七年級人教版數(shù)學下冊知識點匯編含精典例題

1、七年級下冊數(shù)學各章節(jié)知識點匯編整理：王老師 第五章 相交線及平行線平面內(nèi)，點及直線之間的位置關系分為兩種： 點在線上 點在線外同一平面內(nèi)，兩條或多條不重合的直線之間的位置關系只有兩種： 相交 平行一、相交線1、兩條直線相交，有且只有一個交點。 （反之，若兩條直線只有一個交點，則這兩條直線相交。） 兩條直線相交，產(chǎn)生鄰補角和對頂角的概念：鄰補角：兩角共一邊，另一邊互為反向延長線。 鄰補角互補。 要注意區(qū)分互為鄰補角及互為補角的異同。對頂角：兩角共頂點，一角兩邊分別為另一角兩邊的反向延長線。 對頂角相等。注：、同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等；等角的對頂角相等。 反過來亦成立。、表述鄰補

2、角、對頂角時，要注意相對性，即“互為”，要講清誰是誰的鄰補角或?qū)斀恰?例如：判斷對錯： 因為ABC +DBC = 180°，所以DBC是鄰補角。（ ） 相等的兩個角互為對頂角。（ ）2、垂直是兩直線相交的特殊情況。 注意：兩直線垂直，是互相垂直，即：若線a垂直線b，則線b垂直線a 。垂足：兩條互相垂直的直線的交點叫垂足。 垂直時，一定要用直角符號表示出來。過一點有且只有一條直線及已知直線垂直。（注：這一點可以在已知直線上，也可以在已知直線外）3、點到直線的距離。垂線段：過線外一點，作已知線的垂線，這點到垂足之間的線段叫 垂線段。垂線及垂線段：垂線是一條直線，而垂線段是一條線段，是垂

3、線的一部分。垂線段最短：連接直線外一點及直線上各點的所有線段中，垂線段最短。（或說 直角三角形中，斜邊大于直角邊。）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫這點到直線的距離。 注：距離指的是垂線段的長度，而不是這條垂線段的本身。所以，如果在判斷時，若沒有“長度”兩字，則是錯誤的。4、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角三線六面八角：平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，將平面分成了六個部分，形成八個角，其中有：4對同位角，2對內(nèi)錯角和2對同旁內(nèi)角。 注意：要熟練地認識并找出這三種角： 根據(jù)三種角的概念來區(qū)分 借助模型來區(qū)分，即：同位角F型，內(nèi)錯角Z型，同旁內(nèi)角U型。特別注意： 三角形的三個內(nèi)角均

4、互為同旁內(nèi)角； 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的稱呼并不一定要建立在兩條平行的直線被第三條直線所截的前提上才有的，這兩條直線也可以不平行，也同樣的有同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。5、幾何計數(shù)： 平面內(nèi)n條直線兩兩相交，共有n ( n 1) 組對頂角。（或?qū)懗?n2 n 組） 平面內(nèi)n條直線兩兩相交，最多有n(n1)/2個交點。（或?qū)懗桑╪2n）/2個） 平面內(nèi)n條直線兩兩相交，最多把平面分割成n(n+1)/2+1個面。 當平面內(nèi)n個點中任意三點均不共線時，一共可以作n(n1)/2 條直線?；仡櫍骸⒁粭l直線上n個點之間，一共有n(n1)/2 條線段；、若從一個點引出n條射線，則一共有n(n1)/2 個角。

5、二、平行線同一平面內(nèi)，兩條直線若沒有公共點（即交點），那么這兩條直線平行。 注：平行線永不相交。1、平行公理：過直線外一點，有且只有一條直線及已知直線平行。 （注：這一點是在直線外）推論：如果兩條直線都及第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 （或叫平行線的傳遞性）2、平行線的畫法：借助三角板和直尺。具體略。（此基本作圖方法一定要掌握，多練習。）3、平行線的判定： 同位角相等，兩直線平行； 內(nèi)錯角相等，兩直線平行； 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。注意：是先看角如何，再判斷兩直線是否平行，前提是“角相等/ 互補”。一個重要結(jié)論：同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。4、平行線的性質(zhì)： 兩

