有限元分析及應(yīng)用

1、有限元分析及應(yīng)用有限元分析及應(yīng)用第一章 有限元法簡(jiǎn)介2有限元法介紹 有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化，用有限個(gè)容易分析的單元單元來(lái)表示復(fù)雜的對(duì)象，單元之間通過(guò)有限個(gè)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)相互連接，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的，結(jié)點(diǎn)的數(shù)目也是有限的，所以稱(chēng)為有限元法(FEM，F(xiàn)inite Element Method)。 3有限元法是最重要的工程分析技術(shù)之一。它廣泛應(yīng)用于彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域。有限元法是60年代以來(lái)發(fā)展起來(lái)的新的數(shù)值計(jì)算方法，是計(jì)算機(jī)時(shí)代的產(chǎn)物。雖然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，它并未受到人們

2、的重視。 4隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法在各個(gè)工程領(lǐng)域中不斷得到深入應(yīng)用，現(xiàn)已遍及宇航工業(yè)、核工業(yè)、機(jī)電、化工、建筑、海洋等工業(yè)，是機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)、靜、熱特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人給出結(jié)論：有限元法在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，使機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計(jì)產(chǎn)生革命性的變化，理論設(shè)計(jì)代替了經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比設(shè)計(jì)。 5有限元法的孕育過(guò)程及誕生和發(fā)展 牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz G. W.) 6大約在300年前，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積積分法分法，證明了該運(yùn)算具有整體對(duì)局部的可加性。雖然，積分運(yùn)算與有限元技術(shù)對(duì)定義域的劃分是不同的，前者進(jìn)行無(wú)限劃分而后者進(jìn)行有限劃分，但積分運(yùn)算為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好

3、了一個(gè)理論基礎(chǔ)。 7在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線(xiàn)性代數(shù)加權(quán)余值法及線(xiàn)性代數(shù)方程組的解法方程組的解法。這兩項(xiàng)成果的前者被用來(lái)將微分方程改寫(xiě)為積分表達(dá)式，后者被用來(lái)求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。 高斯(Gauss)8在18世紀(jì)，另一位數(shù)學(xué)家拉格朗日提出泛泛函函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫(xiě)為積分表達(dá)式的另一途徑。 拉格朗日(Lagrange J.)9在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家瑞利和里茲（Rayleigh Ritz）首先提出可對(duì)全定義域全定義域運(yùn)用展開(kāi)函數(shù)運(yùn)用展開(kāi)函數(shù)來(lái)表達(dá)其上的來(lái)表達(dá)其上的未知函數(shù)未知函數(shù)。 瑞利(Rayleigh)101915年，數(shù)學(xué)家伽遼金(

4、Galerkin)提出了選擇展開(kāi)函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開(kāi)函數(shù)來(lái)表達(dá)其上的未知函數(shù)。這實(shí)際上就是有限元的做法。 1112（對(duì)象、變量、方程、求解途徑）各力學(xué)學(xué)科分支的關(guān)系13(1) 橋梁隧道問(wèn)題14任意變形體力學(xué)分析的基本變量及方程研究對(duì)象：任意形狀的變形體幾種典型的對(duì)象圓形隧道三維模型15(2) 中華和鐘(3) 礦山機(jī)械16(4) 壓力容器的成形17變形體及受力情況的描述18求解方法19有限元方法的思路及發(fā)展過(guò)程思路：以計(jì)算機(jī)為工具，分析任意變形體以獲得所有力學(xué)信息，并使得該方法能夠普及、簡(jiǎn)單、高效

5、、方便，一般人員可以使用。實(shí)現(xiàn)辦法：20技術(shù)路線(xiàn)：21發(fā)展過(guò)程：如何處理對(duì)象的離散化過(guò)程22. .常用單元的形狀常用單元的形狀點(diǎn)點(diǎn) (質(zhì)量質(zhì)量)線(xiàn)線(xiàn)(彈簧，梁，桿，間隙彈簧，梁，桿，間隙)面面 (薄殼薄殼, 二維實(shí)體二維實(shí)體,軸對(duì)稱(chēng)實(shí)體軸對(duì)稱(chēng)實(shí)體)二次二次體體(三維實(shí)體三維實(shí)體)線(xiàn)性線(xiàn)性二次二次.線(xiàn)性線(xiàn)性. . . . .23點(diǎn)點(diǎn) 單元單元線(xiàn)線(xiàn) 單元單元一維波傳導(dǎo)問(wèn)題一維波傳導(dǎo)問(wèn)題 24點(diǎn)點(diǎn) 單元單元線(xiàn)線(xiàn) 單元單元25XY00.020.040.060.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.00

6、10面面 單元單元28XY00.020.040.060.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.00102930受垂直載荷的托架受垂直載荷的托架31線(xiàn)性單元線(xiàn)性單元 / 二次單元二次單元 更高階的單元模擬曲面的精度就越高更高階的單元模擬曲面的精度就越高。低階單元低階單元更高階單元更高階單元體體單元單元32 有限元分析的作用有限元分析的作用l 復(fù)雜問(wèn)題的建模簡(jiǎn)化與特征等效復(fù)雜問(wèn)題的建模簡(jiǎn)化與特征等效l 軟件的操作技巧（單元、網(wǎng)格、算法參數(shù)控制）軟件的操作技巧（單元、網(wǎng)格、算法參數(shù)控制）l 計(jì)算結(jié)果

7、的評(píng)判計(jì)算結(jié)果的評(píng)判l(wèi) 二次開(kāi)發(fā)二次開(kāi)發(fā)l 工程問(wèn)題的研究工程問(wèn)題的研究l 誤差控制誤差控制36第二章 有限元分析的力學(xué)基礎(chǔ) 2.1 變形體的描述與變量定義變形體的描述與變量定義(1) 變形體 變形體：即物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間可發(fā)生相對(duì)移動(dòng)。 有限元方法所處理的對(duì)象：任意變形體38(2) 基本變量的定義 可以用以下各類(lèi)變量作為任意變形體的描述因此，在材料確定的情況下，基本的力學(xué)變量應(yīng)該有：位移、應(yīng)變、應(yīng)力量39目的：對(duì)彈性體中的位移、應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行定義和表達(dá)，進(jìn)而建立平衡方程、幾何方程和材料物理方程(3) 研究的基本技巧采用微小體積元dxdydz的分析方法（針對(duì)任意變形體）402.2 彈性體的基本

8、假設(shè)彈性體的基本假設(shè)為突出所處理的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并使問(wèn)題簡(jiǎn)單化和抽象化，在彈性力學(xué)中，特提出以下幾個(gè)基本假定。(1) 物質(zhì)連續(xù)性連續(xù)性假定：物質(zhì)無(wú)空隙，可用連續(xù)函數(shù)來(lái)描述；(2) 物質(zhì)均勻性均勻性假定：物體內(nèi)各個(gè)位置的物質(zhì)具有相同特性；(3) 物質(zhì)(力學(xué))特性各向同性各向同性假定：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個(gè)方向上具有相同特性；(4) 線(xiàn)性彈性線(xiàn)性彈性假定：物體的變形與外來(lái)作用的關(guān)系是線(xiàn)性的，外力去除后，物體可恢復(fù)原狀；(5) 小變形小變形假定：物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，在建立方程時(shí)，可以高階小量（二階以上）。 以上基本假定將作為問(wèn)題簡(jiǎn)化的出發(fā)點(diǎn)。412.3 基本變量的指標(biāo)表達(dá)基本變量的指標(biāo)表

