質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)習(xí)題課.ppt [修復(fù)的]

1、一、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比一、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比 (1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度質(zhì)量質(zhì)量 m , 力力 F轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J , , 力矩力矩 MM力的功力的功力矩的功力矩的功動(dòng)能動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)能轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp cpmghE 質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)習(xí)題課質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)習(xí)題課質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比(2)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓定律牛頓定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量定理動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒amF JM 00diiitivmvmtF const pkEE2022121mvmvA iiiiiivmvm02022121 JJA const pkEE tJJtM000d 00 JJ 參量參量運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)律動(dòng)因動(dòng)因時(shí)間時(shí)間規(guī)律規(guī)律空間空間規(guī)律規(guī)律能量能量關(guān)系關(guān)系速度：速度：dtrdV 角速度：角速度：dtd 加速度：加速度：22dtrda 角加速度：角加速度：22dtd 勻直：勻直：Vtss

3、0勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)：勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)：t 0勻變直：勻變直：atVV 02021attVs asVV2202 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)：勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)：t 02021tt 2202 牛二律：牛二律：amF 轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律： JM 動(dòng)量定理：動(dòng)量定理：PdtFItt 21動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒： 00PF外外角動(dòng)量定理：角動(dòng)量定理：0)(21 JJMdttt 角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒： 00LM外外平動(dòng)動(dòng)能：平動(dòng)動(dòng)能：221mVEk 力的功：力的功： bardFA動(dòng)能定理：動(dòng)能定理：kEA 外外轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：221 JEk 力矩的功：力矩的功： 21 MdA動(dòng)能定理：動(dòng)能定理：kEA 外外功能原理：功能原理：0EEAA

4、非保內(nèi)非保內(nèi)外外機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：00 EAA非保內(nèi)非保內(nèi)外外注意：注意：1. 對(duì)于剛體，做功的還應(yīng)有外力矩的功對(duì)于剛體，做功的還應(yīng)有外力矩的功2. 機(jī)械能應(yīng)為勢(shì)能機(jī)械能應(yīng)為勢(shì)能+平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能二、有關(guān)概念二、有關(guān)概念：rVaVmP 21ttdtFI bardFA JL 21ttMdt221 JEk J質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 2iirm質(zhì)量連續(xù)分布剛體質(zhì)量連續(xù)分布剛體 Vdmr2記憶：記憶：均勻直桿：均勻直桿：2121mlJc 231mlJl 均勻圓盤：均勻圓盤：221mRJc 均勻球體：均勻球體：252mRJc 注意：注意：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

5、慣量具有可加性。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1. 質(zhì)點(diǎn)和剛體（質(zhì)點(diǎn)和剛體（mass point, particle and rigid body） 物體不形變，不作轉(zhuǎn)動(dòng)（此時(shí)物體上各點(diǎn)的速度及加速度物體不形變，不作轉(zhuǎn)動(dòng)（此時(shí)物體上各點(diǎn)的速度及加速度 都相同，其任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以代表物體所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)）。都相同，其任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以代表物體所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)）。 物體本身的線度和它活動(dòng)的范圍相比小得很多（此時(shí)物體物體本身的線度和它活動(dòng)的范圍相比小得很多（此時(shí)物體 的形變及轉(zhuǎn)動(dòng)顯得并不重要）。的形變及轉(zhuǎn)動(dòng)顯得并不重要）。 2. 參考系參考系(reference system)和坐標(biāo)系（和坐標(biāo)系（coordinate system

6、） 對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的描寫(xiě)決定于參考系而不是坐標(biāo)系。對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的描寫(xiě)決定于參考系而不是坐標(biāo)系。 參考系選定后，選用不同的坐標(biāo)系對(duì)運(yùn)動(dòng)的描寫(xiě)是相同的。參考系選定后，選用不同的坐標(biāo)系對(duì)運(yùn)動(dòng)的描寫(xiě)是相同的。 直角坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系（rectangular coordinates） 自然坐標(biāo)系（自然坐標(biāo)系（natural coordinates） 平面極坐標(biāo)平面極坐標(biāo)(planar polar coordinates) 柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系(cylindrical polar coordinates) 坐標(biāo)系坐標(biāo)系(spherical polar coordinates) kzjyixr 222zyxrr ,c

7、osrx ,cosry rz cos大?。捍笮。悍较颍悍较颍?r3. 運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性(absoluteness of motion and relativity of describing motion)4. 空間和時(shí)間（空間和時(shí)間（space and time） 空間：是與物體的體積和變化聯(lián)系在一起的，是一切不同空間：是與物體的體積和變化聯(lián)系在一起的，是一切不同位置的概括和抽象。反應(yīng)了物體的廣延性。位置的概括和抽象。反應(yīng)了物體的廣延性。 時(shí)間：是一切不同時(shí)刻的概括和總結(jié)。反應(yīng)了物理世界的時(shí)間：是一切不同時(shí)刻的概括和總結(jié)。反應(yīng)了物理世界的順序性和持

