第六章回歸分析

1、數(shù)學建模基礎數(shù)學建?；A青島科技大學數(shù)理學院王天順2012年04月回歸分析回歸分析回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎上研究這樣幾個問題：回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎上研究這樣幾個問題：（i）建立因變量）建立因變量y與自變量與自變量x , x , , xm 1 2 L 之間的回之間的回歸模型（經(jīng)驗公式）；歸模型（經(jīng)驗公式）；（ii）對回歸模型的可信度進行檢驗；）對回歸模型的可信度進行檢驗；（iii）判斷每個自變量）判斷每個自變量x (i 1,2, ,m) i = L 對對y 的影響是的影響是否顯著；否顯著；（iv）診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；）診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；（v）利用回歸模型對）利用回歸模型

2、對y 進行預報或控制。進行預報或控制?；貧w分析回歸分析數(shù)學模型及定義數(shù)學模型及定義*模型參數(shù)估計模型參數(shù)估計* *檢驗、預測與控制檢驗、預測與控制可線性化的一元非線可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸性回歸（曲線回歸）數(shù)學模型及定義數(shù)學模型及定義*模型參數(shù)估計模型參數(shù)估計*多元線性回歸中的多元線性回歸中的檢驗與預測檢驗與預測逐步回歸分析逐步回歸分析一、數(shù)學模型一、數(shù)學模型例例1 測16名成年女子的身高與腿長所得數(shù)據(jù)如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿長8885889192939395969897969899100102以身高

3、x為橫坐標，以腿長y為縱坐標將這些數(shù)據(jù)點（xI，yi）在平面直角坐標系上標出.1401451501551601658486889092949698100102散點圖xy10 一般地，稱由xy10確定的模型為一一元元線線性性回回歸歸模模型型，記為 210, 0DExy固定的未知參數(shù)0、1稱為回歸系數(shù)，自變量 x 也稱為回歸變量.一元線性回歸分析的主要任務主要任務是：1、用試驗值（樣本值）對0、1和作點估計；2、對回歸系數(shù)0、1作假設檢驗； 3、在 x=0 x處對 y 作預測，對 y 作區(qū)間估計.xY10，稱為 y 對對 x的的回回歸歸直直線線方方程程.二、模型參數(shù)估計二、模型參數(shù)估計1、回歸系數(shù)

4、的最小二乘估計、回歸系數(shù)的最小二乘估計有 n 組獨立觀測值， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） 設 相互獨立且，niiiiDEnixy., , 0,.,2 , 1,21210 記 niiiniixyQQ12101210),(最小二乘法最小二乘法就是選擇0和1的估計0，1使得 ),(min),(10,1010QQ22110 xxyxxyxy解得（經(jīng)經(jīng)驗驗）回回歸歸方方程程為為: )(110 xxyxy 或 niiniiixxyyxx1211其中niiniiynyxnx111,1 niiiniiyxnxyxnx11221,12、2的的無無偏偏估估計計一個好的擬合方程，其殘差應

5、越小越好。殘差越小，擬合值與觀測值越接近，各觀測點在擬合直線周圍聚集的緊密程度越高，也就是說，擬合方程 解釋y 的能力越強。另外，當剩余標準差 越小時，還說明殘差值的變異程度越小。由于殘差的樣本均值為零。所以，其離散范圍越小，擬合的模型就越為精確。三、檢驗、預測與控制三、檢驗、預測與控制1、顯著性檢驗、顯著性檢驗假設0:10H被拒絕，則回歸顯著，認為 y 與 x 存在線性關(guān)系，所求的線性回歸方程有意義；否則回歸不顯著，y 與 x 的關(guān)系不能用一元線性回歸模型來描述，所得的回歸方程也無意義.一般地，回歸方程的假設檢驗包括兩個方面：一個是對模型的檢驗，即檢驗自變量與因變量之間的關(guān)系能否用一個線性模

6、型來表示，這是由F 檢驗來完成的；另一個檢驗是關(guān)于回歸參數(shù)的檢驗，即當模型檢驗通過后，還要具體檢驗每一個自變量對因變量的影響程度是否顯著。這是由t 檢驗完成。在一元線性分析中，由于自變量的個數(shù)只有一個，這兩種檢驗是統(tǒng)一的，它們的效果完全是等價的。但是，在多元線性回歸分析中，這兩個檢驗的意義是不同的。從邏輯上說，一般常在F 檢驗通過后，再進一步進行t 檢驗。（）F檢驗法檢驗法 當0H成立時， )2/( nQUFeF（1，n-2）其中 niiyyU12（回回歸歸平平方方和和）故 F)2, 1 (1nF，拒絕0H，否則就接受0H. （）t檢驗法檢驗法niiniixxxnxxxL12212)(其中當0

