2017年高考導數(shù)壓軸題終極解答

1、四、不等式恒成立求字母范圍恒成立之最值的直接應用1. （2008天津理20倒數(shù)第3大題，最值的直接應用，第3問帶有小的處理技巧）已知函數(shù)，其中.若曲線在點處切線方程為,求函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的單調(diào)性；若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：，由導數(shù)的幾何意義得，于是由切點在直線上可得，解得所以函數(shù)的解析式為當時，顯然(),這時在，上內(nèi)是增函數(shù)當時，令，解得當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)由知，在上的最大值為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立從而得，所以滿足條件的的取值范圍是恒成立之分離常數(shù)2. （分離常數(shù)）

2、已知函數(shù)(1) 若在處的切線平行于直線，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若，且對時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解: (1) 定義域為,直線的斜率為,.所以 由; 由所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.(2) ，且對時，恒成立,即.設.當時, ,當時, ,.所以當時,函數(shù)在上取到最大值,且所以,所以所以實數(shù)的取值范圍為.（法二）討論法，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).當時，解得，.當時，解得，.綜上.3. （2011長春一模，恒成立，分離常數(shù)，二階導數(shù)）已知函數(shù),（其中R,為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)當時,求曲線在處的切線方程；(2)當1時,若關于的不等式0恒成立,求實數(shù)的取值范圍.（改x0時，0恒成立.1）

3、解：（1）當時，,切線方程為（2）方法一1,12)(2-=axxexfxaÛ0xxex122-, 設xxexgx12)(2-=,則2212)1()('xxexxgx+-=, 設,則, 在上為增函數(shù),在上為增函數(shù),方法二,設, 0,0,在上為增函數(shù),.又0恒成立,0,在上為增函數(shù), 此時0恒成立,（改x0時，0恒成立.1）解：先證明在上是增函數(shù)，再由洛比達法則，1.（正常的討論進行不了，除非系數(shù)調(diào)到二次項上，分兩種情況討論可得1）4. （兩邊取對數(shù)的技巧）設函數(shù)且） （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）求的取值范圍； （3）已知對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1） ,當時，即.

4、當時，即或. 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由時，即，由（1）可知在上遞增， 在遞減，所以在區(qū)間（1，0）上，當時，取得極大值，即最大值為.在區(qū)間上，.函數(shù)的取值范圍為.分（3），兩邊取自然對數(shù)得5. （分離常數(shù)）已知函數(shù) （）若函數(shù)在區(qū)間其中a >0，上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；（）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；解：（）因為， x >0，則， 當時，；當時，所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值 因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，所以 解得 （）不等式即為 記所以 令，則， ， 在上單調(diào)遞增， ，從而，故在上也單

5、調(diào)遞增， 所以，所以 6. （2010湖南，分離常數(shù)，構造函數(shù)）已知函數(shù) 對任意的恒有.證明：當若對滿足題設條件的任意b、c，不等式恒成立，求M的最小值。7. （第3問不常見，有特點，由特殊到一般，先猜后證）已知函數(shù)（）求函數(shù)f (x)的定義域（）確定函數(shù)f (x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結論.（）若x>0時恒成立，求正整數(shù)k的最大值.解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。當，令，故在（1，0）上是減函數(shù)，即，故此時在（1，0）和（0，+）上都是減函數(shù)（3）當x>0時，恒成立，令又k為正整數(shù)，k的最大值不大于3下面證明當k=3時，恒成立當x>0時 恒成立 令，則，當當取得最小

6、值當x>0時， 恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為38. (恒成立，分離常數(shù)，涉及整數(shù)、較難的處理)已知函數(shù) （）試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結論； （）若恒成立，求整數(shù)k的最大值；（較難的處理） （）求證：(1+1×2)(1+2×3)1+n(n+1)>e2n3.解：（I）上遞減. （II）則上單調(diào)遞增，又存在唯一實根a，且滿足當故正整數(shù)k的最大值是3 .（）由（）知令，則ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+ln1+n(n+1)（1+1×2）（1+2×3）1+n（n+1）>e2n3 9. (分離常數(shù)，雙參，較難)已知

