中線倍長(zhǎng)法及截長(zhǎng)補(bǔ)短經(jīng)典講義

1、圖4-1幾何證明中常用輔助線（一）中線倍長(zhǎng)法：例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。1已知：如圖， ABC中，AD 是 BC邊上的中線，求證：AD < - 2(AB+AC)小結(jié)：涉及三角形中線問題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的辦法，即中線倍長(zhǎng)法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊 AR AC和兩個(gè)角/ BAD和/ CAD集中于同一個(gè)三 角形中，以利于問題的獲解。例2、中線一倍輔助線作法方式1:延長(zhǎng)AD到E,使 DE=AD,連接BE方式2:間接倍長(zhǎng)方式3:傕CFL AD于F,作BEX AD的延長(zhǎng)線于連接BE延長(zhǎng)MD到N, 使DN=MD, 連接CD例3、 ABC中，AB=5, AC=3,求

2、中線 AD的取值范圍例4、已知在 ABC中，AB=AC, D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上,于 F,且 DF=EF 求證：BD=CE課堂練習(xí)： 已知CD=AB, / BDA=/ BAD, AE是4ABD的中線, 求證：/ C=Z BAE作業(yè):1、在四邊形 ABCD中，AB/ DC, E為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE=/ EAF, AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段 AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論2、已知：如圖， ABC中， C=90 , CM AB于M, AT平分 交CM于D,交BC于T,過D作DE3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC延長(zhǎng)BE

3、交AC于F, 求證：AF=EFC（二）截長(zhǎng)補(bǔ)短法教八年級(jí)上冊(cè)課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進(jìn)行直接證明的情形下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請(qǐng)看幾例.例1.已知，如圖1-1,在四邊形 ABCD中，BC>AB, AD=DC, BD平分 /ABC求證：/ BAD+/BCD=180分析：因?yàn)槠浇堑扔?80。，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺E少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn).證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

4、E,彳DF± BC于點(diǎn)F,如圖1-2 BD平分/ ABC,DE=DF,在 RtMDE 與 RtA CDF 中，DE DFAD CD RtAADE RtCDRHL）,，/ DAE=/DCF又/ BAD+/DAE=180° , . . / BAD+Z DCF=180° ,即/ BAD+Z BCD=180°例2.如圖 2-1, AD/ BC,點(diǎn) E在線段 AB上，/ ADE=/CDE / DCE=Z ECB求證：CD=AD+BC分析：結(jié)論是CD=AD+BC,可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在 CD上截取CF=CB, 只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明

5、兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問題的目的.證明：在CD上截取 CF=BC,如圖2-2在 FCE與 BCE中，CF CBFCE BCECE CE .FCW BCE (SAS ,./ 2=7 1.又AD/ BC, ./ ADC+Z BCD=180° ,/ DC&/CDE=90，/2+/3=90° , / 1 + 7 4=90° , .3=/4.在 FDE與 ADE中，F(xiàn)DE ADEDE DE34 .FDE ADE (ASA) ,DF=DA, CD=DF+CF,CD=AD+BC例3.已知，如圖 3-1 , / 1=/ 2, P 為 BN 上一點(diǎn)，且 PD

6、7; BC于點(diǎn) D, AB+BC=2BD.求證：/ BAP+Z BCP=180° .讓它們是鄰補(bǔ)角，即證分析：與例1相類似，證兩個(gè)角的和是 180。，可把它們移到一起, 明/ BCF=/EAP,因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造 .證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,如圖3-2 / 1=/2,且 PD± BC,PE=PD,在 RtABPE與 RtA BPD 中，PE PDBP BPE RtA BPE RtA BPD(HL),BE=BD. AB+BC=2BD,AB+BD+DC=BD+BE, . . AB+DC=BE 即DC=BE-AB=AE.PE PDPEA P

7、DCAE DC在 RtAAPE與 RtCPD中， RtAAPE RtACPD(SAS)/. / PAE=Z PCD又 / BAP+Z PAE=180° ,./ BAP+Z BCP=180例4.已知：如圖 4-1,在 4ABC中，/C= 2/B, /1 =求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化, 即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補(bǔ)短法）圖4-2延長(zhǎng)AC到E,使DC=CE則/ CD巳/ CED如圖4-2 / ACB= 2/ E, / ACB= 2/ B,Z B= Z E,在 ABDA AED中，1 2B EAD