7、H成立時，exxLT1t（n-2）故)2(21ntT，拒絕0H，否則就接受0H.（）r檢驗法檢驗法當|r| r1-時，拒絕H0；否則就接受H0.記 niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(其中2, 121111nFnr2、回歸系數(shù)的置信區(qū)間、回歸系數(shù)的置信區(qū)間0和和1置置信信水水平平為為1-的的置置信信區(qū)區(qū)間間分分別別為為 xxexxeLxnntLxnnt221022101)2(,1)2(和 xxexxeLntLnt/)2(,/)2(2112113、預測與控制、預測與控制（1）預測）預測用 y0的回歸值0100 xy作為 y0的的預預測測值值.0y的置信水平為1的預預測測區(qū)

8、區(qū)間間為 )(),(0000 xyxy其中xxeLxxnntx2021011)2()( 特 別 ， 當 n 很 大 且 x0在x附 近 取 值 時 ,y 的 置 信 水 平 為1的預預 測測 區(qū)區(qū) 間間 近近 似似 為為 2121,uyuyee（2）控制）控制要求：xy10的值以1的概率落在指定區(qū)間yy ,只要控制 x 滿足以下兩個不等式 yxyyxy )(,)(要求)(2xyy .若yxyyxy )(,)(分別有解x和x ，即yxyyxy )(,)(. 則xx ,就是所求的 x 的控制區(qū)間.四、可線性化的一元非線性回歸四、可線性化的一元非線性回歸 （曲線回歸）（曲線回歸）例例2 出鋼時所用的

9、盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕， 容積不斷增大.我們希望知道使用次數(shù)與增大的容積之間的關(guān) 系.對一鋼包作試驗，測得的數(shù)據(jù)列于下表：使用次數(shù)增大容積使用次數(shù)增大容積234567896.428.209.589.509.7010.009.939.991011121314151610.4910.5910.6010.8010.6010.9010.7624681012141666.577.588.599.51010.511散點圖此即非線性回歸非線性回歸或曲線回歸曲線回歸 問題（需要配曲線）配曲線的一般方法是：配曲線的一般方法是：先對兩個變量 x 和 y 作n 次試驗觀察得niyxii,.,2 ,

10、1),(畫出散點圖，根據(jù)散點圖確定須配曲線的類型.然后由 n 對試驗數(shù)據(jù)確定每一類曲線的未知參數(shù) a 和 b.采用的方法是通過變量代換把非線性回歸化成線性回歸，即采用非線性回歸線性化的方法.通常選擇的六類曲線如下：（1）雙雙曲曲線線xbay1（2）冪冪函函數(shù)數(shù)曲曲線線y=abx, 其中 x0,a0（3）指指數(shù)數(shù)曲曲線線 y=abxe其中參數(shù) a0.（4）倒倒指指數(shù)數(shù)曲曲線線 y=axbe/其中 a0，（5）對對數(shù)數(shù)曲曲線線y=a+blogx,x0（6）S型型曲曲線線xbeay1解例2.由散點圖我們選配倒指數(shù)曲線y=axbe/根據(jù)線性化方法，算得4587. 2,1107. 1Ab由此 6789.

11、11Aea最后得 xey1107. 16789.11一、數(shù)學模型及定義一、數(shù)學模型及定義nyyY.1，nknnkkxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211，k.10，n.21kkxxy.110稱為回回歸歸平平面面方方程程. 二、模型參數(shù)估計二、模型參數(shù)估計1、對對i和和2作作估估計計 得到的i代入回歸平面方程得： kkxxy.110稱為經(jīng)經(jīng)驗驗回回歸歸平平面面方方程程.i稱為經(jīng)經(jīng)驗驗回回歸歸系系數(shù)數(shù).解得估計值 YXXXTT12、 多多 項項 式式 回回 歸歸設變量 x、Y的回歸模型為 ppxxxY.2210其中 p 是已知的，), 2 , 1(pii是未知參數(shù)，服從正態(tài)分布)