6、直線平行，同位角相等； 兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。注意：是先有兩直線平行，才有以上的性質(zhì)，前提是“線平行”。 一個結(jié)論：平行線間的距離處處相等。 例如：應用于 說明矩形（包括長方形、正方形）的對邊相等，還有梯形的對角線把梯形分成分別以上底為底的兩等面積的三角形，或 以下底為底的兩等面積的三角形。（因為梯形的上底及下底平行，平行線間的高相等，所以，就有等底等高的三角形。） 此章難度最大就在如何利用平行線的判定或性質(zhì)來進行解析幾何的初步推理，要在熟練掌握好基本知識點的基礎上，學會邏輯推理，既要條理清晰，又要簡潔明了。5、命題判斷一件事情的語句叫命題。命題包括“題設”和“結(jié)

7、論”兩部分，可寫成“如果那么”的形式。例如：“明天可能下雨?！边@句語句_命題，而“今天很熱，明天可能下雨。”這句語句_命題。(填“是”或“不是”) 命題分為真命題 及 假命題，真命題指題設成立，結(jié)論也成立的命題（或說正確的命題）。假命題指題設成立，但結(jié)論不一定或根本不成立的命題（或說錯誤的命題）。 逆命題：將一個命題的題設及結(jié)論互換位置之后，形成新的命題，就叫原命題的逆命題。注：原命題是真命題，其逆命題不一定仍為真命題，同理，原命題為假命題，其逆命題也不一定為假命題。例如：“對頂角相等”是個真命題，但其逆命題“_”卻是個假命題。不論是真命題還是假命題，都要學會能非常熟練地把一個命題寫成“如果那

8、么”的形式。例:把“等角的補角相等”寫成“如果 那么”的形式為:_。再例：把“三角形的內(nèi)角和等于180度?！睂懗砂}設及結(jié)論的形式：_。三、平移1、 概念：把圖形的整體沿著某一方向移動一定的距離，得到一個新的圖形，這種圖形的移動，叫平移。 確定平移，關鍵是要弄清平移的方向（并不一定是水平移動或垂直移動哦）及平移的距離。如果是斜著平移的，則需把由起始位置至最終位置拆分為先水平移動，再上下移動，或拆分為先上下移動，再水平移動。當然，如果是在格點圖內(nèi)平移，則可利用已知點的平移距離是某一矩形的對角線這一特點來對應完成其它頂點的平移。2、 特征： 發(fā)生平移時，新圖形及原圖形的形狀、大小完全相同（即：對

9、應線段、對應角均相等）； 對應點之間的線段互相平行（或在同一直線上）且相等，均等于平移距離。3、畫法：掌握平移方向及平移距離，利用對應點（一般指圖形的頂點）之間連線段平行、連線段相等性質(zhì)描出原圖形頂點的對應點，再依次連接，就形成平移后的新圖形。第六章 平面直角坐標系 整理：王老師 一、坐標1、數(shù)軸 規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸。 數(shù)軸上的點可以用一個數(shù)來表示，這個數(shù)叫這個點在數(shù)軸上的坐標。 數(shù)軸上的點及實數(shù)（包括有理數(shù)及無理數(shù)）一一對應，數(shù)軸上的每一個點都有唯一的一個數(shù)及之對應。2、平面直角坐標系 由互相垂直、且原點重合的兩條數(shù)軸組成。 橫向（水平）方向的為橫軸（x軸），縱向（豎直

10、）方向的為縱軸（y軸）， 平面直角坐標系上的任一點，都可用一對有序?qū)崝?shù)對來表示位置，這對有序?qū)崝?shù)對就叫這點的坐標。（即是用有順序的兩個數(shù)來表示，注：x在前，y在后，不能隨意更改） 坐標平面內(nèi)的點及有序?qū)崝?shù)對是一一對應的，每一個點，都有唯一的一對有序?qū)崝?shù)對及之對應。二、象限及坐標平面內(nèi)點的特點 1、四個象限 平面直角坐標系把坐標平面分成四個象限，從右上部分開始，按逆時針方向分別叫第一象限(或第象限)、第二象限（或第象限）、第三象限（第象限）和第四象限（或第象限）。 注：、坐標軸（x軸、y軸）上的點不屬于任何一個象限。例 點A（3，0）和點B（0，-5） 、平面直角坐標系的原點發(fā)生改變，則點的坐標

