傅里葉級(jí)數(shù)課程及習(xí)題講解

1、由于sinnX1 sin nxdx1 cosnx dx 0sin mx, sin nx.cosmx, cosnxsin mx, cosnxsin mx sin nxd xm n cosmx cos nxd x0 m n .sin mx cosnxd x 0第15章傅里葉級(jí)數(shù)§ 15.1 里葉級(jí)數(shù)一基本內(nèi)容一、傅里葉級(jí)數(shù)f (x) anXn在哥級(jí)數(shù)討論中n 1，可視為f(X)經(jīng)函數(shù)系1, X, X2, L , xn, L線性表出而得.不妨稱1,x,X2, 0 m nUn(X),Um(X)如果0 m n ,則稱函數(shù)系Un(X)：X a, 0 n 1,2,L為正交系. ,XL 為基，則不同

2、的基就有不同的級(jí)數(shù).今用三角函數(shù) 系作為基，就得到 傅里葉級(jí)數(shù).1三角函數(shù)系函數(shù)列1, coSX, sinX, 8s2K sin 2x, l , c0snX, sinnX, L 稱為三角函數(shù)系.其有下 面兩個(gè)重要性質(zhì).(1)周期性每一個(gè)函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù)；(2)正交性 任意兩個(gè)不同函數(shù)的積在,上的積分等于零，任意一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分不等于零.對(duì)于一個(gè)在,可積的函數(shù)系un(x): x a, b, n 1,2,L,定義兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積u Un(X),Um(X).Un(x) Um( X)d X為' ' a ,1, 112dx 2所以三角函數(shù)系在上具有正交性,故稱為正交系.

3、利用三角函數(shù)系構(gòu)成的級(jí)數(shù)an cosnx bn sin nx稱為三角級(jí)數(shù)，其中a0,a1，n,L ,an,bn,L為常數(shù)2以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)定義1設(shè)函數(shù)f(x)在 ，上可積,ak1.1一 :f(x),coskx -f(x)C0Skxdxk 0,1,2,L ;bk1一f (x),sin kx1 f (x)sin kxd x k 1,2,L ,稱為函數(shù)f (x)的傅里葉系數(shù)，而三角級(jí)數(shù)一 an cosnx bn sin nx2 n 1稱為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)，記作ao-an cosnx bn sin nxf (x)2 n 1.這里之所以不用等號(hào)，是因?yàn)楹瘮?shù)f(x)按定義1所得系數(shù)而獲得的傅里葉

4、級(jí)數(shù)并不知其是否收斂于f(x).二、傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理定理1若以2為周期的函數(shù)f(x)在,上按段光滑，則aoan cosnx bn sin nxf(x 0) f (x 0)其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù).定義2如果f (x) Ca，b,則稱f(x)在a，b上光滑.若a，b)，f(x 0), f (x 0)存在;x (a，b，f(x 0), f (x 0)存在,且至多存在有限個(gè)點(diǎn)的左、右極限不相等，則稱f(x)在a，b上按段光滑.幾何解釋如圖.按段光滑函數(shù)圖象是由有限條 光滑曲線段組成，它至多有有限個(gè) 第一類間斷點(diǎn)與角點(diǎn).推論如果f(x)是以2 為周期的連0向數(shù)，且在一"x 上按

5、段光滑，則 x R,f (x) 一an cosnx bnsin nx有2 n 1定義3設(shè)f(x)在(，上有定義，函數(shù)?(x)f(x)f(x 2k )x (，x (2k，2k，k1, 2，L稱f (x)為的周期延拓.習(xí)題解答1在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù) f(x) x, (i) x , (ii) 0x2其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得1一、，1, ca0 f (x)d x xdx 0xcosnxdx nxd(sin nx)1 an當(dāng)n 1時(shí)，bnxsinnxdxxsin nx|xd(cosnx)sin nxdx 01,1n 1 2xcosnx|cosnxdx ( 1)nn