9、達(dá)指標(biāo)記法的約定：自由指標(biāo)自由指標(biāo)：在每項(xiàng)中只有一個(gè)下標(biāo)出現(xiàn)，如 ，i，j為自由指標(biāo)，它們可以自由變化；在三維問(wèn)題中，分別取為1，2，3；在直角坐標(biāo)系中，可表示三個(gè)坐標(biāo)軸x, y, z。啞指標(biāo)啞指標(biāo)：在每項(xiàng)中有重復(fù)下標(biāo)出現(xiàn)，如： ，j為啞指標(biāo)。在三維問(wèn)題中其變化的范圍為1,2,3ijijijbxa42Einstein 求和約定：?jiǎn)≈笜?biāo)意味著求和指標(biāo)記法的應(yīng)用：指標(biāo)記法的應(yīng)用：對(duì)于方程組按一般的寫(xiě)法，可寫(xiě)為若用指標(biāo)記法：(2-3)式與(2-2)式等價(jià)，因?yàn)閖為啞指標(biāo)，意味著求和（2-1）（2-2）（2-3）43克羅內(nèi)克符號(hào)克羅內(nèi)克符號(hào) 在笛卡爾直角坐標(biāo)系下，由ij表示的Kronecker(克羅內(nèi)

10、克)符號(hào)定義為 jijiij如果如果 , 0 , 1亦即1332211023321331211244那么，矩陣 333231232221131211100010001= 是單位矩陣。根據(jù)上述定義，可以推出下列關(guān)系 3332211ii333323213132323222121213132121111aaaaaaaaaaaaaaajjjjjj45彈性力學(xué)里假想把物體分成無(wú)限多微小六面體 ，稱(chēng)為微元體?？紤]任一微元體的平衡（或運(yùn)動(dòng)），可寫(xiě)出一組平衡（或運(yùn)動(dòng)）微分方程及邊界條件。但未知應(yīng)力的數(shù)目總是超過(guò)微分方程的數(shù)目，所以彈性力學(xué)問(wèn)題都是超靜定的，必須同時(shí)考慮微元體的變形條件以及應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，它們

11、在彈性力學(xué)中相應(yīng)的稱(chēng)為幾何方程和物理方程。平衡平衡（或運(yùn)動(dòng)）方程、幾何幾何方程和物理物理方程以及邊界條件，稱(chēng)為彈性力學(xué)的基本方程。2.4 彈性力學(xué)的基本方法彈性力學(xué)的基本方法46從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運(yùn)動(dòng)）、幾何、物理三方面條件，得出其基本微分方程，再進(jìn)行求解，最后利用邊界（表面）條件確定解中的常數(shù)，這就是求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方法。472.5 空間問(wèn)題的基本方程空間問(wèn)題的基本方程dydxdz483D情形下的力學(xué)基本變量將正應(yīng)力和正應(yīng)變簡(jiǎn)寫(xiě)成49abbaaddccxyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz50由力平衡條件0X有：0Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdx

12、dzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx化簡(jiǎn)得到0Xzyxzxyxx0Y0Yzyxzyyxy0Z0Zzyxzyzxz平衡微分方程51平衡微分方程的矩陣形式為 0b其中，是微分算子 xyzzxyzyx000000000式中，b是體積力向量，T ZYXb 52由力矩平衡條件有：0 xM02222dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz全式除以dxdydz，合并相同的項(xiàng)，得 02121dzzdyyzyzyyzyz略去微量項(xiàng)，得 zyyzxzzx0YMyxxy0ZM剪切力互等定律53二維問(wèn)題：平衡微分方程0Xyxyxx0Yyxyxy剪切

13、力互等定律yxxy54應(yīng)力邊界條件四面微分體Mabc 55斜微分面abc為其邊界面的一部分，其外法線(xiàn)N與各坐標(biāo)軸夾角的余弦為cos(N，x)=l，cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。 從M點(diǎn)到斜微分面abc的垂直距離dh（圖中未標(biāo)出），是四面微分體的高。 56dAdhdV31四面微分體的體積為 假定斜微分面abc上作用的面力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為XYZ體積力分量為X、Y、Z。 設(shè)斜微分面的面積為dA，則其它三個(gè)微分面的面積為 Mac=dAl， Mab= dAm， Mcb= dAn。 57考慮 0Y0YdVndAmdAldAdAYzyyxy將上式除以dA，并注意到體積力項(xiàng) dhdAd

14、V31當(dāng)令dh0取極限時(shí)，體積力一項(xiàng)趨于零。 由此得到 Ynmlzyyxy考慮 0XXnmlzxyxx考慮 0ZZnmlzyzxz應(yīng)力邊界條件58二維問(wèn)題：應(yīng)力邊界條件YmlyxyXmlyxx59圣維南原理（局部影響原理）物體表面某一小面積上作用的外力，如果為一靜力等效的力系所代替，只能產(chǎn)生局部應(yīng)力的改變，而在離這一面積稍遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。606162均勻分布載荷作用下的平板，應(yīng)力分布是均勻的。材料力學(xué)中的拉伸應(yīng)力計(jì)算公式就是圣維南原理應(yīng)用的結(jié)論。63一對(duì)集中力F/2作用點(diǎn)區(qū)域仍然有比較大的應(yīng)力梯度變化，但是比等效力系F作用的變化小。遠(yuǎn)離力的作用點(diǎn)區(qū)域，應(yīng)力分布仍然均勻。而且均勻區(qū)域更

15、大。64幾何方程：位移與應(yīng)變的關(guān)系B1A11265設(shè)P點(diǎn)的位移分量為u和v，由于坐標(biāo)x有一增量dx，A點(diǎn)的位移較P點(diǎn)的位移也有一相應(yīng)的增量，從而A點(diǎn)的位移分量為：。 dxxuuuAdxxvvvA同理，B點(diǎn)的位移分量為： dyyuuuBdyyvvvB66在小變形的前提下，APA1很小，可以認(rèn)為，線(xiàn)段PA位移后的絕對(duì)伸長(zhǎng)，可以用線(xiàn)段兩端點(diǎn)沿x軸的位移之差來(lái)表示，即：。 dxxuudxxuuuuPAAPPAxudxdxxuPAPAAPx從而線(xiàn)段PA的正應(yīng)變 為：。 x同理線(xiàn)段PB的正應(yīng)變 為：。 yyvdydyyvPBPBBPy67對(duì)于三維情況的微分體，可以得到： zwz因此，可以總結(jié)為： xuxz

16、wzyvy68下面，研究線(xiàn)段PA與PB間所夾直角的變化，即剪應(yīng)變 xy。這個(gè)剪應(yīng)變由兩部分組成，一部分是與x軸相平行的PA向y軸方向的轉(zhuǎn)角1；另一部分是與y軸平行的線(xiàn)段PB向x軸方向的轉(zhuǎn)角 2 。在小變形情況下xuxvudxxuudxvdxxvvtg11169上式分母中的 ，可以略去。從而上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為： 1xxuxv1同樣可得： yu2線(xiàn)段PA與PB間的剪應(yīng)變 xy等于1與 2 之和：yuxvxy21zvywyzxwzuzx70 xuxyuxvxyyvyzvywyzzwzxwzuzx至此，我們得到了六個(gè)應(yīng)變分量與三個(gè)位移分量間的全部關(guān)系式：稱(chēng)為幾何方程71幾何方程式的矩陣形式為 ut為微分算子