11、相應發(fā)生改變；坐標軸的單位長度發(fā)生改變，點的坐標也相應發(fā)生改變。2、坐標平面內(nèi)點的位置特點 、坐標原點的坐標為（0，0）；、第一象限內(nèi)的點，x、y同號，均為正； 、第二象限內(nèi)的點，x、y異號，x為負，y為正；、第三象限內(nèi)的點，x、y同號，均為負； 、第四象限內(nèi)的點，x、y異號，x為正，y為負；、橫軸（x軸）上的點，縱坐標為0，即（x，0），所以，橫軸也可寫作：y=0 （表示一條直線）、縱軸（y軸）上的點，橫坐標為0，即（0，y）,所以，縱橫也可寫作：x=0 （表示一條直線）例：若P（x,y）,已知xy>0,則P點在第_象限，已知xy<0，則P點在第_象限。3、點到坐標軸的距離 坐標

12、平面內(nèi)的點的橫坐標的絕對值表示這點到縱軸（y軸）的距離，而縱坐標的絕對值表示這點到橫軸（x軸）的距離。 例：點A（-3，7）表示到橫軸的距離為_，到縱軸的距離為_；點B（-9，0）表示到橫軸的距離為_,到縱軸的距離為_。注: 、已知點的坐標求距離，只有一個結(jié)果，但已知距離求坐標，則因為點的坐標有正有負，可能有多個解的情況，應注意不要丟解。 例：點P（x,y）到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離是7，求點P的坐標為_。再例：已知A（3，2），AB平行x軸，且AB = 4，求B點的坐標為_。、坐標平面內(nèi)任意兩點A（x1,y1）、B(x2,y2)之間的距離公式為：d = 根號下(x1-x2)2 + (y1

13、-y2)2 4、坐標平面內(nèi)對稱點坐標的特點 、一個點A（a,b）關于x軸對稱的點的坐標為A（a,-b）,特點為：x不變，y相反；例：（-3，5）關于x軸對稱的點的坐標為A（_,_）、一個點A（a,b）關于y軸對稱的點的坐標為A（-a,b）,特點為：y不變，x相反； 例：（-3，5）關于y軸對稱的點的坐標為A（_,_）、一個點A（a,b）關于原點對稱的點的坐標為A（-a,-b），特點為：x、y均相反。 例：（-3，5）關于原點對稱的點的坐標為A（_,_）5、平行于坐標軸的直線的表示、平行于橫軸（x軸）的直線上的任意一點，其橫坐標不同，縱坐標均相等，所以，可表示為：y=a（a為縱坐標）的形式，a的

14、絕對值表示這條直線到x軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點橫坐標之差的絕對值；、平行于縱軸（y軸）的直線上的任意一點，其縱坐標不同，橫坐標均相等，所以，可表示為：x=b（b為橫坐標）的形式，b的絕對值表示這條直線到y(tǒng)軸的距離，直線上兩點之間的距離等于這兩點縱坐標之差的絕對值。例如：直線y=-5上及點A（-3，-5）距離為8的點P坐標為：_； 直線x=6上及點B（6，7）距離為9的點K坐標為：_。6、象限角平分線的特點、第一、三象限的角平分線可表示為y=x的形式，即角平分線上的點的縱坐標及橫坐標相等（同號）； 例：A（3，_）和B（-5，_）均在第一、三象限的角平分線上。、第二、四象限的角平

15、分線可表示為y=-x的形式，即角平分線的點的縱坐標及橫坐標互為相反數(shù)(異號)。 例A（-3，_）和B（5，_）均在第二、四象限的角平分線上。三、坐標方法的簡單應用1、求面積、已知三角形的頂點坐標求三角形的面積 將坐標平面上的三角形的面積轉(zhuǎn)化為幾個圖形的面積的組合（相加）或分解（相減），即將要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為一個大的多邊形（例如矩形或梯形）及一個或幾個較小的三角形面積之差； 例：、已知平面直角坐標系中，點A（2，4），點B（6，2），求AOB的面積？ 、已知A（-4，3），B（0，0），C（-2，-1），求ABC的面積？ 、已知多邊形各頂點坐標求多邊形的面積 將坐標平面上的多邊形的面積分割成