8、AD. .AB4 AED （AAS） , . AB=AE圖4-3又 AE=AC+CE=AC+DC,AB=AC+DC 方法二（截長(zhǎng)法）在AB上截取 AF=AC,如圖4-3在 AFD與4ACD中，AF AC1 2AD AD.AF4 ACD （SAS ,- DF=DC, / AFD= ZACD.又 /ACB= 2/B,，/FDB=/B, . FD=FB AB=AF+FB=AC+FD, . . AB=AC+CD.上述兩種方法在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)常是互為補(bǔ)充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當(dāng)選擇合適思路 進(jìn)行分析。讓掌握學(xué)生掌握好 “截長(zhǎng)補(bǔ)短法”對(duì)于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫 助。作業(yè)：1、已知：如圖， AB

9、CD是正方形，/FAD=/FAE求證：BE+DF=AE2、五邊形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD, Z ABC+Z AED=180 °,求證：AD 平分/CDED（三）其它幾種常見的形式：1、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例1、如圖1:已知 AD為4ABC的中線，且/ 1 = /2,/3=/4,求證：BE+ CF> EF.2、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 2: AD為4ABC的中線，且/ 1 = /2, /3=/4,求證：BE+ CF>EF.練習(xí)：已知 ABC, AD是BC邊上的中線，

10、分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4,求證E已2AD。3、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖6:已知AC= BD, AD± AC于A ,求證：AD= BC4、連接四邊形的對(duì)角線，例如：如圖7: AB/ CD,5、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 8:在 RtA ABC 中，AB= AC, Z BAO 90° , /1 = /2, CH BD 的 延長(zhǎng)于E 。求證：BD= 2CE.6、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖9; AG BD相交于。點(diǎn)，且AB= DC,D.8、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 10: AB=

11、 DC, /A=/D 求證：/ ABO / DCB.截長(zhǎng)補(bǔ)短專題訓(xùn)練作業(yè):1、如圖，等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AB=DC, E為AD中點(diǎn)，連接 BE, CE (1)求證：BE=CE(2)若/ BEC=90,過點(diǎn)B作BF,CD,垂足為點(diǎn)F,交CE于點(diǎn)G,連接DG,求證：BG=DG+CDCDB2題圖2.如圖，DABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE, F為CD邊上一點(diǎn)，且滿足/ DFA=2/BAE.(1)若/D=105°, /DAF=35°.求 / FAE的度數(shù)；(2)求證：AF=CD+CF.3、如圖，直角梯形 ABCD中，AD/BC, Z B=90°, /

12、 D=45°.(1)若 AB=6cm,sinNBCA二。，求梯形ABCD的面積;5(2)若 E、F、G、H分別是梯形 ABCD的邊 AB、BC、CD DA 上一點(diǎn)，且滿足 EF=GH / EFH=/ FHG, 求證：HD=BE+BF4、如圖，梯形 ABCD中，AD/ BC,點(diǎn)E在BC上，AE=BE且 AU AB,連接 EF.(1)若 EH AF, AF=4, AB=6,求 AE 的長(zhǎng).(2)若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證： CE=B曰AD.5.在 ABCD中，對(duì)角線 BD BC , G為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且ABG為等邊三角形,BAD、CBD的平分線相交于點(diǎn)E,連接AE交BD于F ,連接GE.(1)若口 ABCD的面積為9百,(2)求證：AE BE GE.求AG的長(zhǎng);6.已知：如圖，在矩形 ABCD中，AP PC. PC交 AD于點(diǎn) N ,AC是對(duì)角線.點(diǎn)P為矩形外 連接DP ,過點(diǎn)P作PM(1)：若 AP.5, AB -BC,求矩形ABCD的面積;(2):若 CD3PM ,求證：AC AP PN.A市DN一點(diǎn)且滿足 AP PPD交AD于M .DP 交 DP7、如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，連接 D