2019屆湖南省長郡中學高三下學期第一次模擬考試數(shù)學(理)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2019屆湖南省長郡中學高三下學期第一次模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1已知集合A=x|x>a，B=x|x24x+30，若AB=B，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa>3 Ba3 Ca1 Da<1【答案】D【解析】分析：先化簡集合B,再根據(jù)AB=B求出實數(shù)a的取值范圍.詳解：由題得B=x|1x3.因為AB=B，所以BA,所以a<1.故答案為：D點睛：（1）本題主要考查集合的交集和集合的關系，意在考查集合的基礎知識的掌握能力.(2)本題有一個易錯點，最后的答案容易加等號即a1，到底取等還是不取等，可以直接把a=1代入已知檢驗，A=x|x>1，

2、B=x|1x3，不滿足AB=B，AB=（1,3）B.2復數(shù)5i2的共軛復數(shù)是（ ）A2+i B2+i C2i D2i【答案】C【解析】本題考查共軛復數(shù)的概念，先把復數(shù)5i2的分母實數(shù)化，根據(jù)共軛復數(shù)的概念易得答案C。3如圖是2002年8月中國成功主辦的國際數(shù)學家大會的會標，是我國古代數(shù)學家趙爽為證明勾股定理而繪制的，在我國最早的數(shù)學著作周髀算經(jīng)中有詳細的記載.若圖中大正方形ABCD的邊長為5，小正方形的邊長為2.現(xiàn)作出小正方形的內切圓，向大正方形所在區(qū)域模擬隨機投擲n個點.有m個點落在中間的圓內，由此可估計的近似值為（ ）A25m4nB4mnC4m25nD25mn【答案】D【解析】分析：利用幾

3、何概型概率公式可得25mn,25mn.詳解：小正方形邊長為2，所以圓半徑為1，圓面積為，又大正方形的棱長為5，所以正方形面積為25，由幾何概型概率公式可得25mn,25mn，故選D.點睛：本題主要考查幾何概型概率公式以及模擬實驗的基本應用，屬于簡單題，求不規(guī)則圖形的面積的主要方法就是利用模擬實驗及幾何概型概率公式，列出符合條件的面積與總面積之間的方程求解.4已知ai,biR且ai,bi都不為0（i=1,2），則“a1b1=a2b2”是“關于x的不等式a1xb1>0與a2xb2>0同解”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】充分性：

4、舉反例a1=b1=1，a2=b2=-1，可判斷不成立；必要性：不等式同解可得方程同解，從而證明必要性成立.【詳解】解：若a1b1=a2b2，取a1=b1=1，a2=b2=-1，則解a1x-b1>0得x>1，解a2x-b2>0得x<1，所以關于x的不等式a1x-b1>0與a2x-b2>0不同解；若關于x的不等式a1x-b1>0與a2x-b2>0同解，則方程a1x-b1=0與a2x-b2=0必同解，又ai,bi都不為0（i=1,2），所以a1b1=a2b2所以“a1b1=a2b2”是“關于x的不等式a1x-b1>0與a2x-b2>0同解”

5、的必要不充分條件故選：B.【點睛】本題考查了充分必要條件的判斷，判斷一個命題為假只需舉一個反例即可.5某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ）A60+125B56+125C30+65D28+65【答案】C【解析】通過三視圖復原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出各棱長，從而求出各面的面積，相加即可.【詳解】解：三視圖復原的幾何體是底面為直角邊長為4和5的直角三角形，一個側面垂直底面的等腰三角形，高為4，底邊長為5，如圖所以S底=12×4×5=10，S后=12×4×5=10，S右=12×4×5=10左邊側面為等腰三角形，底邊為

6、25，高為(41)2-(5)2=6所以S左=12×25×6=65三棱錐的表面積S表=S底+S后+S右+S左=30+65故選B【點睛】本題考查了三視圖與幾何體的關系，空間幾何體表面積的求法，考查了空間想象能力與計算能力.6閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k=10，則該算法的功能是（ ）A計算數(shù)列2n-1的前10項和B計算數(shù)列2n-1的前9項和C計算數(shù)列2n-1的前10項和D計算數(shù)列2n-1的前9項和【答案】A【解析】從賦值開始，逐步分析寫出程序運行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能.【詳解】解：開始賦值：S=0，i=1；執(zhí)行S=1+2×0=1，i=1+1=2