17、t其中的轉(zhuǎn)置 T000000000 xzyzxyzyxt72變形連續(xù)方程由幾何方程可知，六個(gè)應(yīng)變分量完全由三個(gè)位移分量u，v，w對(duì)x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)所確定。因此，六個(gè)應(yīng)變分量不會(huì)是互不相關(guān)的x，y，z的函數(shù)，相互之間必存在一定的關(guān)系。 73從物理意義方面講，物體在變形前是連續(xù)的，而在變形后仍是連續(xù)的。若六個(gè)應(yīng)變分量互不相關(guān)，則每個(gè)微分體的變形是任意的，從而將使變形后的各微分體間出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，這顯然與實(shí)際情況不符。要使物體變形后仍為連續(xù)的，六個(gè)應(yīng)變分量間必滿(mǎn)足一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這些關(guān)系。74六個(gè)應(yīng)變分量間的關(guān)系，可以分為兩組。第一組 分別求 對(duì)y，x的二階導(dǎo)數(shù)，得xuxyvy2322

18、yxuyx2322xyvxy將上兩式相加，得 yxxvyuyxxyxyyx222222這就是應(yīng)變分量間的一個(gè)關(guān)系式。 75將x，y，z循環(huán)替換，可以得到 zyyzyzzy22222xzzxzxxz22222yxxyxyyx22222與 組成了第一組的三個(gè)關(guān)系式。 76第二組 分別求 對(duì)z，x，y的導(dǎo)數(shù)，得yuxvxyzvywyzxwzuzxzyuzxvzxy22xzvxywxyz22yxwyzuyzx2277將第二和第三式相加，減去第一式，得 yxwzyxxyzxyz22再求上式對(duì)z的導(dǎo)數(shù)： yxzyxwzyxzzxyzxyz232278將x，y，z循環(huán)替換，可以得到 與 組成了第二組的三個(gè)關(guān)

19、系式。 zxyxzyyzxyzxy22zyxzyxxyzxyzx22yxzyxzzxyzxyz22上述六個(gè)微分關(guān)系式稱(chēng)為變形連續(xù)方程。 79對(duì)于二維問(wèn)題，由于幾何方程簡(jiǎn)化為： xuxyuxvxyyvy由于只存在以上三個(gè)應(yīng)變分量，且都僅為x和y的函數(shù)，則變形連續(xù)方程僅剩有 yxxyxyyx2222280物理方程前邊對(duì)物體的應(yīng)力和變形分別進(jìn)行了討論。這種分析適用于任何變形體，即所得出的一些結(jié)論和公式與物體的物理性質(zhì)無(wú)關(guān)。但僅有應(yīng)力和應(yīng)變的分析還不能解決問(wèn)題，還必須進(jìn)一步研究應(yīng)力和應(yīng)變間的物理關(guān)系。81由簡(jiǎn)單的軸向拉伸試驗(yàn)可知，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于彈性階段時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變呈線(xiàn)性關(guān)系，即 x = Ex

20、其中E為材料的彈性模量。這就是虎克定律。 彈塑性范圍斜率, E彈性范圍應(yīng)力Y應(yīng)變82工程上，一般將應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系表示為zyxxE1xzyyE1yxzzE1xyxyG1yzyzG1zxzxG1稱(chēng)它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義虎克定律）。83式中，E為彈性模量， 為泊松比，G為剪切彈性模量，而且三者之間有如下的關(guān)系：12EG這些彈性常數(shù)不隨應(yīng)力的大小而改變，不隨位置坐標(biāo)而改變，也不隨方向而改變。因?yàn)槲覀冊(cè)僭O(shè)物體是完全彈性的、均勻的，而且是各向同性的。84物理方程用六個(gè)應(yīng)力分量表示六個(gè)應(yīng)變分量。當(dāng)然也可以用應(yīng)變分量來(lái)表示應(yīng)力分量。由上頁(yè)的關(guān)系式及物理方程可以推出：zyxxE112111zyxyE1121

21、11zyxzE11211185xyxyE12yzyzE12zxzxE12若令 Tzxyzxyzyx Tzxyzxyzyx代表應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣，則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫(xiě)成矩陣形式 D86其中 1221000001221000012210001111112111稱(chēng)對(duì)ED稱(chēng)為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和 決定。87由廣義虎克定律，有二維平面應(yīng)力情況下的物理方程：物理方程逆形式88彈性問(wèn)題中的能量表示彈性問(wèn)題中的自然能量包括兩類(lèi)： 外力功 應(yīng)變能 （以位移為基本變量的表達(dá)）或應(yīng)變余能（以應(yīng)力為基本變量的表達(dá)） 出于研究的需要，還要定義一些由自然能量所組合的物理量，如勢(shì)能（以位移為基本變量的表達(dá)）、余能（以應(yīng)力

22、為基本變量的表達(dá)）等。89外力功由于外力又包括作用在物體上的面力和體力，則外力功包括這兩部分力所作的功。 Part 1：外力（面力） 在對(duì)應(yīng)位移ui上所作的功（on Sp） Part 2：體積力 在對(duì)于位移ui上所作的功（in ）ipib90則外力總功為應(yīng)變能3D情形下變形體應(yīng)力與應(yīng)變的對(duì)應(yīng)變量為91其變形能包括兩個(gè)部分： Part 1：對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的變形能 Part 2：對(duì)應(yīng)于剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的變形能正應(yīng)力和正應(yīng)變?nèi)鐖D所示，在xoy平面內(nèi)考察應(yīng)變能，這時(shí)微體的厚度為dz，設(shè)微體dxdydz上只作用有 與 ，則由 （可由試驗(yàn)所得）的關(guān)系求得的微體上的變形能 為9293則整個(gè)物體 上 與

23、所產(chǎn)生的變形能剪應(yīng)力和剪應(yīng)變先考察一對(duì)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變（如圖所示），此時(shí)微體的厚度為dz，設(shè)微體dxdydz上只作用 與 , 則由 與 作用，在微體上產(chǎn)生的能量 9495則整個(gè)物體 上 與 所產(chǎn)生的變形能整體變形能由疊加原理，將所有方向的正應(yīng)力應(yīng)變和剪應(yīng)力應(yīng)變所產(chǎn)生的變形能相加，可得整體變形能96勢(shì)能定義系統(tǒng)的勢(shì)能為97平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問(wèn)題任何構(gòu)件都占有三度空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移必然是三向的。一般說(shuō)來(lái)，它們都是三個(gè)坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。這樣的問(wèn)題稱(chēng)為彈性力學(xué)空間問(wèn)題。98當(dāng)構(gòu)件形狀有某些特點(diǎn)，并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影響，某些空間問(wèn)題可以簡(jiǎn)化