8、續(xù)性順序性和持續(xù)性5. 位置矢徑和運(yùn)動(dòng)方程：位置矢徑和運(yùn)動(dòng)方程：(position vector and motion equation)質(zhì)點(diǎn)的空間位置可以用坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來(lái)表示。質(zhì)點(diǎn)的空間位置可以用坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來(lái)表示。P 點(diǎn)坐標(biāo)：點(diǎn)坐標(biāo)： x , y , zP 點(diǎn)矢徑：點(diǎn)矢徑： r OP6. 運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程（運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程（motion equation and locus equation） 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中： )( )()(jtyitxtr (2) 分量式分量式 )(txx )(tyy )(trr (1) 矢量式矢量式質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 位矢隨時(shí)間的函數(shù)關(guān)系

9、。位矢隨時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。 只討論平面運(yùn)動(dòng)的情況只討論平面運(yùn)動(dòng)的情況 lim0 vvt (2) (2) 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 (簡(jiǎn)稱速度簡(jiǎn)稱速度) 速度速度 = 位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中： dd ddddjtyitxtrv 大小：大?。?22yxvvvv jvivyx v方向：方向：沿軌道的切線指向運(yùn)動(dòng)方向。沿軌道的切線指向運(yùn)動(dòng)方向。 tanxyvv lim0trt ddtr (1-7) (1-9) v yv xv Av 1B 2Br A B ABv lim0vvt 瞬時(shí)速率瞬時(shí)速率 = 平均速率的極限，平均速率的極限，或或 路程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)

10、數(shù)。路程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。(2) 瞬時(shí)速率瞬時(shí)速率 速度是速度是矢量矢量，速率是，速率是標(biāo)量標(biāo)量。 一般情況：一般情況： , rs 單向直線運(yùn)動(dòng)時(shí)：?jiǎn)蜗蛑本€運(yùn)動(dòng)時(shí)： , rs ddtsv 10.平均速率和瞬時(shí)速率平均速率和瞬時(shí)速率 ( (average and instantaneous speed)(1) 平均速率平均速率 dd sr 瞬時(shí)速率瞬時(shí)速率 = 瞬時(shí)速度的大小。瞬時(shí)速度的大小。 tsv (1-6) vv vv (1-8) lim0tst ddts (1-8) ddtr ddtr v (2)(2) 瞬時(shí)加速度瞬時(shí)加速度 (簡(jiǎn)稱加速度簡(jiǎn)稱加速度) dd22tr 速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)速

11、度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中： 22yxaaaa jaiayx 方向：方向： 大?。捍笮。?a tanxyaa (1-11) dd dd ddjtvitvtvyx dd dd dd222222jtyitxtr a(1-12) (1-13) lim0tvat ddtv 位矢對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)位矢對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù) 1 1. 矢量性矢量性: :四個(gè)量都是矢量，有大小和方向，四個(gè)量都是矢量，有大小和方向，2 2. 瞬時(shí)性瞬時(shí)性: :3 3. 相對(duì)性：相對(duì)性：不同參照系中，同一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述不同；不同參照系中，同一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述不同； 注意：注意： 瞬時(shí)量瞬時(shí)量（不同時(shí)刻不同不同時(shí)刻不同）a,

12、 r, vr過(guò)程量過(guò)程量 arrv位矢位矢 、位移、位移 、速度、速度 、加速度、加速度 加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則。加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則。 不同坐標(biāo)系中，具體表達(dá)形式不同。不同坐標(biāo)系中，具體表達(dá)形式不同。 12.直角坐標(biāo)系與自然坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系與自然坐標(biāo)系 （rectangular coordinates and natural coordinates ）13. 切向加速度和法向加速度（切向加速度和法向加速度（tangential acc. and normal acc.）14. 角量和線量角量和線量 (angular and linear)15. 勻變速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻變速直

13、線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng) （uniformly acceleration rectilinear motion and uniformly circular motion motion ） 二、二、 一維直線運(yùn)動(dòng)一維直線運(yùn)動(dòng) 沿直線取沿直線取 軸坐標(biāo)軸坐標(biāo) x2. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 1. 1. 位置坐標(biāo)位置坐標(biāo) x3. 3. 位位 移移 12xxx 4. 4. 速速 度度 0 , i0 , i ddtxv 5. 5. 加速度加速度 dddd22txtva 1x2xx = x (t) ox x三、圓周運(yùn)動(dòng)三、圓周運(yùn)動(dòng)（circular motion）1. 1. 圓周運(yùn)動(dòng)的線量描述圓周運(yùn)動(dòng)的線量