16、幾個規(guī)則的圖形組合的面積之和，或轉(zhuǎn)化為一個更大的多邊形（例如矩形或梯形）及一個或幾個較小的三角形面積之差。 例：順次連接坐標平面上四點A（2，2）、B（-2，2）、C（-3，-2）、D（3，-2），求這個四邊形的面積？2、平移、點的平移 一個點左、右（水平）平移，橫坐標改變，縱坐標不變。具體為：向左平移幾個單位，則橫坐標減少幾個單位；向右平移幾個單位，則橫坐標增加幾個單位。 “左減右加”一個點上、下（豎直）平移，縱坐標改變，橫坐標不變。具體為：向下平移幾個單位，則縱坐標減少幾個單位；向上平移幾個單位，則縱坐標增加幾個單位。 “下減上加” 、圖形的平移 圖形是由無數(shù)個點組成的，所以，圖形的平移實

17、質(zhì)上就是點的平移。關鍵是把圖形的各個頂點按要求橫向或縱向平移，描出平移后的對應頂點，再連接全部對應頂點即可。 注：圖形平移后的新圖形及原圖形在形狀、大小方面是完全相同的，唯一改變的是原圖形的位置。3、中點坐標公式 對于平面直角坐標系內(nèi)任意兩點M（a1,b1）、N(a2,b2),它們的中點的坐標為：（ （a1+a2）/2 ,(b1+b2)/2 ）例：已知點A（5，-8）和點B（-3，2），線段AB的中點的坐標為：( _ ,_ )。第八章 二元一次方程組 整理：王老師 一、二元一次方程組1、概念：二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)（即次數(shù)）都是1的方程，叫二元一次方程。 二元一次方程組：

18、兩個二元一次方程（或一個是一元一次方程，另一個是二元一次方程；或兩個都是一元一次方程；但未知數(shù)個數(shù)仍為兩個）合在一起，就組成了二元一次方程組。2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解： 使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個未知數(shù)的值，叫二元一次方程的解。 使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫二元一次方程組的解。注：、因為二元一次方程含有兩個未知數(shù)，所以，二元一次方程的解是一組（對）數(shù)，用大括號聯(lián)立；、一個二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；、而二元一次方程組的解是其中兩個二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數(shù)組或無解（即

19、無公共解）。二元一次方程組的解的討論：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 已知二元一次方程組 、當a1/a2 b1/b2 時，有唯一解； 、當a1/a2 = b1/b2 c1/c2時，無解； 、當a1/a2 = b1/b2 = c1/c2時，有無數(shù)解。x + y = 42x + 2y = 8 x + y = 32x + 2y = 5 x + y = 43x - 5y = 9 例如：對應方程組：、 、 、例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組：x = 112x + 3y = 0 3t + 2s = 5ts + 6 = 0 x = 4y = 5 a + b = 2b + c

20、= 3 、 、 、 、3、用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)： 用含X的代數(shù)式表示Y，就是先把X看成已知數(shù)，把Y看成未知數(shù)；用含Y的代數(shù)式表示X，則相當于把Y看成已知數(shù)，把X看成未知數(shù)。例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代數(shù)式表示y為：_,用含y的代數(shù)式表示x為:_。4、根據(jù)二元一次方程的定義求字母系數(shù)的值：要抓住兩個方面：、未知數(shù)的指數(shù)為1，、未知數(shù)前的系數(shù)不能為0例：已知方程 (a-2)x(/a/-1) (b+5)y(b2-24) = 3 是關于x、y的二元一次方程，求a、b的值。5、求二元一次方程的整數(shù)解例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整數(shù)解。思路：

21、利用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的方法，可以求出方程有正整數(shù)解時x、y的取值范圍，然后再進一步確定解。解：用含x的代數(shù)式表示y: y = 9/2 (3/4)x 用含y的代數(shù)式表示x: x = 6 (4/3)y 因為是求正整數(shù)解，則：9/2 (3/4)x > 0 , 6 (4/3)y > 0所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2所以，當 y = 1時，x = 6 4/3 = 14/3 ,舍去 ； 當 y = 2時，x = 6 8/3 = 10/3 ，舍去 ；當 y = 3時，x = 6 12/3 = 2 , 符合 ； 當 y = 4時，x