6、n所以f(x) 2 (n 1n 1 sinnxn , x (ii)、)為所求.f(x)=x, x (0,2 )作周期延拓的圖象如下.其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得1212a0 一 ° f (x)d x 一 0 xdx 2當(dāng)n 1時(shí),an12 1一 xcosnxdx0xd(sin nx)sin nxdxbn2° xd(cosnx)所以1xcosnx nf(x)2Iosin nxcosnxdx G n ,（0,2）為所求.f (x) =(i)<<x<為(2)由系數(shù)公式得(ii) 0Vx < 2 n.a。,1f(x)dx 1時(shí),x2cosn

7、xdx n2x d(sinnx)bn所以12x nsin nx|2xsin nxdx22 nxd(cos nx)xcosnx|x2sin nxd x2 cosnx|xd(sin nx)-2-xsinnx| nf(x)cosnxdx (x2 d(cosnx)xcosnxdxsin nxdx 01n sin nxI) 2n , X (1)nAn ,）為所求.n解:1其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得f (x)d xdx 82當(dāng)n 1時(shí),x2 cosnxdx2 ,x d(sin nx)12 .,212c. .x sin nx| 2xsin nxd xn0 n 022 nxd(cosnx)

8、2xcosnx| 04 cosnxd x n ,sin nxdxx2 d(cos nx)1x n2cosnx | 0xcosnxdxxd(sin nx)2xsin nx |。2sin nxd x0所以f(x)cosnxsin nxx (0,2 )為所求.f(x)axbx(ab,a0,b 0)其按段光滑，故可展開為傅里葉颯.(）作周期延拓的圖象如下.1 f(x)dx 01axd x 一0 bxdx(b a)2函數(shù)f(x) , x由系數(shù)公式得1時(shí),ax2 cosnxdx0 bxeosnxdx1n a b 1)- nbnaxsin nxd xbxsin nxdxf(x) 所以(b a) 2(b a)

9、i(2n(ab) ( 1)nn 11)2cos(2n1)x1 sin nxn）為所求.2設(shè)f是以2為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)c ,有1 c 2 一、,1an f (x)cos nxdx f (x)cos nxdx,n 0,1,2,L c ,1 c 21bn c f (x)sin nxd x f (x)sin nxdx,n 1,2,L證：因?yàn)閒(x), sin nx , cosnx都是以2為周期的可積函數(shù)，所以令11一c f (x)cosnxdx c 2 f (t 2 )cosn(t 2 )d(t 2 )1c+21c+2f (t)cosntdtf (x)cosnxdx1 c 2anf (x

10、)cosnxdx從而c 一1 c 21an c f (x)cosnxdx c f (x)cosnxdx11c+2f (x)cosnxdxf (x)cosnxdx1 f (x)cos nxdx同理可得1 c 21f (x)sin nxdxbn c f (x)sin nxd x 一f(x)0 x3 把函數(shù)4展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并由它推出（1）(2)36111113117111131171 y1>132.O23 x?0O）作周期延拓的圖象如下.解：函數(shù)f (x) , x (其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù). 由系數(shù)公式得a01f(x)d x01dx dx40 41時(shí),cosnxdx 4cosnx

11、dx 00 4sin nxd x 4 sin nxd x0 412k2kf(x)故1 sin(2n m2n 11)x,0) U (0,)為所求.(2)121211115-1 L21,113117x(3)取招所以632111113-1 L 174設(shè)函數(shù)111317"川滿足條件f(xf(x),問此函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有什么特性.解：因?yàn)閒(x)滿足條件所以 f(x 2 ) f (xf (xf(x),f(x),即f(x)是以2為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得a。1 f(x)d x 一f(x)d x10 f(x)dx0 f (x)dxf(t2 )dt1一 0 f(x)dx1,1,0f(t )

12、dt 0 f3dx 0當(dāng)n 1時(shí)，1 0 一、,1 一、 ,an 一 f(x)cosnxdx 。f(x)cosnxdx10 f (t )cos(nx、，1 一、 ,)d x 一 0 f (x)cos nxdx1 ( 1)n 1一、 ,0 f (x)cosnxdx2 一、，一 0 f (x)cosnxdxn 2k 1n 2k.1 0 1bn - f (x)sin nxdx - o f (x)sin nxdx一 ° f (x)sin nxdx n 2k 10n 2k內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是故當(dāng)f(x) f(x)時(shí)，函數(shù)f(x)在b2k0.5設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：f(x ) f(x),問此