7、函數(shù)，.（）若函數(shù)依次在處取到極值求的取值范圍；若，求的值（）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立求正整數(shù)的最大值解：（1）.（2）不等式 ，即，即.轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。設，則。設，則，因為，有。故在區(qū)間上是減函數(shù)。又故存在，使得。當時，有，當時，有。從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減。又所以當時，恒有；當時，恒有；故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.10. （2008湖南理22，分離常數(shù)，復合的超范圍）已知函數(shù) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求a的最大值.（分離常數(shù)）解: 函數(shù)的定義域是，設則令則當

8、時， 在（1，0）上為增函數(shù)，當x0時，在上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).于是當時，當x0時，所以，當時，在（1，0）上為增函數(shù).當x0時，在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.不等式等價于不等式由知，0，上式變形得設，則則由結論知，（）即所以于是G(x)在上為減函數(shù).故函數(shù)在上的最小值為所以a的最大值為11. （變形，分離常數(shù)）已知函數(shù)(a為實常數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在(1,+)上是增函數(shù)； (2)求函數(shù)在1,e上的最小值及相應的值；(3)若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：當時，當，故函數(shù)在上

9、是增函數(shù)，當，若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時若，當時,；當時，此時是減函數(shù)；當時，此時是增函數(shù)故若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時不等式，可化為, 且等號不能同時取，所以，即，因而（）令（），又，當時，從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是12. （分離常數(shù)，轉(zhuǎn)換變量，有技巧）設函數(shù).若函數(shù)在處與直線相切：求實數(shù)的值；求函數(shù)在上的最大值；當時，若不等式對所有的都成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）。函數(shù)在處與直線相切解得.當時，令得；令，得，上單調(diào)遞增，在1，e上單調(diào)遞減，. （2）當b=0時，若不等式對

10、所有的都成立，則對所有的都成立，即對所有的都成立，令為一次函數(shù)， .上單調(diào)遞增，對所有的都成立.（注：也可令所有的都成立，分類討論得對所有的都成立，請根據(jù)過程酌情給分）恒成立之討論字母范圍13. 設函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的極值點,求a的值；()當 a=1時,設P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x1>0,x2>0), 且PQ/x軸,求P、Q兩點間的最短距離；():若x0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍解：()F(x)= ex+sinxax,.因為x=0是F

11、(x)的極值點,所以. 又當a=2時,若x<0, ;若 x>0, .x=0是F(x)的極小值點, a=2符合題意. () a=1, 且PQ/x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當x>0時恒成立.x0,+時,h(x)的最小值為h(0)=1.|PQ|min=1. ()令則.因為當x0時恒成立, 所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增, S(x)S(0)=0當x0,+時恒成立; 因此函數(shù)在上單調(diào)遞增, 當x0,+時恒成立.當a2時,在0,+單調(diào)遞增,即.故a2時F(x)F(x)恒成立. 14. （用到二階導數(shù)，二次）設函數(shù).若，求的最小值；若當時，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）時，.當

12、時，；當時，.所以在上單調(diào)減小，在上單調(diào)增加故的最小值為（2），當時，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，而，于是當時， .當時，由得當時，所以在上遞減，而，于是當時，所以在上遞減，而，所以當時，.綜上得的取值范圍為.15. (第3問設計很好，2問是單獨的，可以拿掉)已知函數(shù)，斜率為的直線與相切于點.（）求的單調(diào)區(qū)間；（）當實數(shù)時，討論的極值點。（）證明：.解：（）由題意知：2分解得：； 解得：所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減4分（）=得：. 若即，+-+極大值極小值此時的極小值點為，極大值點7分 若即，則， 在上單調(diào)遞增，無極值點. 若即，+-+極大值極小值此時的極大值點為，極小值點.綜上述

13、：當時，的極小值點為，極大值點；當時，無極值點；當時，的極大值點為，極小值點.16. （2011全國I文21，恒成立，一次，提出一部分再處理的技巧）設函數(shù).若a =，求的單調(diào)區(qū)間；若當0時0，求a的取值范圍.解：時，.當時;當時，;當時，.故在，單調(diào)增加，在(1，0)單調(diào)減少.令，則.若，則當時，為減函數(shù)，而，從而當x0時0，即0，符合題意.若，則當時，為減函數(shù)，而，從而當時0，即0,不合題意. 綜合得的取值范圍為17. （2011全國新理21，恒成立，反比例，提出公因式再處理的技巧，本題的創(chuàng)新之處是將一般的過定點（0,0）變?yōu)檫^定點（1,0），如果第2問范圍變?yōu)閯t更間單）已知函數(shù)在點處的切線