7、；判斷i>10不成立，執(zhí)行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判斷i>10不成立，執(zhí)行S=1+2×1+2=1+2+22，i=3+1=4；判斷i>10不成立，執(zhí)行S=1+2+22+29，i=10+1=11；判斷i>10成立，輸出S=1+2+22+29.算法結束所以該算法的功能是計算數(shù)列2n1的前10項和故選：A.【點睛】本題考查了程序框圖中的循環(huán)結構，循環(huán)次數(shù)較多時，一般寫出前幾次循環(huán)找出規(guī)律.7如圖是函數(shù)圖像的一部分，對不同的，若，有，則正確的是（ ）A在上是減函數(shù)B在上是減函數(shù)C在上是增函數(shù)D在上是增函數(shù)【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意可知

8、，從而有，結合題中條件，可知，結合的范圍，求得，所以，結合函數(shù)的性質，可知C是正確的，故選C【考點】根據(jù)圖像求函數(shù)解析式，正弦函數(shù)的性質8如圖所示，直線l為雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的左、右焦點，F(xiàn)1關于直線l的對稱點為F1，且F1是以F2為圓心，以半焦距c為半徑的圓上的一點，則雙曲線C的離心率為（ ）A2 B3 C2 D3【答案】C【解析】設焦點F1c,0關于漸近線l:y=bax的對稱點為F1'm,n，則n2=bamc2nm+c=abm=b2a2cn=2abc，又點F1'm,n在圓xc2+y2=c2上，b2a

9、2cc2+2abc2=c2 4a2=c2e2=4,e=2，故選C.9已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)=exkcosx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），記a=f(0.32)，b=f(20.3)，c=f(k+log32)，則a，b，c的大小關系是（ ）Aa<c<bBc<a<bCb<c<aDb<a<c【答案】A【解析】先由偶函數(shù)求出k=0，然后分析出函數(shù)在0,上單調遞增，判斷出以0.32< k+log32<20.3，且都屬于0,，然后可比較大小.【詳解】解：由定義在R上的偶函數(shù)f(x)=ex-k-cosx，可得f(-x)=f(x)即e-x-k-co

10、s-x=ex-k-cosx，解得k=0所以f(x)=ex-cosx當x0,時，ex=ex單調遞增，cosx單調遞減，所以f(x)=ex-cosx在0,上單調遞增因為0.32=0.09，1<20.3<2，0.5<k+log32=log32<1所以0.32< k+log32<20.3，且都屬于0,所以f0.32<c=fk+log32< f(20.3)，即a<c<b故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)單調性與奇偶性的綜合運用，考查了學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.10已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表，第一行為1，第二行為3，5，

11、第三行為7，9，11，第四行為13，15，17，19，如圖所示，在寶塔形數(shù)表中位于第i行，第j列的數(shù)記為ai,j，比如a3,2=9，a4,2=15，a5,4=23，若ai,j=2019，則i+j=（ ）A72B71C66D65【答案】B【解析】先分析出奇數(shù)2019為第1010個奇數(shù)，按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1+2+i=i1+i2個奇數(shù)，試值可以分析出第1010個奇數(shù)位于第45行，從右到左第20列，從而得出答案.【詳解】解：奇數(shù)2019為第1010個奇數(shù),按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1+2+i=i1+i2個奇數(shù)，則第1行到第44行末共有990個奇數(shù)，第1行到第45行末共有1035

12、個奇數(shù)，則2019位于第45行；而第45行是從右到左依次遞增，且共有45個奇數(shù)；故2019位于第45行，從右到左第20列，則i=45,j=26i+j=71故選B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項和，數(shù)與式中的歸納推理，屬于中等題.11已知函數(shù)ux=2e1xm,x=1nx+m1nx若存在m,使得關于x的方程2auxx=x有解,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A,012e,+ B,0C0,12e D,012e,+【答案】D【解析】分析：由題得2e1+mxln1+mx=12a，令t=1+mx，gt=2etlnt，利用導數(shù)性質能求出實數(shù)a的取值范圍詳解：由2auxvx=x，得x+a2

