微積分基本公式

1、微積分基本公式與不定積分微積分基本公式與不定積分第二節(jié)第二節(jié)三、微積分基本公式三、微積分基本公式 二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 一、一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念 第四四章 例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義定義1可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)存

2、在定理：原函數(shù)存在定理：簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf

3、則則CxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)定義定義2：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .例例1 1 (1)求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解(2)(2) 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx由不定積分的定義，

4、可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx

5、說明：說明： xxx1)(ln, 0,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx(P190) dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 注意：注意：以上公式是求不定積分的基礎(chǔ)，以上公式是求不定積分的基礎(chǔ)，

6、必須熟記必須熟記！(14)shxdxchxC ；(15)chxdxshxC 此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況性質(zhì)性質(zhì)2.32.3（ 線性性質(zhì)）線性性質(zhì)） 不定積分的運算性質(zhì)12其其中中為為不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)(,)kk12( )( )k f xk g x dx 12( )( )kf x dxkg x dx 例例2 求求1 xxdx （ ）（ ）2(3)2.xdxx 1xxdx （ ）32x dx 5225xC 解解（ ）2(3)692(1)xdxdxxxx .ln912Cxxx 例例2 (3) 求.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)2

7、5)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C221(1) (1)xxdxxx 2221xdxx （ ）211 ()1dxxx ln| |arctanxxC21(1)1dxx arctanxxC解解421xdxx 42111xdxx 思考思考22111 xdxx（）3arctanxxxC1 13 32211(1)xxdxxx （ ）例例3 求求2221xdxx （ ）例例4 求求解解21tan xdx （ ）21tan xdx （ ）22sin2xdx （ ）2sin2xdx （2 2）2(sec1)xdx tan xxC1(1cos )2x dx 1(sin)2xxC

8、 2213sincosdxxx （）221(3) sincosdxxx 2211()sincosdxxx cottanxxC 2212sincos22dxxx （ ）22cos21sincosxdxxx （）思考思考 求求 這種利用這種利用恒等變形恒等變形、積分性質(zhì)積分性質(zhì)及及基本積分公式基本積分公式進(jìn)行積分的方法叫作進(jìn)行積分的方法叫作直接積分法直接積分法。不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義: :)(xf的原函數(shù)的圖形稱為的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的圖形的所有積分曲線組成的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族的平行曲線族. .yxo0 x的積分曲線積分曲線 . 橫坐標(biāo)相同點

9、處的切線斜率相同橫坐標(biāo)相同點處的切線斜率相同.例例5 5 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為,ba上的一點，上的一點， xadxxf)(考察定積分考察定

10、積分 xadttf)(記記,.)()(baxdttfxxa積分上限的函數(shù)積分上限的函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或變上限的定積分）（或變上限的定積分）)(xfy xbaoyxxx 證明證明: :若若（）,xa b 則有則有( )()( )xxxxxx x ( )d( )xxxaaf ttf t dt ( )xxxf t dtx ( )f 在在 與與之之間間()xxx li

11、m( )xf ( )f x 積積分分中中值值定定理理當(dāng)當(dāng)時時，xx ( )x ()( )limxxxxx lim( )xf 如如果果)(xf在在, ba上上連連續(xù)續(xù)， 定理定理2.42.4 )()()(xfdttfdxdxxa ，)(bxa ( )x 當(dāng)當(dāng)或或 時時 同同理理可可證證,.xab （積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）（積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）定理定理2.4 （積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）（積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）定理的重要意義：定理的重要意義：1、揭示了揭示了2、定積分與原函數(shù)之間的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系聯(lián)系.注意注意:(1) 法則適用的條件法則適用的條件:( )( )f t dtf x dx被被積積表表達(dá)