14、方程為.求、的值；如果當，且時，求的取值范圍。解：，依意意且，即，解得，.由知，所以.設，則.（注意h(x)恒過點(1,0)，由上面求導的表達式發(fā)現(xiàn)討論點0和1）當，由，（變形難想，法二）當時，.而，故當時，可得；當x(1,+)時，<0，可得>0,從而當x>0,且x1時，(+)>0，即>+.法二：的分子0，. 當0< k <1，由于當x(1,)時，(k1)(x2 +1)+2x>0,故>0,而=0，故當x(1,)時，>0，可得<0,不合題意.當k1，此時>0，則x(1，+)時，遞增，<0,不合題意. 綜上，k的取值范圍

15、為(,018. （2010新課程理21，恒成立，討論，二次，用到結論）設函數(shù).若，求的單調(diào)區(qū)間；若當時，求的取值范圍. 解：命題意圖：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應的運算能力.時，.當時，；當時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.當時，由結論知，則，故，從而當，即時，而，于是當時，符合題意.時，由可得.（太難想，法二），故當時,，而，于是當時,.綜合得的取值范圍為.法二：設,則,令，得.當，在此區(qū)間上是增函數(shù)，在此區(qū)間上遞增，不合題意.19. （恒成立，2010全國卷2理數(shù)，利用結論，較難的變形討論）設函數(shù)證明：當時，

16、；設當時，求a的取值范圍解：本題主要考查導數(shù)的應用和利用導數(shù)證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.【點評】導數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.估計以后對導數(shù)的考查力度不會減弱。作為壓軸題，主要是涉及利用導數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點之所在.20. 已知函數(shù)，且函數(shù)是上的增函數(shù)。（1）求的取值范圍；（2）若對任意的，都有（e是自然對數(shù)的底），求滿足條件的最大整數(shù)的值。解析：（1）設，所以，得到

17、所以的取值范圍為2分（2）令，因為是上的增函數(shù)，且，所以是上的增函數(shù)。4分由條件得到（兩邊取自然對數(shù)），猜測最大整數(shù)，現(xiàn)在證明對任意恒成立。6分等價于，8分設，當時，當時，所以對任意的都有，即對任意恒成立，所以整數(shù)的最大值為214分21. （2008山東卷21）已知函數(shù)其中nN*,a為常數(shù).當n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；當a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n,當x2時，有f(x)x1.解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域為x|x1，當n=2時， 所以當a0時，由f(x)=0得1，1，此時=.當x（1，x1）時，0,f(x)單調(diào)遞減；當x（x1+）時，0, f(x)單調(diào)遞增.當a0時，0恒成立，所以

18、f(x)無極值.綜上所述，n=2時，當a0時，f(x)在處取得極小值，極小值為當a0時，f(x)無極值.證法一：因為a=1,所以 當n為偶數(shù)時，令則）=1+0（x2）.所以當x2,+時，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0，因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x1成立.當n為奇數(shù)時，要證x1,由于0，所以只需證ln(x1) x1, 令h(x)=x1ln(x1),則=10(x2), 所以,當x2，+時，單調(diào)遞增，又h(2)=10， 所以當x2時，恒有h(x)0,即ln(x1)x1命題成立.綜上所述，結論成立.證法二：當a=1時，當x2，時，對任意的正整數(shù)n，恒有1，故只需證明1+ln(x1) x1

19、.令則當x2時，0，故h(x)在上單調(diào)遞增，因此，當x2時，h(x)h(2)=0，即1+ln(x1) x1成立.故當x2時，有x1.即f（x）x1.22. 已知函數(shù)，（）若，求的單調(diào)區(qū)間；（）對于任意的，比較與的大小，并說明理由解：（），-1分當時，在上恒成立，的遞增區(qū)間為；-2分當時，的遞增區(qū)間為；-3分 當時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；-4分（）令，令，在上恒成立，當時，成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，恒成立，當時，恒成立， 對于任意的時，又，即23. （恒成立，思路不常見）已知函數(shù)，其中為實數(shù) (1)當時，求曲線在點處的切線方程； (2)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立?若不存在，