13、函數(shù)在 ，內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有 什么特性.解：因?yàn)閒(x)滿足條件f(x ) f(x),所以f(x 2 ) f(x ) f(x),即f(x)是以2為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得1,10 ,1,a0f (x)d x f (x)d x 一 ° f (x)d x1 10 f (t )dt 0 f(x)dx1 ,1,-0 f (t 2 )dt 0 f(x)dx1 12o f (t )d t o f (x)d x o f (x)d x當(dāng)n 1時(shí)，1 01an - f (x)cosnxdx 一 0 f (x)cosnxd x1一 0 f (t)cos(nx n)d x1一 0 f (x)cosnx

14、dx1 ( 1)n0 f (x)cosnxd xf (x)cosnxdxn 2k2k 1bnf (x)sin nxdxf (x)sin nxdx故當(dāng)f(xb2k10o f (x)sin nxdxf (x)時(shí)，函數(shù)6試證函數(shù)系他們合起來的卻不是2k2k 1f(x)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是a2k 10 ,cosnx, n 0,1,2,L和sinnx n 1,2,L都是0，上的正交函數(shù)系，但0,上的正交函數(shù)系.證：就函數(shù)系1, cosx, cos2x, L , cosnx, L,1,1 dx因?yàn)?n, ' ''0,cosnx,cos nx)° cos1 2 nxdx

15、° (cos2 nx1)d x 一2 ,1,cosnx. cosnxd x 0又''0;m, n, m n 時(shí),cosmx,cosnx.0 cosmxcosnxdx11-0 cos(m n)xdx -所以1, cosx, cos2x, L ,0 cos(m n)xdx就函數(shù)系sin x,sin 2x, Lcosnx, L 在0, ,sin nx, L 上是正交系.sin nx,sin nx2sin nxd x01-0 (1 cos2nx)d x n時(shí),sin mx,sin nxsin mxsin nxd x01-0 cos(m實(shí)因:1,sinx ° sin

16、xdx 1 07求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式f(x) f (x) 解：x,0x作周期延拓的圖象如下.x4其按段光滑，故可展開為傅里葉級(jí)數(shù). 由系數(shù)公式得2y y32a0f (x)d xxdx21時(shí),1 * 20xcosnxd x2xd(sin nx)x2n2sin nx|o12n2sin nxdx 002x0x-d(cosnx)所以(2)解:2nf(x)x一 cosnx|f(x)sinnx2ncosnxdx（0，2 ）為所求.n,f(x)故可展開為傅里葉級(jí)數(shù).1 cosx,其按段光滑,f(x)1 cosx2sin2x2sin-2因?yàn)樗杂上禂?shù)公式得f(x)d x1a。sin xdx2sin -

17、d x02當(dāng)n 1時(shí),an,2.x .sin-cosnxdx222.x .sin cosnx dx 22. xsin -cosnxd x024/2(4n2 1)xsin -sin nxdx2,2 x sin-sin nxdx 02f (x) 所以2 2 4.2_14n2-cosnx 1f(x)故時(shí)，2 2f( 0)24.2f (x) ax2bx解:(i)由系數(shù)公式得f(0)f(),aof (x)d/ 2(axbx1時(shí),/ 2(axbx2(axbn(ii)a。4a-2n2(ax(ax22f (x) ax1 n 1 4n2c, (i) 0c)d x一 cosnx 18 2a3c)cos nxd x

18、2bx c)sin nx| obxbxbx由系數(shù)公式得1,f(x)d x當(dāng)n 1時(shí),，為所求.,(ii)2b2c(2axc)sin nxdx2c)cos nx 104 2a31(ax2b)sin nxdx20 (2ax4acosnxn 1 nbx c)d xb)cos nxdx4 a 2b .sin nx, x (0,2 n2-2c)為所求.an1/2一 (ax bx c)cos nx d x (ax2 bx nc)sin nx|(2ax b)sinnxdxbn(1)4a-2n ,/ 2(ax(ax2bxbxc)sin nxd xc)cos nx |(2 ax b)cos nxdx(1)nf(