24、為彈性力學(xué)的平面問(wèn)題。這些問(wèn)題中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移僅為兩個(gè)坐標(biāo)（如x、y）的函數(shù)。平面問(wèn)題可以進(jìn)而分為平面應(yīng)變問(wèn)題和平面應(yīng)力問(wèn)題兩大類(lèi)。99平面應(yīng)變?cè)O(shè)一構(gòu)件（如圖），其縱向（z）尺寸遠(yuǎn)大于橫向（x，y）尺寸，且與縱軸垂直的各截面都相同；受到垂直于縱軸但不沿長(zhǎng)度變化的外力（包括體積力X、Y，同時(shí)有Z=0）的作用，而且約束條件也不沿長(zhǎng)度變化。100這時(shí)，可以把構(gòu)件在縱向作為無(wú)限長(zhǎng)看待。因此，任一橫截面都可以視為對(duì)稱(chēng)面，其上各點(diǎn)就不會(huì)產(chǎn)生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)。則有u=u(x, y), v=v(x, y), w=0顯然，在這種條件下構(gòu)件所有橫截面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x、y坐標(biāo)相同）的

25、應(yīng)力、應(yīng)變和位移是相同的。這樣，我們只需從構(gòu)件中沿縱向截出單位厚度的薄片進(jìn)行分析，用以代替整個(gè)構(gòu)件的研究 。101在工程和機(jī)械中，許多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件屬于這一類(lèi)問(wèn)題。如直的堤壩和隧道；圓柱形長(zhǎng)管受到內(nèi)水（油）壓力作用；圓柱形長(zhǎng)輥軸受到垂直于縱軸的均勻壓力等，均可近似的視為平面應(yīng)變問(wèn)題。yyzzooxxyyoo102 還有一種情況，當(dāng)構(gòu)件的縱向尺寸不很大但兩端面被剛性光滑面固定，不能發(fā)生縱向位移時(shí)，若其他條件與上面所述相同，也屬于平面應(yīng)變問(wèn)題。通常，只要是長(zhǎng)的等直柱體或板，受到垂直于其縱軸而且沿長(zhǎng)度方向無(wú)變化的載荷作用時(shí)，都可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題。下面是這種情況下的應(yīng)力、應(yīng)變以及彈性力學(xué)的基本方程式。

26、 103由幾何方程中應(yīng)變分量和位移函數(shù)的關(guān)系及位移公式，得 0, 00,321xwzuzwxuywyxyvyxxvyuyxxuzxzyzyxyx不等于零的三個(gè)應(yīng)變分量是x、y和xy，而且應(yīng)變僅發(fā)生在與坐標(biāo)面xoy平行的平面內(nèi)。104將 ， 代入物理方程 0yz0zxyzyzE12zxzxE120yz0zx得 yxzzE1將 代入物理方程 0z得 yxz在z軸方向沒(méi)有應(yīng)變，但其應(yīng)力 z并不為零。105將 yxz代入物理方程zyxxE1xzyyE1得 xyxyxyxyyyxxEGEE1211111106如果用應(yīng)變分量來(lái)表示應(yīng)力分量，則有xyxyxyyxyyxxEEEE)1 (221)21)(1 (

27、)1 ()1 (21)21)(1 ()1 (1)21)(1 ()1 (由上面的分析可知，獨(dú)立的應(yīng)力分量只有 x、y 和xy 三個(gè)。107平面應(yīng)力對(duì)于具有如下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)力問(wèn)題處理。(1)物體沿一個(gè)坐標(biāo)方向的尺寸(如沿z軸方向)遠(yuǎn)小于沿其它兩個(gè)方向的尺寸，如圖所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周邊上，并與xoy面平行，板的側(cè)面沒(méi)有外力，體積力垂直于z軸；(3)由于板的厚度很小，故外載荷面積力和體積力都可看作是沿z軸方向均勻分布，并且為常量。 10822yyxzoohhh體積力沿板厚不變，且沿z軸方向的分力Z=0。在板的前后表面上沒(méi)有外力作用。即0z0zx0zy2hz時(shí)109在平面應(yīng)力

28、問(wèn)題中，認(rèn)為 等于零，但沿z軸的應(yīng)變不等于零。這與平面應(yīng)變的情況剛好相反。將 代入物理方程， 有 0zzyxzzE1yxzE由于認(rèn)為板內(nèi)，將其代入物理方程0zx0zyyzyzG1zxzxG1，則有0yz0zx110于是，物理方程的另外三式成為 121)(1)(1xyxyxyxyyyxx EGEE如果用應(yīng)變分量來(lái)表示應(yīng)力分量，上面三式變?yōu)閤yxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（111xyxyxyyxyyxxEEEE)1 (221)21)(1 ()1 ()1 (21)21)(1 ()1 (1)21)(1 ()1 (xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(

29、1)(1222（比較兩類(lèi)平面問(wèn)題的物理方程：平面應(yīng)力平面應(yīng)變112 D Txyyx Txyyx這里，分別為應(yīng)力矩陣、應(yīng)變矩陣。矩陣D稱(chēng)為彈性矩陣。如果用 和 分別代換平面應(yīng)力物理方程各式中的E和，就得到平面應(yīng)變物理方程，因此，我們可以將兩類(lèi)平面問(wèn)題的物理方程寫(xiě)成統(tǒng)一的格式，用矩陣方程表示為21E1113對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，彈性矩陣為 21001112稱(chēng)對(duì)ED對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣，只須在上式中，以 代E， 代即可。21E1114算例已知平面應(yīng)變問(wèn)題中某一三角形三結(jié)點(diǎn)單元?jiǎng)偠茸雨嚍椋?14101251261352114111EKe試根據(jù)兩類(lèi)平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系寫(xiě)出該子陣對(duì)應(yīng)平面應(yīng)力問(wèn)題的剛度子陣

30、。 1152121uuEuu1用代E，用代u。得到平面應(yīng)力問(wèn)題的剛度子陣：uuuuuEuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuEKe41025263514111410111251112611135121114111212211116平面問(wèn)題的解法彈性力學(xué)平面問(wèn)題有兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)幾何方程，三個(gè)物理方程。共有八個(gè)方程，其中含有三個(gè)應(yīng)力分量 ，三個(gè)應(yīng)變分量 ，兩個(gè)位移分量u和v，共八個(gè)未知函數(shù)。從數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，有足夠的方程來(lái)求解這些未知函數(shù)，問(wèn)題是可解的。我們要求出八個(gè)未知函數(shù)，使其滿(mǎn)足八個(gè)方程，同時(shí)還必須滿(mǎn)足全部（應(yīng)力及位移）的邊界條件。xyxyxyxy117如前所述，在一定的邊

31、界條件下求解基本方程，可以采用兩種基本方法：一是位移法位移法；另一種是應(yīng)力法應(yīng)力法。1. 位移法把兩個(gè)位移分量u(x, y), v(x, y)作為基本未知函數(shù)。為此，必須利用物理方程和幾何方程，將應(yīng)力分量用位移分量表示出來(lái)。118對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，有物理方程將幾何方程 代入以上各式，得xuxyvyyuxvxy119yvxuEx21yvxuEy21yuxvExy12再將上式帶入平衡微分方程，0Xyxyxx0Yyxyxy簡(jiǎn)化后，即得120021211222222XyxvyuxuE021211222222YyxuxvyvE這就是用位移分量表示的平衡微分方程。將yvxuEx21yvxuEy21yuxv