20、請說明理由，若存在，求出的值并加以證明解：時，又，所以切線方程為.當時，則令，再令，當時，在上遞減，當時，所以在上遞增，所以時，則由知當時，在上遞增當時，所以在上遞增，；由得.24. 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設（）求的值；（）不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍；（）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的范圍解:（）(1) 當時，上為增函數(shù) 故 當上為減函數(shù)故 即. .（）方程化為，令， 記 （）方程化為，令， 則方程化為 （）方程有三個不同的實數(shù)解，由的圖像知，有兩個根、， 且 或 ， 記則 或 25. 已知函數(shù)， 設 （1）是否存在唯一實數(shù)，使得，若存在，求正整數(shù)m的值；若不存在，說明

21、理由。（2）當時，恒成立，求正整數(shù)n的最大值。解：（1）由得 則因此在內(nèi)單調(diào)遞增。4分因為，即存在唯一的根，于是 6分（2）由得，且恒成立，由第（1）題知存在唯一的實數(shù)，使得，且當時，；當時，因此當時，取得最小值 9分由，得 即 于是 又由，得，從而，故正整數(shù)n的最大值為3。12分26. (第3問難想)已知函數(shù)，其中是自然數(shù)的底數(shù)，。（） 當時，解不等式；（） 若在，上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（） 當時，求整數(shù)的所有值，使方程在，上有解。因為，所以不等式即為，又因為，所以不等式可化為，所以不等式的解集為4分，當時，在上恒成立，當且僅當時取等號，故符合要求；6分當時，令，因為，所以有兩個不相

22、等的實數(shù)根，不妨設，因此有極大值又有極小值若，因為，所以在內(nèi)有極值點，故在上不單調(diào)8分若，可知，因為的圖象開口向下，要使在上單調(diào)，因為，必須滿足即所以.綜上可知，的取值范圍是10分當時, 方程即為，由于，所以不是方程的解，所以原方程等價于，令，因為對于恒成立，所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，13分又，所以方程有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間和上，所以整數(shù)的所有值為16分27. （2010湖南文數(shù)，另類區(qū)間）已知函數(shù)其中a<0,且a-1.（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）設函數(shù)（e是自然數(shù)的底數(shù)）。是否存在a，使在a,a上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。79.（2008遼寧理22，

23、第2問無從下手，思路太難想）設函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值;是否存在實數(shù),使得關于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說明理由.說明：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力滿分14分解：故當時，時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減由此知在的極大值為，沒有極小值當時，由于，故關于的不等式的解集為當時，由知，其中為正整數(shù)，且有又時，且取整數(shù)滿足，且，則，即當時，關于的不等式的解集不是綜合知，存在，使得關于的不等式的解集為，且的取值范圍為81.已知函數(shù)，記（）求的單調(diào)區(qū)間；（）當時，若，比較：與的大??；（）若的極值為，問是否存在實

24、數(shù)，使方程有四個不同實數(shù)根？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由。解：（）的定義域為（0，+）， 又 ， 當時，>0恒成立在（0，+）上單調(diào)遞增； 令得當時，若， 在（0，）上單調(diào)遞減；若，在（，+）上單調(diào)遞增 故時，增區(qū)間為；時，增區(qū)間為，減區(qū)間為（0，）。 4分（）令，則，所以在1，+）上單調(diào)遞增，.（）由（）知僅當時，在處取得極值由可得，方程為，令，得 由方程有四個不同的根，得方程有兩個不同的正根，令，當直線與曲線相切時，得切點坐標（，） 切線方程為，其在y軸上截距為；當直線在軸上截距時，和在y軸右側(cè)有兩個不同交點，所以k的取值范圍為（，0）. （注：也可用導數(shù)求解） 六、導數(shù)應用題82.某工廠生產(chǎn)某種兒童玩具，每件玩具的成本為30元，并且每件玩具的加工費為t元(其中t為常數(shù)，且2t5)，設該工廠每件玩具的出廠價為x元(35x41)，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例，當每件玩具的出廠價為40元時，日銷售量為10件