19、x)(4)解：aoan所以bn1 2b2axbx2 2a3(1)n4an 2b.,2 cosnx ( 1) sin nx, x ()為所求.f (x) ch x, 由系數(shù)公式得1,f(x)d x1時(shí)，- ch xcosnxdxch xsin nx|1sh xd(cosnx) nshxcosnx|(1)n 2sh萬 nch xdx -shsh xsin nxdxan1)n2sh(n2 1)chxsin nxdxchxcosnx|ch xcosnxd xchxd(cosnx)shxcosnxdxshxd(sin nx)shxsin nx|-1nchxsinnxdxshxsin nx|chxsinn

20、xdx所以bn0,f(x)故chx2sh1)n -2 cos nxn 1,)為所求.解：f (x) sh x,由系數(shù)公式得a0f(x)d xbn所以sh xdx 01an 1時(shí)，shxcosnxdx 0bnshxsin nxdx shxd(cosnx)1shxcosnxchxcosnxd x1)n1)n1)nf(x)故2sh nZsh n2sh n1)nshx8求函數(shù)chxd(sin nx)3 ch xsinnx| n1 bn n1 2nshx(n21)1)n2nsh2sin nx(n2 1)f(x)一(3x2 6x2122)122shxsin nxdx,)為所求.的傅里葉級(jí)數(shù)展開式并應(yīng)用它推

21、出足 f(x)解：由ax2 bx c /4acosnx n4 a 2b . sin nx, nx (0,212f(x) -(3x6 x1212 cosnxn 1 n2y(0,2 )1 cosnxn 1 n而 f(。0) f(20)故由收斂定理得f (0 0) f (20)21-cos01 n設(shè)f (x)為上光滑函數(shù)，f( )f() ,且*bn為f(x)的傅里葉系數(shù),an ,bn為 f(x)f (x)傅里葉系0,an n*, bnna (n 1,2,L ).證：因?yàn)閒(x)為由系數(shù)公式得1上光滑函數(shù)，所以(x)為上的連續(xù)函數(shù)，故可積.f (x)d x1-f( ) f()當(dāng)n 1時(shí),1 bn1an

22、 .f (x)cos nxdx1 一、,一 f(x)cos nx|f (x)sin nxdx1 , f (x)sinnx|故結(jié)論成立.a。f(x)sin nxdxf(x)cos nxd xnbnnan10 證明：sup n3an , n3bn n(an cosnx bn sin nx)中的系數(shù)an,bn滿足關(guān)系M為常數(shù)，則上述三角級(jí)數(shù)收斂，且其和函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).Uo(x)證：設(shè)a。Un(x) an cosnx bn sin nx , n 1,2,L .0, Un(x)在R上連續(xù)，且Uo(x)0Un(x)RUn(x)nansinnx nbn cosnx亦在 R上連續(xù). n an sin n

23、x n bn cosnxn an n bn2M-2 n .2M2n收斂,所以Un(X)nbn cos nx nan sin nx在R上一致收斂.s(x)故設(shè)(an cosnx1bn sin nx),則s (x)( nan cosnx nbn sin nx)un (x)n 1n 1s(x)且nan cosnxnbn sin nx)在R上連續(xù).§ 15. 2以21為周期的函數(shù)的展開基本內(nèi)容一、以21為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1t x 一設(shè)f(x)是以21為周期的函數(shù)，作替換，則F(t)f "是以2為周期的函數(shù)，且f (x)在(1，1)上可積F(t)在(，)上可積.其中從而其中F(