12、, 0(2N. 令iixx ，i=1，2，k 多項式回歸模型變?yōu)槎嘣€性回歸模型. kkxxxY.2210稱為回歸多項式回歸多項式.上面的回歸模型稱為多項式回歸多項式回歸.三、多元線性回歸中的檢驗與預測三、多元線性回歸中的檢驗與預測假設 0.:100kH （）線性模型檢驗）線性模型檢驗F檢驗法檢驗法（）回歸系數(shù)檢驗）回歸系數(shù)檢驗t檢驗法檢驗法 niiieyyQ12)(殘差平方和）殘差平方和）2、預測、預測（1）點預測）點預測求出回歸方程kkxxy.110，對于給定自變量的值kxx ,.,*1，用*110*.kkxxy來預測*110.kkxxy.稱* y為*y的點預測.（2）區(qū)間預測）區(qū)間預測y

13、 的1的預測區(qū)間（置信）區(qū)間為),(21yy,其中) 1(1) 1(12/10022/1001kntxxcyykntxxcyykikjjiijekikjjiijeC=L-1=(cij), L=XX1knQee四、逐步回歸分析四、逐步回歸分析（4）“有進有出”的逐步回歸分析。（1）從所有可能的因子（變量）組合的回歸方程中選擇最優(yōu)者；（2）從包含全部變量的回歸方程中逐次剔除不顯著因子；（3）從一個變量開始，把變量逐個引入方程；選擇“最優(yōu)”的回歸方程有以下幾種方法： “最優(yōu)最優(yōu)”的回歸方程的回歸方程就是包含所有對Y有影響的變量, 而不包含對Y影響不顯著的變量回歸方程。 以第四種方法，即逐步回歸分析法

14、逐步回歸分析法在篩選變量方面較為理想. 這個過程反復進行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時為止。逐步回歸分析法逐步回歸分析法的思想： 從一個自變量開始，視自變量Y作用的顯著程度，從大到地依次逐個引入回歸方程。 當引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，要將其剔除掉。 引入一個自變量或從回歸方程中剔除一個自變量，為逐步回歸的一步。 對于每一步都要進行Y值檢驗，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對Y作用顯著的變量。1、多元線性回歸、多元線性回歸2、多項式回歸、多項式回歸3、非線性回歸、非線性回歸4、逐步回歸、逐步回歸多元線性回歸多元線性回歸 b=

15、regress( Y, X )npnnppxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211nYYYY.21pb.101、確定回歸系數(shù)的點估計值：確定回歸系數(shù)的點估計值：ppxxy.110對一元線性回歸，取 p=1 即可3、畫出殘差及其置信區(qū)間：畫出殘差及其置信區(qū)間： rcoplot（r，rint）2、求回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型：求回歸系數(shù)的點估計和區(qū)間估計、并檢驗回歸模型： b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計殘差用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應的概率p置信區(qū)間 顯著性水平（

16、缺省時為0.05） 相關(guān)系數(shù) r2越接近 1，說明回歸方程越顯著； F F1-（k，n-k-1）時拒絕 H0，F(xiàn) 越大，說明回歸方程越顯著； 與 F 對應的概率 p時拒絕 H0，回歸模型成立.例例1 解：解：1、輸入數(shù)據(jù)：輸入數(shù)據(jù)： x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164; X=ones(16,1) x; Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;2、回歸分析及檢驗：回歸分析及檢驗： b,bint,r,rint,stats=regress(Y

17、,X) b,bint,stats3、殘差分析，作殘差圖：、殘差分析，作殘差圖： rcoplot(r,rint) 從殘差圖可以看出，除第二個數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明回歸模型 y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第二個數(shù)據(jù)可視為異常點. 4、預測及作圖：、預測及作圖：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r)246810121416-5-4-3-2-101234Residual Case Order PlotResidualsCase Number多多 項項 式式 回回 歸歸 （一）一元多項式回歸（一）一元多

18、項式回歸 （1）確定多項式系數(shù)的命令：p，S=polyfit（x，y，m） 其中 x=（x1，x2，xn） ，y=（y1，y2，yn） ；p=（a1，a2，am+1）是多項式 y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1的系數(shù)；S 是一個矩陣，用來估計預測誤差.（2）一元多項式回歸命令：polytool（x，y，m）1、回歸：、回歸：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、預測和預測誤差估計：、預測和預測誤差估計：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回歸多項式在x處 的預 測值Y； （2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得

19、 的回歸多項式在x處的預測值Y及預測值的顯著性為1- alpha的置信區(qū)間Y DELTA；alpha缺省時為0.5. 例例 2 觀測物體降落的距離s 與時間t 的關(guān)系，得到數(shù)據(jù)如下表，求s關(guān)于 t 的回歸方程2ctbtas.t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48法一法一 直接作二次多項式回歸：直接作二次多項式回歸： t=1/

20、30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2)1329. 98896.652946.4892tts得回歸模型為 ：法二法二化為多元線性回歸：化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t