13、x+2m4exlnx+mlnx=0，得1+a21+mx4eln1+mx=0，即2e1+mxln1+mx=12a，令t=1+mx，gt=2etlnt，則gt=lnt+2et1=2et1+lnt，顯然t=e是函數(shù)gt的唯一零點，易得gtmax=ge=e，12ae，即a,012e,+.故選D.點睛：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法解題時要認真審題，注意導數(shù)性質、構造法的合理運用，屬中檔題，二、填空題12已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，E為其準線與x軸的交點，過F的直線交拋物線C于A,B兩點，M為線段AB的中點，且ME=11，則AB=（ ）A6B33C8D9【答案】A【解析】設直線l:y=kx-1，聯(lián)

14、立拋物線方程得韋達定理，求出點M坐標，由ME=11列方程解出k，然后可求出AB.【詳解】解：根據(jù)題意可知直線的斜率是存在的，拋物線的焦點坐標是F1,0，設直線l:y=kx-1，將直線與拋物線方程聯(lián)立y2=4xy=kx-1，化簡得k2x2-2k2+4x+k2=0，得x1+x2=2k2+4k2，所以Mk2+2k2,2k，又E-1,0，根據(jù)ME=11，得k2+2k2+12+4k2=11，解得k2=2，所以AB=AF+BF=x1+x2+p=2+4k2+2=6，故選A.【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，拋物線焦點弦的性質，屬于中檔題.13已知向量a=1,3，向量a,c的夾角是3，ac=2，則c等

15、于_.【答案】2【解析】試題分析：由題意，得|a|=2，向量a，c的夾角，則由ac=2，得2|c|cos3=2，則|c|=2；故填2【考點】1.平面向量的數(shù)量積；2.平面向量的模14設x,y滿足約束條件x0,y0,xy1,x+y3,，則z=x2y的最小值為_.【答案】3【解析】先畫出約束條件所代表的平面區(qū)域，再畫出目標函數(shù)并平移目標函數(shù)確定最優(yōu)解的位置，求出最優(yōu)解代入目標函數(shù)求出最值即可.【詳解】解：先畫出約束條件x0,y0,xy1,x+y3,所代表的平面區(qū)域，如圖中陰影然后畫出目標函數(shù)如圖中過原點虛線所示平移目標函數(shù)，在點A處取得最小值由xy=1x+y=3，解得A1,2所以目標函數(shù)z=x2y

16、最小值為12×2=3故答案為：3.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，平移目標函數(shù)時由目標函數(shù)z=x2y中y前系數(shù)小于0，故向上移越移越小.15若的展開式中各項的系數(shù)之和為81，且常數(shù)項為，則直線與曲線所圍成的封閉區(qū)域面積為 【答案】【解析】試題分析：的展開式中各項的系數(shù)之和為81，的展開式的通項公式為：令，解得展開式中常數(shù)項為直線與曲線圍成的封閉區(qū)域面積為：故答案為：【考點】二項式定理，定積分16已知點P,A,B,C均在表面積為81的球面上,其中PA平面ABC,BAC=30,AC=3AB,則三棱錐PABC的體積的最大值為_【答案】818【解析】分析：先求出球的半徑，再求出三棱錐P-

17、ABC的體積的表達式，最后求函數(shù)的最大值.詳解：設球的半徑為R,所以81=4R2,R=92.設AB=x,則AC=3x，由余弦定理得BC2=3x2+x223x×x×32=x2,BC=x.設底面ABC的外接圓的半徑為r,則2r=xsin300,x=r.所以PA=2814x2.所以三棱錐P-ABC的體積V=13123xx122814x2=36x2814x2=36(814x2)x22x22436(8143）3×4=818.當且僅當x=326時取等.故答案為：818點睛：（1）本題主要考查球的體積和幾何體的外接球問題，考查基本不等式，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和空