32、Exy12代入應(yīng)力邊界條件YmlyxyXmlyxx121得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件：YxvyulxuyvmEXxvyumyvxulE21121122位移邊界條件：vvAuuA由此可見(jiàn)，用位移法求解平面應(yīng)力問(wèn)題，歸結(jié)為求解平衡微分方程，并在邊界上滿(mǎn)足邊界條件。122如果所求的問(wèn)題直接給出了邊界上的位移 ，則應(yīng)使得到的位移分量滿(mǎn)足位移邊界條件。求出位移分量后，即可用幾何方程求得應(yīng)變分量，再由物理方程求出應(yīng)力分量。xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（vvAuuAuv對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將上面各方程中的E換為 ，將換為 。21E11232. 應(yīng)力法對(duì)于彈性力學(xué)平面

33、問(wèn)題，往往已知構(gòu)件所承受的載荷。一般以應(yīng)力作為基本未知量較為方便，因此應(yīng)力法應(yīng)用較為廣泛。在這里以三個(gè)應(yīng)力分量 、 和 為基本未知函數(shù)，需要運(yùn)用平衡微分方程變形連續(xù)方程 共同決定這三個(gè)未知函數(shù)。yxx,yxy,yxxy,0Xyxyxx0Yyxyxyyxxyxyyx22222124在這三個(gè)方程中，兩個(gè)平衡方程已經(jīng)用應(yīng)力表示了，尚需將應(yīng)變表示的變形連續(xù)方程改為用應(yīng)力來(lái)表示，為此，將物理方程 121)(1)(1xyxyxyxyyyxx EGEExyxyxyxyyyxxEGEE1211111或yxxyxyyx22222代入變形連續(xù)方程即可。125進(jìn)一步可由物理方程求應(yīng)變，再通過(guò)幾何方程xuxyvyyu

34、xvxyYmlyxyXmlyxx把所得結(jié)果再與平衡方程聯(lián)立求解，即可得出三個(gè)應(yīng)力分量，同時(shí)使它們滿(mǎn)足邊界條件求位移，使其滿(mǎn)足位移邊界條件。126第三章 有限元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 3.1 簡(jiǎn)單問(wèn)題的解析求解3.1.1 1D拉壓桿問(wèn)題一個(gè)左端固定的拉桿在其右端承受一外力P，該拉桿的長(zhǎng)度為l，橫截面積為A，彈性模量為E，如圖所示。128（1） 基本變量由于該問(wèn)題是為沿x方向的一維問(wèn)題，因此只有沿x方向的變量，而其它變量為零。即129（2） 基本方程對(duì)原三維問(wèn)題的所有基本方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，只保留沿x方向的方程，有該問(wèn)題的三大基本方程和邊界條件如下：0 xx130 xux131（3） 求解對(duì)方程進(jìn)行直接求解，可

35、得到以下結(jié)果132其中c和c1為待定常數(shù)，由邊界條件BC和，可求出中的常數(shù)c1=0，因此，有最后的結(jié)果：133（4） 討論1若用經(jīng)驗(yàn)方法求解（如材料力學(xué)的方法），則需先作平面假設(shè)，即假設(shè) 為均勻分布，則可得到再由虎克定律可算出134再計(jì)算右端的伸長(zhǎng)量為經(jīng)驗(yàn)方法求解的結(jié)果與彈性力學(xué)解析的結(jié)果完全一致。135（5） 討論2該問(wèn)題有關(guān)能量的物理量的計(jì)算為應(yīng)變能外力功勢(shì)能 1363.1.2 平面梁的彎曲問(wèn)題受分布載荷的簡(jiǎn)支梁如圖所示，由于簡(jiǎn)支梁的厚度較薄，外載沿厚度方向無(wú)變化，該問(wèn)題可以認(rèn)為是一平面問(wèn)題（xoy）137（1） 基本方程的建立基本方程的建立描述該變形體同樣應(yīng)有三大方程和兩類(lèi)邊界條件，有以

36、下兩種方法來(lái)建立基本方程。(a)用彈性力學(xué)中dxdy微體建模方法推導(dǎo)三大方程(b) 用簡(jiǎn)化的“特征建?！狈椒ㄍ茖?dǎo)三大方程。下面給出簡(jiǎn)化的“特征建?！狈椒ǖ耐茖?dǎo)過(guò)程，其思想是用工程宏觀(guān)特征量進(jìn)行描述。138基本變量139下面取具有全高度梁的dx ”微段”來(lái)推導(dǎo)三大方程140針對(duì)圖中“微段”，應(yīng)有三個(gè)平衡方程，由 ，有其中，y為距梁中性層的坐標(biāo)。由 ，有 ，即-141由 ，有 ，即由變形后的幾何關(guān)系，可得到其中，y為距中性層的坐標(biāo)， 為梁撓度的曲率，即142由虎克定律對(duì)以上方程進(jìn)行整理，有描述平面梁彎曲問(wèn)題的基本方程將原始基本變量定為中性層的撓度v(x)，則可求出其它參量。143該簡(jiǎn)支梁的邊界為梁

37、的兩端，作用在梁上的q(x)已在平衡方程中考慮，因此不作為力的邊界條件。兩端位移兩端力（彎矩）144將彎矩以撓度的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)表示，即（2） 求解求解若用基于dxdy微體所建立的原始方程（即原平面應(yīng)力問(wèn)題中的三大類(lèi)方程）進(jìn)行直接求解，比較麻煩，并且很困難，若用基于以上簡(jiǎn)化的“特征建?！狈椒ㄋ玫降幕痉匠踢M(jìn)行直接求解則比較簡(jiǎn)單，對(duì)本例問(wèn)題（如為均勻分布），其方程為：145這是一個(gè)常微分方程，其解的形式有146其中c0c3為待定系數(shù)，可由四個(gè)邊界條件BC求出，最后有結(jié)果（3） 討論討論該問(wèn)題有關(guān)能量的物理量計(jì)算為：應(yīng)變能147外力功勢(shì)能148第四章 桿梁結(jié)構(gòu)的有限元分析原理本章提到的FEM即 有限

38、元方法(Finite Element Method)FEA即 有限元分析(Finite Element Analysis)4.1 一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)FEA求解的完整過(guò)程求解的完整過(guò)程一個(gè)階梯形狀的二桿結(jié)構(gòu)如圖所示，其材料的彈性模量和結(jié)構(gòu)尺寸如下：150該結(jié)構(gòu)由兩根桿件組成，作為一種直覺(jué)，需要研究相應(yīng)的“特征結(jié)構(gòu)”，即桿單元，將該“特征結(jié)構(gòu)”抽象為具有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的單元，如下圖所示。151e下面考察該簡(jiǎn)單問(wèn)題的FEA求解過(guò)程。(1) 離散化離散化兩個(gè)桿單元，即：?jiǎn)卧蛦卧?52(2) 單元的特征及表達(dá)單元的特征及表達(dá)對(duì)于二結(jié)點(diǎn)桿單元，設(shè)該單元的位移場(chǎng)為 ，那么它的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)條件為設(shè)該單元的位移場(chǎng)