12、達(dá)式式必必須須是是“”或或“”,.)sin(0baxdttxdxdx計計算算例如：例如：解：解：, txu令令,uxt則則duudttxxx00sin)sin(則則duux0sinxxududxddttxdxd00sin)sin(.sinx為為內(nèi)內(nèi)層層函函數(shù)數(shù)的的復(fù)復(fù)合合可可以以看看作作一一個個以以)(d)()(xttfxa 函函數(shù)數(shù)，即即).(,)()(xudttfuua 復(fù)復(fù)合合結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)為為則則知知，則則由由復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的求求導(dǎo)導(dǎo)法法dxduttfudxduduudttfxuaxa d)(dd)(d)(dd)( ).()()()(xxfxuf ?d)(dd)( xattfx 思考：思

13、考：證：證：)()(d)(dd)(xxfttfxxa推廣：推廣： (1)(1)()(d)(dd)(xxfttfxbx(2)(2) 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為推廣：推廣： )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF(3)(3)例例632(1)xtade dtdx 2sin(3)ln(2)xxdtdtdx 0(5)( )xd

14、xf t dtdx 623xx eln(sin2)x cosx22 ln(2)xx0( )( )xf t dtxf x 0 ( )xdx f t dtdx 0( )xxf t dt （）設(shè)設(shè)，求求20(4)cos(0),()xyt dtyy (0)cos01, ()cos1yy 02(2)1xdt dtdx 21x 2( )cosy xx 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)求由方程求由方程1sin2210 dtttdtexyt.)(dxdyxfy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于 x，02sin222 xxxdxdyey.sin222yexxdxdy 例例7 積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)

15、用舉例積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用舉例 21222coscoscostduuuttytx，設(shè)設(shè)222dyd ytdxdx 求求及及在在處處的的值值解解2( )2 sinx ttt ，tdxdy ，因此因此22 dxdy例例8 222221( )cos2sincos22y ttttttt ，22sin2tt 22d ydx.21222 dxyd(0)t dydtdtdx 212 sintt ，例例9 9 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xe

16、xxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則.例例10.10. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c證法一：證法一： xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)

17、()()()(200 xxdttfdttftxxf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證法二：證法二：2000)()()()()()( xxxdttfdttftxfdttfxfxxF，200)()()()( xxdttfdttftxxf( )0(0).Fxx ，再由再由積分中值定理積分中值定理，得，得( )(0,)F x 故故在在內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù). .)., 0(,

18、 0)()()()(0 xfxxdttftxx證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf又又)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令上上連連續(xù)續(xù)，且且在在顯顯然然1 , 0)(xF. 0)(0,1), F使使則則由由零零點點定定理理可可知知定理定理2.52.5三、微積分基本公式（牛頓三、微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）萊布尼茨公式）( )= ( )|( )( )bbaaf x dx

19、F xF bF a ( (N NL L公式公式) )上上的的一一個個在在區(qū)區(qū)間間是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè),)()(baxfxF原原函函數(shù)數(shù)，那那么么)()()(aFbFdxxfba ( (微積分基本公式微積分基本公式) ) ( )baF x注注(1)(1)揭揭示示了了定定積積分分與與原原函函數(shù)數(shù)的的聯(lián)聯(lián)系系ab (2)(2)公公式式對對“”也也成成立立. .提提供供了了求求定定積積分分的的一一個個簡簡便便的的算算法法. .解解例例13120(1) x dx 20(3) 1sin xdx 121(2) dxx 120(1) x dx 1301 3x1 =3121(2) dxx 12 ln| | x =- ln 220(3) 1sin xdx 0 |cos|x dx 202 coscosxdxxdx 202 sinsinxx 2 例例14 設(shè)設(shè) ，求，求 . 215102)(xxxxf， 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx.6 xyo12120 = 5x xdttfxFxxxxxf02)()(2110)(，求求，設(shè)設(shè)解解時，時，當(dāng)當(dāng)10 x xdttfxF0)()(，331x 例例15 0,2在在上上的的表表達(dá)達(dá)式式并并討討論論其其連連續(xù)續(xù)性性 xdtt02