18、間想象能力.(2)三元基本不等式：abc(a+b+c3)3，當且僅當a=b=c>0時取等.(3)函數(shù)的思想是高中數(shù)學的重要思想，一般是先求出函數(shù)的表達式，再求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的最值.三、解答題17在中，三邊所對應的角分別是.已知成等比數(shù)列.（1）若，求角的值；（2）若外接圓的面積為，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）化簡，可得，由成等比數(shù)列，用正弦定理進行邊角轉化為，又，可解出，從而求出角；（2）由外接圓的面積可求出外接圓半徑，且，得，再由余弦定理可求出的范圍，得的范圍，從而求出的范圍.【詳解】解：（1），又成等比數(shù)列，得，由正弦定理有，得，即，由知，不是最大

19、邊，.（2）外接圓的面積為，的外接圓的半徑，由余弦定理，得，又，當且僅當時取等號，又為的內角，由正弦定理，得.的面積，.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，正余弦定理在解三角形中的應用，三角形面積的最值問題，屬于中檔題.18如圖1，直角梯形ABCD中，AD/BC中，ABC=90°，E,F分別為邊AD和BC上的點，且EF/AB，AD=2AE=2AB=4FC=4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，AD=AE.（1）求證：AF/平面CBD；（2）求平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）55?！窘馕觥吭囶}分析：（1）取DE中點G，連接FG,AG，平面，只

20、需證平面AFG平面CBD，又平面，平面，故只需證平面CBD，平面CBD即可；（2）要求平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值，需找兩平面的法向量，取AE中點為H，連接DH，可證， 故以AE中點H為原點，AE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知BA是平面ADE的一個法向量，由可得平面BCD的一個法向量為，然后由空間兩向量夾角公式去求平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值。試題解析：（1）證明：取DE中點G，連接FG,AG，CG.因為 CFDG,所以FGCD.因為 CGAB, ,所以AGBC.所以平面AFG平面CBD， 所以 AF平面CBD. （2）解: 取AE中點為H，連接DH.,，.，.以

21、AE中點H為原點，AE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，D(0,0,3)，B(1,2,0)，E(1,0,0)所以DE的中點坐標為(12,0,32)因為CF=12DE，所以C(12,2,32)易知BA是平面ADE的一個法向量，BA=n1=(0,2,0)設平面BCD的一個法向量為n2=(x,y,z)由n2BC=(x,y,z)(32,0,32)=32x+32z=0n2BD=(x,y,z)(1,2,3)=x+2y+3z=0令x=2,則x=2,，z=23，n2=(2,2,23)cosn1,n2=n1n2|n1|n2|=2×0+2×223×02×

22、;25=55,所以面CBD與面DAE所成角的余弦值為55.【考點】（1）空間線面平行、面面平行、線面垂直判定定理的應用；（2）空間兩平面夾角的定義、平面法向量的定義的應用；（3）空間向量的基本運算。19為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡問卷調查.每一位市民有且僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示：組別30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100頻數(shù)2515020025022510050（1）由頻數(shù)分布表可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布N,2

23、10，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求P36<Z79.5；（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：（i）得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；（ii）每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）2040概率3414現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列及數(shù)學期望.附：21014.5；若ZN,2，則P<Z<+=0.6826，P2<Z<+2=0.9544，P3<Z<+3

24、=0.9974.【答案】（）P（36Z795）08186；（）X的分布列為X20406080P381332316132X的數(shù)學期望為752【解析】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，利用公式求得其平均數(shù)，即正態(tài)分布對應的，再利用數(shù)據(jù)之間的關系，36=2,79.5=+，利用題中所給的數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求得對應的概率；（2）根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各占一半，再結合得20、40元的概率，分析得出話費的可能數(shù)據(jù)都有哪些，再利用公式求得對應的概率，進而列出分布列，之后應用離散型隨機變量的分布列求得其期望.【詳解】（）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結合題中所給的條件,可以求得=35&

25、#215;0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05 =0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65,又36652210,79.565+210,所以P（36Z795）=12×0.9545+12×0.6827=0.8186;（）根據(jù)題意,可以得出所得話費的可能值有20,40,60,80元,得20元的情況為低于平均值,概率p=12×34=38,得40分的情況有一次機會獲40元,2次機會2個20元,概率P=12