24、t):a0ancosnt bn sin ntn 1F (t)cosntdt, bnF (t)sin ntdtF(t)Itf(x)n xsin nt sin,cosnt1n x cos1f(x): a0an cosn xT-n xbn sin1ann x f (x)cos j dx,bn1n x f (x)sin dx上式就是以21為周期的函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù).在按段光滑的條件下，亦有f(x 0) f(x 0) a022n xan8s 丁n 11bn sin其只含余弦項(xiàng)，故稱為 余弦級(jí)數(shù).同理，設(shè)f(x)是以21為周期的奇函數(shù)，則f (x)cosnx 奇，f(x)sin nx 偶anln x

25、 f (x)cos d x12ii要展開為余弦級(jí)數(shù)必須作偶延拓.n xn x日飲x)% f(x) x (0,l) 偶延拓f( x) x ( l,0),函數(shù)f(x),x (0,l)要展開為正弦級(jí)數(shù)必須作奇延拓.奇延拓f(x) x (0,l)f( x) x ( l,0)習(xí)題解答1求下列周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式f(x) 8sx (周期).解:由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又 f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦a。l 2 cosx dx24 2cosxdx 40當(dāng)n 1時(shí),02cosxcos2nxdx02cos(2n 1)x cos(2n1)xd x)為所求.(2) f(x) x x

26、(周期 1);1 1由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù).1 1sin(2n 1)x| 2 sin(2n 1)x| 2(2n 1)0(2n 1)0(1)n 2( 1)n 1 2 / 八一 4( )(2n 1)(2n 1)(4n2 1)2bn一 cosxsinnxdx 02f (x) cosx ( 1)n 11cos2 nx故n1 4n 1,x (l因 2,所以由系數(shù)公式得111a0 2 21 x x dx 2 x x dx 2 xdx 12當(dāng)n 1時(shí),an12 22 1 x2x cos2n xdx12 0 x x cos2n xdxbn12 xcos2n0-xsin2n nxdx1x|

27、010 xd(sin2n x)1sin2n xdx 0012 21 x x sin 2n xdx212 xsin2n xd x0xd(cos2 n x)n 01,11xcos2n x|n|0 n1cos2n xdx0111f (x) x x 一 一 -sin 2n x故2 n 1 n, x ()為所求. f(x) Sin4x(周期)；4解：函數(shù)f(x) sin x2 2延拓后的函數(shù)如下圖.由于yf(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f (x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦2 ,所以由系數(shù)公式得ao244sin xdx 一22 - 4412sin xd x - * 2 - 002cos2x d

28、x21 八-cos2x21cos4x 81時(shí),an1 c cos2x2-cos4x 8cos2nxd x1,ncosx sin nxd x 0_4f (x) sin x1 -cos2x 21一 cos4x /8, x ()為所求.(4)解:f (x) sgn(cosx)(周期 函數(shù) f(x) sgn(cosx),).(，)延拓后的函數(shù)如下圖.由于ao, an1時(shí),o sgn(cosx)cosnxdx02 cosnxdx2 _cosnxdx24sinnn 2kbn4sinnf(x)k 4(1) n(2 k 1)sgn(cosx)sin nxdx 0sgn(cosx)求函數(shù)2k1)ncos(2n2

29、n 11)x).f(x)23的傅里葉級(jí)數(shù)并討論其收斂性.解：函數(shù)f(x),x (0,3)延拓后的函數(shù)如下圖.f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又由于f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦32,所以由系數(shù)公式得a。2 3-0 f(x)d x 31時(shí)，1xdx02dx132(3x)d x1 2nxcos一x一 dx2cos12n xI332(3x)cos2nx-dx1xd0.2n x sin一1 .sin n2n1 . 2n一sin -n 30sin32(3 x)d2n x sin31 4nx 一sin -1 .一sin n4n332- cos2n2 23 n1 . 2n 一sin -n 31

30、2n x3c 222n2n cos一3c 222n32n2 2cos2n3-(3 n32n2 2-2n x x)sin33sin-x1 4nsin -2n x2- cos2n34n cos-33bnf (x)2n2 cos3 n2 2f (x)sin nxdx12 n1cos n2n2n x cos3 , x ()為所求.f (x) 將函數(shù)23由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù),x在0,上展開成余弦級(jí)數(shù).又 f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦由系數(shù)公式得a0anbn1時(shí),dx x 2cosnxdx2n 242 n0sin nxsin nxdx02 cos nx nf(x) af (x