14、描述 , )(tss , ddtvat (曲率半徑曲率半徑 R 是恒量是恒量)2. 2. 圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述 角坐標(biāo)角坐標(biāo) Oxv sRP 單位：?jiǎn)挝唬?rad , ddtsv , 22ntaaa 2Rvan 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 )(t 0t 2 1 20tt 3. 3. 勻變速圓周運(yùn)動(dòng)勻變速圓周運(yùn)動(dòng) tdd 常量常量 ， Rat常量常量 0tavvt 2 1 20tatvst (1-28) (1-27) 四、平面曲線運(yùn)動(dòng)四、平面曲線運(yùn)動(dòng)（plane curvilinear motion）一個(gè)任意的平面曲線運(yùn)動(dòng)，可以視為由一系一個(gè)任意的平面曲線運(yùn)動(dòng)，可以視為由一系 加速度：加速

15、度： nteeta 2ddvv 曲率半徑曲率半徑列小段圓周運(yùn)動(dòng)所組成。列小段圓周運(yùn)動(dòng)所組成。O2 2 1O1P1曲率圓曲率圓1曲率圓曲率圓2P21te1ne2ne2te運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)軌跡質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題舉例質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題舉例運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的基本類型：運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的基本類型：1. 1. 已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。運(yùn)用微分方法運(yùn)用微分方法 2. 2. 已知質(zhì)點(diǎn)的速度已知質(zhì)點(diǎn)的速度( 或加速度或加速度 ) 和初始條件，和初始條件， 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及其它未知量。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及其它未知量。 運(yùn)用積分方法運(yùn)用積分方法 運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算舉例運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算舉例 2R Oxyt

16、0 t P 例例1. 已知：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：已知：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程： ) cos21 (tRx sintRy 求：求： (1) 軌跡；軌跡； (2) 速度；速度； (3) 加速度；加速度； (4) at ，an 。 解：解： (1) 將運(yùn)動(dòng)方程改寫(xiě)為：將運(yùn)動(dòng)方程改寫(xiě)為： , cos2tRRx sintRy 消去參數(shù)消去參數(shù) t 得軌跡方程：得軌跡方程： )2(2 22 RyRx (圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)) v xv yvt 2R Oxyt P (2) 求求 。 v由運(yùn)動(dòng)方程由運(yùn)動(dòng)方程 sinddtRtxvx cos ddtRtyvy jvivvyx cos sin jtRitR 大?。捍笮。?22Rvvv

17、yx 方向：方向： , cot tantvvxy 2t 得：得： ) cos21 (tRx sintRy v xv yvt 2R Oxyt P (3) 求求 a , cos dd 2tRtvaxx sin dd 2tRtvayy jaiaayx ) sin cos ( 2jti tR 大?。捍笮。?222Raaayx 方向：方向： , tan tantaaxy t (4) 求求 , , ntaav , 0dd tvat 22RRvan , Rvv a 例例 2.2. 已知已知: : , 0byvvvxy 求求: : 位矢方程位矢方程(運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程)； 軌跡方程；軌跡方程； , yyat r

18、 0tv 2021tbvOxyP 解：解： (1) 0byvvvxy dddd 0bytxvty 由由 得：得： 0tvy 代入代入 得：得： , dd0tbvtx , d d0ttbvx x0 t0 2021 tbvx 位矢方程為：位矢方程為： jyixr 2 1 020jtvitbv (2) 由由 0tvy , 021tbvx 消去消去 t 得：得： 202vbyx OxyP r 0tv 2021tbv 220yvbx (3) 22yxvvv )(202vby )(2020vtbv ddtvat )( 2 2 1 202000vtbvbvtbv 202202vybyvb 22tnaaa )

19、(222tyxaaa tvaxxdd d)(dtby 0bv tvayydd 0dd0 tv )(222tyxnaaaa 202222044022204vybyvbvbyvb 202220vybbv 20222020222vybbvvybavn , 2 van )(20232022bvvyb , 0bvax , 0 ya 202202vybyvbat 例例 3. 3. 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)，已知已知 a = 3 + 6 x2 ，當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí) v = 0， 求：質(zhì)點(diǎn)在任意位置時(shí)的速度。求：質(zhì)點(diǎn)在任意位置時(shí)的速度。 解：解： ddtva d d tv dx dx ddxvv

20、 632x d)6(3 d 2xxvv v0 x0 )2(3 2132xxv 0v 0 x , 4632xxv 46 3xxv 例例4.4. 一質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng)，初始加速度為一質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng)，初始加速度為 a0 0 ，以后加速以后加速 度均勻增加度均勻增加，每經(jīng)過(guò)每經(jīng)過(guò) 秒增加秒增加 a0 0 ，求：經(jīng)過(guò)求：經(jīng)過(guò) t 秒后質(zhì)點(diǎn)的速秒后質(zhì)點(diǎn)的速 度和運(yùn)動(dòng)的距離。度和運(yùn)動(dòng)的距離。 , 00taaa 解：據(jù)題意知，加速度和時(shí)間的關(guān)系為：解：據(jù)題意知，加速度和時(shí)間的關(guān)系為： , dd tva d d tav d ) (000ttaavt 2 200tata v0 t0 , 2 200