39、具有模式（考慮兩個(gè)待定系數(shù)）153利用結(jié)點(diǎn)條件，可以確定系數(shù)a0和a1，即將系數(shù)a0和a1代入 ，可將 表達(dá)成結(jié)點(diǎn)位移(u1, u2)的關(guān)系，即154其中由一維問(wèn)題幾何方程和物理方程，則該單元的應(yīng)變和應(yīng)力為155其中156單元的勢(shì)能其中叫做單元?jiǎng)偠染仃?。叫做單元結(jié)點(diǎn)外載。在得到“特征單元”的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧Y(jié)點(diǎn)外載后，就可以計(jì)算該單元的勢(shì)能，因此，計(jì)算各單元的矩陣 和 是一個(gè)關(guān)鍵，下面就本題給出了個(gè)單元的 和 。具體就單元，有單元的結(jié)點(diǎn)位移向量單元的剛度矩陣單元的結(jié)點(diǎn)外載其中P1為結(jié)點(diǎn)1的支反力。具體就單元，有單元的剛度矩陣單元的結(jié)點(diǎn)外載單元的結(jié)點(diǎn)位移向量(3) 裝配集成以得到系統(tǒng)的總體勢(shì)能

40、裝配集成以得到系統(tǒng)的總體勢(shì)能計(jì)算整體的勢(shì)能(4) 處理位移邊界條件并求解處理位移邊界條件并求解由圖可知，其邊界條件為左端固定，即u1=0， 將該條件代入總體勢(shì)能公式，有這時(shí)由全部結(jié)點(diǎn)位移0 u2 u3分段所插值出的位移場(chǎng)為全場(chǎng)許可位移場(chǎng)。由最小勢(shì)能原理（即針對(duì)未知位移u2和u3求一階導(dǎo)數(shù)），有可解出(5) 計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)變及應(yīng)力計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)變及應(yīng)力在求得了所有的結(jié)點(diǎn)位移后，由幾何方程可求得各單元的應(yīng)變由方程可求得各單元的應(yīng)力(6) 求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)1的支反力的支反力就單元 的勢(shì)能，對(duì)相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移求極值，可以建立該單元的平衡方程，即有則結(jié)點(diǎn)1的外力為：(7) 討論討論如果我們?cè)谔幚砦灰七吔鐥l

41、件之前，先對(duì)總勢(shì)能取極值，有在上述方程的基礎(chǔ)上，再處理位移邊界條件(BC)，即令u1=0，即可從上述方程求出u2，u3和P1，其求解的值與前面的結(jié)果完全相同。這就給我們提供了一個(gè)方便，即，可以先進(jìn)行各單元的裝配集成，以形成該系統(tǒng)的整體極值方程，類(lèi)似于上頁(yè)的式子，最后才處理位移邊界條件，同時(shí)也可以通過(guò)該整體方程直接求出支反力。這樣可以適應(yīng)更多的邊界條件工況，更具有通用性。4.2 有限元分析的基本步驟和表達(dá)式有限元分析的基本步驟和表達(dá)式從上面的簡(jiǎn)單實(shí)例中，可以總結(jié)出有限元分析的基本思路（以桿單元為例）： 單元的位移（場(chǎng)）模式（唯一確定性原則，完備性原則）基本步驟及相應(yīng)的表達(dá)式基本步驟及相應(yīng)的表達(dá)式

42、(1) 物體幾何的離散化物體幾何的離散化 單元的結(jié)點(diǎn)描述為具有特征的單元。(2) 單元的研究單元的研究（所有力學(xué)信息都用結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)）為幾何位置坐標(biāo)。 所有物理量的表達(dá)（所有力學(xué)量都用結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)）其中 單元的平衡關(guān)系上式的實(shí)質(zhì)（物理含義）是對(duì)應(yīng)于單元體內(nèi)的力平衡和單元結(jié)點(diǎn)上的力平衡。(3) 裝配集成裝配集成 整體平衡關(guān)系其中(4) 處理處理BC并求解結(jié)點(diǎn)位移并求解結(jié)點(diǎn)位移目的是獲得滿(mǎn)足位移邊界條件的許可位移場(chǎng)。其中，qu為未知結(jié)點(diǎn)位移，qk為已知結(jié)點(diǎn)位移，Pu為未知結(jié)點(diǎn)力（即支反力），Pk為已知結(jié)點(diǎn)力。將上頁(yè)方程代入以下兩個(gè)方程表達(dá)式：可以先由（1）式直接求出未知結(jié)點(diǎn)位移：（1）（2）(

43、5) 求支反力求支反力(6) 其它力學(xué)量的計(jì)算其它力學(xué)量的計(jì)算在求出未知結(jié)點(diǎn)位移qu后，由上頁(yè)的(2)式可求出支反力單元和整體的應(yīng)變及應(yīng)力4.3 桿單元及坐標(biāo)變換桿單元及坐標(biāo)變換4.3.1 局部坐標(biāo)系中的單元描述局部坐標(biāo)系中的單元描述局部坐標(biāo)系中的桿單元上圖所示的桿單元，設(shè)有兩個(gè)端結(jié)點(diǎn)(Node1和Node2)，結(jié)點(diǎn)位移向量 和結(jié)點(diǎn)力向量 為利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢(shì)能計(jì)算公式，可以將單元的所有力學(xué)參數(shù)（場(chǎng)變量）( 和 )用結(jié)點(diǎn)位移向量來(lái)表示。(1) 單元位移場(chǎng)單元位移場(chǎng)ue(x)的表達(dá)的表達(dá)由于有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)位移條件，可假設(shè)該單元的位移場(chǎng)為具有兩個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)模式，即其中a0和a1

44、為待定系數(shù)。 由該單元的結(jié)點(diǎn)位移條件可求出上頁(yè)的a0和a1，則 可重新寫(xiě)成其中， 叫做單元的形狀函數(shù)矩陣，即由彈性力學(xué)中的幾何方程（這里為一維問(wèn)題）有(2) 單元應(yīng)變場(chǎng)單元應(yīng)變場(chǎng) 的表達(dá)的表達(dá)其中 叫做單元的幾何函數(shù)矩陣，即由彈性力學(xué)中的物理方程，有(3) 單元應(yīng)力場(chǎng)單元應(yīng)力場(chǎng) 的表達(dá)的表達(dá)其中， 為該單元的彈性模量， 叫做單元的應(yīng)力函數(shù)矩陣，即(4) 單元?jiǎng)菽軉卧獎(jiǎng)菽?的表達(dá)的表達(dá)其中， 叫做單元的剛度矩陣，即(5) 單元的剛度方程單元的剛度方程由最小勢(shì)能原理（針對(duì)該單元），將 對(duì)待定的結(jié)點(diǎn)位移向量 取一階極小值，有這就是單元的剛度方程，由最小勢(shì)能原理的性質(zhì)（系統(tǒng)的勢(shì)能最小可推導(dǎo)出力的平衡方

45、程和力的邊界條件）可知，上式的物理含義是：該單元的力的平衡關(guān)系。4.3.2 平面問(wèn)題中桿單元的坐標(biāo)變換平面問(wèn)題中桿單元的坐標(biāo)變換在工程實(shí)際中，桿單元可能出于整體坐標(biāo)系中的任意一個(gè)未知，如上圖所示，這需要將原來(lái)在局部坐標(biāo)系中所得到的單元表達(dá)等價(jià)地變換到整體坐標(biāo)系中，這樣，不同位置的單元才有公共的坐標(biāo)基準(zhǔn)，以便對(duì)各個(gè)單元進(jìn)行集成和裝配。上圖中局部坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移上圖中整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)于結(jié)點(diǎn)1，整體坐標(biāo)系下的結(jié)點(diǎn)位移 和其合成的結(jié)果應(yīng)完全等效于 ；對(duì)于結(jié)點(diǎn)2，結(jié)點(diǎn)位移 和 合成的結(jié)果應(yīng)完全等效于 ，即存在以下的等價(jià)變換關(guān)系寫(xiě)成矩陣形式其中 為坐標(biāo)變換矩陣，即下面推導(dǎo)整體坐標(biāo)系下的剛度方程，