31、) 將函數(shù)2k2k1 2 cos(2n 1)x, n 1(2n 1)2x 0,cosx解:2在0，上展開成正弦級(jí)數(shù).故其展開式為正弦由系數(shù)公式得an °，n0,1,2,L由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又 f(x)是奇函數(shù),2x .cos-sin nxdx2sinsinx dxcos1x22cos12r28n(4n2 1)f(x)故在0，上x cos一2n2sin nx14n 1 為所求.f(x)5把函數(shù)由于在(0, 4)上展開成余弦級(jí)數(shù).解:f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù),故其展開式為余弦,所以由系數(shù)公式得a。40 f(x)d20(1x)

32、d x42(x3)d x1時(shí),an40 f (x)cosn x dx42一(1 nx)sin2sin012n420(1x-d xx)cos42(xn x3)cosd x42(x nn3)sin 4 n x sind x24n x cos4n x cos4f (x) 所以6把函數(shù)4kn2cosf(x)1)n162 n4k2 cos1(2n 1)2(2n1) x2為所求.在(0, 1)上展開成余弦級(jí)數(shù)，并推出c ,11.6 12 - L2232解:函數(shù)f(x),x (0，1)延拓為以2為周期的函數(shù)如下圖.由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦4 ,所以由

33、系數(shù)公式得ao12 0 f(x)d x122 0(x 1)2dxa1時(shí)，n10(x1)2 cosnxdx10 (x 1)sin n xdx1cosn xdx0bn(x所以1)21 2-cosnx,x 0,122(x 1)2sinn n2(x 1)cos n n1-2n 1 n ，即7求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式 f(x)arcsin(sin x).解：函數(shù)f(x) a9sin(sinx)是以2為周期的函數(shù)如下圖.由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是奇函數(shù)，故其展開式為正弦由系數(shù)公式得0, n 0,1,2,L0 arcsin(sinx)sin nxdx2 xsinnxdxo

34、2( x)sin nxdx22xcosnx n02 cosnxdx02 cosnxdx42 n2kn sin 一所以(2)由于(1)kf(x)x)cos nx2 cosnxd x, n 122k 1.，. 、4arcsin(sin x)一(1)nsin(2n1 (2n 1)21)x,x Rnf(x)arcsin(cosx)解:f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦由系數(shù)公式得2a0arcsin(cosx)d x 00 ,當(dāng)n 1時(shí),0 arcsin(cosx)cos nxdx - 0 - x cosnxd x2sin nx n2 sin nxd xn 0

35、0n 2k-4- n 2k 1nbn 0, n 1,2,L .，、 41f(x) arcsin(cosx) -5 cos(2n 1)x所以n 1(2n 1), X R .0,-8試問如何把定義在上的可積函數(shù)f(x)延拓到區(qū)間，內(nèi)，使他們的傅里葉級(jí)數(shù)為如下的形式a2 n 1cos(2n 1)xb2nlsin(2n 1)x(1) n 1；(2) n 1解：(1)先把f(x)延拓到0,上，方法如下：f (x)0 x -2f(x)2f ( x) - x 2再把f(x)延拓到0，2 上,方法如下：?(x)f(x)0 x由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(2 x) x 2f(x)是偶函數(shù)，

36、故其展開式為余弦由系數(shù)公式得2a0- 0 f (x)d x 01 2bn - f (x)sin nxdx 0當(dāng)n 1時(shí)，02an 0 f (x)cos nxd x2 22 02 f (x)cosnxd x - _ f (x)cos nxdxo2 f (x)cosnxcos(nnx)d x402 , 02 f (x)sin nx sin(n f (x)cos nxdx n 2k 1n 2kf (x)a2n 1cos(2n 1)x x 0,所以nl2(2)先把f(x)延拓到0,上，方法如下.f(x)f(x)f( x)再把f (x)延拓到0,2上，方法如下.f(x)?(x)由于f(x)按段光滑,所以