21、tata ddtxv d)2( d200ttatax t0 x0 62 3020tatax 例例5.5. 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在 Oxy 平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度是時(shí)間的函數(shù)。平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度是時(shí)間的函數(shù)。 已知已知 ax= 2, , ay= 36 t 2。設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn) t0 時(shí)時(shí) r0 0 = 0，v0 0 = 0。 d 36 d , d 2 d2ttvtvyx , d 2 d00 tvxtvx 12 3 tvy 12 2 3jtitv dd , ddtvatvayyxx 解：解：(1) d 36 d020 tvyttvy , 2 tvx 求：求：(1) 此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

22、方程；(2) 此質(zhì)點(diǎn)的軌道方程，此質(zhì)點(diǎn)的軌道方程，(3) 此質(zhì)此質(zhì)點(diǎn)的切向加速度。點(diǎn)的切向加速度。 dd , ddtyvtxvyx 所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： , d 2dttx d12d 030 tytty , 2tx (2) 上式中消去上式中消去 t 得得 y = 3 x 2 即為軌道方程?？芍羌礊檐壍婪匠?。可知是拋物線拋物線。 d12d3tty , d2d00 txttx 34ty 2tx 34ty 3 42jtitr 12 , 2 3tvtvyx ddtvat 1444 6222ttvvvyx (3) 1444 8648 21 626tttt 361 2162 42

23、tt 例題例題6 6：一長(zhǎng)一長(zhǎng)L=4mL=4m，質(zhì)量，質(zhì)量M=150kgM=150kg的船，靜止在湖面上。今有一的船，靜止在湖面上。今有一質(zhì)量為質(zhì)量為m=50kgm=50kg的人，從船頭走向船尾。求人和船相對(duì)于湖面的的人，從船頭走向船尾。求人和船相對(duì)于湖面的移動(dòng)距離。移動(dòng)距離。解：解：設(shè)設(shè)t=0t=0時(shí)，人在船頭，時(shí)，人在船頭，t t時(shí)刻，時(shí)刻，人到達(dá)船尾。人到達(dá)船尾。船移動(dòng)的距離：船移動(dòng)的距離：dtVSt0tvdts0人移動(dòng)的距離：人移動(dòng)的距離：Ss例題例題7 7 質(zhì)量為質(zhì)量為m m的小球系在繩子的一端，繩穿過(guò)鉛直套管，的小球系在繩子的一端，繩穿過(guò)鉛直套管，使小球限制在一光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。先

24、使小球一速度使小球限制在一光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。先使小球一速度v v0 0繞繞管心作半徑為管心作半徑為r r0 0的圓周運(yùn)動(dòng)，然后向下拉繩子，使小球運(yùn)的圓周運(yùn)動(dòng)，然后向下拉繩子，使小球運(yùn)動(dòng)半徑變?yōu)閯?dòng)半徑變?yōu)閞 r1 1。求小球的速度以及外力所作的功。求小球的速度以及外力所作的功。v0F r0 r1 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒動(dòng)能定理：動(dòng)能定理：例題例題8 8 由角動(dòng)量守恒定律證明開(kāi)普勒第二定律：由角動(dòng)量守恒定律證明開(kāi)普勒第二定律：rrd有心力作用角動(dòng)量守恒有心力作用角動(dòng)量守恒 證畢證畢力矩的計(jì)算舉例力矩的計(jì)算舉例例例 1 1：水平桌面上勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)：水平桌面上勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng) l ，質(zhì)量，質(zhì)量 m，繞一端垂直軸

25、轉(zhuǎn)動(dòng)，繞一端垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 已知摩擦系數(shù)為已知摩擦系數(shù)為 ，求：細(xì)桿受的摩擦力矩，求：細(xì)桿受的摩擦力矩 Mf 。 rrdmdfdO解：解： ddrlmm rglmgmfd d d frfrMd 2sind df 方向：方向： fM d d d 0 f f lrrglmfrMM 21lgm 例例 2 2：水平桌面上勻質(zhì)薄圓盤半徑：水平桌面上勻質(zhì)薄圓盤半徑 R ，質(zhì)量，質(zhì)量 m ，繞中心垂直軸，繞中心垂直軸 轉(zhuǎn)動(dòng)，已知摩擦系數(shù)為轉(zhuǎn)動(dòng)，已知摩擦系數(shù)為 ，求：圓盤受的摩擦力矩，求：圓盤受的摩擦力矩 MMf f 。解：解： 選細(xì)圓環(huán)，半徑選細(xì)圓環(huán)，半徑 r ，寬，寬 dr rrRmm d 2 d2 , d