22、= 6 16/3 = 2/3 ，舍去 。x = 2 y = 3 所以，3x + 4y = 18 的正整數(shù)解為：ax - 2y = 5 2x + by = 3 x = 3 y = - 1 再例：、如果 是方程組 的解，求 a-b 的值。ax + 5y = 15, 4x - by = -2, 、甲、乙兩人共解方程組 由于甲看錯了方程中的a，得到的方程組的解x = 5, y = 4, x = - 3, y = - 1, 為 乙看錯了方程中的b，得到的方程組的解為 試計算a2009 + (-b/10)2010的值。二、二元一次方程組的解法消元 （整體思想就是：消去未知數(shù)，化“二元”為“一元”）1、代入

23、消元法：由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為： 、從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；、將變形后的關系式代入另一個方程（不能代入原來的方程哦！），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；、解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式（或原來的方程組中任一個方程）中，求出另一個未知數(shù)的值；、把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解

24、。2、加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r，將兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法。注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為： 、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；、解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；、將這個求得的未

25、知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，并把求得的兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解。例：解方程組：x/2 + y/3 = 13/2 x/3 y/4 = 3/2 、 4y(2y + x + 16)/2 = -6x 2y + 3x = 7 2x - y 、3、用換元法解方程組：根據(jù)題目的特點，利用換元法簡化求解，同時應注意換元法求出的解要代回關系式中，求出方程組中未知數(shù)的解。5/(x+1) + 4/(y-2) = 2 7/(x+1) 3/(y-2) = 13/20 例：、解方程組：2(x+2)-3(y-1) = 13 a = 8.3 b = 1.2 2a-3b

26、= 13 3a+5b = 30.9 、已知方程組 的解是 ，則方程組 的解是：（ ）x = 10.3 y = 2.2 x = 6.3 y = 2.2 x = 10.3 y = 0.2 x = 8.3 y = 1.2 A、 B、 C、 D、4、用整體代入法解方程組：2x - y = 6 (x+2y)(4x2y)= 192 例：解方程組：解：將變形為：(x+2y)×2(2xy)= 192 ，把代入得：(x+2y)×2×6 = 192 ,即 x+2y = 16 2x - y = 6x + 2y = 16再把和組成新的方程組： 解得：5、另外幾種類型的例題：（1）、若m

27、+ n 5 + (2m + 3n - 5)²= 0 ,求(m - n)²的值。（2）、已知代數(shù)式x²+ ax + b，當x = -1時，它的值是5，當x =1時，它的值是-1，求當x =2時，代數(shù)式的值。x - 2y = 55x + ny = 15x + y = 3mx + 5y = 4（3）、已知方程組 及 有相同的解，求m，n的值。3x - 5y = 2m2x + 7y = m-18（4）、已知方程組 的解x、y互為相反數(shù)，求m、x以及y的值。2x - y = k3x + y = k+1（5）、關于x、y的方程組 的解，也是方程2x + y = 3的解，求k的

28、值。（6）、某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工后上市銷售。該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸?，F(xiàn)計劃用15天完成加工任務，該公司應安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后的利潤為2000元，那么照此安排，該公司出售這些加工后的蔬菜共獲利多少元？三、實際問題及二元一次方程組1、利用二元一次方程組解實際應用問題的一般過程為：審題并找出數(shù)量關系式 > 設元（設未知數(shù)） > 根據(jù)數(shù)量關系式列出方程組 > 解方程組 > 檢驗并作答（注意：此步驟不要忘記）2、列方程組解應用題的常見題型： （1）、和差

29、倍分問題：解這類問題的基本等量關系式是：較大量 - 較小量 = 相差量 ，總量 = 倍數(shù) × 倍量； （2）、產(chǎn)品配套問題：解這類題的基本等量關系式是：加工總量成比例； （3）、速度問題：解這類問題的基本關系式是：路程 = 速度 × 時間，包括相遇問題、追及問題等； （4）、航速問題：、順流（風）：航速 = 靜水（無風）時的速度 + 水（風）速； 、逆流（風）：航速 = 靜水（無風）時的速度 水（風）速； （5）、工程問題：解這類問題的基本關系式是：工作總量 = 工作效率×工作時間，（有時需把工作總量看作1）； （6）、增長率問題：解這類問題的基本關系式是：原量&