37、可展開為傅里葉級(jí)數(shù)，又0 xf(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦由系數(shù)公式得a。- o f (x)d xo f (x)sin nxdxbn1 a - 當(dāng)n 1時(shí)，2-20 f (x)cosnxdx 0f (x)sin nxdx2nx)d x22 02 f (x)sin nxd x 一f (x)sin nxd x n2k 12kf (x) 所以b2nlsin(2n 1)xn 1x 0,-2§ 15. 3收斂定理的證明基本內(nèi)容一、貝塞爾(BesseD不等式定理1設(shè)f (x)在, 上可積，則b2 n_ 2f (x)d x2a02an2 n 1其中不,3為f(x'%lg里葉系數(shù).推論設(shè)

38、f (x)在,上可積，則推論定理Sn(x)lim n設(shè)f (x)在設(shè)以2a。f (x)cos nxd x,上可積，則limnlimn為周期的函數(shù)ak coskxsinf(x t)一0 f (x)sin0f (x)sinf(x)在bksin kx112 dtlimnf (x)sin nxd x 0xd x 0xdx 0】上可積，則2sin -2此稱為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的部分和的 積分表達(dá)式.二、收斂性定理的證明定理3 (收斂性定理)設(shè)以2為周期的函數(shù)f(x)在,上按段光滑，則limnf(x 0)2f(x 0)2定理4如果f(x)在, f(x 0)- Sn(x)0上有有限導(dǎo)數(shù)，或有有限的兩個(gè)單側(cè)

39、導(dǎo)數(shù)，則f(x 0)曳22an cosnx bn sin nx定理5如果f(x)在,按段單調(diào)，則f(x 0) f(x 0)a。2an cosnx bn sin nx習(xí)題解答1設(shè)f (x)以2 上一致收斂于f(x).為周期且具有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在(證：由題目設(shè)知f (x)與f (x)是以2為周期的函數(shù)，且光滑,a0 f(X)-故2(an cosnx bn sin nx)n 1f (x)-(an cosnx bn sin nx)2 n 11 ,1,a。 一f(x)dx -f() f()0且an當(dāng)n 1時(shí)，1，、， f (x)cos nxdx1 ，一 f (x)cos nx

40、|f (x)sin nxdx nbnbn-f (x)sin nxdx1，、.，f (x)sin nx|f (x)cos nxd xnananbnanb12anbn1 / 2 二(an 2bn2n由貝塞爾不等式得(an2n 1bn2)收斂,又1n 1 n收斂,邑從而2anbn收斂,a0(ancosnxbn sin nx)在()上一致收斂.f的傅里葉級(jí)數(shù)在2設(shè)f為 ，上可積函數(shù)，證明：若則成立貝塞爾(Parseval殍式 12f (x)d x這里an，bn為f的傅里葉系數(shù).a。 m。h ennSm an cosnx bn sin nx證：設(shè) 2 n 1因?yàn)閒 (x)的傅里葉級(jí)數(shù)在, 上一致收斂于f

41、(x),上一致收斂于2a022anbn1所以 0， N °,m N, x ， f(x) Sm”于是(f(x) Sm,f(x) Sm)2 ,而.f(x) Sm，f(x) Sm： ；f(x)，f(x)； 2 ；f(x),Srn：Sm，Sm；C2mC2mf2(x)dx 2 Ta2 b2哼a2 bn22 n 12 n 12 mf 即 8 n 1 (2n 1)(x)dx 年a2 b22n 1.所以m N時(shí)，22, .aom 2 .2f (x)d x an bn2 n 1aO2212 /an bn- f (x)d x故 2 n 13由于貝塞爾等式對(duì)于在,上滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù)也成立.請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)結(jié)果證明下列各式.2n 1 (2n1)2；(2)90f(x)解：1習(xí)題3得f(x)sin(2n2n 11)x ,x (,0)U(0,)由貝塞爾等式得22dx161""2"1 (2n 1)2 ,(2)取 f (x) x, x(,),f(x)由§ 1習(xí)題1 (1)得n