26、 2 drrS rgmrfM d ddf 方向：方向： d 2 d02 ffrgrrRmMMR R 3 2 Rgm d 2 022 RrrRgm rdr(1) 轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與桿垂直轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與桿垂直 取質(zhì)元：取質(zhì)元： xlmmdd d d2222 llxlmxmrJ(2) 轉(zhuǎn)軸過(guò)棒一端與棒垂直轉(zhuǎn)軸過(guò)棒一端與棒垂直 31d d2022lmxlmxmrJl 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J 的計(jì)算舉例的計(jì)算舉例 例例1: 1: 勻質(zhì)細(xì)桿的勻質(zhì)細(xì)桿的 J 。 OxxOxdmxdxdmxd 1212lm 取質(zhì)元：取質(zhì)元： d dlm d d22lRmRJ 2 Rm RmO其中：其中： RlR 202 d 2 Rm

27、 例例 2 2: 均勻細(xì)圓環(huán)的均勻細(xì)圓環(huán)的 J (質(zhì)量質(zhì)量 m，半徑，半徑 R，軸過(guò)圓心垂直環(huán)面軸過(guò)圓心垂直環(huán)面)。 2 2RR dm取細(xì)圓環(huán)取細(xì)圓環(huán) d 2 d0 322 RrrRmmrJ dd2mrJ 例例3: 3: 勻質(zhì)薄圓盤的勻質(zhì)薄圓盤的 J (質(zhì)量質(zhì)量 m ，半徑半徑 R ，軸過(guò)圓心垂直盤面，軸過(guò)圓心垂直盤面)。 2 Rm d 2 drrm 其中：其中： 212mR Rrdr d 2 2 2rrRmr 例例 1 1 :一勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 L ，質(zhì)量為，質(zhì)量為M， 可繞通過(guò)可繞通過(guò)OO點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)桿從水平位置自由釋放后當(dāng)桿從水平位置自由釋放后, , 它在

28、豎直位置上與放在光滑水平面的它在豎直位置上與放在光滑水平面的質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的小滑塊相撞的小滑塊相撞 。求。求: : 相撞前后桿的角速度。相撞前后桿的角速度。解解: : 除重力外除重力外, , 其余內(nèi)力與外力都不作功，其余內(nèi)力與外力都不作功， 故故機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒： 桿自由擺落的過(guò)程。桿自由擺落的過(guò)程。 21221 JLMg 功能關(guān)系功能關(guān)系計(jì)算舉例計(jì)算舉例有兩個(gè)物理過(guò)程：有兩個(gè)物理過(guò)程： 得：得： 31Lg COMLm )31 (21212 ML 碰撞時(shí)間極短碰撞時(shí)間極短, , 沖力極大沖力極大, , 系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì) OO 軸的軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒，設(shè)順時(shí)針為正：，設(shè)順時(shí)針為正： )

29、31()31(2212 MLmvLML 碰撞過(guò)程碰撞過(guò)程 v得：得： 31 12LMvm 桿以角速度桿以角速度 與滑塊與滑塊 相碰，相碰，碰后桿的角速度變?yōu)榕龊髼U的角速度變?yōu)?，滑塊獲得，滑塊獲得水平向左的速度水平向左的速度 。1 m2 v 0 0，順時(shí)針順時(shí)針； 2 0 0，逆時(shí)針逆時(shí)針 2 3 3 MLvmLg COMLm 例例 3 3 質(zhì)量為質(zhì)量為MM ，長(zhǎng)，長(zhǎng) l 的勻質(zhì)細(xì)桿一端懸掛于光滑的的勻質(zhì)細(xì)桿一端懸掛于光滑的O點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為量為 m 的子彈以水平速度的子彈以水平速度 v 從從 A 點(diǎn)射入桿并陷入其中，使桿轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)射入桿并陷入其中，使桿轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度為的最大角度為 30。已知。已

30、知 OA = l，求：子彈入射速度。，求：子彈入射速度。解：解： 兩個(gè)物理過(guò)程兩個(gè)物理過(guò)程 子彈以子彈以 v 射入桿內(nèi)與桿獲得共同角速度射入桿內(nèi)與桿獲得共同角速度 的過(guò)程，系統(tǒng)的過(guò)程，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒： )31(22lmMllmv 桿擺動(dòng)過(guò)程僅重力矩做功，桿擺動(dòng)過(guò)程僅重力矩做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒：)30cos1)(2()31(21222 lmglMglmMl 聯(lián)立聯(lián)立 解得：解得： )3)(2)(32(6122lmMllmMlglmv ov30Al Mgmg 例例4: 4: 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤質(zhì)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤質(zhì)量 MM，半徑，半徑 R ，初角速，初角速 0 0 。一個(gè)質(zhì)量。一個(gè)質(zhì)