46、由于單元的勢(shì)能是一個(gè)標(biāo)量（能量），不會(huì)因坐標(biāo)系的不同而改變，因此，將結(jié)點(diǎn)位移 的坐標(biāo)變換關(guān)系代入單元?jiǎng)菽?公式，有其中， 為整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?為整體坐標(biāo)系下的結(jié)點(diǎn)力，即對(duì)于本節(jié)給出的桿單元，具體有由最小勢(shì)能原理（針對(duì)該單元），將 對(duì)待定的結(jié)點(diǎn)位移向量 取一階極小值，有整體坐標(biāo)系中的剛度方程4.3.3 空間問(wèn)題中桿單元的坐標(biāo)變換空間問(wèn)題中桿單元的坐標(biāo)變換就空間問(wèn)題中桿單元，局部坐標(biāo)系下的結(jié)點(diǎn)位移還是而整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移為桿單元軸線(xiàn)在整體坐標(biāo)系中的方向余弦為其中 和 分別為結(jié)點(diǎn)1和結(jié)點(diǎn)2在整體坐標(biāo)系中的位置，l是桿單元的長(zhǎng)度，和平面情形類(lèi)似， 與 之間存在以下轉(zhuǎn)換關(guān)系：剛度矩陣和結(jié)

47、點(diǎn)力的變化與平面情形相同，即為其中 為坐標(biāo)變換矩陣，即4.4 梁?jiǎn)卧捌渥鴺?biāo)變換梁?jiǎn)卧捌渥鴺?biāo)變換4.4.1 局部坐標(biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧蠄D所示為一局部坐標(biāo)系中的純彎梁，設(shè)有兩個(gè)端結(jié)點(diǎn)（Node1和Node2），結(jié)點(diǎn)位移 和結(jié)點(diǎn)力 為和前面推導(dǎo)桿單元時(shí)的情形類(lèi)似，利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢(shì)能計(jì)算公式，我們可以將單元的所有力學(xué)參量（場(chǎng)變量）用結(jié)點(diǎn)位移向量 來(lái)表示。由于有四個(gè)位移結(jié)點(diǎn)條件，可假設(shè)純彎梁?jiǎn)卧奈灰茍?chǎng)為具有四個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)模式，即(1) 單元位移場(chǎng)的表達(dá)單元位移場(chǎng)的表達(dá)其中 為待定系數(shù)。由該單元的結(jié)點(diǎn)位移條件可求出 中的4個(gè)待定系數(shù)，即將上式代入 中

48、，重寫(xiě)位移函數(shù)，有其中， ， 叫做單元的形狀函數(shù)矩陣，即(2) 單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)由純彎梁的幾何方程，有梁的應(yīng)變表達(dá)式其中 為基于中性層的坐標(biāo)， 叫做單元的幾何函數(shù)矩陣，即其中(3) 單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)其中 彈性模量， 叫做單元的應(yīng)力函數(shù)矩陣該單元的勢(shì)能為(4) 單元?jiǎng)菽軉卧獎(jiǎng)菽?的表達(dá)的表達(dá)其中應(yīng)變能其中 為剛度矩陣，即其中 為慣性矩，則外力功為(5) 單元的剛度方程單元的剛度方程同樣，由最小勢(shì)能原理，將 對(duì) 取一階極小值，有剛度方程其中剛度矩陣 和力矩陣 分別在以上的計(jì)算中給出。注意上式中的下表(44)(41)(41)為各個(gè)矩陣的維數(shù)（即行和列）。4.4.2 局

49、部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獮橥茖?dǎo)平面問(wèn)題中的梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換公式，我們?cè)诩儚澚旱幕A(chǔ)上疊加軸向位移（由于為線(xiàn)彈性問(wèn)題，滿(mǎn)足疊加原理），如下圖所示上圖所示平面梁?jiǎn)卧慕Y(jié)點(diǎn)位移 和結(jié)點(diǎn)力 為相應(yīng)的剛度方程為將桿單元?jiǎng)偠染仃嚺c純彎梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行組合，可得到剛度矩陣4.4.3 平面問(wèn)題中梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換平面問(wèn)題中梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換局部坐標(biāo)系下的結(jié)點(diǎn)位移整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移注意：轉(zhuǎn)角 和 在兩個(gè)坐標(biāo)系中是相同的。按照兩個(gè)坐標(biāo)系中的位移向量相等效的原則，可推導(dǎo)出以下變換關(guān)系。寫(xiě)成矩陣形式有其中T為坐標(biāo)變換矩陣，即則整體坐標(biāo)系中的剛度方程為其中空間梁?jiǎn)卧惺茌S力和彎矩外，還可能承受

50、扭矩的作用，而且彎矩可能同時(shí)在兩個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)存在，如下圖4.4.4 空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換下面，我們分別基于前面桿單元和平面梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚪謩e寫(xiě)出上圖中各對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)位移的剛度矩陣，然后進(jìn)行組合以形成完整的剛度矩陣。對(duì)應(yīng)于上圖中梁?jiǎn)卧?，其局部坐?biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移 和結(jié)點(diǎn)力 為(1) 對(duì)應(yīng)于圖中的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)于圖中的結(jié)點(diǎn)位移(u1, u2)這是軸向位移，有剛度矩陣(2) 對(duì)應(yīng)于圖中的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)于圖中的結(jié)點(diǎn)位移( , )這是桿受扭時(shí)的情形，其剛度矩陣為其中J為橫截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩，G為剪切模量。這是梁在xoy平面內(nèi)的純彎曲情形，有剛度矩陣(3) 對(duì)應(yīng)于圖中對(duì)應(yīng)于圖中xoy平面內(nèi)的結(jié)點(diǎn)位

51、移平面內(nèi)的結(jié)點(diǎn)位移其中Iz為梁的橫截面繞z軸的慣性矩。22223)44()(46266126122646612612lllllllllllllEIyeOxzK(4) 對(duì)應(yīng)于圖中對(duì)應(yīng)于圖中xoz平面內(nèi)的結(jié)點(diǎn)位移平面內(nèi)的結(jié)點(diǎn)位移這是梁在xoz平面內(nèi)的純彎曲情形，有剛度矩陣(5) 將各分剛度矩陣進(jìn)行組合以形成完整的將各分剛度矩陣進(jìn)行組合以形成完整的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噷⑸鲜龈鞣謩偠染仃嚨脑剡M(jìn)行組合，則可形成局部坐標(biāo)系中空間梁?jiǎn)卧耐暾麆偠染仃?，?6) 空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換空間梁?jiǎn)卧鴺?biāo)變換的原理和方法與平面梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換相同，只要分別寫(xiě)出兩個(gè)坐標(biāo)系中的位移向量的等效關(guān)系則可

