x)=9，n-k=9，k=6, 這樣在這樣在GF(4)上就上就得到了一個可以糾得到了一個可以糾3個錯誤的個錯誤的BCH(15,6)碼碼v如果如果t=4，碼長，碼長n=15v類似的得到類似的得到BCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)=LCM(f1(x), f2(x), f8(x)=x11+x10+2x8+3x

26、7+3x6+x5+3x4 +x3+x+3vdeg(g(x)=11，n-k=11，k=4, 這樣在這樣在GF(4)上就得到了一個可以糾上就得到了一個可以糾4個錯誤的個錯誤的BCH(15,4)碼碼v如果如果t=5，碼長，碼長n=15v類似的得到類似的得到BCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)=LCM(f1(x), f2(x), f10(x)=x12+2x11+3x10+2x9+2x8+3x7+3x6+3x4+3x3+x2+2vdeg(g(x)=12，n-k=12，k=3, 這樣在這樣在GF(4)上就得到了一個可以糾上就得到了一個可以糾5個錯

27、誤的個錯誤的BCH(15,3)碼碼v如果如果t=6，碼長，碼長n=15v類似的得到類似的得到BCH碼的生成多項式為碼的生成多項式為g(x)=LCM(f1(x), f2(x), f2t(x)=LCM(f1(x), f2(x), f12(x)=x14+x13+x12+x11+x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1vdeg(g(x)=14，n-k=14，k=1, 這樣在這樣在GF(4)上就得到了一個可以糾上就得到了一個可以糾6個錯誤的個錯誤的BCH(15,1)碼，這是個重復碼碼，這是個重復碼v注意：繼續(xù)往下不能再糾注意：繼續(xù)往下不能再糾7個錯誤了個錯誤了v因為因為BCH碼是循

28、環(huán)碼的一個子類，所以在循環(huán)碼是循環(huán)碼的一個子類，所以在循環(huán)碼那章講過的譯碼算法，也可以用來給碼那章講過的譯碼算法，也可以用來給BCH碼碼譯碼譯碼v但是，但是，BCH還有更好和更有效的譯碼算法還有更好和更有效的譯碼算法v下面將給出下面將給出Gorenstein-Zierler譯碼算法，譯碼算法， 該算該算法首先由法首先由Petersen提出，是提出，是Petersen所提的二進所提的二進制譯碼算法的一般形式制譯碼算法的一般形式v糾正誤差也就是要知道兩個事情：糾正誤差也就是要知道兩個事情：1)錯誤發(fā)生在錯誤發(fā)生在哪里，即錯誤的位置；哪里，即錯誤的位置；2)這些錯誤的個數(shù)是多少這些錯誤的個數(shù)是多少v

29、假設假設BCH碼是基于元素碼是基于元素a來構造的，考慮來構造的，考慮誤差多項式誤差多項式e(x)=en-1xn-1+en-2xn-2+e1x +e0，其中最多，其中最多t個系數(shù)是非零的個系數(shù)是非零的v假設實際上發(fā)生了假設實際上發(fā)生了v個錯誤，這些錯誤發(fā)個錯誤，這些錯誤發(fā)生在位置生在位置i1, i2, iv，因此誤差多項式可以，因此誤差多項式可以寫為：寫為：v其中其中 是第是第k個錯誤位置的錯誤個數(shù)個錯誤位置的錯誤個數(shù)v未知的就是未知的就是i1, i2, iv和和vviiiiiixexexee(x)2211kieviiieee,.,21v伴隨式可以由元素伴隨式可以由元素aj的接收多項式來計算的接

30、收多項式來計算 vviiiiiiaeaeaeaeaeacarS22111v接下來定義錯誤的振幅接下來定義錯誤的振幅kikeY v定義錯誤的位置定義錯誤的位置kikaX v其中其中k=1,2,vv這樣，伴隨式可寫為這樣，伴隨式可寫為S1=Y1X1+Y2X2+YvXvv類似的對于類似的對于j=1,2,2t，計算，計算a的冪次處的的冪次處的伴隨式伴隨式 jjjjjaeaeacarSv這樣，可以得到如下這樣，可以得到如下2t個方程個方程tvvtttvvvvXYXYXYSXYXYXYSXYXYXYS222221122222211222111v直接求解上述方程組非常困難，因此下面直接求解上述方程組非常困難

31、，因此下面先求出錯誤位置先求出錯誤位置Xi，然后再求，然后再求Yiv為此，引入錯誤位置多項式為此，引入錯誤位置多項式v錯誤多項式的零根就是錯誤位置的逆錯誤多項式的零根就是錯誤位置的逆v即即v因此，如果能知道錯誤位置多項式的系數(shù)，因此，如果能知道錯誤位置多項式的系數(shù)，就可以求出就可以求出X1,X2,Xv1111xxx(x)vvvv vxXxXxXx111211kXv結合伴隨式的定義，經(jīng)過一些代數(shù)的推導結合伴隨式的定義，經(jīng)過一些代數(shù)的推導過程，可以得到過程，可以得到v此式用矩陣表示出來，便成為此式用矩陣表示出來，便成為vjSSSSjvvjvjvj,.,2 , 1, 02111vvvv-vvv-vv

32、vvvv-SSS S S SS S S SS S S SS2211112221132121v上述矩陣有解的充要條件是其系數(shù)矩陣滿秩，上述矩陣有解的充要條件是其系數(shù)矩陣滿秩，或者該系數(shù)矩陣是個非奇異矩陣或者該系數(shù)矩陣是個非奇異矩陣v當當 被求出來之后，就得到了錯誤位置被求出來之后，就得到了錯誤位置多項式，求出錯誤位置多項式的根，就可以得多項式，求出錯誤位置多項式的根，就可以得到錯誤位置到錯誤位置X1,X2,Xv，將這些值代入第，將這些值代入第32頁的頁的方程組，就得到如下的矩陣方程方程組，就得到如下的矩陣方程v,.,21vvtvttvvSSSYYYXXXXXXXXX2121222212222121v此方程的系數(shù)矩陣是范德蒙矩陣，只有此方程的系數(shù)矩陣是范德蒙矩陣，只有Xi互不相關時，它才可逆，并且可以求出唯互不相關時，它才可逆，并且可以求出唯一的錯誤振幅值一的錯誤振幅值Y1,Y2,.,Yvv綜上所述，綜上所述，BCH碼譯碼的關鍵就是求錯誤碼譯碼的關鍵就是求錯誤位置多項式位置多項式v步驟步驟1：令：令v=t，計算，計算34頁的伴隨式矩陣是頁的伴隨式矩陣是否是滿秩矩陣，如果不是滿秩矩陣，就令否是滿秩矩陣，如果不是滿秩矩陣，就令v=t-1，之后繼續(xù)計算該矩陣是否是滿秩矩，之后繼續(xù)計算該矩陣是否是滿秩矩陣