31、量 為為 m 的子彈以速度的子彈以速度 v 水平射入盤邊緣并嵌入盤中，求：水平射入盤邊緣并嵌入盤中，求：(1) 盤獲盤獲得的角速度；得的角速度；(2) 系統(tǒng)動(dòng)能的改變；系統(tǒng)動(dòng)能的改變；(3) 盤獲得的沖量矩。盤獲得的沖量矩。(1) 系統(tǒng)系統(tǒng)角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒，設(shè)逆時(shí)針為正：，設(shè)逆時(shí)針為正： )21( )21(2202 mRMRmvRMR (2) )21(2121 )21 (212022222 MRmvmRMREk (3) 022)21()21( MRMRL 解：解： RMvm0 o三、三、應(yīng)用應(yīng)用-牛二律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律：牛二律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律：二者解決問(wèn)題的方法相類：二者解決問(wèn)題的方法相類：取研究對(duì)象

32、；取研究對(duì)象； 作受力分析；作受力分析； 列方程求解。列方程求解。常見(jiàn)的情況為兩者的結(jié)合，主要形式有：常見(jiàn)的情況為兩者的結(jié)合，主要形式有：（繩的一端（繩的一端固定于滑輪）固定于滑輪）1G1T1N0 f2G2T3G3N1T2Ta1G1T1N0 af2G2T3G1T3N2T1G1T2G2TG1TN2T1G1TGN1T 階梯輪階梯輪1R2R1Tgm1gm22T2T1TmgN 1a2a 分析受力后，應(yīng)設(shè)定各分析受力后，應(yīng)設(shè)定各物的加速度方向。物的加速度方向。物塊：物塊：2222amTgm 1111amgmT 滑輪：滑輪： JRTRT 1122連帶條件：連帶條件：111 Ra 222 Ra 21:且且1

33、Tgm1gm22TgM1N1T3TgM2N2T3T 1 2 1a2a連帶條件：連帶條件：111 Ra 222 Ra 21:aa 且且例例 1.1.求長(zhǎng)鏈條從靜止開(kāi)始剛剛離開(kāi)粗糙桌邊時(shí)的速度。求長(zhǎng)鏈條從靜止開(kāi)始剛剛離開(kāi)粗糙桌邊時(shí)的速度。 解：解：(1) 建坐標(biāo)系如圖建坐標(biāo)系如圖 注意：摩擦力作負(fù)功！注意：摩擦力作負(fù)功！f )( gxLLmNf drfALaf )21( 2LaxLxLmg )(2 2aLLmg d )( xxLLmgLa xOx xL 動(dòng)力學(xué)計(jì)算舉例動(dòng)力學(xué)計(jì)算舉例(2) 對(duì)鏈條應(yīng)用動(dòng)能定理：對(duì)鏈條應(yīng)用動(dòng)能定理： 2)( 2LaLmgAf 前面已得出：前面已得出： 2121202m

34、vmvAAAfp 212mv drPALap d xxLmgLa )(222aLLmg 21)(2 )(2 2222mvaLLmgaLLmg )()(222aLaLLgv 得：得： 例例 2. 2. 質(zhì)量為質(zhì)量為 2 kg 的質(zhì)點(diǎn)在變力的質(zhì)點(diǎn)在變力 (SI) 作用下，作用下， 12 i tF 從靜止出發(fā)，沿從靜止出發(fā)，沿 x 軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。解：解：一維運(yùn)動(dòng)：一維運(yùn)動(dòng)： , d d 00 vvttav d00 ttavv d 00tmFt d 212 0ttt 32t d312 302tttA d 36330tt 94t J 729 求：前三秒內(nèi)該力所作的功。求：前三秒內(nèi)該

35、力所作的功。 d 00 ttavv , dd tva d30rFA d30tvF d 12 30 tvt例例3 ：如圖，一質(zhì)量為：如圖，一質(zhì)量為m 長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng) 的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面上繞其端的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面上繞其端 點(diǎn)點(diǎn) o 轉(zhuǎn)動(dòng)。若初始角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)。若初始角速度為 0 ，細(xì)桿與水平面的滑動(dòng)摩，細(xì)桿與水平面的滑動(dòng)摩 擦系數(shù)為擦系數(shù)為 。 求：求： 細(xì)桿所受摩擦力矩；細(xì)桿所受摩擦力矩； 若細(xì)桿只受此摩擦力矩作用，它轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈停止？若細(xì)桿只受此摩擦力矩作用，它轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈停止？ O解：解： 在距軸為在距軸為l 處取一微元處取一微元dl dll則其質(zhì)量為：則其質(zhì)量為： dm = m/L dl分析此微

36、元受力情況。分析此微元受力情況。gdm Vdf此微元所受的摩擦力矩元為：此微元所受的摩擦力矩元為：dfldMf gdml ldlLmg 作用在細(xì)桿上的總摩擦力矩為：作用在細(xì)桿上的總摩擦力矩為： LffdMM0 LldlLmg0 mgL 21 方向：方向： 豎直向下。豎直向下。若設(shè)初始角速度方向?yàn)檎瑒t若設(shè)初始角速度方向?yàn)檎?，則Mf 0dN 若細(xì)桿只受此摩擦力矩作用，它轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈停止？若細(xì)桿只受此摩擦力矩作用，它轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈停止？ LffdMM0 LldlLmg0 mgL 21 方向：方向： 0轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律： JM JM 23121mLmgL Lg23 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律：勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律： 22