26、5;14+12×34×34=1332,得60分的情況為兩次機會,一次40元一次20元,概率P=12×2×34×14=316,得80分的其概況為兩次機會,都是40元,概率為P=12×14×14=132,所以變量X的分布列為:X20406080P381332316132所以其期望為E(X)=20×38+40×1332+60×316+80×132=752.【點睛】該題考查的是有關概率的問題，涉及到的知識點有平均數(shù)的求法，正態(tài)分布的性質，離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題目.20已知橢圓E:x

27、2a2+y2b2=1(a>b>1)的離心率e=22，其左、右頂點分別為點A,B，且點A關于直線y=x對稱的點在直線y=3x2上.（1）求橢圓E的方程；（2）若點M在橢圓E上，點N在圓O:x2+y2=b2上，且M,N都在第一象限，MNy軸，若直線MA、MB與y軸的交點分別為C、D，判斷sinCND是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.【答案】（1）x24+y22=1；（2）1.【解析】（1）點A-a,0關于直線y=x對稱的點0,-a在直線y=3x-2上，代入可求出a，又e=ca=22,a2=b2+c2，可解出b,c，然后得出橢圓方程；（2）設Mx0,y0，AM:y=

28、kx+2k>0，求出點C的坐標，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理求出M坐標，從而得到BM的方程，求出點D的坐標，設NxN,y0，求出NCND化簡得NCND=0，所以CND=90°，sinCND=1為定值.【詳解】解：（1）點A-a,0關于直線y=x對稱的點0,-a在直線y=3x-2上，-a=0-2，解得a=2.又ca=22,a2=b2+c2，解得b2=2=c2.橢圓E的方程為：x24+y22=1.（2）設Mx0,y0，AM:y=kx+2k>0，令x=0，解得y=2k，C0,2k.聯(lián)立y=kx+2x2+2y2=4，化簡得：2k2+1x2+8k2x+8k2-4=0k>0.

29、-2x0=8k2-42k2+1，解得x0=2-4k22k2+1.y0=4k2k2+1，即M2-4k22k2+1,4k2k2+1.直線BM的斜率=4k2k2+12-4k22k2+1-2=-12k.BM的方程：y=-12kx-2，令x=0，解得y=1k，D0,1k.設NxN,y0，則NC=-xN,2k-y0，ND=-xN,1k-y0.NCND=xN2+y02+2-2k2+1ky0.xN2+y02=2,y0=4k2k2+1，NCND=0，NCND，即CND=90°.sinCND=1為定值.【點睛】本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，橢圓中的定值問題，解析幾何中的夾角類問題可嘗試用平

30、面向量解決.21已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若，在上的最小值為1，求的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）運用導數(shù)知識進行求解；（2）借助題設條件運用導數(shù)和分類整合的數(shù)學思想求解.試題解析:（1）時，則，則，在單調遞減，上單調遞增，即函數(shù)的最小值為1（2）由題意：，令則，令，則，當時，則，因為時，使得時，在上單調遞減，又因為，在上，即，則在上單調遞減，即時，不合題意時，即，則，又因為，在上單調遞增，又，時，即在上單調遞增，又因為，時，即時，在上單調遞增，又因為，所以，滿足題意，綜上所述，的最大值為【考點】導數(shù)在研究函數(shù)的最值中的運用【易錯點晴】函數(shù)是高中數(shù)學的核心內容,也是高考必考的重要考點.運用導數(shù)這一工具研究函數(shù)的單調性和極值最值等問題是高考的基本題型.解答這類問題時,一定要先求導,再對求導后的導函數(shù)的解析式進行變形（因式分解或配方）,其目的是搞清求導后所得到的導函數(shù)的值的符號,以便確定其單調性,這是解答這類問題容易忽視的.本題第二問的求解過程則先預見函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,再運用分析轉化的思維方式進行推證,最后求出的最大值.22以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點M的直角坐標為1,0，若直線l的極坐標方程為2cos+41=0，曲線C的參數(shù)方程是x=4m2y=4m，（m為參數(shù)).（1）求直線l的直角坐標方程和曲