30、#215;（1+增長率）= 增長后的量，原量×（1-減少率）= 減少后的量； （7）、盈虧問題：解這類問題的關鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個角度來把握事物的總量； （8）、數(shù)字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關概念、特征及其表示； （9）、幾何問題：解這類問題的基本關系是有關幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式； （10）、年齡問題：解這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)相等。例1：一批水果運往某地，第一批360噸，需用6節(jié)火車車廂加上15輛汽車，第二批440噸，需用8節(jié)火車車廂加上10輛汽車，求每節(jié)火車車廂及每輛汽車平均各裝多少噸？例2：甲、乙兩物體分別在周

31、長為400米的環(huán)形軌道上運動，已知它們同時從一處背向出發(fā)，25秒后相遇，若甲物體先從該處出發(fā)，半分鐘后乙物體再從該處同向出發(fā)追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲，假設甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。 例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運動，甲的速度比乙大，當二人反向運動時，每150秒相遇一次，當二人同向運動時，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精及水的比是3 ：7，乙種酒精溶液的酒精及水的比是4 ：1，今要得到酒精及水的比是3 ：2的酒精溶液50kg，求甲、乙兩種溶液各取多少kg？例5：一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成

32、，如果1立方米木料可制成方桌桌面50個，或制作桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料，請問，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時，可以制成多少張方桌？例6：某人要在規(guī)定的時間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘，如果他以每小時75千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達乙地，求甲、乙兩地間的距離。農(nóng)作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元例7：某農(nóng)場有300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農(nóng)作物，已知種植各種農(nóng)作物每公頃所需勞動力人數(shù)及投入資金如右表：已知該農(nóng)場計劃投入資金67萬元，應該怎樣安

33、排這三種農(nóng)作物的種植面積才能使所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個50人的旅游團到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？年級捐款數(shù)額（元）捐助貧困中學生人數(shù)（名）捐助貧困小學生人數(shù)（名）初一年級400024初二年級420033初三年級7400例9：某山區(qū)有23名中、小學生因貧困失學需要捐助，資助一名中學生的學習費用需要a元，資助一名小學生的學習費用需要b元。某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數(shù)額及使用這些捐款恰好資助受捐助中學生和小學生人數(shù)的部分情況如右

34、表：（1）、求a、b的值；（2）初三年級的捐款解決了其余貧困中小學生的學習費用，請分別計算出初三年級的捐款所資助的中學生和小學生人數(shù)。四、三元一次方程組的解法1、概念：由三個方程組成方程組，且方程組中共含有三個未知數(shù)，每個方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。注：三元一次方程組中的三個方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個未知數(shù)”的條件即可。2、解三元一次方程組的基本思想：一元一次方程消元>(代入法、加減法)二元一次方程組消元>(代入法、加減法)三元一次方程組 3x + 4y + z = 14x + 5y + 2z = 172x + 2

35、y - z = 33x + 4z = 72x + 3y + z = 95x 9y + 7z = 8例1：解方程組 例2：在y = ax²+bx+c中，當x=1時，y=0；x=2時，y=3；x=3時,y=28，求a、b、c的值。當x = -1時，y的值是多少？例3：甲、乙、丙三數(shù)之和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍及丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個數(shù)。例4：小明從家到學校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小時行3千米，平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米，那么小明從家到學校需要1小時，從學?；丶抑恍枰?4分鐘。求小明家到學校的上坡路、平路、

36、下坡路各是多少千米？第九章 不等式及不等式組 整理：王老師 一、不等式1、概念：利用不等符號連接的式子叫不等式。 不等符號有：、 注：有些不等式中不含有未知數(shù)，有些不等式中含有未知數(shù)。要及方程加以區(qū)別。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。 一些關鍵字詞：不大于 不超過 不小于 至少 超過 最多 不是正數(shù) 非負數(shù) 不是負數(shù) 非正數(shù) 負數(shù) 對應符號為：（ ） （ ） （ ）（ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）2、一元一次不等式：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫一元一次不等式。不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫這個不等式的解的集合，簡稱解集。 而求不等