37、02當(dāng)細(xì)桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角位移為：當(dāng)細(xì)桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角位移為： 2020 gL 320 故：當(dāng)細(xì)桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，一共轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為：故：當(dāng)細(xì)桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，一共轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為： 2 ngL 620 Odllgdm VdfdN例例4：光滑水平面上放有一質(zhì)量為：光滑水平面上放有一質(zhì)量為M 的木塊，木塊與一勁度系數(shù)的木塊，木塊與一勁度系數(shù) 為為k 的彈簧相連，彈簧的另一端固定在的彈簧相連，彈簧的另一端固定在O 點(diǎn)。一質(zhì)量為點(diǎn)。一質(zhì)量為m 的的 子彈以初速子彈以初速V0 沿垂直于沿垂直于OA 的方向射向木塊，并嵌在其內(nèi)。的方向射向木塊，并嵌在其內(nèi)。 初始時(shí)彈簧原長(zhǎng)為初始時(shí)彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)0 ，撞擊之后木塊撞擊之后木

38、塊M 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí)，彈點(diǎn)時(shí)，彈 簧長(zhǎng)度變?yōu)榛砷L(zhǎng)度變?yōu)長(zhǎng) ，此時(shí)此時(shí) OBOA 。 求：在求：在B 點(diǎn)時(shí)木塊點(diǎn)時(shí)木塊M 運(yùn)動(dòng)速度的大小及方向。運(yùn)動(dòng)速度的大小及方向。oA0VB0LL解：解： 1. 子彈射入木塊瞬間：子彈射入木塊瞬間：以子彈、木塊為研究對(duì)象以子彈、木塊為研究對(duì)象, 0 xF則動(dòng)量守恒：則動(dòng)量守恒：1V10)(VMmmV 10()VmVmM2. 子彈與木塊共同從子彈與木塊共同從 A 至至B 的過(guò)程：的過(guò)程：oA0VB0LL1V)(01MmmVV 2. 子彈與木塊共同從子彈與木塊共同從 A 至至B 的過(guò)程：的過(guò)程：以子彈、木塊、彈簧為對(duì)象以子彈、木塊、彈簧為對(duì)象0 非保內(nèi)非保

39、內(nèi)外外AA則：機(jī)械能守恒。則：機(jī)械能守恒。V20221)(21)(21)(21LLkVMmVMm )()()(202202MmLLkMmVmV 0 外外M則：角動(dòng)量守恒。則：角動(dòng)量守恒。 LVMmLVMm )()(01LVMm sin)( )()(sin20202001MmLLkVmLLmV sinVV例例5：質(zhì)量為：質(zhì)量為m 的小圓環(huán)套在長(zhǎng)為的小圓環(huán)套在長(zhǎng)為l ，質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的光滑均勻桿的光滑均勻桿AB 上。桿上。桿AB可以繞過(guò)其可以繞過(guò)其A 端的固定軸在水平面上自由旋轉(zhuǎn)。開(kāi)端的固定軸在水平面上自由旋轉(zhuǎn)。開(kāi) 始時(shí)，桿旋轉(zhuǎn)的角速度為始時(shí)，桿旋轉(zhuǎn)的角速度為 0 ，而小環(huán)位于，而小環(huán)位于A

40、點(diǎn)處；當(dāng)小環(huán)受點(diǎn)處；當(dāng)小環(huán)受 到一微小的擾動(dòng)后，即沿桿向外滑行。到一微小的擾動(dòng)后，即沿桿向外滑行。 求：當(dāng)小環(huán)脫離桿時(shí)的速度（方向用與桿的夾角求：當(dāng)小環(huán)脫離桿時(shí)的速度（方向用與桿的夾角 表示）表示）ABlmM0 解：解：全過(guò)程角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。全過(guò)程角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。1. 環(huán)自環(huán)自A運(yùn)動(dòng)至運(yùn)動(dòng)至B（脫離桿之前），脫離桿之前）， B 處兩者具有相同的角速度處兩者具有相同的角速度 1角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：1100 JJ 031:20 MlJ其中其中22131mlMlJ )3(01mMM 2. 環(huán)脫離桿。環(huán)脫離桿。設(shè)：脫離后瞬間，桿具角速度設(shè)：脫離后瞬間，桿具角速度 2 ，環(huán)具速度，環(huán)

