切線與法平面

1、上一頁下一頁主 頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共33頁問題的提出問題的提出 偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點0M處的切線xTM0對x軸的斜率. 偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點0M處的切線yTM0對y軸的斜率. 我們可以利用偏導(dǎo)數(shù)來確定空間曲線的切向量和空間曲面的法向量現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共33頁yxFFxf)(切線方程為切線方程為 法線方程為法線方程為 的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理條件，則 一一. 平面曲線的切線與法線平面曲線的切線與法線現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共33頁求曲線上過點求曲線上過點 的切線方程，這里的切線方程，這里),(0000zyx

2、M 設(shè)曲線用參數(shù)方程表示為設(shè)曲線用參數(shù)方程表示為)(),(),(tzztyytxx)(),(),(000000tzztyytxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共33頁由于切線是割線的極限位置，從而考慮通過點由于切線是割線的極限位置，從而考慮通過點 和點和點 的割線方程的割線方程),(zyxM0M)()()()()()()()()(000000tztztzZtytytyYtxtxtxX在上式各端的分母都除以在上式各端的分母都除以0tt 000000000)()()()()()()()()(tttztztzZtttytytyYtttxtxtxX現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共33頁由于切線是割線的極限位置，在上式中令

3、由于切線是割線的極限位置，在上式中令 取極限，取極限，就得到曲線在點就得到曲線在點 的切線方程：的切線方程：0tt 0M)()()()()()(000000tztzZtytyYtxtxX)(),(),(000tztytx由此可見，曲線在點由此可見，曲線在點 的切線的一組方向數(shù)是的切線的一組方向數(shù)是0M現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共33頁曲線在點曲線在點 的法平面就是過的法平面就是過 點且與該點的切線垂直的點且與該點的切線垂直的平面，于是切線的方向數(shù)就是法平面的法方向數(shù)，從而過平面，于是切線的方向數(shù)就是法平面的法方向數(shù)，從而過點的法平面方程是點的法平面方程是0M0M0)()()(000000zZtzyY

4、tyxXtx 如果曲線的方程表示為如果曲線的方程表示為)(),(xzzxyy)(),(,xzzxyyxx可以把它寫成如下的以可以把它寫成如下的以 為參數(shù)的參數(shù)方程為參數(shù)的參數(shù)方程x于是可得曲線在點于是可得曲線在點 的切線方程和法平面方程如下：的切線方程和法平面方程如下：0M)()()()(100000 xzxzZxyxyYxX0)()()(00000zZxzyYxyxX現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共33頁 一般地，如果曲線表示為兩個曲面的一般地，如果曲線表示為兩個曲面的交線：交線：0),(0),(zyxGzyxF設(shè)設(shè) ，設(shè)上述方程組在點，設(shè)上述方程組在點 確定了一對函數(shù)確定了一對函數(shù)0),(),(0M

5、zyDGFD0M)(),(xzzxyy由這兩個方程可解出由這兩個方程可解出),(),(),(),(,),(),(),(),(zyDGFDyxDGFDdxdzzyDGFDxzDGFDdxdy這時容易把它化成剛才討論過的情形：這時容易把它化成剛才討論過的情形：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共33頁從而可得曲線在點 的切線方程：0M000),(),(),(),(),(),(000MMMyxDGFDzZxzDGFDyYzyDGFDxX和法平面方程0)(),(),()(),(),()(),(),(000000zZyxDGFDyYxzDGFDxXzyDGFDMMM現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共33頁解：解：2tt3z ,

6、2y , 1 ttxt 在（在（ 1 ，1 ，1 ）點對應(yīng)參數(shù)為）點對應(yīng)參數(shù)為 t = 1 3 , 2 , 1 T切線方程：切線方程：312211zyx法平面方程：法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 2 )+3( z - 1 )=0即：即： x + 2 y + 3 z = 8例例1 求曲線求曲線 在點在點 處的處的切線及法平面方程。切線及法平面方程。 3,2,tztytx) 1 , 2 , 1 (現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共33頁例例2、求曲線、求曲線 在點在點（ 1 ，-2 ，1）處的切線及法平面方程。）處的切線及法平面方程。0, 6222 zyxzyx1 ,0,163,0,32 22,

7、22,22 12 12, 12 12, 12 12 1,2,11,2,1yxxzzyTyxxzzyT即：解：法平面方程：法平面方程： x - z = 0 切線方程：切線方程：110211 zyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共33頁例 求曲線32,tztytx在點 的切線與法平面方程) 1, 1, 1 (解解23,2, 1tztyx在曲線方程中分別對 求導(dǎo)，得t對應(yīng)于點 的參數(shù) ，于是) 1, 1, 1 (1t3, 2, 1111tttzyx從而切線方程為312111zyx法平面方程為0) 1( 3) 1(21zyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共33頁ZYXO0MTZ例 求兩柱面222222,RzxRyx的