37、式解集的過程叫做 解不等式。例：下列哪個數(shù)不是不等式5x36的解 （ ） A、1 B、2 C、-1 D、-23、不等式的性質(zhì)：性質(zhì) 、不等式左右兩邊加（減）同一個數(shù)（式），不等式仍然成立（不等號的方向不變）；性質(zhì) 、不等式左右兩邊乘以（除以）同一個正數(shù)，不等式仍然成立（不等號的方向不變）；性質(zhì) 、不等式左右兩邊乘以（除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。注：不等式左右兩邊同乘或同除以一個數(shù)或已知符號的式子時，這個數(shù)或式子的值絕對不能是零，否則無意義；注意要及等式的性質(zhì)相區(qū)別：最大區(qū)別就是 不等式兩邊同時乘以或除以一個負數(shù)時，不等號要改變方向。十二個例題：、如果ab，可知下面哪個不等式成立 （ ）

38、 A、-a-b B、1/a1/b C、a+b2b D、a²ab、如果ba0，則下列哪個不等式是正確的 （ ） A、b²ab B、aba² C、2b2a D、-2b-2a、若ab0,則下列不等式成立的是 （ ） A、1/a1/b B、abb² C、a²ab D、ab、a為實數(shù)，下列結(jié)論正確的是 （ ） A、a²0 B、如果a0,那么a²0 C、若x²x, 則x0 D、如果a1,那么a²a、如果x0，a為實數(shù)，那么一定有 （ ） A、x+a0 B、x²-a²0 C、-a²x D、

39、-x²a、ab0，則下列不等式錯誤的是 （ ） A、-a-b B、1/a1/b0 C、a-bb-a D、a/bb/a、若a0,b0,a+b0,則a、-a、b、-b的大小關系是 （ ） A、-ab-ba B、-a-bba C、-ba-ab D、-b-aab、當-1a0時，則有 （ ） A、1/aa B、-a³-a³ C、-aa² D、a³-a²、如果x2,那么下列四個式子中：x²2x xy2y 2xx 1/x1/2 正確的個數(shù)是（ ） A、4個 B、3個 C、2個 D、1個、若x+yx-y,y-xy，那么下列式子正確的是 （

40、） A、x+y0 B、y-x0 C、xy0 D、y/x0、如果關于x的方程x+2m-3=3x+7的解為不大于2的非負數(shù)，那么 （ ） A、m = 6 B、m等于5，6，7 C、5m7 D、5m7、已知-1b0,0a1,那么在代數(shù)式a-b,a+b,a+b²,a²+b中，對任意的a、b,對應的代數(shù)式的值最大的是 （ ） A、a+b B、a-b C、a+b² D、a²+b4、運用不等式的性質(zhì)比較大?。豪?、制作某產(chǎn)品有兩種用料方案：方案1是用5張A型鋼板，7張B型鋼板；方案2是用3張A型鋼板，9張B型鋼板。已知A型鋼板比B型鋼板的面積大，從省料的角度考慮，應選

41、哪種方案？（用求差法比較大小）、設a2,b3,c6,令M=abc,N=ab+bc+ac,則M、N的大小關系是 （ ）<提示：用作商比較法> A、MN B、MN C、MN D、以上三種情況都有可能、甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另一個魚攤上買了兩條魚，平均每條b元，后來他又以每條（a+b）/2的價格把魚全部賣出去，結(jié)果發(fā)現(xiàn)虧了錢，原因是 （ ） A、ab B、ab C、ab D、及a、b的大小無關、已知a、b、c、d都是正實數(shù)，且a/bc/d，比較b/(a+b)和d/(c+d)的大小。（提示：用求倒數(shù)法）2x + y = 1+3mx + 2y = 1- m5、不等式及方

42、程、方程組的結(jié)合： 例：、已知方程組 滿足x+y0，則 （ ） A、m-1 B、m1 C、m-1 D、m1、方程x+2k = 4(x+k)+1的解是正數(shù)，求k的取值范圍。、解方程5x - 6= 6 - 5x、已知關于x的不等式（2a-b）x+a-5b0的解是x10/7，試解不等式3ax+5b0 。、一次數(shù)學競賽，共有16道題，評分方法是：答對一題得6分，答錯一題倒扣2分，不答得0分，小明有一道題沒有答，問他至少要答對幾道題，成績才能在80分以上？6、解一元一次不等式的方法及步驟：同于解一元一次方程，都是：去分母去括號移項合并同類項未知數(shù)系數(shù)化為1注：、去分母時，注意每一項都要乘到，特別是本身沒