41、具速度V（與桿夾角與桿夾角 ）V ABlmM0 V )3(01mMM 2. 環(huán)脫離桿。環(huán)脫離桿。設(shè)：脫離后瞬間，桿具角速度設(shè)：脫離后瞬間，桿具角速度 2 ，環(huán)具速度，環(huán)具速度V（與桿夾角與桿夾角 ）角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：lVmJJ sin22112231:MlJ 其中其中連帶關(guān)系：連帶關(guān)系： VV sin VV sinl2 21 機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：2222200212121mVJJ )23(30MmMmMlV )23(sin1MmMM 例例6：有一輕繩跨過(guò)質(zhì)量可略去不計(jì)的定滑輪。繩的一端系一重：有一輕繩跨過(guò)質(zhì)量可略去不計(jì)的定滑輪。繩的一端系一重 物，另一端有一人抓住繩子。設(shè)此人由靜止以

42、相對(duì)繩子的物，另一端有一人抓住繩子。設(shè)此人由靜止以相對(duì)繩子的 速度速度u勻速向上爬。勻速向上爬。 求：重物相對(duì)地面的速度。設(shè)人與重物的質(zhì)量相等。求：重物相對(duì)地面的速度。設(shè)人與重物的質(zhì)量相等。mm解：解：由于人勻速運(yùn)動(dòng)且與木塊質(zhì)量相同，故由于人勻速運(yùn)動(dòng)且與木塊質(zhì)量相同，故：滑輪兩端繩子的張力相等?；唭啥死K子的張力相等。1T2T21TT 即：即：對(duì)滑輪輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)滑輪輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：0)(12 RTTM外外則角動(dòng)量守恒。則角動(dòng)量守恒。設(shè)：豎直向上為正方向。設(shè)：豎直向上為正方向。正向正向人：人： 相對(duì)繩的速度為相對(duì)繩的速度為u ;設(shè)繩相對(duì)于地面的速度為設(shè)繩相對(duì)于地面的速度為-u; 則：人相對(duì)于地面的

43、速度為：則：人相對(duì)于地面的速度為：物：物： 相對(duì)繩的速度為相對(duì)繩的速度為; 繩相對(duì)于地面的速度為繩相對(duì)于地面的速度為u；則：物相對(duì)于地面的速度為：則：物相對(duì)于地面的速度為：1uuV 02 u22uuV u 人相對(duì)于地面的速度為：人相對(duì)于地面的速度為：V1=u-u物相對(duì)于地面的速度為：物相對(duì)于地面的速度為：mm1T2T正向正向V2=u角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：RmVRmV210 ) (mRuuumR uu21 即：物塊對(duì)地面的速度為：即：物塊對(duì)地面的速度為：uuV212 且：人對(duì)地面的速度為：且：人對(duì)地面的速度為：uuuV211 相同相同 把演員視為質(zhì)點(diǎn)把演員視為質(zhì)點(diǎn), a 、b 和蹺和蹺 板作為

44、一個(gè)系統(tǒng)板作為一個(gè)系統(tǒng), 以通過(guò)點(diǎn)以通過(guò)點(diǎn)C 垂直平面的軸為轉(zhuǎn)軸。垂直平面的軸為轉(zhuǎn)軸。 由于作用在系統(tǒng)上的合外力由于作用在系統(tǒng)上的合外力 矩為零，故矩為零，故 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：例例7. 演員演員a 從高從高 h 處自由下落至處自由下落至 A，求演員，求演員 b 被翹板彈起被翹板彈起所達(dá)到的高度所達(dá)到的高度 2 )(2 lvmJJlvmbaa 板板 演員演員a 從高從高 h 處自由下落至處自由下落至 A ，機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒： 21 2avmhgm 解：解： 共有三個(gè)物理過(guò)程共有三個(gè)物理過(guò)程 bhaCABlMmm2/ l其中：其中： , 12 12 lMJ 板板 2 2 gvhb

45、 這樣演員這樣演員 b 將以速率將以速率 v b 跳起，跳起， 達(dá)到的高度達(dá)到的高度 h 為：為： 211212 22mlMllvma , ) 2 ( 2lmJa 2lvb 聯(lián)立解聯(lián)立解 得得 演員演員 b 向上運(yùn)動(dòng)達(dá)最大高度向上運(yùn)動(dòng)達(dá)最大高度 h，機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒： 212 hgmvmb )6(26 lmMghm 8 22gl 632hmMm 例例8：圖示系統(tǒng)中，已知斜面傾角：圖示系統(tǒng)中，已知斜面傾角 、物塊質(zhì)量、物塊質(zhì)量m、滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量量J、滑輪半徑滑輪半徑R、彈簧勁度系數(shù)彈簧勁度系數(shù)k 。設(shè)：斜面光滑；初始狀設(shè)：斜面光滑；初始狀 態(tài)時(shí)物塊態(tài)時(shí)物塊m靜止，彈簧為原長(zhǎng)。靜止，彈簧為原長(zhǎng)。 求求： 物塊運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)達(dá)到最大速度？最大速度是多少？物塊運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)達(dá)到最大速度？最大速度是多少？ 物塊下落的最遠(yuǎn)位置在哪里？物塊下落的