8、交線在點：2,2,2RRR處的切線方程?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共33頁解解222222,RzxRyx在方程組中分別對 求導(dǎo)數(shù)，得x022, 022dxdzzxdxdyyx于是zxdxdzyxdxdy,從而在點 有：2,2,2RRR1, 1dxdzdxdy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共33頁所以切線方程為：121212RzRyRx即)2()2(2RzRyRx此直線可看作是 平面與平面 的交線。Ryx2zy 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共33頁三 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面方程為0),(zyxF過曲面上點 任作一條在曲面上的曲線 ，設(shè)其方程為),(0000zyxMl0)()()()()()(tzFtyFtxF

9、zyx)(),(),(tzztyytxx顯然有0)(),(),(tztytxF在上式兩端對 求導(dǎo)，得tnTM現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共33頁),(),(),(0/0/0/tztytxT 曲線在M處的切向量nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共33頁0)()()()()()(000000tzFtyFtxFMzMyMx上式說明向量 與切線向量 正交。)( ,)( ,)(000MzMyMxFFFn)(),(),(000tztytx從而曲面在 點的切平面方程為0M由于 的任意性，可見曲面上過 的任一條曲線 在該點的切線都與 正交，因此這些切線應(yīng)

10、在同一平面上，這個平面稱為曲面在 點的切平面，而 就是切平面的法向量。0M0Mnnl0)()()()()()(000000zZFyYFxXFMzMyMx在 點（設(shè) 點對應(yīng)于參數(shù) ）有0tt 0M0M現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共33頁過 點與切平面垂直的直線，稱為曲面在 點的法線，其方程為0M0M000)()()(000MzMyMxFzZFyYFxX該法線的一組方向數(shù)為：000)( ,)( ,)(MzMyMxFFF現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共33頁綜上所述若曲面方程為0),(zyxF則該曲面在 點的切平面方程為0M0)()()()()()(000000zZFyYFxXFMzMyMx過 點的法線方程為0M

11、000)()()(000MzMyMxFzZFyYFxX現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共33頁設(shè) 分別為曲面在 點的法線與 軸正向之間的夾角，那末在 點的法線方向余弦為,0Mzyx,),(0000zyxM222222222000000000000)()()()(cos)()()()(cos)()()()(cosMzMyMxMzMzMyMxMyMzMyMxMxFFFFFFFFFFFF現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共33頁 若曲面方程為),(yxfz 容易把它化成剛才討論過的情形：0),(),(zyxfzyxF0)()(,()(,(0000000zZyYyxfxXyxfyx1),(),(0000000zZyxfy

12、YyxfxXyx于是曲面在 （這里 ）點的切平面方程為),(000zyx),(000yxfz 法線方程為現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共33頁 若曲面方程為參數(shù)形式：),(),(),(vuzzvuyyvuxx如果由方程組 可以確定兩個函數(shù)：),(),(vuyyvuxx),(),(yxvvyxuu于是可以將 看成 的函數(shù)，從而可以將問題化為剛才已經(jīng)討論過的情形。zyx,代入方程 ，得),(vuzz ),(),(yxvyxuzz 因此需分別計算 對 的偏導(dǎo)數(shù)。zyx,現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁，共33頁vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz將 分別對 求導(dǎo)，注意到 為 的函數(shù)按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有vu,yx,

13、),(),(yxvyxuzz vu,解方程組，得),(),(),(),(,),(),(),(),(vuDyxDvuDxzDyzvuDyxDvuDzyDxz現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁，共33頁法線方程于是曲面在 點的切平面方程為0M000),(),(),(),(),(),(000MMMvuDyxDzZvuDxzDyYvuDzyDxX0)(),(),()(),(),()(),(),(000000zZvuDyxDyYvuDxzDxXvuDzyDMMM現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁，共33頁例 1 求球面 在點 的切平面及法線方程14222zyx) 3, 2, 1 (解解14),(222zyxzyxF設(shè)zFyFx

14、Fzyx2,2,2則6) 3 , 2 , 1 (, 4) 3 , 2 , 1 (, 2) 3 , 2 , 1 (zyxFFF所以在點 處 球面的切平面方程為) 3, 2, 1 (0) 3(6)2(4) 1(2zyx法線方程634221zyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁，共33頁曲面的夾角曲面的夾角兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲面在該點的夾角。如果兩個曲面在該點的夾角等于 90 度，則稱這兩個曲面在該點正交。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例 2 證明對任意常數(shù) ，球面 與錐面 是正交的。2222zyx,2222tgzyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁，共33頁即證明

15、證明球面 的法線方向數(shù)為0),(2222zyxzyxFzyx2,2,2zyx,錐面 的法線方向數(shù)為0tg),(2222zyxzyxG2tg,zyx22020202000000tg)tg,(),(zyxzyxzyx在兩曲面交線上的任一點 處，兩法向量的內(nèi)積),(000zyx因 在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面與錐面正交。),(000zyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁，共33頁解, 632),(222 zyxzyxF)1 , 1 , 1 ()1 , 1 , 1 (6,4,2zyxn,6 , 4 , 2切平面方程為切平面方程為, 0)1(6)1(4)1(2 zyx, 032 zyx法線方程為法線方程

16、為.614121 zyx.處的切平面及法線方程(1,1,1) 在點632 面3222zyx橢球求例現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁，共33頁例例 4 4 求求曲曲面面32 xyezz在在點點)0 , 2 , 1(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程. 解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁，共33頁解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(2)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面