52、得到坐標(biāo)變換矩陣，即 局部坐標(biāo)系中空間梁?jiǎn)卧慕Y(jié)點(diǎn)位移整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)于各組位移分量，可分別推導(dǎo)相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，具體的，對(duì)結(jié)點(diǎn)1，有同樣，對(duì)結(jié)點(diǎn)2有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系以上的 為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變換矩陣，即其中 分別表示局部坐標(biāo)軸(x，y，z)對(duì)整體坐標(biāo)軸的方向余弦。將以上各式寫(xiě)在一起，有其中T為坐標(biāo)變換矩陣，即第五章 連續(xù)體彈性問(wèn)題的有限元分析原理5.1 連續(xù)體問(wèn)題的特征及有限元分析過(guò)程連續(xù)體問(wèn)題的特征及有限元分析過(guò)程桿梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)由于本身存在有自然的連接關(guān)系即自然結(jié)點(diǎn)，所有它們的離散化均叫做自然化離散自然化離散，這樣的計(jì)算模型對(duì)原始結(jié)構(gòu)具有很好的描述。而連續(xù)體結(jié)構(gòu)則不同，它本身內(nèi)部不存在有自然的連

53、接關(guān)系，而是以連續(xù)介質(zhì)的形式進(jìn)行物質(zhì)間的相互關(guān)聯(lián)，所以，必須人為的在連續(xù)體內(nèi)部和邊界上劃分結(jié)點(diǎn)，以分片（單元）連續(xù)的形式來(lái)逼近原來(lái)復(fù)雜的幾何形狀，這種離散過(guò)程叫做逼近逼近性離散性離散過(guò)程。如下圖所示(1) 原連續(xù)體（幾何上）的逼近離散原連續(xù)體（幾何上）的逼近離散對(duì)應(yīng)于連續(xù)體的力學(xué)分析，有限元分析的一般過(guò)程如下：其中 為單元。(2) 單元特性的研究單元特性的研究研究單元特性以形成單元?jiǎng)偠染仃嚭徒Y(jié)點(diǎn)外載矩陣 結(jié)點(diǎn)自由度（位移）描述： 位移模式（簡(jiǎn)單性、完備性、連續(xù)性、唯一確定性） 由結(jié)點(diǎn)條件確定位移模式中的待定系數(shù)，推導(dǎo)出形狀函數(shù)矩陣： 單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)（由幾何方程）：形狀函數(shù)矩陣 ：彈性力學(xué)中幾

54、何方程算子 ：幾何方程 單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)（由物理方程）：彈性力學(xué)中的彈性系數(shù)矩陣 ：應(yīng)力矩陣 單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)在以上公式中，：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)力矩陣：體積力向量：面積力向量其中幾何的集成對(duì)單元?jiǎng)菽?，?yīng)用最小勢(shì)能原理，可得到單元的平衡關(guān)系(3) 離散單元的裝配和集成離散單元的裝配和集成結(jié)點(diǎn)位移的集成剛度矩陣的集成結(jié)點(diǎn)外載的集成形成整體剛度方程(4) 處理邊界條件并且求解結(jié)點(diǎn)位移處理邊界條件并且求解結(jié)點(diǎn)位移(5) 求各單元內(nèi)的應(yīng)變、應(yīng)力、支反力求各單元內(nèi)的應(yīng)變、應(yīng)力、支反力三結(jié)點(diǎn)三角形2D單元如下圖所示。三個(gè)結(jié)點(diǎn)為1、2、3，各自的位置坐標(biāo)為(xi，yi)，i=1，2，3，各自的結(jié)點(diǎn)位移（分別

55、沿x方向和y方向）為(ui，vi)，i=1，2，3。5.2 2D單元（三結(jié)點(diǎn)、四結(jié)點(diǎn)）的構(gòu)造單元（三結(jié)點(diǎn)、四結(jié)點(diǎn)）的構(gòu)造5.2.1 三結(jié)點(diǎn)三角形三結(jié)點(diǎn)三角形2D單元單元上圖所示三結(jié)點(diǎn)三角形2D單元，結(jié)點(diǎn)位移向量 和結(jié)點(diǎn)力向量 為下面，我們需要將所有力學(xué)參量用結(jié)點(diǎn)位移向量 來(lái)表達(dá)。(1) 單元位移場(chǎng)的表達(dá)單元位移場(chǎng)的表達(dá)就三結(jié)點(diǎn)三角形2D單元，考慮到簡(jiǎn)單性、完備性、連續(xù)性及待定系數(shù)的唯一確定性原則，選取位移模式為由結(jié)點(diǎn)條件，在x=xi，y=yi處，有（1）（2）將（1）代入結(jié)點(diǎn)條件（2）中，可求解（1）中的待定系數(shù)，即在上述各式中，上式（1，2，3）表示下標(biāo)輪換，如1 2，2 3，3 1。將各系

56、數(shù)代入（1）中，重寫(xiě)位移函數(shù)，并以結(jié)點(diǎn)位移的形式表示，有寫(xiě)成矩陣形式，其中 為形狀函數(shù)矩陣，即由彈性力學(xué)平面問(wèn)題的幾何方程(2) 單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)其中幾何函數(shù)矩陣 為將形函數(shù)代入上式，有其中由彈性力學(xué)平面問(wèn)題的物理方程(3) 單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)其中平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性系數(shù)矩陣為 將幾何方程代入物理方程，有為單元應(yīng)力矩陣。其中t為平面問(wèn)題的厚度。(4) 單元的勢(shì)能的表達(dá)單元的勢(shì)能的表達(dá)其中 是單元?jiǎng)偠染仃?，即?shì)能公式中的 為單元結(jié)點(diǎn)等效載荷，即其中 為單元上作用有外載荷的邊。 為線(xiàn)積分(5) 單元的剛度方程單元的剛度方程討論討論1：平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移和坐標(biāo)

57、變換：平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移和坐標(biāo)變換由于該單元的結(jié)點(diǎn)位移是以整體坐標(biāo)系中的x方向位移(u1)和y方向位移(v1)來(lái)定義的，所以沒(méi)有坐標(biāo)變換問(wèn)題。討論討論2：平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣：平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣為常系數(shù)矩陣為常系數(shù)矩陣單元的位移場(chǎng)為線(xiàn)性關(guān)系，由于只與(xi，yi)相關(guān)，是常系數(shù)，因而求出的 和 為常系數(shù)矩陣，不隨x、y變化，即這種單元在單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力都相同。因此，三結(jié)點(diǎn)三角形單元稱(chēng)為常應(yīng)變單元常應(yīng)變單元，在應(yīng)變梯度較大（即應(yīng)力梯度比較大）的部位，單元?jiǎng)澐謶?yīng)適當(dāng)密集，否則將不能反映應(yīng)變的真實(shí)變化而導(dǎo)致較大的誤差。5.2.2 四結(jié)點(diǎn)矩形四結(jié)點(diǎn)矩形2D單元單元無(wú)量綱坐標(biāo)：上圖所示的四結(jié)點(diǎn)矩形2D單元，結(jié)點(diǎn)位移向量和結(jié)點(diǎn)力向量 為下面，將所有力學(xué)參量用結(jié)點(diǎn)位移 來(lái)表示。(1) 單元位移場(chǎng)的表達(dá)單元位移場(chǎng)的表達(dá)從圖中可以看出，結(jié)點(diǎn)條件共有8個(gè)，即x方向4個(gè)（u1，u2，u3，u4），y方向4個(gè)（v1，v2，v3，v4），因此，x和y方向的位移場(chǎng)可以各有4個(gè)待定