43、有分母的項；去括號時，注意括號前面如果是負號時，去掉括號后，各項都要改變符號。、解不等式時，常把小數(shù)系數(shù)化為分數(shù)系數(shù)以簡化計算，統(tǒng)一系數(shù)形式后，再按一般的解一元一次不等式步驟解題即可。例：解不等式：（2x-1）/30.5(3x-5)-(x+1)/6 + 1.250二、實際問題及一元一次不等式：列不等式解實際應用問題，和列方程解實際應用問題一樣，基本思路都是：審設列解答。 其中，審題及找出題中的不等量關系是列一元一次不等式的關鍵，找題中不等關系時要著重理解題中的關鍵字、句，如“便宜”、“提前”、“不超過”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解集后，要加以檢驗，看所得的解集符不符題目的實

44、際意義。例： 導火線的燃燒速度是每秒0.7cm，爆破員點燃后跑開的速度是每秒5m，為了點火后跑到130m以外的安全地帶，問導火線至少應有多長（精確到1cm）？ 某人10點10分離家趕11點整的火車，已知他家離車站10公里，他離家后先以每小時3公里的速度走了5分鐘，然后乘公共汽車去車站，問公共汽車至少每小時行多少公里才能不誤當次火車？ 在ABC中，AB=2AC，問：（1）ABC中哪條邊是最小邊？（2）證明ABC中最小邊大于周長的1/6，而小于周長的1/4。 兩名教師和若干學生去旅游，聯(lián)系了兩家標價相同的旅游公司，甲公司給的優(yōu)惠條件是：1名教師全額收費，其余7.5折收費；乙公司給的優(yōu)惠條件是：全部

45、師生8折收費。（1）當學生人數(shù)超過多少時，甲旅游公司的優(yōu)惠價比乙公司的優(yōu)惠？（2）若核算結(jié)果，甲旅游公司的優(yōu)惠價比乙旅游公司的優(yōu)惠價便宜1/32，問學生的人數(shù)是多少？ 商場出售A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺售價雖然比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0.55度，現(xiàn)將A型冰箱打折出售，問商場至少要打幾折，消費者購買才合算？（按使用期為10年，每年365天，每度電0.40元計算） 某城市平均每天產(chǎn)生垃圾700噸，由甲、乙兩個垃圾處理廠處理，已知甲廠每小時處理垃圾55噸，需費用550元，乙廠每小時處理垃圾45噸，需費用495元。（1）甲、乙兩廠同時處理該城市的垃圾，

46、每天需幾小時完成？（2）如果規(guī)定該城市每天處理垃圾的費用不超過7370元，甲廠每天處理垃圾至少需要多少小時？ 弟弟在上午8點20分從家出發(fā)步行去郊游，上午10點20分哥哥從家騎自行車去追趕弟弟，已知弟弟每小時走4km，哥哥要在上午11點以前趕上弟弟，問哥哥的速度至少應是多少？A型B型價格（萬元/臺）1210處理污水量（噸/月）240200年消耗費（萬元/臺）11 為了保護環(huán)境，某企業(yè)決定購買10臺污水處理設備，現(xiàn)有A、B兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如右表：經(jīng)預算，該企業(yè)購買設備的資金不高于105萬元。（1）請你設計該企業(yè)有幾種購買方案；（2）若企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應選擇哪種購買方案；（3）在第（2）問的條件下，若每臺設備的使用年限為10年，污水廠處理污水費為每噸10元，請你計算，該企業(yè)自己處理污水及將污水排給污水處理廠處理相比，10年可節(jié)約資金多少萬元？<注:方案設計問題是我們在實際生活中經(jīng)常會遇到的問題,利用不等式的非負整數(shù)解來設計方案,選擇合理方案是中考的重要考點之一。>三、一元一次不等式組：1、概念：幾個一元一次不等式組成的不等式組叫一元一次不等式組。 一般的，組成不等式組的幾個不等式用大括號聯(lián)立起來。2、一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組里所有不等式的解集的公共部分，叫做這個一元