21、 (t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,stats22946.4898896.651329. 9tts得回歸模型為 ：Y=polyconf(p,t,S) plot(t,s,k+,t,Y,r)預測及作圖預測及作圖（二）多元二項式回歸（二）多元二項式回歸命令：rstool（x，y，model, alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時為0.05）n維列向量由下列 4 個模型中選擇 1 個（用字符串輸入，缺省時為線性模型）： linear（線性）：mmxxy 110 purequadratic（純二次）： njjjjmmxxxy12110 interacti

22、on（交叉）： mkjkjjkmmxxxxy1110 quadratic（完全二次）： mkjkjjkmmxxxxy,1110 例例3 設某商品的需求量與消費者的平均收入、商品價格的統(tǒng)計數(shù) 據(jù)如下，建立回歸模型，預測平均收入為1000、價格為6時 的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300價格5766875439選擇純二次模型，即 2222211122110 xxxxy法一法一 直接用多元二項式回歸：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x

23、2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2; rstool(x,y,purequadratic) 在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”, 則beta、rmse和residuals都傳送到Matlab工作區(qū)中.在左邊圖形下方的方框中輸入1000，右邊圖形下方的方框中輸入6。 則畫面左邊的“Predicted Y”下方的數(shù)據(jù)變?yōu)?8.47981，即預測出平均收入為1000、價格為6時的商品需求量為88.4791.在Matlab工作區(qū)中輸入命令： beta, rmse得結(jié)果：beta = 110.5313 0.1

24、464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse = 4.5362故回歸模型為：2221218475. 10001. 05709.261464. 05313.110 xxxxy剩余標準差為 4.5362, 說明此回歸模型的顯著性較好.X=ones(10,1) x1 x2 (x1.2) (x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,stats結(jié)果為: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.9702 40.6656 0.0005法二法二 2222211122110 xxxxy

25、將 化為多元線性回歸：非線性回非線性回 歸歸 （1）確定回歸系數(shù)的命令： beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）1、回歸：、回歸：殘差Jacobian矩陣回歸系數(shù)的初值是事先用m-文件定義的非線性函數(shù)估計出的回歸系數(shù)輸入數(shù)據(jù)x、y分別為 矩陣和n維列向量，對一元非線性回歸，x為n維列向量。mn2、預測和預測誤差估計：、預測和預測誤差估計：Y，DELTA=nlpredci（model, x，beta，r，J）求nlinfit 或nlintool所得的回歸函數(shù)在x處的預測值Y及預測值

26、的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間Y DELTA.例例 4 對第一節(jié)例2，求解如下：1、對將要擬合的非線性模型 y=axbe/，建立 m-文件 volum.m 如下： function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2、輸入數(shù)據(jù)： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76; beta0=8 2;3、求回歸系數(shù)： beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta得結(jié)果

27、：beta = 11.6036 -1.0641即得回歸模型為：xey10641. 16036.11逐逐 步步 回回 歸歸逐步回歸的命令是： stepwise（x，y，inmodel，alpha） 運行stepwise命令時產(chǎn)生三個圖形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History. 在Stepwise Plot窗口，顯示出各項的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間. Stepwise Table 窗口中列出了一個統(tǒng)計表，包括回歸系數(shù)及其置信區(qū)間，以及模型的統(tǒng)計量剩余標準差（RMSE）、相關(guān)系數(shù)（R-square）、F值、與F對應的概率P.矩陣的列數(shù)的指標，給出

28、初始模型中包括的子集（缺省時設定為全部自變量）顯著性水平（缺省時為0.5）自變量數(shù)據(jù), 階矩陣mn因變量數(shù)據(jù)， 階矩陣1n例例6 水泥凝固時放出的熱量y與水泥中4種化學成分x1、x2、x3、 x4 有關(guān)，今測得一組數(shù)據(jù)如下，試用逐步回歸法確定一個 線性模 型. 序號12345678910111213x17111117113122111110 x226295631525571315447406668x3615886917221842398x46052204733226442226341212y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.

29、3109.41、數(shù)據(jù)輸入：、數(shù)據(jù)輸入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4;2、逐步回歸：、逐步回歸：（1）先在初始模型中取全部自變量：）先在初始模型中取全部自變量： stepwise(x,y)得圖Stepwise Plot 和表Stepwise Table圖圖Stepwise Plot中四條直線都是虛中四條直線都是虛線，說明模型的顯著性不好線，說明模型的顯著性不好從表從表Stepwise Table中看出變中看出變量量x3和和x4的顯著性